Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử (LV00261)

- 1 - Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, các thầy, cô Phòng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt, tôi xin xin cảm ơn TS Trần Văn Vuông đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu lựa chọn đề tài và hoàn chỉnh đề tài. Xin cảm ơn các bạn học viên lớp K11 Toán giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này. Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả - 2 - Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả - 3 - Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn 1.3. Toán tử compak 1.4. Không gian Hilbert 1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co Chương 2: Một số phương pháp chiếu 2.1. Dạng tổng quát của phương pháp chiếu và định lý về sự hội tụ 2.2. Phương pháp Ritz 2.3. Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4. Phương pháp đường dốc nhất Chương 3: Một số ứng dụng 3.1. Giải bài toán biên tuyến tính đối với phương trình vi phân thường 3.2. Giải phương trình vi phân Eliptic 3.3. Bài toán tìm giá trị riêng của toán tử tự liên hợp xác định dương 3.4. Giải phương trình vi phân cấp 2 3.5. Giải phương trình tích phân Fredhom Kết luận Tài liệu tham khảo - 4 - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình toán tử có liên quan rất lớn đến các vấn đề, các bài toán, trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ thuật, cuộc sống. Đã có rất nhiều nhà toán học nổi tiếng đề cập đến phương trình toán tử có dạng tổng quát Ax = y hoặc những dạng cụ thể với những khía cạnh muôn hình, muôn vẻ của phương trình trên. Rõ ràng, các trường hợp đặc biệt của phương trình Ax = y xảy ra khi A là toán tử vi phân thường, là toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân, là toán tử giả vi phân, siêu giả vi phân … Toán tử A có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến, đơn trị hoặc đa trị, tất định hoặc ngẫu nhiên. A cũng có thể kí hiệu cho toán tử được xác định bởi các bài toán biến cổ điển hoặc không cổ điển, với biến trơn hoặc không trơn. Miền xác định của A có thể là các đa tạp Euclid hoặc không Euclid. Chính vì vậy, mà phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Hiện nay, vịêc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng một cách tổng quát nhờ áp dụng các kết quả của phương pháp giải tích hàm đã đem lại nhiều kết quả quan trọng. Trong số những phương pháp giải gần đúng phải kể đến các loại phương pháp chiếu như phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất. Việc nghiên cứu phương trình toán tử sẽ giúp tôi tìm hiểu sâu sắc hơn toán học hiện đại và nó sẽ vô cùng quan trọng với một giáo viên toán phổ thông. - 5 - Bởi vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài này tập trung nghiên cứu các phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất và một số ứng dụng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo. - Tổng hợp kiến thức và vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó. 5. Những đóng góp mới về khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài này tập trung nghiên cứu các phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất và một số ứng dụng. - 6 - Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1. Định nghĩa không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính X trên trường P ( P =  hoặc P =  ) cùng với một ánh xạ ||.