Phương pháp chiếu giải phương trình toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN DỰ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ Chun ngành:Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình để tơi hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện Ban Giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp xác đáng thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn động viên, khích lệ gia đình bạn bè suốt trình làm luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Dự LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đạt luận văn trung thực, chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Dự Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề đại số tuyến tính 1.2 Một số vấn đề sai số .9 1.2.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.2.2 Chữ số 1.3 Một số vấn đề giải tích hàm 10 Chương II 2.1 Một số phương pháp chiếu cổ điển 18 Phương pháp Bunov-Galookin 18 2.1.1 19 2.1.2 21 2.1.3 22 2.1.4 23 2.1.5 23 2.2 Phương pháp đường dốc .25 2.2.1 25 2.2.2 25 2.2.3 32 2.2.4 32 2.3 Phương pháp bình phương tối thiểu 33 2.3.1 33 2.3.2 37 2.4 Phương pháp Solokov .37 2.4.1 37 2.4.2 40 2.4.3 41 Chương III 3.1 Phương pháp chiếu khác 42 Phương pháp thay phương trình phương trình gần 43 3.2 Phương pháp thay nhân nhân suy biến để giải phương trình tích phân 50 3.3 Dạng tổng phương pháp chiếu định lý hội tụ 56 3.3.1 56 3.3.2 58 3.3.3 61 3.4 Phương pháp chiếu giải phương trình phi tuyến 63 3.4.1 63 3.4.2 65 3.4.3 66 3.4.4 69 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO .73 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học kỹ thuật nhiều tốn đưa đến giải phương trình tốn tử Phương trình tốn tử mơ tả tương đối đầy đủ trình diễn tự nhiên kỹ thuật Xét phương d y Ax (0.1) Trong A tốn tử từ khơng gian metric X vào khơng gian metric Y Phương trình dạng (0.1) gọi phương trình tốn tử Trong lĩnh vực khác tốn học tốn tử A toán tử vi phân thường, toán tử đạo hàm riêng, tốn tử tích phân… Tốn tử A tốn tử tuyến tính phi tuyến Các phương pháp nghiên cứu để giải phương trình tốn tử dạng (0.1) có nhiều, phong phú, đa dạng ngày phát triển số lượng chất lượng với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử Tuy nhiên nhóm phương pháp chiếu thường sử dụng cải biên nhiều Trong luận văn tác giả đề cập đến số phương pháp chiếu hay gặp giải phương trình tốn tử Mục đích nghiên cứu Nhằm chủ động nâng cao chất lượng việc dạy học toán trường đại học Phương pháp nghiên cứu - Bằng phương pháp giải tích hàm - Bằng phương pháp giải gần giải tích số Một số vấn đề nghiên cứu Một số phương pháp chiếu thường gặp giải phương trình tốn tử Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống số phương pháp giải phương trình toán tử Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề đại số tuyến tính Cho tập hợp X Ta có định nghĩa sau khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Ta nói X xác định cấu trúc tuyến tính với x, y X , với t ¡1 (hoặc t £ ) xác định phép cộng x y X  phép nhân tx X , thỏa mãn tính chất sau : a) x y y x (giao hoán) b) x y z x y z s(tx) (st ) (kết hợp) x ; c) s t x sx tx ; t ( x  y) tx ty d) Tồn phần tử không: x X  Tồn phần tử đối: x (x)   x X f) 1.x x Trong x, y, z phần tử X ; s, t hai số thực (số phức) Khơng gian tuyến tính X , là tập X trang bị cấu trúc tuyến tính  Sau này, khơng