Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử

-1- Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích, thầy, Phòng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Đặc biệt, xin xin cảm ơn TS Trần Văn Vuông trực tiếp hướng dẫn suốt trình nghiên cứu lựa chọn đề tài hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn bạn học viên lớp K11 Tốn giải tích giúp đỡ có đóng góp quý báu cho luận văn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.3 Tốn tử compak 1.4 Khơng gian Hilbert 1.5 Ngun lý Banach ánh xạ co Chương 2: Một số phương pháp chiếu 2.1 Dạng tổng quát phương pháp chiếu định lý hội tụ 2.2 Phương pháp Ritz 2.3 Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4 Phương pháp đường dốc Chương 3: Một số ứng dụng 3.1 Giải tốn biên tuyến tính phương trình vi phân thường 3.2 Giải phương trình vi phân Eliptic 3.3 Bài tốn tìm giá trị riêng tốn tử tự liên hợp xác định dương 3.4 Giải phương trình vi phân cấp 3.5 Giải phương trình tích phân Fredhom Kết luận Tài liệu tham khảo Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình tốn tử có liên quan lớn đến vấn đề, toán, khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật, sống Đã có nhiều nhà tốn học tiếng đề cập đến phương trình tốn tử có dạng tổng quát Ax = y dạng cụ thể với khía cạnh mn hình, mn vẻ phương trình Rõ ràng, trường hợp đặc biệt phương trình Ax = y xảy A toán tử vi phân thường, toán tử đạo hàm riêng, tốn tử tích phân, tốn tử giả vi phân, siêu giả vi phân … Toán tử A tuyến tính phi tuyến, đơn trị đa trị, tất định ngẫu nhiên A kí hiệu cho tốn tử xác định tốn biến cổ điển khơng cổ điển, với biến trơn không trơn Miền xác định A đa tạp Euclid khơng Euclid Chính vậy, mà phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình tốn tử rộng lớn Hiện nay, vịêc nghiên cứu phương pháp giải gần cách tổng quát nhờ áp dụng kết phương pháp giải tích hàm đem lại nhiều kết quan trọng Trong số phương pháp giải gần phải kể đến loại phương pháp chiếu phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov Galerkin, phương pháp đường dốc Việc nghiên cứu phương trình tốn tử giúp tơi tìm hiểu sâu sắc tốn học đại vơ quan trọng với giáo viên tốn phổ thơng Bởi vậy, chọn đề tài “Một số phương pháp chiếu giải phương trình tốn tử” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov Galerkin, phương pháp đường dốc số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo - Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu ứng dụng Những đóng góp khoa học thực tiễn đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov Galerkin, phương pháp đường dốc số ứng dụng Chương Một số kiến thức 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn Một khơng gian tuyến tính X trường P ( P = P = Ø ) với ánh xạ ||.