|| : X →  gọi là một không gian định chuẩn, nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: 1) ( x ∀ ∈ X ) || x || ≥ 0 , || x || = 0 ⇔ x = θ (phần tử không). 2) ( x ∀ ∈ X ) ( α ∀ ∈ P ) || x α || = | α | || x ||. 3) ( , x y ∀ ∈ X ) || x y + || ≤ || x || + || y ||. 1.1.2. Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kì , x y ∈ X ta đặt ( , ) d x y = || x y − ||. Khi đó d là một metric trên X . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh d : X × X →  , ( , ) d x y = || x y − || thỏa mãn các tiên đề của không gian metric. 1) , x y ∀ ∈ X , ( , ) d x y = || x y − || ≥ 0 . ( , ) d x y = 0 ⇔ || x y − || = 0 ⇔ x y − = θ ⇔ x y = (vì X là không gian tuyến tính). 2) , x y ∀ ∈ X , ( , ) d x y = || x y − || = ||( − 1) ( y x − )|| = | − 1| || y x − || = || y x − || = ( , ) d y x . - 7 - 3) , , x y z ∀ ∈ X : ( , ) d x y = || x y − || = || x z − + z y − || ≤ || x z − || + || z y − || = ( , ) d x z + ( , ) d y z . Vậy ( , ) d x y là một metric trên X . Ý nghĩa. Dựa vào định lý 1.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric ( , ) d x y = || x y − ||. Do đó, mọi khái niệm và tính chất đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. 1.1.3. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 1.1.3.1. Định nghĩa 1.1.1 Dãy điểm ( n x ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X , nếu lim x →∞ || n x − x || = 0 . Kí hiệu lim x →∞ n x = x hay n x → x (khi n → ∞ ). 1.1.3.2. Tính chất 1) Nếu dãy ( n x ) hội tụ tới x thì dãy chuẩn (|| n x ||) hội tụ tới || x ||. 2) Nếu dãy ( n x ) hội tụ trong không gian định chuẩn X thì dãy chuẩn tương ứng (|| n x ||) bị chặn. 3) Nếu dãy điểm ( n x ) hội tụ tới x , dãy điểm (y n ) hội tụ tới y trong không gian định chuẩn X , dãy số (α n ) hội tụ tới số α, thì: n n x y x y + → + ( ) n → ∞ và n n x x α α → ( ) n → ∞ . 1.1.4. Định nghĩa không gian Banach - 8 - 1.1.4.1. Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm ( n x ) trong không gian định chuẩn gọi là dãy cơ bản, nếu , lim n m →∞ || n x - m x || = 0. 1.1.4.2. Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 1.2.Toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.1.Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2.1. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P =  hoặc =  P ). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện : 1) ' ' ' ( , ) ( ) . ∀ ∈ + = + x x X A x x Ax Ax 2) ( )( ) . ∀ ∈ ∀ ∈ = x X P A x Ax α α α Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử Α chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì Α gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử Α chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì Α gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y P = thì toán tử tuyến tính Α thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.2.2. Cho hai không gian định chuẩn , . X Y Toán tử tuyến tính Α từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số 0 C > sao cho: , x C x x X Α ≤ ∀ ∈ (1.2.1). Định nghĩa 1.2.3. Cho Α là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A . - 9 - Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, { } , t A t T ∈ là một họ các toán tử tuyến tính : t A X Y → . Ta nói rằng họ { } , t A t T ∈ liên tục đồng bậc, nếu với mọi 0 ε  đều có 0 δ  để cho với mọi t T ∈ : ( ) t x A x δ ε ⇒ ≤ ≺ . Một họ liên tục đồng bậc thì sẽ bị chặn đều, theo nghĩa: chuẩn của mọi toán tử trong họ cùng bị chặn bởi một hằng số ( ) 0 : t K t T A K ∀ ∈ ≤  . 