Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

Khóa luận tốt nghiệp LỜI NĨI ĐẦU Trong giải toán khác toán học, khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề: Cho X khơng gian T : A ánh xạ từ tập → X A ⊂ X vào Xét phương trình phi tuyến Tx = x, x ∈ A , điều kiện cụ thể khẳng định tồn nghiệm phương trình Điểm x thỏa mãn phương trình Tx ∈ =x A gọi điểm bất động ánh xạ T tập hợp A Việc giải toán dẫn đến đời hướng nghiên cứu tốn học, dó lý thuyết điểm bất động Lý thuyết điểm bất động kiến thức quan trọng giải tích hàm phi tuyến khẳng định lý thuyết điểm bất động đẫ phát triển sâu rộng trở thành công cụ thiếu để giải toán thực tế đặt Sự phát triển lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà khoa học như: Banach, Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,… Những kết kinh điển đồng thời kết lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Browder Hà Đức Tâm – K35B Tốn Khóa luận tốt nghiệp áp dụng vào ngành toán học đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, giải tích hàm, … Hà Đức Tâm – K35B Tốn Với lý em chọn đề tài “ Một vài đặc trưng tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động ” Mục đích khóa luận trình bày số kết tổng quan Browder kirk tìm Nội dung khoa luận (gồm chương): Chương Một số kiến thức sở Chương Không gian Banach lồi Chương Một số định lý liên quan đến tính lồi lý thuyết điểm bất động Qua em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức Thắng tận tình hướng dẫn em hoàn thành khoa luận em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bảo tận tình thầy tổ giải tích trường ĐHSP Hà Nội Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hà Đức Tâm Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương có mục đích xác định số ký hiệu, nhắc lại số lý thuyết giải tích hàm không gian tập hợp sử dụng chương sau 1.1.KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử K trường số thực phức trường số Tập hợp X ≠ ∅ với hai ánh xạ ( phép cộng phép nhân vô hướng ) Phép cộng xác định X ×X lấy giá trị X ( x, y) xy Phép nhân vô hướng xác định K × X lấy giá trị X ( λ, x ) λ λ ∈ K, x ∈ X x, Gọi khơng gian tuyến tính ( không gian véc tơ) điều kiện sau thỏa mãn : X với phép cộng nhóm Abel, tức : a x + y với = y+ x λ, µ ( x + y) + z = x+( y+ z) với x, y, z ∈ X b x∈ X ∈ K, c Tồn phần tử θ ∈ X cho cho x + θ= x với x ∈ X d Với phần tử x ∈ X tồn phần tử x + (−x) = θ −x ∈ X ( λ x + y ) = λx + λ y λ với ∈ K, ( λ + µ ) x với = λx + µx (λµ ) x = λ (η x ) 1.x =x với với x, y ∈ X λ, µ x∈ X ∈ K, λ, µ x∈ X ∈ K, x∈ X Định nghĩa 1.2.2 ( Định nghĩa không gian định chuẩn) Ta gọi khơng gian định chuẩn ( hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X với ánh xạ từ X vào tập hợp số thực , thường ký hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn điều kiện sau : i) Với x ∈ X ta có x ≥ Và = 0⇔ x= x ii) Với x ∈ X , với λ ta có ∈ K x+ y Số x gọi chuẩn phần tử x Kí hiệu khơng gian định chuẩn ( X , ) ≤x + y Định nghĩa 1.2.3 ( Định nghĩa không gian Banach) Nếu không gian định chuẩn X không gian metric đầy đủ ( khoảng cách d ( x, y) = x + y ) X gọi khơng gian định chuẩn đầy đủ hay gọi không gian Banach Định nghĩa 1.2.4 ( Định nghĩa không gian Tôpô) Một họ tập τ X ∈ tập hợp X gọi Tôpô X thỏa mãn điều kiện sau : i) ∅∈τ , X ∈τ ii) Giao họ hữu hạn tùy ý tập hợp thuộc τ tập hợp thuộc τ iii) Hợp họ tùy ý tập hợp thuộc τ tập hợp thuộc τ Các tập thuộc τ gọi tập mở phần bù tập mở X gọi tập đóng Tập X trang bị Tơpơ τ gọi không gian Tôpô ký hiệu (X đơn giản X ,τ ) 1.2.KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PHẢN XẠ Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi tích