|| : X  gọi khơng gian định chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1) ( x X ) || x || 0 , || x || 0  x (phần tử không) 2) ( x X ) (  P ) ||x ||  | | || x || 3) ( x, y X ) || x y ||  || x || || y || 1.1.2 Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ x, y X ta đặt d (x, y)  || x y || Khi d metric X Chứng minh Ta chứng minh d : X  X  , d (x, mãn tiên đề không gian metric 1) x, y X , d (x,  || x y || 0 y) y) d (x, y) = || x y || 0  x y   x y (vì X khơng gian tuyến tính) 2) x, y X , d (x, y)  || x y ||  ||( 1) ( y x )||  | 1| || y x ||  || y x ||  d ( y, x)  || x y || thỏa 3) x, y, z X d (x, : y)  || x y ||  z y ||  || x z  || x z || || z y || d (x, z)  d ( y, z) Vậy d (x, metric X y) Ý nghĩa Dựa vào định lý 1.1, khơng gian định chuẩn trở thành khơng gian metric với metric d (x, y)  || x y || Do đó, khái niệm tính chất không gian metric không gian định chuẩn 1.1.3 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.1.3.1 Định nghĩa 1.1.1 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x X , lim || x x || 0 n x Kí hiệu lim x  x hay x  x (khi n ) n n x 1.1.3.2 Tính chất 1) Nếu dãy ( xn ) hội tụ tới x dãy chuẩn (|| xn ||) hội tụ tới || x || 2) Nếu dãy ( xn ) hội tụ không gian định chuẩn X dãy chuẩn tương ứng (|| xn ||) bị chặn 3) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ tới x , dãy điểm (yn) hội tụ tới y không gian định chuẩn X , dãy số (αn) hội tụ tới số α, thì: xn yn x y (n ) 1.1.4 Định nghĩa không gian Banach  n xn x (n ) 1.1.4.1 Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn gọi dãy bản, lim || x - x || = n m n,m 1.1.4.2 Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ 1.2.Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2.1.Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho hai khơng gian tuyến tính X Y trường P (P  P Ø ) Ánh xạ A từ không gian X vào khơng gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thỏa mãn điều kiện : 1) (x, x' X ) ' ' A(x x ) Ax Ax 2) (x X ) (P) Ax Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi tốn tử  thỏa mãn điều kiện 1)  gọi tốn tử cộng tính, tốn tử chỉ thỏa mãn điều kiện 2) gọi tốn tử Khi Y tốn tử tuyến tính P thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Cho hai không gian định chuẩn X, Y Tốn tử tuyến tính  từ khơng gian X vào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C 0 cho: x C x , x X (1.2.1) Định nghĩa 1.2.3 Cho là toán tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.2.1) gọi chuẩn tốn tử A kí hiệu A Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y hai không gian định chuẩn, At , t T  họ tốn tử tuyến tính At : X Y Ta nói họ At , t T liên tục đồng  bậc, với  > có  > với t T 0 : x ≺  ⇒ At   x Một họ liên tục đồng bậc bị chặn đều, theo nghĩa: chuẩn toán tử họ bị chặn số K > : t T K  At 1.2.2 Định lý ba mệnh đề tương đương toán tử tuyến tính liên tục Định lý 1.2.1 Cho A tốn tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn  vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương : 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 thuộc X 3) A bị chặn Chứng minh 1) ⇒ 2) Hiển nhiên Vì A liên tục liên tục điểm x X , tốn tử A liên tục điểm 2) ⇒ 3) x0 X Giả sử toán tử A liên tục điểm x0 tốn tử A khơng X bị chặn Khi ( n Ỉ* ) ( xn X ) || Axn || n || xn || 0 Vì y Đặt  n nghĩa yn  xn n || xn || || y ||  n n 0 ( n ), n ⇒ yn x0 x0 (n ) Theo giả thiết, ta có: || A( yn x0 - A x0 || 0 ⇒ || A y || 0 ( n ) ) n xn , n Ỉ* d ( y, Ax ) Ax y (1 C )d Ax n n  n y,  (2.7) n Chứng minh Bằng phép đổi biến Axn un , phương trình (2.2) viết dạng : Pnun Pn y un AX n (2.8) hạn chế phép chiếu Pn lên không gian Điều kiện đủ Kí hiệu AX n Pn Theo b) n n0 ánh xạ 