Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động

Tôixing iửi l ic mờn ải ơncác đ cn ặc bi tện sâus cắc đếnnTS.NguyễnVănHùngđãtr cự t ip ến hướngd nẫn tôitrongsuố:tquátrìnhnghiêncứuvàhoànch nhỉnh đềtài... Đ nhịnh nghĩanửialiênt cụ dưới.

BÙITHẾNAM

MỘTSỐỨNGDỤNGCỦALÝT HUYẾTĐIỂMBẤTĐỘNG

Chuyênngành:Toáng i iải tíchMãs

:ố: 604601

LUẬNVĂNTH CSĨTOÁẠCSĨTOÁ NH CỌC

Ngườihướngdẫnkhoahọc:TSNguyễnVănHùng

HàNội-2009

Tôix i n chânt h à n h c mải ơncácn c á cg i á o sư,t i nến sĩg i n gải d yạy chuyênn g à n

h ToánG i iải tích;c á c th yầy ,c ô PhòngS a u Đ iạy họcTrườn gĐ in ạy họcSưph mạy H à

N i2ội2 đãg i ú p đỡtôi trongsuố:tquátr ì n h họct pập vàthựch i nện đềtà i

Tôixing iửi l ic mờn ải ơncác đ cn ặc bi tện sâus cắc đếnnTS.NguyễnVănHùngđãtr cự t ip

ến hướngd nẫn tôitrongsuố:tquátrìnhnghiêncứuvàhoànch nhỉnh đềtài

HàN i,ội2 tháng9năm2009

Tácgiải

Tôixincamđoanlu nập vănlàcôngtrìnhnghiêncứuc aủa riêngtôidướisựhướngd nẫn t r cự t i pến c aủa T S NguyễnVănHùng

Trongquát r ì n h n g h i ê n cứul u nập văn,t ô i đãkếnthừanhữngt h à n h quảik

h o a họcc aủa cácnhàkhoahọcvớisựtrântr ngọ vàbi tến ơncácn

HàN i,ội2 tháng9năm2009

Tácgiải

Mởđầu 6

Chương1.MỘTSỐKIẾNTHỨCBỔTRỢ 8 1.1 Lýthuyếntkhônggianmêtric 8

1.1.1 Cácđ nhịnh nghĩa 8

1.1.2 Cáctínhch tất đ nơncác gi nải 8

1.1.3 Vídụ 9

1.1.4 Sựh iội2 tụtrong khônggianmêtric 11

1.1.5 Ánhx liênạy t cụ 13

1.1.6 Khônggianmêtricđ yầy 14

1.1.7 T pập compact vàkhônggiancompact 17

1.2 Khônggianđ nhịnh chu n,ẩn, khônggian Banach 17

1.2.1 Cácđ nhịnh nghĩa 17

1.2.2 Vídụ 19

1.2.3 Đ nhịnh nghĩa toán tửituyếnntínhbịnhch nặc 20

1.3 Khônggiantôpô 21

1.4 T pập l i,ồi, hàml iồi, 22

1.4.1 Tổh pợp l iồi, 22

1.4.2 Đ nhịnh nghĩahàm l iồi, vàcá c vídụ 24

1.5 Đ nhịnh nghĩanửialiênt cụ dưới 25

Chương2.LÝTHUYẾTĐIỂMBẤTĐỘNG 26 2.1 Đi mểm b tất đội2ngc aủa á nh xạyc o 26

2.1.1 NguyênlýánhxạycoBanach 26

2.1.2 Ánhx coạy đatrịnh 27

2.1.3 Mởr ngội2 nguyênlýánhxạyco 28

2.1.4 Ánhxạycoyếnu 29

2.1.5 Đ nhịnh lýđi mb tểm ất đ ngội2 Caristi 30

2.1.6 Nguyênlýbi nến phânEkeland 32

2.2 Đi mểm b tất đội2ngc aủa á nh xạykhônggiãn 33

2.2.1 Vềc utrúcất hìnhh cọ c akhôngủa gianBanach 33

2.2.2 Đ nhịnh lýcơncácb nải vềđi mb tểm ất đội2ngchoánhxạykhônggiãn36 2.2.3 Ánhxạykhônggiãnđatrịnh 38