vơ hướng khơng gian tuyến tính trường K ( K = R X ) ánh xạ f từ tích đề X × vào trường K , thường viết dạng f ( x, y) = i) x, y = y, x , ii) x+ y, z = x,z + iii) λx, = λ y iv) x, x x, y , ≥ 0, x, y thỏa mãn điều kiện : ∀x, y ∈ X ; y,z ∀x, y, z ∈ X ; ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ X ∀x ∈ X x, x = 0⇔ x= Các phần tử x, y, z gọi nhân tử tích vô hướng Định nghĩa 1.3.2 (Định nghĩa không gian Hilbert) Ta gọi tập hợp H khác rỗng gồm phần tử x, y, z khơng gian Hilbert : i) H không gian tuyến tính trường K ; ii) H trang bị tích vô hướng x, y với x, y ∈ H ; iii) H đủ với chuẩn x = x, x với x ∈ H Định nghĩa 1.3.3 (Định nghĩa không gian phản xạ) Khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi không gian phản xạ phép nhúng chuẩn tắc H từ không gian X vào không gian liên hợp thư hai X tồn ánh ** Như khơng gian tuyến tính định chuẩn X không gian phản xạ với phần tử x x** ∈ tồn phần tử X ** x cho ∈ X ** x (x ) = * ( x), * x * * ∀x ∈ X 1.3 TẬP HỢP LỒI Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X khơng gian tuyến tính, tập số thực tập A ⊂ X gọi lồi ∀x1, x2 ∈ A, ∀λ ∈ Mệnh đề 1.4.1 Giả sử Khi Aα ⊂ X (α ∈ I ) tập lồi, với I tập số A = Aα α ∈ I : ≤ λ ≤1 ⇒ λ x1 + (1 − λ)x2 ∈ A trưng lồi không gian Banach X đặc trưng lồi không gian hàm Lebesgue – Bochener tương ứng cách chứng minh Day [6] p L ( µ, X ) < p < ∞ Định lý 3.2.7 Cho X khơng gian Banach, µ độ đo Khi ( ( ,)) p εo L µ X = { (), ax εo m ( )} p εo X l Chứng minh Vì X Lp L p ( µ, p εo L µ X ≥ m (µ ) X ) , nên rõ rang ( ( ,)) ( { ()), p ax εo L đẳng cấu với không gian { () , ( )} ax µ εo X = m Khi ta có p =1, p = ∞ đẳng thức phải chứng minh với εo l ( )} p εo X εo ( X ) tức khắc ta nhận = ε ( Lp ( µ, X )) = Vì để hồn thành p o chứng minh, ta giả sử < p < εo ( X ∞ ) < Vì < p < ∞ nên ta cần chứng minh ε o εo (l ) với = ( L ( µ, X ( X ) đủ )) ≤ ε p Hơn ta giả thiết thêm µ độ đo liên tục tập hợp số tự nhiên Mặc dù giả thiết hạn chế, định lý kiểm nghiệm độ đo đếm được, định lý dễ dàng suy độ đo µ tùy ý cách xác định phép nhúng hàm đơn giản thuộc Lp ( µ, X ) vào khơng Lp ( X ) theo cách Day [6,p.507] gian Vì cần chứng minh < p < ∞ εo ( X ) < Giả sử b = xi ) ( = b (x ) εo ( Lp ( µ, X )) ≤ ε ) ' < η ≤ Trước tiên ta xét trương hợp với phần tử Lp ( X giả sử i ' (X ) b = ' b = b− ≥ 1, b' εo ( X ) + η ' x = x , ∀i ∈ i i Để thuận tiện, ta đặt x − x' xi = βi = γ i i Khi  b ' + b = x+ x  i i  γ ∑ c ' i   1 − δ X  (ε o ( X >  E = i ∈ : γi  βi  p  p   i β    β    i    Lưu ý γ i ≤ 2βi , ∀i ∈ Đặt Và F =   ≤ ∑    p  1 p ) +η  i   )  +η   \ E Khi  p  = β ≥ p I β  p  p +η ≥2  γ i  ∑ ∑ p p i  (ε   i  i∈F ( X ) +η )   i∈F  ∑  o Nên    γ ∑ i∈F  i p  ( εo ( X ) + η p ≤ +η ) Hay     γp ∑ i  =   γip ∑ γi p − ∑  i∈F     i i∈F  p1 ( ( εo ) ≥ X +η ) 1 − 1 p    p   +η     i  Do   p1 α =  β ∑ p   ≥   ∑γ  i i∈E  p   i  p i∈E    η p ≥   1 −  2 +η     p Vì     p p1  ( εo ( X ) p p +η )  ∑  b ≤  1 +η + ∑βi   βi  + − δ X  b i∈F    i∈E      p  1 p   (εo ( X ) p p  +η )  = 1   α + 1− α   − δ X          +η 1   )   pp    η + X ( )    2( o ' ε = 1 − − 1 − δ   X                α  +η       p  (εo ( X ) p p p  η    +η )   p = 1 − 1 −        − 1 − δ X    2   +η     + η       2( Vì ε +η hợp chứng minh   nên ta cho vế phải o δo ( ε o ( X ) +η  )> với η > Vậy trường Bây giả sử b = ' b b+ > ' b 2( 1− = giả sử δ (ξ )) p δp modul lồi l p ( X ξ = η η   ε )+ , δ o o  > 2   Khi ' ξ p p ( ) ) ( + x ≤ − δ  p ∑ ≤   i  Vì i  i  ( x + ∑ i x ' i 1 ) p i p   p x ' phần tử có chuẩn l nên xi i ( ∑  =  i '' Đặt b ( x '' ) x + x i p )  < p i i ' ξ   x' x ' i i , xi ≠  ' x'' =  xi ≤ xi ≠ x i , Lưu ý x = x , i '' ∀i ∈ i b − b ' = (∑ b+ b Vì