sợ nhầm lẫn dùng ký hiệu X để khơng gian tuyến tính X ,  Tập F gọi không gian khơng gian tuyến tính X , X F kín phép cộng phép nhân với đại lượng vô hướng , ¡ (hoặc £ ); x, y F x y F Bao tuyến tính tập hợp X , M  n phần tử có dạng i1 Hệ x i1 i i i i t x , t  x  i ¡ , M, ký hiệu Span( M ) tập hợp  i 1, n  , n N n độc lập tuyến tính từ đẳng thức i n t i suy xi  i1 t1  t n 0 Ngược lại, ta nói hệ i1 x phụ thuộc tuyến tính Khơng gian X i n n chiều, tồn hệ n vector độc lập tuyến tính X , hệ (n 1) vector phụ thuộc tuyến tính Nếu X có vơ hạn vector độc lập tuyến tính ta nói khơng gian X có vơ hạn chiều Ánh xạ A đưa khơng gian tuyến tính X vào khơng gian tuyến tính Y gọi tốn tử tuyến tính với x, y  X , (hoặc £ ), ta có  ¡ A(x y) Ax Ay Ánh xạ f đưa không gian tuyến tính X vào ¡1 gọi phiếm hàm Nếu f ánh xạ tuyến tính đưa X vào ¡1 ta nói f phiếm hàm tuyến tính Tập M X với tập hợp lồi, x, y X , ta có  x, y:tx (1 t) y :t [0,1]M  Trước xét hội tụ phương pháp Galookin có kích động ta xét bổ đề sau tính giả phương trình phi tuyến Bổ đề 3.4.1 Giả sử B tốn tử khơng gian Banach X , khả vi theo Frechet với x0 điểm cố định thuộc X , 0 0 x   , x0  Giả sử tốn tử đạo hàm B 'x0 có nghịch đảo liên tục X với số , q  0 , có bất đẳng thức q 1  sup xx0   B ' x0  B ' x B q ,   (3.50) '  x0      B ' x0    Bx0 1 (3.51) q  , Khi phương trình ta có ước lượng  Bx 0 có nghiệm * * x x x0   x x q    q Chứng minh Nếu toán tử T khả vi điểm đoạn  x1 , x1 hthì T x1 h h sup Tx1 0 1 Giả sử T V  B  W  T x1 h (3.52) V , W tính liên tục tùy ý tồn tử tuyến X ; bất đẳng thức có dạng V B x1 h Bx1  Wh Phương trình Bx 0 h sup V A' x1 h W  0 1 tương đương với phương trình x Ax với (3.53) Ax x0  B 1 Bx Bx Bx B 'x x x 0   '  x0   Ta chứng tỏ A tốn tử co hình cầu x x    (3.54) Thực với x  theo (3.50), (3.51) (3.53) ta có x0  Ax  (1 x   x0 sup x0 q  B ' x0   B ' x0 x x0 B '(x )  1 q q  tức tốn tử A ánh xạ hình cầu x x0  vào Giả sử x1, x2 điểm hình cầu x   Ta có x0 Ax1 Ax2 B ' x0    Bx2 Bx1 B ' x0  x2 x1   , từ theo (3.50) (3.53) ta tìm Ax  Ax x x 2 sup B '  B '  x  x x   01 x B '(x )   q x x ,   tức A toán tử co hình cầu x   Do A có hình x0 cầu nói điểm bất động x* Tất nhiên x* nghiệm phương trình Bx bất đẳng thức 0 hình cầu Từ định nghĩa tốn tử A suy * x x0  A x * x x0   * x    * x x0 q ,  *  x0 q x Các bất đẳng thức cho ta ước lượng (3.52) Bổ đề chứng minh  Bây trở lại xét phương trình (3.48) (3.49) Ký hiệu P P  n  n  I  ý x P x 0 D n  A n Pn x  n với n đủ lớn Định lý 3.4.1 Giả sử tốn tử A D cò n A An - n * x D  Giả sử phương trình (3.48) có nghiệm tốn tử tuyến tính I  * A'  x  n ta có hệ thức  n Pn A khả vi theo Frechet A, có nghịch đảo liên tục X ; * P x  (3.55) * P AP x  * Ax n   n S Px *  PA' Px  0, ' x* n    Px 0, S ' n n n * * A  (3.56) n   A P 0S A n n n (3.57) n Cuối giả thiết với  tùy ý tồn n  0 A' x  A' n P x  n n *   n n ,  x P * x n cho , x    n Khi tìm n0 (3.58)   x0 hình cầu  n  *  xn  P x x x P * x n x  0 Ta có hệ thức sau x0 *   n (3.59) thỏa mãn ước lượng hai phía sau n * C1 Pn Ax  xn  Pn x phư trình (12.49) có nghiệm ơng n0 cho với *  An Pn x  xn  Pn x *  C2 * Pn Ax *  An Pn x ,  C1,C2 0  (3.60) Chứng minh Áp dụng bổ đề 3.4.1 với không gian X , B I  , x P x* n An Điểm * x D A với lân cận Vì P x* x* n *  n nên với n đủ lớn  n n1 Pn x không gian X thuộc n với n  toán tử I  n1 An Vì I  A'  x *  toán tử I P A'  P x * *  D A  với hình cầu x Pn * x với hình cầu X n Như * khả vi hình cầu x * Pn x tồn nghịch đảo từ (3.56) suy với n đủ lớn có nghịch đảo X chuẩn toán tử nghịch  n đảo bị chặn theo tập hợp Từ suy tốn tử I P A'  P x * có nghịch  n đảo Xn chuẩn toán tử nghịch đảo bị chặn theo tập hợp Cũng từ với chuẩn toán tử nghịch đảo bị chặn theo tập hợp: I A' P n n  x  n   n   * 1 (3.61) Từ (3.56) (3.57) suy bị chặn theo tập hợp chuẩn toán tử I  A' P x  * n n P  n * 1  I A' x n  Bởi vậy, với   I ta có ước lượng hai phía   n n1     '  P x 1  I A P x * A' n  n n n n  *  * *  Pn Ax n   An Pn x ' Pn Ax * Vì Ax x * * Pn Ax P *  An Pn x  * n Ax  A x * * (3.62)  An Pn x *  A x * *  Pn APn x  S P x n * n , nên theo (3.56)-(3.58) ta có P Ax A P x n n 0 * Cố định số q 1 * n  đó, đặt  q / xác định theo 0  (3.63) số n0 đạt điều kiện (3.51) bổ đề 3.4.1 với n n Từ bổ đề 3.4.1 suy với * n  phương trình (3.49) có nghiệm x hình cầu x  n n0 Pn 0 x Ước lượng (3.52) viết dạng (3.60) nhờ (3.62), C1  1  , '1  C q q Bất đẳng thức (3.59) rõ ràng thỏa mãn, hội tụ tới vế phải bất đẳng thức thiết lập ((3.55) (3.63)) Như x x* hình cầu n x   không gian X Định lý chứng minh * x   Bây giả sử ta tìm nghiệm xn  xác Xn phương trình (3.49) Hãy xét xem phương trình (3.49) có nghiệm x* hay khơng tìm ước lượng sai số x x* n Định lý 3.4.2 Giả sử A , Pn A điểm xn  n An khả vi theo Frechet lân cận I A'n  có nghịch đảo liên tục X n xn   I A'n      Pn A ' xn  U 'n  n xn  n xn   Giả sử   (3.64)  S 'n xn 1, n (3.65)  giả sử với n  , qn 1 có bất đẳng thức sup q  A'x A' n  xn  x Ax n (3.66) , 'n (3.67)  1  q n  n 'n '  n  Pn A' xn  (3.68)  n  n Khi phương trình (3.48) có nghiệm x* hình cầu x x   n ta có ước lượng sai số sau đây: n q  xn  x  * n , q n n  (3.69) n n   I  A' xn   xn  Axn   xn  ' Axn (3.70) n Chúng minh Từ (3.64), (3.65) suy toán tử I A' có nghịch đảo  X xn   I A' xn      (3.71) n  số xác định từ (3.68) Sau áp dụng bổ đề 3.4.1 với 'n B I  A, x0 xn Từ điều kiện (3.66) (3.67) suy điều kiện (3.50) (3.51) bổ đề Định lý chứng minh KẾT LUẬN Luận văn giúp người đọc hiểu phương pháp chiếu số ứng dụng phương pháp chiếu việc giải tốn Do thời gian có hạn nên luận văn chưa thể trình bày đầy đủ hệ lý thuyết ứng dụng phương pháp chiếu việc giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Vì tác giả luận văn hy vọng luận văn sở quan trọng cho nghiên cứu phương pháp chiếu cho toán TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương, Ya Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học & Kỹ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tưởng (2009), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] R Meise and D Vogt (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford ... toán trường đại học Phương pháp nghiên cứu - Bằng phương pháp giải tích hàm - Bằng phương pháp giải gần giải tích số Một số vấn đề nghiên cứu Một số phương pháp chiếu thường gặp giải phương trình. .. gian metric Y Phương trình dạng (0.1) gọi phương trình toán tử Trong lĩnh vực khác toán học tốn tử A tốn tử vi phân thường, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân… Tốn tử A tốn tử tuyến tính... nghiệm phương trình tích phân n dạng (2.9) với nhân K (x, vế phải y) n fn (x) Như phương pháp B-G để giải phương trình tích phân (2.9) trường hợp riêng phương pháp phép giải gần phương trình