2.3 Đi mểm b tất đội2ngc aủa á nh xạyl iê n t cụ 40

2.3.1 Nguyênlýđi mb tểm ất đội2ngBrouwer 40

2.3.2 Cácđ nhịnh lý đi mểm b tất đội2ng 42

Chương3.M Ộ T SỐỨNGDỤNGCỦA LÝTHUYẾTĐIỂMBẤTĐỘNG 45 3.1 Ứngdụngcủangd ngc aụ ủa lýthuyếntđi mb tểm ất đội2ngchobàitoánphổthông 45 3.2 Ứngdụngcủangd ngc ađ nhụ ủa ịnh lýđi mểm b tất đội2ngchom tội2 số:bàitoáncao c pất 53

Kếtluận 66

Tàiliệuthamkhảo 67

1 Lýdochọnđềtài

Lýthuyếntđ i mểm b tất đ ngội2 là m tội2 ph nầy qua nt r n gọ c aủa n g à n h gi iải tích

Nh ngđ nhữ ịnh lýđi mểm b tất đ ngội2 n iổ ti ngến đãxu thi nất ện t đ uừ ầy th kến ỷXX,trongđóphảiikểmđ nNến guyênlýđi mểm b tất đ ngc aBội2 ủa rouwer(1912)vàNguyênlýá n h xạycoBanach(1922).Cáckếntquảikinhđi nểm nàyđãđượp mởr ngc ội2 racácl pớ ánhxạyvàkhônggiankhácnhau,đãđượp ngd ngcứ ụ r ngội2 rãitrongnhi uề l ĩ n h v cự vàđượp t pc ập hp

ợp l iạy dướ m ti ội2 cáitênchung:Lýthuyếntđi mb tểm ất đ n g ội2 Lýthuyếntnàyg nắc l

i nề v iớ têntu iổ c anhi unhàủa ề toánh cọ l nớ như:Brouwer,Banach,Schauder,Kakutani,Tikhonov,Browder,Kyfan, Trongl ý thuyếntnày,ngoàicácđ nhịnh lýtn

ồi, t iạy đi mểm b tất đ ng,ngội2 ườn tacònquant â m đ ni ến c uất trúcc aủa t pập h pợp đi

ến th cứ cơncács đở ểmgi iải quyếntm tội2 số:bàitoánth cự ti nễ khác.Ch ngẳng h nạy ,Lomonosov(1973)đãs d ngửi ụ nguyênlýSchauderđểmch ngứ minhsựt nồi, t iạy khônggianco

nb tất bi nến khôngt mầy thườnngc aủa m tội2 toántửituy nến tínhliênt ctrongụ m tội2 khônggianBanachn unóến giaohoánv iớ m ttoánội2 tửihoàntoànliênt cụ trongkhôngg

i a n

đ ó H nơncác n aữ ,tìmhi uểm vềlýthuyếntđi mểm b tất đ ngội2 cóth giúpểm chúngtachỉnhrangoàisựt nồi, t i,ạy nócònchotatínhduynhấttphươncácngpháptìmđi mểm b tất đ ngội2 vàđánhgiáđượp đội2chínhxáct ic ạy m iỗi bướ l p.c ặc B iở vậpytôiđãch nọ đềtài:“Mộtsốứngd ụ n g c ủ a lýthuyếtđiểmbấtđộng”đểth cự

hi nện l u nập vănt tố: nghiệnp

Cáckếntquảivềl ý thuyếntđ i m b tểm ất đ n g ,ội2 m tội2 số:ứngd ngc anụ ủa óchom ội2

t số:b à i toán sơncácc pất vàm tội2 số:b à i toáncaoc p.ất C ụ t h ,ểm lu nập văng mồi, 3chươncácng:

Chươncácng1:M tội2 số:ki nến thứcbổtr ợp Chươncácn

g2 : Lýthuyếntđ i mểm b t đ n g ất ội2

Chươncácng3:M tội2 số:ứngd ngc aụ ủa l ý thuyếntđi mểm b tất đ n g.ội2

5 Phươngphápn g h i ê n cứu

* Nghiêncứul ý l u n ,ập đọct à i l i uện chuyênkh o ải

* T nổ gh pki nợp ến thứcvậpnd ngụ chom cụ đíchnghiêncứuđềtài

Chương1 MỘTSỐKIẾNT H Ứ C BỔTRỢ

1.1 Lýthuyếtkhônggianmêtric

1.1.1 Cácđịnhnghĩa

Địnhnghĩa1.1.Tagọi làkhônggian mêtricmộttậphợ pXƒ=∅cù ng v ớ i một

ánhxạdtừtíchDescartesX×XvàotậphợpsốthựcRthỏamãncáctiênđềsauđây: 1) (∀x,y∈X)d(x,y)≥0,d(x,y)=0⇔x=y(tiênđềđồngnhất);

2) (x,y∈X)d(x,y)=d(y,x)(tiênđềđốixứng);

3) (∀x,y∈X)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(tiênđềtamgiác).

