Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo giảng dạy chun ngành Tốn Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Đặc biệt, xin cảm ơn TS Khuất Văn Ninh trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu đề tài hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn bạn học viên lớp K11 Tốn Giải tích giúp đỡ có đóng góp quý báu cho luận văn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm mở đầu………………………………… .7 1.1 Không gian metric………………………………………………7 1.1.1 Định nghĩa không gian metric………………………… 1.1.2 Tập mở tập đóng…………………………………… 1.1.3 Ánh xạ liên tục………………………………………… 1.1.4 Không gian metric đầy………………………………… 1.1.5 Nguyên lý Banach ánh xạ co……………………… .9 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn…………………………… 1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp………………………………… 11 1.4 Phương trình loại hai với tốn tử đơn điệu liên tục Lipschit…………………………………………… 13 Chương Phương pháp thác triển theo tham số phương trình loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz…………16 2.1 Sự tồn nghiệm………………………………………………16 2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ……………………………………… 20 Chương Giải phương trình tốn tử loại hai số không gian định 3.1 chuẩn…………………………………………………….25 Sự tồn nghiệm phương trình (3.1) không gian R1 ………………………………………………… 25 3.1.1 Định nghĩa…………………………………………… 25 3.1.2 Sự tồn nghiệm……………………………………….25 3.2 Sự tồn nghiệm phương trình (3.1) khơng gian R2 ………………………………………………….30 3.2.1 Định nghĩa……… ……………………………………30 3.2.2 Sự tồn nghiệm……………………………………….31 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn giải phương trình tốn tử có nhiều nhà khoa học tiếng đề cập đến Phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình tốn tử rộng lớn có hiệu lực thực tiễn mạnh mẽ Trong có nhiều cơng trình nghiên cứu việc tìm nghiệm phương trình tốn tử loại hai đặc biệt phương trình loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz x + Ax = f Trong thực tiễn yếu tố tốn nhiều ngun nhân có tính chất gần có nhiều cơng trình tập trung nghiên cứu phương trình tốn tử theo quan điểm xấp xỉ Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình tốn tử phong phú đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với tốn tử đơn điệu liên tục Lipschitz phương pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp thực thơng qua việc chia nhỏ tốn phức tạp thành tốn đơn giản giải phương pháp ánh xạ co Phương pháp sử dụng q trình lặp thơng qua số hữu hạn bước theo tham số  bước thực nhờ phương pháp ánh xạ co Bởi chọn đề tài “Một số ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình tốn tử” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình tốn tử ứng dụng phương pháp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nói luận văn, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số phương trình loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz Nghiên cứu ứng dụng phương pháp nói để giải phương trình tốn tử loại hai số không gian định chuẩn Phương pháp nghiên cứu Áp dụng phương pháp lặp qua số hữu hạn bước theo tham số  bước thực nhờ phương pháp ánh xạ co để tính nghiệm gần phương trình Giả thuyết khoa học Nghiên cứu ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình tốn tử loại hai số không gian định chuẩn Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Khuất Văn Ninh Tác giả mong luận văn có đóng góp hữu ích việc giải nghiên cứu phương trình tốn tử Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tận tình, chu đáo, thầy giáo TS Khuất Văn Ninh, cảm ơn thầy (cơ) giáo phịng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn bè, đồng nghiệp động viên, khích lệ tạo điều kiện tốt giúp hoàn thành đề tài Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Chương Một số khái niệm mở đầu 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa không gian metric Ta gọi không gian metric tập hợp X ≠  với số ánh xạ d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R thoả mãn tiên đề sau đây: (x, y X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y, ( tiên đề đồng nhất) (x, y  X) d(x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng) (x, y, z