11 không gian AX n lên toán tử Pn Yn 1 tồn toán tử nghịch đảo giới nội Pn ánh xạ Yn phần tử lên AX n Bởi tồn thỏa mãn phương trình (2.8) un 1 un P Pn y đồng thời 1 x n phần tử thỏa mãn (2.2) A u n (2.6) suy  Từ điều kiện c) suy || Pn || n c , l im 1 c || P P ||   n n n n Với yn ta có AX n  n || Axn y ||( c n Pn y y  P 1 1 hay n  Pn yn yn P n Axn y un y ) c    Pn Pn ( y y n  ( y yn ) 1) || y yn || Suy (2.7) yn vectơ tùy ý thuộc AXn Điều kiện cần Giả thiết với phần tử tùy ý y Y với n n0 xấp xỉ un xác định từ (2.8) || un y || 0 Cần chứng tỏ điều kiện a), b), n  thỏa mãn c) Các điều kiện a), thỏa mãn hiển nhiên Ta cần chứng minh điều kiện b) c) , tức là, ta cần chuẩn 1 P  ) n n n0 ta có n (n n bị chặn theo tập hợp Với 1 un Pn Pn y Bởi vậy, theo giả thiết với phần tử tùy ý y ta có Y Pn 1 Pn y y n   Theo định lý Banach Steinhaus chuẩn || Pn 1P bị chặn theo tập hợp || 1 yn Với Yn || Pn P ||C ' ta có 1 (n n0 ) 1 || Pn y || || P P y || C ' || yn || n n Do 1 || P ||C ' n (n n0 ) n (n n0 ) 2.2 Phương pháp Ritz 2.2.1 Định nghĩa dãy cực tiểu Cho H khơng gian Hilbert thực, A tốn tử tuyến tính xác định khơng gian H A trù mật khắp nơi H Định nghĩa 2.2.1 Toán tử A gọi toán tử đối xứng, (x, y H A ) ( Ax, y) (x, Ay) Toán tử A gọi xác định dương (x  số dương H A )( Ax, x)  || x || , Định nghĩa 2.2.2 Xét phương trình tốn tử Ax  f , f cho trước, H x H A Đặt J (x) ( Ax, x) 2( f , x) Dãy {xn } , (xn H A ) dãy cực tiểu hóa phiếm hàm J (x) lim J (xn ) inf n J (x) xHA 2.2.2 Nội dung phương pháp Cho H khơng gian Hilbert thực, A tốn tử tuyến tính xác định dương đối xứng khơng gian H A trù mật khắp nới H Xét phương trình tốn tử: f, Ax  f (2.2.1) phần tử cho trước x H A H Định lý 2.2.1 Nếu phương trình (2.2.1) có nghiệm x* , giá trị phiếm hàm J (x) ( Ax, x) 2( f , đạt giá trị cực tiểu x) Ngược lại, phần tử x* mà phiếm hàm J đạt giá trị (x) cực tiểu phần tử nghiệm phương trình (2.2.1) Chứng minh Giả sử x* nghiệm phương trình (2.2.1) Lấy phần tử tùy ý J( y) y H A * y x  h Khi Đặt ( Ay, y) 2( f , y) * * * * ( Ax Ah, x h) 2( f , x h) * * * * ( Ax , x ) ( Ax , h) ( Ah, x ) ( Ah, h) 2( f , x ) 2( f , h) * * * *  J (x ) 2( Ax , h) ( Ah, h) 2( f , h)  J (x ) 2( Ax f , h) ( Ah, h)  J (x ) ( Ah, h) * Do J ( y) J (x* ) Điểu có nghĩa x* phiếm hàm J( x ) đạt giá trị cực tiểu Bây giả sử x* H phiếm hàm J( x ) đạt giá trị cực tiểu Lấy A phần tử tùy ý y số tùy ý  H A Khi x* y HA , Ta có J (x* y)  J (x y) J (x ) * * ( A(x y), x y)  * * 2( f , x y) * *  ( Ax , x )  *  J (x y)  * J (x ) 2( Ax , y)  2 ( Ay, * * y) J (x )  2( Ax* f , y)  * 2( Ax f , y)  * 2( f (x ) 2 ( Ay, y) 2 ( Ay, y) * 2( f , y) Cho nên 2 ( Ay, y) 0 2( Ax f , y)  * Từ suy với 0 ( Ay, y) * 2( Ax f , y)  0 với 0 ( Ay, y) * 2( Ax f , y)  0 Chuyển qua giới hạn 0  ta được: 0  ứng với bất đẳng thức , ( Ax* f , y) 0 * ( Ax  f , y) Vậy 0 ( Ax*  f , y) 0 Do y phần tử tùy ý thuộc H A H A trù mật khắp nơi H , * Ax  f , hay x* nghiệm phương trình (2.2.1) Định lý chứng minh Ý nghĩa định lý 2.2.1 Để tìm nghiệm phương trình (2.2.1) ta cần tìm điểm mà phiếm hàm J đạt giá trị cực tiểu (x) Định lý 2.2.2 Giả sử A toán tử đối xứng, xác định dương, phương trình (2.2.1) có nghiệm x* Khi dãy cực tiểu hóa {x } phiếm hàm J (x) n