ÁnhxạdgọilàmêtrictrênX,sốd(x,y)gọilàkhoảngcáchgiữahaiphầnt ử xvày.C ácphầntửcủaXgọilàcácđiểm;cáctiênđề1,2,3gọilàhệtiênđềmêtric.

Víd ụ 1.2.Vớih a i vectơbấtk ỳ x = (x1,x2, x k );y= (y1,y2, y k )thuộckhông

gianvectơthựckchiềuR k ( klàsốnguyêndươngnàođó)tađặt:

‚.k

d(x,y)= (x j −y j )2

j=1

Dễdàngthấyhệthức(1.2)thoảmãncáctiênđề1và2vềmêtric.Đểkiểmtrahệthức (1.2)thoảmãntiênđề3vềmêtric,trướchếttachứngminhbấtđẳngthứcCauch y-Bunhiacopski,với2ks ố thựca j b j (j=1,2, ,k)tacó:

‚

n= 2

KhônggianmêtrictươngứngvẫnkýhiệulàR k và thườnggọilàkhônggianE uclid,cònmêtric(1.2)gọilàmêtricEuclid.

Vídụ1.3.Takíhiệul2làtậptấtcảcácdãysốthựchoặcsốphức

x=(x n)∞ , saochochuỗisốdương .∞

n= 1

|x n | hộitụ.Vớihaidãysốbấtkỳ:

x=(x n)∞ , y=(y n)∞ , thuộcl2tađặt: ‚

= 1

|y n| ≤2

n=1

|x n| +2.

n=1

|y n|

|y n |.

Nghĩalàchuỗisốtrongvếphảicủahệthức(1.4)hộitụ.Dễdàngthấyhệthức(1 4)thoảmãncáctiênđề1và2vềmêtricvớibadãybấtkỳ:

≤

n=1

|x n −z n|1

|x n −z n|

.p

+

n= 1

.2

.2

.2

|z n −y n| Chop→∞tađược:

Điểmx0còngọilàgiớihạncủadãy(x n )trongkhônggianM.

<ε ∀n≥n0.

DođódãyđiểmđãchohộitụtheomêtricEuclidcủakhônggianR k

U y0=S (y0,ε )⊂Ycủađiểmy0=f (x0)trongM2ắttìmđượclâncậnV x0= S(x0,δ

)⊂Xc ủ a điểmx0trongM1saocho f(V x0)⊂U y0.

Đ nhịnh nghĩa1.4tươncácngđươncácngvớiđ nhịnh nghĩasauđây:

Địnhnghĩa1.5.Ánhxạfgọilàliêntụctạiđiểmx0∈X,nếuvớimọidãyđiểm(x n)

⊂X hộitụtớiđiểmx0trongM1,dãy điểm(f(x n ))hộitụtớif(x0)trongM2.

Chứngm i n h sựtư ơncácn gđươncácngc aĐ nhủa ịnh n g h ĩ a 1 4 vàĐ nhịnh n g h ĩ a 1 5 nhưsau:

Hi nểm nhiên,n uến ánhxạyfliênt ct i ụ ạy x0t h e oĐ nhịnh nghĩa1.4thìánhxạy

fliênt cụ t iạy x0theoĐ nhịnh nghĩa1.5

Giảisửiánhxạyfliênt cụ t iạy đi mểm x0theoĐ nhịnh nghĩa1.5nh ngư ánhxạyf

khôngl i ê n t cụ t iạy x0theoĐ nhịnh n g h ĩ a 1 4 n g h ĩ a l à :

Tanh nập đượp dãyđi mc ểm (x n )⊂Xhộitụt iớ đi mểm x0trongM1,nhưngdãyđ i mểm

(f(x n))khôngh iội2 tụt iớ f(x0)trongM2,điềunàymâuthu nẫn v iớ giảit h i t ếnMâuthu nẫn đóch ngứ t ,ỏ n uến ánhxạyfliênt cụ t iạy x0∈XtheoĐ nhịnh n g h ĩ a 1.5t

hìánhxạyfliênt cụ t iạy x0t h e oĐ nhịnh nghĩa1.4

Địnhnghĩa1.6.ÁnhxạfgọilàliêntụctrêntậpA⊂Xn ế u ánhxạf

liêntụctạimọiđiểmx ∈A.KhiA=Xthìánhxạfgọilàliêntục.