X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X, số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x & y Các phần tử X gọi điểm, tiên đề 1, 2, gọi tiên đề metric Không gian metric ký hiệu là: M = (X, d) 1.1.2 Tập mở tập đóng Lân cận Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M = (X, d) Ta gọi lân cận điểm x X khơng gian M hình cầu mở tâm x, bán kính r > Tập mở tập đóng Định nghĩa 1.1.3 Cho khơng gian Metric M = (X, d) tập A X Tập A gọi tập mở không gian M điểm thuộc A điểm A, hay nói cách khác, điểm x  A, tồn lân cận x bao hàm A Tập A gọi tập đóng khơng gian M, điểm khơng thuộc A điểm ngồi A, hay nói cách khác, điểm x A, tồn lân cận x khơng chứa điểm thuộc tập A Định lý 1.1 Trong không gian metric bất kỳ, hình cầu mở tập mở, hình cầu đóng tập đóng 1.1.3 Ánh xạ liên tục Cho hai không gian metric M1 = (X, d1), M2 = (Y , d2), ánh xạ f từ không gian M1 đến không gian M2 Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ f gọi liên tục điểm x0 X nếu: ( > 0) (  > 0) (xX: d1(x, x0 ) <  d2 ( f (x), f ( x0 ) ) < ) Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ f gọi liên tục tập A X, ánh xạ f liên tục điểm xA Khi A = X ánh xạ f gọi liên tục Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f gọi liên tục tập A X nếu: ( > 0) ( > 0) (x, x  A: ' x ) <  , d2 ( f (x), f ( x ) ) < ' ' d1(x, ) 1.1.4 Không gian metric đầy Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn)  X gọi dãy M nếu: * (> 0) ( n0 N ) (m, n ≥ n0) d(xn, xm) <  hay ) 0 lim d (x , x n ,m n m Định nghĩa 1.1.8 Không gian metric M = (X, d) gọi không gian đầy, dãy không gian hội tụ 1.1.5 Nguyên lý Banach ánh xạ co Định nghĩa1.1.9 Cho hai không gian metric M = (X, d 1), M = (Y, d2) Ánh xạ A không gian M1 vào không gian M2 gọi ánh xạ co tồn số , ≤ < cho: d2 (Ax,Ax )  d (x , x ),x , x X ' ' ' Nguyên lý ánh xạ co Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào có điểm bất động x nhất, nghĩa x X thoả mãn hệ thức Ax x Giả sử X không gian metric đủ ánh xạ T: X→X thỏa mãn điều kiện: d(Tx, Ty) ≤ d(x, y) với số < x, y X * * * Khi tồn phần tử x X cho x  Tx ,hơn với x0 X dãy * xn nN xác định xk+1 = Txk, kN, hội tụ đến x , đồng thời ta có ước lượng: * d(x n, x ) ≤  n d (x , x ) 1 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2 Ta gọi khơng gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu đọc chuẩn, thoả mãn tiêu đề sau đây: (x X) x ≥ 0, x = x =  (Kí hiệu phần tử khơng ) (x  X) (   P) x =  x (x, y  X) x y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Kí hiệu khơng gian định chuẩn X Các tiên đề 1, 2, gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x  X, lim n xn x 0 Kí hiệu lim xn x hay xn n x (nœ) Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy nếu: lim xn xm 0 n,m Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Xét phương trình có dạng x + Ax = f (1.2.1) Định lý 1.2 Giả sử X không gian định chuẩn, A toán tử tác dụng từ miền D(A)  X vào X Giả thiết điều sau thực * Phương trình (1.2.1) có nghiệm điểm x miền D(A) Đối với số dương a tùy ý, x, y tùy ý thuộc D(A) ta có bất 2 đẳng thức a(x y) (Ax-Ay) a2 x y  Ax-Ay * A bị chặn địa phương điểm x Khi đó: Nghiệm x * Mặt khác ta có với x, y    ,   f (x)  f ( y  x y  sin x sin y 3 Hàm số f(x) thoả mãn điều kiện liên tục Lipschitz với hệ số L = Phương trình (3.4) viết lại dạng sau x+ 2 sinx = x + sinx + sinx = Ta đặt y = x + sinx = 3 (3.5) (3.6) F1 x Phương trình (3.5) tương đương với phương trình y+ f F 1 y = (3.7) Nghiệm phương trình (3.7) xác định qua cơng thức xấp xỉ phép lặp đơn yn1  1 fF 1 y ,n = 0,1,2,…, n y0 cho tuỳ ý Mỗi lần muốn tìm (3.8)  F1 yn ta cần giải phương trình x+ f(x) = yn Nghiệm xấp xỉ (3.9) tìm phép lặp 1 xm1  f (x m ) yn Dạng tổng quát trình lặp là: 1  f (x m ) xm 1  2 (3.9) f (x k ), Dùng lập trình Pascal, lấy m = 0,1,2,…;k = 0,1,2,… x0 0,1 thực sau 20 phép lặp số k với ước lượng cho trước ta thu kết sau: *Chương trình type mang1=array[0 100]of real; var f:file of string; a:string; x,z:mang1 ; i,k:integer; begin assign(f,'vidu2.txt'); rewrite(f); write('nhapx[0]:'); read(x[0]); z[0]:=x[0]; for k:=0 to 19 begin i:=k-1; repeat i:=i+1; x[i+1]:=(-2/3)*sin(x[i])-(2/3)*sin(z[k]); until (abs(abs(x[i+1])-abs(x[i]))