Và ' p p ) < ξ < η b+ − b ' '' b + b ≥ ( (ξ ξ − δ p  = 1 − δ p (ξ ) −  )) − ξ ξ  (vì δ (ξ ) ≤ ξ ξ   ≥ 1 − − 2  2 p  ) = 2(1 − ξ )  − δ >  ( ) Nên từ trường hợp trước ta suy (  X   ) 2+ η    η '' b − b ≤ εo X + Cuối ' '' '' b − ≤ b − b b + b Do b = ' b + + =o ε 2 − b < εo X X +η = b − ≥ ( X ) ' εo + η b p (ξ ) δl ( X ( εo ( X ) +η p ( ( )) p Vì ( ) ' b1 b' − δ ≤ Từ ta suy ηη ( ) εo l X )≥ δ p (ξ ) > ( ) ≤ εo X +η  o εo Vì η tùy ý nên > ε (l ( X )) ( X p o ≤ ε toàn định lý chứng minh hoàn ) Kết hợp định lý 3.1.2 định lý 3.2.6 cho ta hệ điểm bất động sau Hệ 3.2.8 Cho X không gian Banach với ε X < 1, µ ) o( độ đo < p < ∞ Khi tồn số γ cho tập lồi, đóng, bị chặn khoonh gian hàm Lebesgue – Bochner Lp µ, ( có tính chất X) điểm bất động ánh xạ k − Lipschitz với k < γ X khơng gian tròn ε X = nên kết sau ) o( Day suy tức khắc từ định lý 3.2.7 Hệ 3.2.9 (Day [6]) Cho (Ω, không gian đo Thế ∑, µ ) khơng gian hàm Lebesgue – Bochner Lp µ, X tròn ( ) < p < ∞ X tròn Theo cách tương tự, kết hợp với định lý 3.2.7 với đặc trưng không gian vng theo thuật ngữ tính lồi nêu định lý 3.1.1, ta chứng minh hệ sau Hệ 3.2.10 (Smith – Turett) Cho (Ω, ∑, gian đo Thế µ ) khơng khơng gian hàm Lebesgue – Bochner Lp µ, X không vuông ( ) < p < ∞ X không vuông KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận giới thiệu hướng quan trọng giải tích hàm phi tuyến Đó lý thuyết điểm bất động, kết khóa luận dựa cấu trúc hình học đặc trưng không gian Banach liên quan đến điểm bất động chương khoa luận nhắc lại số khái niệm tính chất không gian tập hợp liên quan đến chương sau Nội dung chương không gian Banach lồi đều, không gian Banach nghiên cứu ánh xạ không giãn, ánh xạ Lipschitz kết chương định lý liên quan đến tính lồi lý thuyết điểm bất động Goebel Kirk đề xuất Trước kết thúc khoa luận em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy giáo Khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo, Th.S Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hồn thành khóa luận Do khn khổ khóa luận có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khoa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến trao đổi đóng góp quan tâm đến vấn đề TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm [2] Nguyễn Văn Khuê Giải tích hàm [3] S.Bochner, A E Taylor Linear functionnals on certain spaces of abstractlyovalued funtions, Ann Ofm Math., (2) 39 (1938), 913-944 [4] W L Bynum Normal structure coeficients for Banach spaces, Pacific J.Math , 86 (1980), 427 – 436 [5] M M Day Some more unifoemly convex spaces Bull Amer Math Soc 47(1941), 504-507 [6] M M Day Normed Linear spaces, 3rd Ed Ergebnisse Mathe – matik und ihrer Grenzgebiete, Band 2, Springer – Verlag, New York, 1973 [7] K Goebel, W A Kirk A fixd point theorem for transforma – tions whose iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math, 67 (1973), 135-140 [8] K Goebel, W A Kirk, R L Thele Uniformly Lipschitzian families of trasformations in Banach spaces, Canad J Math, 31 (1974), 1245-1256 ... lý em chọn đề tài “ Một vài đặc trưng tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động ” Mục đích khóa luận trình bày số kết tổng quan Browder kirk tìm Nội dung khoa luận (gồm chương): Chương Một. .. số kiến thức sở Chương Không gian Banach lồi Chương Một số định lý liên quan đến tính lồi lý thuyết điểm bất động Qua em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Phùng Đức Thắng tận tình hướng... 2.2.2 Tập D ⊂ X gọi có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn ánh xạ khơng giãn từ D vào D có điểm bất động D Chú ý Mọi không gian Banach khơng thiết có tính chất điểm bất động ánh xạ khơng giãn