Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị

MỤC LỤC Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric .3 1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach Không gian tôpô 1.3 Tập hợp lồi 1.3.1 Định nghĩa tính chất 1.3.2 Bao lồi bao đóng 1.4 Ánh xạ đa trị 10 Chương Điểm bất động ánh xạ đa trị 2.1 Định lý Caristi 14 2.2 Định lý Nadler 18 2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng 23 2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 23 2.3.2 Bổ đề phân hoạch đơn vị 31 2.3.3 Định lý Kakutani 33 2.3.4 Điểm bất động không gian định chuẩn 37 Kết luận Tài liệu tham khảo LỜI MỞ ĐẦU Nhiều tượng thực tế dẫn đến việc nghiên cứu tồn tại, xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến Phương pháp điểm bất động phương pháp quan trọng hữu hiệu để chứng minh tồn nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm lớp phương trình phi tuyến khác Lý thuyết điểm bất động đời từ năm 1920, hoàn thành phát triển ngày để áp dụng cho ngày nhiều lớp phương trình Cùng với phát triển khoa học nhu cầu phát triển nội toán học, ánh xạ đa trị đưa vào nghiên cứu từ năm 1950 Chúng công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều tượng tự nhiên, xã hội, kinh tế, Từ đó, nảy sinh yêu cầu phát triển phương pháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, có phương pháp điểm bất động Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị thu nhiều kết có giá trị Tuy nhiên hướng nghiên cứu nhà Toán học quan tâm nghiên cứu hứa hẹn đạt tới kết thú vị lý thuyết ứng dụng Với lý em chọn đề tài: “Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị” Mục đích khố luận trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng Nội dung khoá luận gồm chương Chương 1: Nhắc lại số kiến thức giải tích hàm số không gian, tập hợp số định nghĩa ánh xạ dùng cho chương Chương 2: Chương giới thiệu số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị , định lý điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng Bản khố luận hồn thành trường đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng Em xin bày tỏ lòng biết ơn bảo, giúp đỡ tận tình thầy q trình em hồn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, dạy bảo thầy cô khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội suốt thời gian em học tập trường Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Ngọc Huyền CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric cặp hợp khác ( Χ, d ) , Χ tập rỗng, d : Χ × Χ → □ thoả mãn điều kiện sau i) Với x, y ∈Χ : d ( x, y ) ≥ d ( x, y ii)Với ⇔ )= x = y x, y ∈Χ : d ( x, y )= d ( y, x ) iii) Với x, y, z ∈Χ : d ( x, y (z, y ) Ánh xạ d gọi metric Χ Mỗi phần tử Χ gọi điểm ) ≤ d ( x, z d ( x, y từ ) + d ) gọi khoảng cách Χ ; điểm x tới điểm y Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric ( Χ, d gọi ) , a ∈Χ , số r > Ta Tập Tập Β( a, r ) = {x ∈Χ : d ( x, a ) < r} hình cầu mở tâm a , bán kính r Β[ a, r] = {x ∈Χ : d ( x, a ) ≤ r} hình cầu đóng tâm a , bán kính r Định nghĩa 1.1.3 Α ⊂ Χ Ta gọi lân cận Cho