Dễthấymọidãyđiểm(x n )⊂Xh ộ i tụtrongMđ ề u làdãycơbản.

Địnhnghĩa1.9.Kh ô ng gianmêtricM= (X,d)g ọ i làkhônggianđầy,nếumọi

dãycơbảntrongkhônggiannàyhộitụ.

2 Cácvíd ụ

Víd ụ 1.6.KhônggianmêtricR1là

khônggianđầy,điềuđósuyratừtiêuchuẩ nCauchyvềsựhộitụcủadãysốthựcđãbiếttronggiảitíchtoánhọc.

j= 1

x (n)=

x j (j=1,2, ,k).

Đặtx=(x1,x2, ,x k )tanhậnđượcdãy . x (n).⊂

Rk đã chohộitụtheo toạđộtớix.NhưngsựhộitụtrongkhônggianEuclidR k tương đươngvớisựhộ itụtheotoạđộ,nếudãycơbản . x (n) .đã chohộitụtớixtrongkhông

gianR k VậykhônggianEuclidR k là khônggianđầy.

Vídụ1.8.KhônggianC [a,b] l à khônggianđầy.Thậtvậy,giảsử(x n (t))làdãy cơ bảntuỳýtrongkhônggianC [a,b] Theođịnhnghĩadãycơbản

|x n (t)−x(t)|≤ε, ∀n≥ n0,∀t∈[a,b] (1.8)

Cácbấtđẳngthức(1.8)chứngtỏdãyhàmsố{x n (t)}⊂C [a,b] h ộ i tụđềutớihà msốx(t)trênđoạn[a,b],nênx(t)∈C [a,b] Nhưngsựhộitụtrongkhônggian C [a,

b]tươngtựvớisựhộitụđềucủadãyhàmliêntụctrênđoạn[a,b]nên dãycơbả n{x n (t)}đãchohộitụtớix(t)trongkhônggianC [a,b] VậyC [a,b] l à khônggia nđầy.

.x k −x k <ε (∀n,m≥n0 ∀k= 1,2, ) (1.10)

Cácbấtđẳngthức(1.10)chứngtỏ,vớimỗikcốđịnhtuỳýdãy. .là dãycơbảnnênphảitồntạigiớihạnl i m

1.1.7 Tậpcompactvàkhônggiancompact

1 Địnhnghĩa

Địnhnghĩa1.10.C h o k h ô n g g i a n mêtricM = (X,d)t ậ p K ⊂ Xg ọ i l à tập c

ompacttrongkhônggianMnếumọidãyvôhạncácphầntửthuộcKđềuchứadãyc onhộitụtớiphầntửthuộctậpK.TậpKgọilàtậpcompacttươngđốitrongkhônggian Mnếumọidãyvôhạncácphầntửđềuchứadãyconhộitụ(tớiphầntửthuộcX).

Địnhnghĩa1.11.Cho khônggianmêtricM= (X,d).Kh ông gianMg ọ i là kh

ônggiancompactnếutậpXlàtậpcompacttrongM.

2 Vídụ

Vídụ1.10.TrongkhônggianmêtricR1( t ậ p sốthựcRvớimêtrictựnhiên)đoạn bấtkỳlàtậpcompact,khoảngbấtkỳlàtậpcompacttươngđối.Cáckhẳngđịnhtrênsuyratừ bổđềBolzano–

Weierstrass.NhờđódễdàngchứngminhtrongkhônggianEucledR n m ộ t tậpbấtkỳ đóngvàbịchặnlàtậpcompacttư ơngđối.