hội tụ đến nghiệm phương trình (2.2.1) Hơn tốc độ hội tụ xác định bất đẳng thức || x * x ||  n   số dương Chứng minh Theo giả thiết ta có * * * J (x ) ( Ax , x ) 2( f , * x ) [J (x ) J (x )] , * n * Ax  f Khi = ( Ax*, x* ) 2( Ax* , = ( Ax* , x* ) , * x ) J (x n) J (x* )  ( Ax , x ) 2( f , x ) ( Ax* , x* ) n n n  ( Ax , x ) 2( Ax*, x ) ( Ax*, x* ) n n n  ( A(x x* ), x ) ( A(x n n  ( A(x x* ), x n * * x ), x ) n x ) * n Theo giả thiết A toán tử xác định dương, ( Ax, x)  || x ||2 x H A , ,  số dương Do vậy, || x * x ||  n * J (x ) J (x  || xn n ) x || * (J (x ) J (x )) * n  Định lý chứng minh Ý nghĩa định lý 2.2.2 Ta lấy nghiệm gần phương trình (2.2.1) phần tử tùy ý xn dãy cực tiểu hóa phiếm hàm J (x) , với n đủ lớn (*) Xây dựng dãy cực tiểu hóa Giả sử {n } dãy phần tử thoả mãn tính chất sau: HA a) Mọi tập hữu hạn dãy tạo nên hệ độc lập tuyến tính; b) Với số c1, c2 , ,   phần tử tùy ý x H A cho có bất đẳng thức cm m m ( A(x ∑ ck k ), x ∑ c k k )  k 1 Với n ta xây phần tử k k 1 tìm số m hệ số thực n xn  ∑  k 1 k k , Phiếm hàm J (xn hàm số biến số thực 1 ,2 , ,n ) J (xn )  n n J (1,2 , , n ∑   ( A i j i ) ,j )  ∑ j ( f , j ) j 1 i, j1 Các số 1 , chọn cho phiếm hàm J (xn điểm , ,n ) đạt giá trị cực tiểu Khi (1,2 , , n phải thỏa mãn điều kiện sau đây: ) J (xn ) j  ( j 1, 2, , n) , n ∑ ) k ( A k , j ( f , j , ( j 1, 2, , n) ) k 1 Đây hệ phương trình đại số tuyến tính đối xứng, định thức hệ khác khơng Vì hệ có nghiệm (* ,*, ,* ) Khi dãy * {x } mà xn*  n n n ∑  * k k dãy cực tiểu hóa k 1 2.3 Phương pháp Bubnov  Galerkin 2.3.1 Nội dung phương pháp Xét phương trình tốn tử Ax  f , (2.3.1) A tốn tử tuyến tính khơng thiết phải xác định dương không gian Hilbert H , f H cho trước Chọn dãy tọa độ {n }, n 1, 2, (khả vi số lần cần thiết) Lập tổ hợp tuyến tính n xn ∑ jj j 1 (2.3.2) Các số chọn cho Axn j trực giao với hàm tọa độ f 1,2 , ,n Phương pháp xây dựng nghiệm gần xn gọi phương pháp Bubnov  Galerkin Từ điều kiện trực giao Axn với hàm i , i 1, 2, , ta hệ n f phương trình đại số tuyến tính để xác định hệ số k : n ∑ k ( Ak , m ( f ,  m ) ; ) m 1, 2, , n (2.3.3) k 1 2.3.2 Sự hội tụ phương pháp Trường hợp toán tử A có dạng A A0 K , A0 toán tử đối xứng xác định dương, K toán tử bị chặn Định lý 2.3.1 Phương pháp Bubnov  Galerkin hội tụ nếu: 1) Phương trình Ax  f có nghiệm nhất; 2) Tốn tử A0 có nghịch 1 đảo hoàn toàn liên tục A0 Chứng minh Ta có phương trình ( A0 K )x  f , hay A1 ( K )x A1 f , A 0 x Tx  f Toán tử T f  0 1 A K chặn  , T A 1K , A f hồn tồn liên tục  A0 hồn tồn liên tục K bị Do đó, phương pháp Bubnov-Galerkin hội tụ Xét không gian Hilbert H phương trình tuyến tính Ax Kx  f , (2.3.4) ... phương pháp giải gần cách tổng quát nhờ áp dụng kết phương pháp giải tích hàm đem lại nhiều kết quan trọng Trong số phương pháp giải gần phải kể đến loại phương pháp chiếu phương pháp Ritz, phương. .. vậy, chọn đề tài Một số phương pháp chiếu giải phương trình tốn tử để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử Đối tượng phạm vi... số phương pháp chiếu 2.1 Dạng tổng quát phương pháp chiếu định lý hội tụ 2.2 Phương pháp Ritz 2.3 Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4 Phương pháp đường dốc Chương 3: Một số ứng dụng 3.1 Giải tốn