1.2.2. Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục Định lý 1.2.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn Χ vào không gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương : 1) A liên tục. 2) A liên tục tại điểm 0 x nào đó thuộc X . 3) A bị chặn. Chứng minh. 1) 2) ⇒ Hiển nhiên. Vì nếu A liên tục thì nó liên tục tại mỗi điểm x X ∈ , do đó toán tử A liên tục tại điểm 0 x X ∈ . 2) 3) ⇒ Giả sử toán tử A liên tục tại điểm 0 x X ∈ nhưng toán tử A không bị chặn. Khi đó ( n ∀ ∈ *  ) ( n x X ∃ ∈ ) || n Ax || > n || n x || ≥ 0. Vì vậy n x θ ≠ , n ∀ ∈ *  . Đặt n y = || || n n x n x thì || n y || = 1 n → 0 ( n → ∞ ), nghĩa là y n θ → khi n → ∞ 0 0 ( ) ⇒ + → → ∞ n y x x n . Theo giả thiết, ta có: || 0 ( ) n A y x + - A 0 x || → 0 ⇒ || n A y || → 0 ( n → ∞ ). Nhưng || n Ay || ( ) || || n n x A n x = || 1 || || n n x = || n Ax || >1, n ∀ ∈ *  . - 10 - Điều này mâu thuẫn với || n A y || → 0 ( n → ∞ ). Vì vậy nếu toán tử A liên tục tại điểm 0 x X ∈ thì nó bị chặn. 3) 1) ⇒ Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa, 0 C ∃ > : || || || ||, Ax C x x X ≤ ∀ ∈ . (1.2.2) Lấy một điểm bất kỳ x X ∈ và dãy điểm tùy ý ( ) n x X ⊂ hội tụ tới x . Nhờ hệ thức (1.2.2) || || || ( ) || || || 0 ( ) − = − ≤ − → → ∞ n n n Ax Ax A x x C x x n . Do đó A liên tục tại điểm x . Suy ra A liên tục. 1.2.3. Định lý Banach – Steinhaus Nếu X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn, thì mọi họ toán tử tuyến tính liên tục { } : t t T A X Y ∈ → mà bị chặn tại mỗi điểm thì sẽ bị chặn đều và do đó sẽ liên tục đồng bậc. 1.2.4. Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu ( , ) L X Y là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Ta đưa vào ( , ) L X Y hai phép toán: Tổng của hai toán tử , A B ∈ ( , ) L X Y là toán tử, kí hiệu A B + , xác định bằng hệ thức: ( )( ) + = + A B x Ax Bx , x X ∀ ∈ . Tích của vô hướng P α ∈ với toán tử ( , ) ∈ A L X Y là toán tử, kí hiệu A α , xác định bằng hệ thức: ( )( ) A x α = ( ) Ax α . [...]... R ( A) ⊂ Y (n = 1, 2, ) Xét các toán t Pn chi u Y → Yn : Pn2 = Pn , PnY = Yn Xét h phương trình g n úng: Pn ( Axn − y ) = 0 ( xn ∈ X n ) (2.2) Phương pháp tìm nghi m g n úng c a phương trình (2.1) nh (2.2) ư c g i là phương pháp chi u Trong trư ng h p X = Y và X n = Yn phương pháp trên ư c g i là phương pháp Galerkin Có nhi u cách xây d ng các không gian con X n , Yn Dư i ây là mô t m t cách thư... cách gi i g n úng như v y tương ương v i vi c s d ng h phương trình (2.2) trong ó X n và Yn là bao tuy n tính tương ng c a các h n n vectơ {ϕi }1 và {ψ i}1 , còn Pn là toán t chi u vuông góc lên Yn Phương pháp v a nêu ư c g i là phương pháp Galerkin − Perov N u X =Y là không gian Hilbert và ϕ i = ψ i thì phương pháp Galerkin − Perov tr thành phương pháp Bubnov − Galerkin Xét cơ s {ei }i∞=1 c a không... , ϕn Phương pháp xây d ng nghi m g n úng xn như v y ư c g i là phương pháp Bubnov − Galerkin T i u ki n tr c giao c a Axn − f v i các hàm ϕi , i = 1, 2, , n ta ư c h phương trình i s tuy n tính n ∑α k xác nh các h s α k : ( Aϕk , ϕm ) = ( f , ϕm ) ; m = 1, 2, , n (2.3.3) k =1 2.3.2 S h i t c a phương pháp Trư ng h p toán t A có d ng A = A0 + K , trong ó A0 là toán t i x ng xác nh dương, K là toán. .. = ( f , ϕ j ) , ( j = 1, 2, , n) k =1 ây là m t h phương trình này khác không Vì v y h i s tuy n tính i x ng, nh th c c a h * * * ó có nghi m duy nh t (α1* , α 2 , , α n ) Khi ó dãy {xn } n * mà xn = ∑ α k*ϕk là dãy c c ti u hóa k =1 2.3 Phương pháp Bubnov − Galerkin 2.3.1 N i dung phương pháp Xét phương trình toán t Ax = f , (2.3.1) trong ó A là toán t tuy n tính không nh t thi t ph i xác nh dương... H 1.4.4 Toán t i x ng, giá tr riêng, véc tơ riêng Cho A là toán t tuy n tính liên t c trong không gian Hilbert X Ta có ( Ax,y ) là m t phi m hàm song tuy n tính liên t c, cho nên có m t toán t liên t c duy nh t A* cho: (Ax,y) = (x,A*y) Toán t A* g i là toán t liên h p c a A N u A* = A thì A g i là toán t t liên h p hay toán t i x ng Ta nói m t s λ là giá tr riêng c a toán t A, n u phương trình Ax... toán t b ch n nh lý 2.3.1 Phương pháp Bubnov − Galerkin h i t n u: 1) Phương trình Ax = f có nghi m duy nh t; 2) Toán t A0 có ngh ch o A0−1 hoàn toàn liên t c Ch ng minh Ta có phương trình ( A0 + K ) x = f , hay A0−1 ( A0 + K ) x = A0−1 f , x + Tx = f , trong ó T = A0−1 K , f = A0−1 f Toán t T = A0−1 K hoàn toàn liên t c vì A0−1 hoàn toàn liên t c còn K b ch n Do ó, phương pháp Bubnov-Galerkin h i... nên Ax* = f , hay x* là nghi m c a phương trình (2.2.1) nh lý ư c ch ng minh Ý nghĩa c a nh lý 2.2.1 tìm nghi m c a phương trình (2.2.1) ta ch c n tìm i m mà t i ó phi m hàm J ( x) t giá tr c c ti u nh lý 2.2.2 Gi s A là toán t i x ng, xác nh dương, phương trình (2.2.1) có nghi m x* Khi ó m i dãy c c ti u hóa {xn } c a phi m hàm J ( x) h it n nghi m c a phương trình (2.2.1) Hơn n a t c b ib t h... không gian Banach 1.3 Toán t compact 1.3.1 nh nghĩa toán t compact nh nghĩa 1.3.1 Toán t tuy n tính A ánh x không gian vào không gian nh chu n X nh chu n Y g i là toán t compact, n u toán t A ánh x t p b ch n b t kỳ trong không gian X thành t p compact tương i trong không gian Y Toán t compact còn g i là toán t hoàn toàn liên t c 1.3.2 Tính ch t c a toán t compact nh lý 1.3.1 Cho A là toán t tuy n tính... phương pháp chi u 2.1 D ng t ng quát c a phương pháp chi u và nh lý v s h i t 2.1.1 Gi s X , Y là hai không gian Banach Xét phương trình Ax = y , trong ó A là toán t tuy n tính v i mi n xác (2.1) nh D( A) ⊂ X và mi n giá tr R ( A) ⊂ Y Cho hai dãy không gian con { X n } và {Yn } , sao cho: X n ⊂ D ( A) ⊂ X ; Yn ⊂ R ( A) ⊂ Y (n = 1, 2, ) Xét các toán t Pn chi u Y → Yn : Pn2 = Pn , PnY = Yn Xét h phương. .. 2.2 Phương pháp Ritz 2.2.1 nh nghĩa dãy c c ti u Cho H là m t không gian Hilbert th c, A là toán t tuy n tính xác nh trên m t không gian con H A trù m t kh p nơi trong H nh nghĩa 2.2.1 Toán t A ư c g i là toán t i x ng, n u (∀x, y ∈ H A ) ( Ax, y ) = ( x, Ay ) Toán t A ư c g i là xác nh dương n u (∀x ∈ H A )( Ax, x) ≥ γ || x ||2 , trong ó γ là m t h ng s dương nh nghĩa 2.2.2 Xét phương trình toán . Trong số những phương pháp giải gần đúng phải kể đến các loại phương pháp chiếu như phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất. Việc nghiên cứu phương trình toán. Chương 2: Một số phương pháp chiếu 2.1. Dạng tổng quát của phương pháp chiếu và định lý về sự hội tụ 2.2. Phương pháp Ritz 2.3. Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4. Phương pháp đường. phương pháp chiếu giải phương trình toán tử để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử. 3. Đối tượng và phạm vi