Víd ụ 1.11.K h ô n g g i an mêtricC [a,b] khôngl à không g i a n compactv ìd ã y hà

ms ố x n (t)= n trênđoạn[a,b](n=1,2, )k h ô n g c h ứ a d ã y conn à o hộit ụ

1 (∀x∈X)"x"≥0;"x"=0⇔x=θ(kýhiệuphầntửkhônglàθ);2.

(∀x∈ X)(∀α∈ P )"αx"=|α|" x";

3.(∀x,y∈ X) "x+ y"≤"x"+"y".

Nhờnđ nhịnh l ý 1 1 m iọ khôngg i a n đ nhịnh chuẩn,nđềuc ó t h ểm t r ở t h à n h khôngg i

a n mêtricvớimêtricxácđ nhịnh b iở (1.14).Dođóm iọ kháini m,ện m nhện đềđãđúngtrongkhônggianmêtricđềuđúngtrongkhônggianđ nhịnh chu n.ẩn, Dướiđâytachỉnhnêum tội2 vàitrườnnghợpp

"x"= |x j |2 (1.16)

j=1

Từcôngthức"x"=d(x,θ)vàhệtiênđềmêtricsuyracôngthức(1.16)chomộtchu ẩntrênE k KhônggianđịnhchuẩntươngứngkýhiệuE k DễdàngthấyE k l à khôn ggianBanach.

Vídụ1.16.ChokhônggianvectơL [a,b] Đốivớihàmsốbấtkỳx(t)∈L [a,b]

à k h ô n g gianBanach.

1.2.3 Địnhnghĩatoántửtuyếntínhb ị chặn

Địnhnghĩa1.16.C h o h a i k h ô n g g i a n t u y ế n t í n h X v à Y.TrêntrườngP ( Pl

àtrườngsốthựcRhoặcsốphứcC).ÁnhxạAtừkhônggianXvàkhônggianYgọilàtuy ếntínhnếuánhxạAthoảmãncácđiềukiện:

1.(∀x,x , ∈ X) A(x+x , )=Ax+Ax ,;

2.(∀x∈X)(∀α∈P) Aαx= α A x

Tathườnggọiánhxạtuyếntínhlàtoántửtuyếntính.KhitoántửAchỉthoảm ãnđiềukiện1thìAg ọ i làtoántửcộngtính,cònkhitoántửAc h ỉ thoảmãnđi ềukiện2 t h ì Ag ọ i l à toántửt h u ầ n nhất.Khi Y =PthìtoántửtuyếntínhAthư ờnggọilàphiếmhàmtuyếntính.

Địnhnghĩa1.17.C h okhônggianđịnhchuẩnXv à Y.ToántửtuyếntínhA t

ừ k hôn g gianXv à o khônggianYgọilàbịchặn,nếutồntạihằngsốc> 0s

aocho:

"Ax"≤ c "x" ∀x∈X. (1.20)

Địnhnghĩa1.18.C h o A l à toántử tu yến tính b ị chặn từ k h ô n g gian đị nh

chuẩnXv à o khônggianđịnhchuẩnY.Hằngsốc>0nhỏnhấtthoảmãnhệth ức(1.20)gọilàchuẩncủatoántửAvàkýhiệulà"A".

làmộttậphữuhạn.KhiđóTl à mộttôpôtrênD.

Thậtvậy,nếuD1,D2∈ T\{∅}thìX\D1,X\

D2lànhữngt ập hữuh ạ n phầntử,dođóX\(D1∩D2)=(X\D1)∪(X\

D2)cũnglàtậphữuhạnphầntửvậyD1∩D2∈T(cònnếum ộ t tronghaitậpD1

,D2bằng∅thìhiểnnhiênD1∩ D2= ∅∈T ).VậyTthoảmãntínhchấtP2 Bâ ygiờgiảsửD i ∈ T,i∈I,vàcóí t nhấtmộtchỉsối0đểX\

M tội2 đườnngth ngn iẳng ố: hai đi mểm (hai vectơncác)a,btrongRn làt pập h pợp t tất cảic

ácvectơncácx ∈R n cód ng ạy {x∈R n \x=αa+βb,α,β∈R,α+β=1}.

Đo nạy t h n gẳng n iố: ha i đ i mểm a vàb trongR nlàt pập h pợp các vectơncácx cód ngạy

Chứngminh.Đi u ều ki nện đủalàhi nểm nhiêntừđ nhịnh nghĩa.