không gian metric điểm x ∈Χ ( Χ, d ) , hình cầu mở tâm x bán kính r > Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric ( Χ, d ), Α ⊂ Χ Điểm x ∈Χ gọi điểm Α tồn lân cận x bao hàm Α Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric ( Χ, ), d Α ⊂ Χ Α tập đóng Χ với điểm x ∈Α tồn lân cận x giao Α rỗng Định lý 1.1.1 Trong không gian metric hình cầu đóng tập đóng Định lý 1.1.2 Trong khơng gian metric a Giao họ tuỳ ý tập hợp đóng tập hợp đóng b Hợp họ hữu hạn tập đóng tập hợp đóng Định lý 1.1.3 Cho không gian metric ( Χ, ) Tập Α d ⊂ Định nghĩa 1.1.4 Χ xn ( n → ∞) Α ≠ → x φ Điểm x gọi Tập giới hạn Α ng dãy {xn tập hợp } hội tụ tới đóng điểm x x Định lý 1.1.4 ∈Α Tập hợp Α không gian Χ dãy điểm {xn }⊂ A Định nghĩa 1.1.6 Ctrong không gian h ometric ( Χ, d ) Ta nói dãy {xn } d ã y metric hội tụ { x n } tới điểm x ∈Χ ∀ε > 0, n0 ∈ □ :n > n * K m ý x n hi → ∞ ệu : li , x d (x n ) 0, ∃n0 * ∈Ν : n, m ∈Ν n, m > n d ( x m , xn ) < ε Định nghĩa 1.1.10 Định nghĩa 1.1.7 Khơng gian metric ( Χ, d ) gọi không gian đầy đủ (hay không gian metric đủ) dãy Χ hội tụ tới điểm thuộc Χ Nghĩa là, dãy {xn } lim xn ∈Χ dãy Χ tồn lim xn 1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Κ trường số thực □ trường số phức □ Tập hợp Χ với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân vô hướng) Phép cộng xác định Χ × Χ lấy giá trị Χ ( x, y ) → x + y ; x, y ∈Χ Phép nhân vô hướng xác định Κ × Χ lấy giá trị Χ ( λ, x ) → λx ; λ ∈Κ, x ∈Χ gọi khơng gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) thoả mãn tiên đề sau 1) ∀x, y ∈Χ : x + y = y + x 2) ∀x, y, z ∈Χ : ( x + y + z) ) + z= x+ (y 3) Tồn phần tử Χ cho ∀x ∈Χ : x+ = x 4) Với x ∈Χ , tồn phần tử ( −x )+ ) cho: ( −x x = 5) ∀λ ∈ Κ,∀x, y ∈Χ : λ ) = λ x + λy 6) ∀x ∈Χ,∀λ , (λ + µ ) µ ∈Κ : x = λx + µx (x + y ≤ ek ( x hợp để có )≤ 1, ta thay (nếu cần) dãy dãy thích x → ) → α Nếu với * x , e (x k k k ) e (x k = k điểm bất động Vậy coi = f (x x k ) k với k Khi k ek ( x k ) < ρ ( xk , S C ) < 1/k → , C Mà x* = ρ (x , S * C ) = 0, * x điểm biên tức α f ( x * ) + (1 − α ) a Theo tính chất tập lồi, α = , tức * ( ) x f x* = 2.3.3 Định lý Kakutani Định nghĩa 2.3.3.1 Một ánh xạ đa trị f : C từ tập C không gian định chuẩn → Y X vào khơng gian định chuẩn Y , gọi đóng, đồ thị {( x, y ): x ∈ C, y ∈ f ( x )} tập đóng khơng gian X × hay nói cách khác, từ x → x , v Y, yv → y yv ∈ F (xv ) luôn suy y ∈ f ( x ) Định lý 2.3.3.1 (Heine-Borel) Một tập M compac họ tập mở {Gα } phủ lên M : G ⊃ M , có chứa họ hữu hạn: α α M : m Gα i=1 Gα , Gα , , Gα phủ ⊃ M i m Định lý 2.3.3.2 f:C D →2 từ n Cho tập lồi compac C ⊂ □ , ánh xạ đa trị đóng C vào tập compac f x ∈ (x C, n D ⊂ □ , cho với tập lồi ) nghiệm * y compac không rỗng Khi có x* ∈ ∈ f C (∀x Chứng minh * ∈ C) −x,y * )≥ Trước hết ta chứng minh có (∀x ∈ C) ( )≥ * (1) x * x ∈ C (∃y ∈ f ( x )) * (x − y (x ) * x, (3) Giả sử trái lại, tức (∀x ∈ C) (∃u ∈ C ) ( ∀y ∈ f ( x − x, y Với u ∈ C đặt (2) )< )) (u G (u) = {x ∈ C : (u − x, y )< ∀y ∈ f ( x )} Nếu x ∈ C theo (3) phải có u ∈ C G (u) , u ∈ C , phủ x v ∈ C G C Dễ thấy (u) xv → x G (u) cho x ∈ G ( u ) Vậy họ tập mở C Thật với v có (v → ∞) yv ∈ f (xv ) nghiệm (u − xv , yv ) ≥ , D compac ta thay (nếu cần) dãy dãy thích hợp để có yv ấy, ý f đóng, ta có → y ( ) (u − x, y) ≥ y∈ f x G ( u) , chứng tỏ x ∈ C Vì C compac nên theo tính chất Heine-Borel có số hữu hạn phần tử ui ∈ C (i = 1, , m) cho G (u1 ), , G phủ C Cho (um ) ei ( x )( i = 1, , m ) phân hoạch đơn vị ứng với phủ theo bổ đề 2.3.2 đặt g (x Vì C lồi nên m ) = ∑e i ( x ) u i i=1 g (x )∈ g : C → C Mặt khác ánh xạ g liên tục, C, tức ( ) theo hệ 2.3.2 phải có x = g x Nhưng với x∈ C y ∈ f (x ): Trong ∑ * (g ( x ) − x, y)= ∑ ei ( x )(ui − x, y ) * biểu thị tổng lấy theo i mà ei ( x ) > , tức x∈ G ( ui ) (do (ui − x, y ) Ta có )< ∑ * ) đưa đến mâu thuẫn lấy x = Vậy ta phải có (2) x ei ( x = 1, (g ( x ) − x, y )< : điều (theo giả thiết f ( x ) với x ) ≠ φ Bây ta đặt, với x ∈ C : D (x )= {y ∈ f ( x ) : ( x − x , y ) < } * * Để hoàn thành việc chứng minh định lý ta phải vạch rõ ràng có điểm * y ( f x * không thuộc ) D ( x ) Giả sử trái lại, ( ) D ( x x ∈ C, phủ f x * ) , lên tập ( nhiên tập mở, mà f x * Vì D hiển (x ) compac nên theo tính chất Heine-Borel, phải ) có số hữu hạn D (x hạn ) , chẳng đủ nhỏ hệ bất đẳng thức ( ) Ta khẳng định có số ε f x D ( x1 ) , D ( x ), , D ( x m ) , phủ * > (x i * − x ,y ) + ε ≥ (i (4) = 1, 2, , m ) ( ) Thật khơng có nghiệm f x * ( ) (k y ∈ f x = 1, 2, ) k * vậy, trái lại ta có dãy ) * −x , y + cho x ( i k ε ≥ (i = 1, 2, , m) k với ε k ↓ (k → ∞) ( ) compac ta lấy dãy để Vì f x * có Hiển ) ≥ (i = * −x , y ( nhiên x i ( ) * yk ∈ f x → y0 1, 2, , m ) nghĩa y0 không thuộc D ( x i ) (i = 1, 2, , m ) (Mâu thuẫn với trên) Vậy với ε > đủ nhỏ hệ khơng có nghiệm tập lồi ( ) Theo định f x * lý bất đẳng thức khơng tương thích, phải có số thực µi ≥ ( i = 1, , m ) m cho α = i=1 ( i m (∀y ∈f x ∑µ µ ∑  i * i= ( > ) * − x , y + ε  ≥  xi )) αi = ta có x0 = µi / α Đặt ( m i ∑ α x ∈ C i i = ( * )) ( * ) ∀y ∈ f x x0 − x , y < Mâu thuẫn với , điều giả sử sai Định lý chứng minh Định lý 2.3.3.3 (Kakutani) Cho tập lồi compac C n ⊂□ C vào nó, cho với ánh xạ đa trị đóng f : C C →2 từ x ∈ C, f (x tập lồi, compac, không rỗng ) Khi f có điểm bất động, nghĩa điểm x* ∈ * * x ∈ f x C ( ) cho F (x Chứng minh Áp dụng định lý trước cho ánh xạ − f thấy D compac) ta điểm (∀x − y * ∈ C) (x − * x,x * )= (x ) * x ∈ C x ( C compac dễ * y ∈ f cho (x ) * ) ≥0 ( Lấy x = y* ta suy y * − x * , x* − y* ∈ C )≥ ( ) Từ x* = y* ∈ f x * Định lý chứng minh Ta thấy định lý Brouwer trường hợp riêng định lý Kakutani, f ánh xạ đơn trị 2.3.4 Điểm bất động không gian định chuẩn Các kết mở rộng vào khơng gian định chuẩn Định lý 2.3.4.1 (Ky Fan) Cho tập lồi compac C không gian định chuẩn X, ánh xạ đa trị đóng f:C từ C vào cho với → x ∈ C, f ( x ) C cho * tập lồi compac, không rỗng Khi tồn x* x ∈ f ∈ Chứng minh C Xét hình cầu mở Wr (x ) * tâm gốc ,và có bán kính / r Họ tập mở x + Wr phủ C , mà C compac nên có số hữu hạn tập phủ C : xi + Wr , i = 1, , n Gọi S bao lồi xạ xác định F (x )= ( f (x ) + W ) ∩ r ánh x1 , , F : S → xn S S Với x ∈ S có y ∈ f (x ) ⊂ C cho y ∈ x i − Wr , tức xi ∈ F ( x xi ∈ y + Wr (vì với y lại có xi nên Wr = −Wr ), mà hiển xi ∈ nhiên S ) Vậy F ( x ) ≠ φ Cũng F ( x lồi giao hai tập lồi f ( x S rõ ràng ) ) + Wr Ta kiểm tra lại F ánh xạ đóng Giả sử xv → x, yv → y, yv ∈ F ( x v ) Vì {zv }⊂ C Ta có mà C compac nên có dãy xạ đóng nên z ∈ f ( x ) Mặt khác, uv y− z ∈ Wr , µ = yv µ z → z∈ C, f ánh v µ −z → y đóng nên − z , mà W v r µ f ( x ) + Wr , y ∈ F ( x ) hiển y∈ z tức nhiên y ∈ S + Wr ⊂ Vậy F ánh xạ đóng x Theo định lý Kakutani phải có r cho yr ∈ f yv = zv với zv ∈ f ( x v ), + uv uv ∈ W r ( x r ) xr ∈ f (xr ) + Wr tức có cho yr ∈ x r + Wr Vì { xr , r = 1, 2, } ⊂ C compac nên có dãy x → x * ∈ C (s y → x* , f đóng ta rs → +∞) Khi rs phải có * ( ) x ∈ f x * Hệ 2.3.4.2 (Schauder) Một ánh xạ liên tục f:C từ tập lồi compac C không → C gian định chuẩn vào có điểm bất động * ( ) x f x* = Định lý Ky Fan ( định lý Schauder) X không gian lồi địa phương- lớp không gian rộng không gian định chuẩn KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khoá luận “ Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị ” Nội dung khoá luận gồm chương: Chương 1: Nhắc lại số kiến thức giải tích hàm số khơng gian, tập hợp số định nghĩa ánh xạ dùng cho chương Chương 2: Nội dung chủ yếu bao gồm: định lý Caristi điểm bất động ánh xạ đa trị; định lý Nadler điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co; nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng Để hồn thành khố luận này, thân có nhiều cố gắng song kiến thức hạn chế vấn đề khó giải tích hàm nên khố luận khơng tránh thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để khố luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Tụy Hàm thực giải tích hàm NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXB Giáo dục [3] Phan Đức Chính Giải tích hàm NXB Đại học Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải Giải tích lồi NXB KHKT- Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy Giải tích hàm NXB KHKT 76 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn thầy Phùng Đức Thắng, khoá luận tốt nghiệp đại học “Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị” hoàn thành theo nhận thức vấn đề riêng tơi, khơng trùng với khố luận khác Trong q trình thực nghiên cứu khố luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Ngọc Huyền ... thuyết ứng dụng Với lý em chọn đề tài: Lý thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị Mục đích khố luận trình bày số định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer suy rộng... số định nghĩa ánh xạ dùng cho chương Chương 2: Chương giới thiệu số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị , định lý điểm bất động ánh xạ đa trị có tính chất co, ngun lý điểm bất động Brouwer suy... pháp điểm bất động Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị thu nhiều kết có giá trị Tuy nhiên hướng nghiên cứu nhà Toán học quan tâm nghiên cứu hứa hẹn đạt tới kết thú vị lý thuyết