Tachứngminh đi uki nề ện c nầy b ngằng quyn pạy theo số:đi m.ểm Vớik=2điều

ki nện c nầy chứngminhsuyrangaytừđ nhịnh nghĩa c aủa t pập l iồi, vàt h pổ ợp l i.ồi,Giảisửim nhện đ đúngvề ớ k−1đi m.i ểm Tac nầy ch ngứ minhv iớ kđi m ểm Giảisửixlà

tổh pợp l iồi, c aủa kđi m ểm x1,x2, ,x k ∈

vàđóngvớicácphépgiaophépc ngđ iội2 ạy số:vàphépnhântíchDescartes

Mệnhđ ề 1.2.Nếu A,Bl à cáctậplồitrongR n ,Cl à lồitrongR m thì cáctậ psaulàl ồi:

A∩B:={x\x∈A,x∈B}.

αA+βB:={x\x=αa+βb,a∈A,b∈B,α,β∈R.

A.C:=.x∈R m +n \x=(a,c);a∈A,c∈C

Víd ụ 1.25.Giảs ử X∗l à

k h ô n g g i a n l i ê n h ợ p c ủ a X.H à m t ự a ( s u p port.function)δ (.\A)củatậplồiA⊂X∗là mộthàmlồi:

f(y)™f(x¯)+ε(∀y∈U) khif (x¯)<+∞; (1.23)

f(y)™−N(∀y∈U) khif (x¯)=−∞. (1.24)

Chương2 LÝTHUYẾTĐIỂMBẤTĐỘNG

Nguyênlýánhxạc o Banach:Cho(X,d)làm tội2 khônggianmêtricđ yầy

đủavàTlàm t ội2 ánhxạycotrongX.Khiđó,t nồi, t iạy duynhấttx∗∈XmàT x∗=x∗.Ngo

àira,v iớ m iọ x0∈Xta cóT n x0→x∗khin→∞.

Chứngminh.L y ất x0tuỳýtrongXvàđ t ặc x n+1=T x n v i ới n=0,1,2, D dàngễ kiểm

Chứngminh.Lấtyh ∈ (k,1)vàx0∈Xm t ột cácht u ỳ ý,r i ồi, lấtyx1∈T x0.C ó t h

ểm g i ải t h i tến d (x0,x1)>0 V ì d (x1,T x1)≤ D(T x0,T x1)≤ kd(x0,x1)< hd(x0,x1

)nênt nồi, t iạy x2∈T x1màd (x1,x2)<hd(x0,x1).

Ti pến t cụ quátrìnhtrên,tađượp m tc ội2 dãy{x n}thoảmãn:

x n+1∈T x n ,d (x n ,x n+1)≤h n d(x0,x1),n =0,1,2

Khiđó{x n}làdãyCauchyvàh iội2 tụt iớ đi mểm x∗∈X.

Vớim iỗi ntacód(x n+1,T x∗)≤D(T x n ,T x∗)≤kd(x n ,x∗).

Chon → ∞tađ ượp d (xc ∗,T x∗)= 0 v ì T x∗là

t pập h pợp đóngnênt a c ó

x∗∈

T x∗.

Đ nhịnh lýđượp chứngminh.c

Đi mểm x∗∈T x∗cũngđượp g ic ọ l à đ i mểm b tất đội2ngc aủa á n h x ạy ( đ a t r )ịnh T.

Chúýr ngằng trongtrườnngh pợp nàyđi mểm b tất đ ngội2 cóthểmkhôngduynh t.ất

Ch ngẳng h nạy ,v iớ Tl à ánhxạyh ng,ằng t cứ làTx=Av iớ m iọ xthìm iđi mọ ểm c aủa Ađềul

àđi mểm b tất đ ngc aội2 ủa TvàTl à ánhxạycov i ớ k=0.

2.1.3 Mởrộngnguyênlýánhxạco

Địnhnghĩa2.5.Ánhx ạ T trongk h ô n g g i a n mêtric(X,d)đượcg ọ i l à

(ε,δ)−conếu vớimọiε>0đều tồn tạiδ >0sao

Địnhlý2.2.Ch o (X,d)l à mộtkhônggianmêtricđầyđủvàTlàmộtánhxạ( ε,δ )-

cotrongX.K h i đó, T cóđ i ể m bấtđ ộ n g duynh ất x∗v à vớ i m ọ i x0∈X,t a cóT

n x0→x∗khi n →∞.

Chứngminh.Lấtyx0∈ X t u ỳ ý,đ t ặc x n+1=T x n vàc n = d (x n ,x n+1)v iớ n = 0 ,

1,2 c ót h ểm g i ải t h i t ến c n >0 V ì T làc o y u ến nên{c n}làdãys khôngố: â m v

àg i m ,ải dođóc n →ε≥0.N u ếu ε >0t hì t nồi, t iạy δ > 0đểmc ó ( 2 2 ) Ch n ọ k∈N(

t pập h pợp số:tựnhiên)saochon uến n≥kthìc n < ε+δ.T h e o (2.2)tacóc n+1< εlàđi uề vôlý

Tasẽch ngứ minh{x n}làdãyCauchyb ngph nằng ải ch ngứ Giảisửicóε>0

saochov iớ m iọ k∈Nt nồi, t iạy m,n>kmàd(x n ,x m )≥2ε.Choksaochon uến

Vìd (x n ,x n+1)=c n <

4 ≤

ε ,m t ặt k h á c t a c ó d (x n ,x m )≥ 2εnênt nồi, t iạy

Trongm cụ trướ chúngt a đãđ nhc ịnh nghĩaánhxạyc o yếnunhưánhx thoạy ải m ã

n đi uề ki n(2.3).ện Đ iố: vớil pớ ánhxạynàynguyênlýánhxạycokhôngcònđúngnữa

1

M tội2 ph nải vídụđ nơncác gi nải làX= [1,∞),Tx=x+

xánhxạynàycoy uếnvàkhôngcóđi mểm b tất đ ng ội2

Đi uề ki nện bổsungđ ngi nơncác ải nhấttlàtínhcompactc aủa X.

Vậpyf (x0)= 0vàx0làđ i mểm b tất đ ngc aội2 ủa T.T í n h duynhấttc aủa đ i mểm b tất

đ ngội2 làhi nểm nhiênvìTlàcoy uến Đ nhịnh lýđãđượp ch ngc ứ minh

tuỳývàđ t:ặc

S(x1)={y∈X:x1≤y}

={y∈X:d(x1,y )≤ϕ(x1)−ϕ(y)}

={y∈X:d(x1,y )+ϕ(y)≤ϕ(x1)}.

Vìd(x1,.)liênt cụ vàϕn a ửa liênt cụ dướinênS (x1)đóng

Đ tặc a1=inf{ϕ(y):y∈S(x1)}.Khiđót nt i ồi, ạy x2∈S(x1)mà:

Th tập vậpy,vìv≤ωnênx1≤ω,vậpyω∈S(x1).Vìv≤ωnênx2≤ω,mà

ω∈S(x1)nênω∈S(x2).Cứcti pến t cụ nhưvậpytasẽđượpc:

T∞

ω∈

n=1S(x n )={v},t c ức làω=vvàvlàm tội2 ph nầy tửic cự đ i.ạy

Cu iố: cùngt a chỉnhr a r n gằng v l àđ i mểm b tất đ ngc aội2 ủa T.Theo g i ải t h i t ,ến t a c

ϕ(x ε )−εd(x ε ,y )<ϕ(y).

Chứngminh.Tachứngm i n h b ngph nằng ải chứng.G i ải sửic ó ε >0đ vểm ớim iọ

x ∈Xđ u ều t nồi, t iạy yƒ=xsaochoϕ(x)−εd(x,y)≥ϕ(y).

Đ tặc Tx=y,tanh nập đượp m tc ội2 ánhxạytrongXthoả mãn:

Víd ụ 2.1.KýhiệuBl à hìnhcầuđơnvịđóngtrongC0(khônggiancủacácdãy

số hộ i tụđ ế n 0 với chuẩnsup) mỗix = ( x1,x2, )∈ Bt a đặt Tx=(1,x1,x

2.2.1 VềcấutrúchìnhhọccủakhônggianBanach

Địnhnghĩa2.6.KhônggianBanach(X,".")đượcgọilàlồichặtnếuvới

x+y mọixƒ=ymà"x"≤1,"y"≤1,tacó <1.

2

Điềukiệnnàytươngđươngvới:

Nếu"x+y"="x"+"y"vàyƒ=0thìx=λyvớimộtλ>0nàođó.