Một số phương pháp giải phương trình toán tử (LV00259)

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . 8 1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . . . . . . 10 1.2.1. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . . . . . 14 1.3.1. Đạo hàm Fréchet trong không gian định chuẩn . . 14 1.3.2. Đạo hàm Gateaux trong không gian định chuẩn . . 15 1.3.3. Một số tính chất cơ bản của phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình toán tử 21 2.1. Phương pháp Ritz giải phương trình tuyến tính . . . . . . 21 2.2. Phương pháp Newton – Kantorovich . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1. Nội dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2. Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3. Một số ứng dụng 32 3.1. Các ứng dụng của phương pháp Ritz . . . . . . . . . . . . 32 4 3.1.1. Giải bài toán biên tuyến tính đối với phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2. Giải bài toán biên đối với phương trình vi phân elliptic 35 3.1.3. Tìm giá trị riêng của toán tử tự liên hợp xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Các ứng dụng của phương pháp Newton – Kantorovich . . 41 3.2.1. Giải phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.2. Giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề, bài toán trong khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật, cuộc sống có thể dẫn đến việc nghiên cứu phương trình có dạng Ax = y, (1) trong đó A là một toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y . Phương trình có dạng (1) được gọi là “phương trình toán tử ”. Đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến phương trình toán tử dưới dạng tổng quát (1) như: Brezis H.R., Browder F.E., Nirenberg L., . hoặc những dạng đặc biệt, cụ thể khi A là toán tử vi phân thường, là toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân như Lions J.L., . Toán tử A có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến tính, đơn trị hoặc đa trị. Miền xác định của A có thể là các đa tạp Euclid hoặc không Euclid,. Chính vì vậy mà phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng dụng này càng rộng rãi và càng có hiệu lực trước sự phát triển nhanh chóng của máy tính điện tử với sự phát triển mạnh mẽ các công trình nghiên cứu xấp xỉ các phương trình dạng (1). Có rất nhiều phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình dạng (1) dưới dạng tổng quát hoặc khi A là các toán tử đặc biệt. Tuy nhiên, các phương pháp thường được sử dụng hoặc được cải biên, phát triển thêm là phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp điều chỉnh (tham biến bé), phương pháp phần tử hữu hạn mà tổng quát hơn là phương pháp chiếu, phương pháp Newton, . Chính vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giải phương trình toán tử” làm đề tài luận văn của mình. 6 2. Mục đích nghiên cứu Nhận được một số phương pháp giải xấp xỉ “phương trình toán tử ” tuyến tính, phi tuyến tính và ứng dụng của chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp giải gần đúng phương trình toán tử và ứng dụng của chúng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp Ritz (phương pháp biến phân), Phương pháp Newton – Kantorovich và một số ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu tham khảo để tổng hợp nội dung các vấn đề nghiên cứu. 6. Những đóng góp mới của đề tài Đưa ra một số ví dụ cụ thể cho các ứng dụng của phương pháp Newton - Kantorovich. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian định chuẩn 1.1.1. Khái niệm không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một toán tử từ X vào tập hợp số thực R, ký hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau 1. (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; 2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x (tính thuần nhất của chuẩn); 3. (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác). Số ||x|| gọi là chuẩn của phần tử x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3), gọi là hệ tiên đề chuẩn. Ví dụ 1.1. Các không gian tuyến tính R k , C [a,b] , C L [a,b] đều là không gian định chuẩn, với các chuẩn như sau: R k : x =     k  i=1 ξ 2 i , C [a,b] : x = max a≤t≤b |x(t)|, C L [a,b] : x = b  a |x(t)|dt. Ví dụ 1.2. Không gian D k [a,b] , gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp k, cũng là không gian định chuẩn: các phép toán tuyến tính như trong C [a,b] , còn chuẩn được xác định bởi x = max a≤t≤b  |x(t)|, |x  (t)|, , ,    x (k) (t)     . 8 ( x (i) (t) là đạo hàm cấp i của x(t)). 1.1.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Vì không gian định chuẩn là trường hợp riêng của không gian metric nên tất cả các sự kiện đã chứng minh cho không gian metric đều đúng cho không gian định chuẩn. Nhưng vì tầm quan trọng của không gian định chuẩn nên cần nhắc lại một số sự kiện ấy và phát biểu theo chuẩn (thay cho metric). 1) x n → x 0 (dãy x n hội tụ tới x 0 khi n → ∞) có nghĩa là x n − x 0  → 0 khi n → ∞, vì ρ(x n , x 0 ) ở đây là x n − x 0 . 2) Nếu x n → x 0 khi n → ∞ thì x n  → x 0 , n → ∞ nói cách khác đi chuẩn ||x|| là một hàm số liên tục của x. Để chứng minh điều này, trước hết ta chú ý rằng ∀x, y ta có |x − y| ≤ x − y. (1.1) Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác x ≤ x + x −y, hay x−y ≤ x − y, và thay đổi vai trò của x và y ta lại có y −x ≤ y −x, từ đó suy ra (1.1). Áp dụng công thức (1.1), ta có |x n  − x 0 | ≤ x n − x 0 . Vậy nếu x n − x 0  → 0 thì càng phải có |x n  − x 0 | → 0, chính là điều đã khẳng định. 3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là nếu x n là dãy hội tụ thì (∃K) (∀n) x n  ≤ K. Thậy vậy, giả sử x n −x 0 → 0, n → ∞. Theo trên x n  → x 0 , n → ∞ cho nên (∃n 0 ) (∀n ≥ n 0 ) x n  ≤ x 0  + 1. Đặt K là số lớn nhất trong các số x 1 , x 2 , , , x n +1, thì rõ ràng (∀n) x n  ≤ K. 4) Nếu x n → x 0 , y n → y 0 thì x n + y n → x 0 + y 0 , nếu x n → x 0 , α n → α 0 thì α n x n → α 0 x 0 . Nói cách khác, các phép toán x + y, αx là liên tục. 9 Thật vậy, (x n + y n ) − (x 0 + y 0 ) ≤ x n − x 0  + y n − y 0  → 0, α n x n − α 0 x 0  = (α n x n − α n x 0 ) + (α n x 0 − α 0 x 0 ) ≤ |α n |. x n − x 0  + |α n − α 0 |. x 0  → 0. 5) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {x n } ⊂ X sao cho lim m,n→∞ x n − x m  = 0. Nếu trong không gian định chuẩn X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là x n − x m  → 0 kéo theo sự tồn tại một x 0 ∈ X, thì không gian ấy được gọi là đủ (theo định nghĩa trước đây về không gian metric đủ). Vì người đầu tiên xây dựng lý thuyết không gian định chuẩn là Banach (nhà toán học Ba Lan) đã chú trọng nhiều nhất các không gian đủ nên người ta thường gọi các không gian định chuẩn đủ là không gian Banach. Một không gian định chuẩn X không đủ bao giờ cũng có thể bổ sung (thêm những phần tử mới) thành một không gian Banach. Muốn như thế người ta xem nó là một không gian metric không đủ để bổ sung nó thành một không gian metric đủ ˆ X,sau đó các phép toán đại số và chuẩn được mở rộng cho các phần tử mới để biến ˆ X thành không gian định chuẩn đủ. Ta không đi sâu vào vấn đề này. 6) Một điều mới trong không gian định chuẩn so với không gian metric và các không gian tuyến tính, là trong không gian định chuẩn ta có thể xét các chuỗi vô tận x 1 + x 2 + ··· + x n + ··· (1.2) Chuỗi này gọi là hội tụ nếu các tổng bộ phận s n = x 1 + x 2 + ···+ x n của nó lập thành một dãy hội tụ. Trong trường hợp đó giới hạn của s n sẽ là gọi là tổng của chuỗi (1.2). Chuỗi (1.2) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số x 1  + x 2  + ··· + x n  + ··· hội tụ. Đáng chú ý là: 10 Trong không gian Banach, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và ta có ước lượng     ∞  k=1 x k     ≤ ∞  k=1 x k . Thật vậy, với n > m ta có s n − s m  = x n+1 + + x m  ≤ x n+1  + + x m , cho nên nếu chuỗi x 1  + x 2  + ···+ x n  + ··· hội tụ thì dãy s n là dãy cơ bản và vì không gian đủ nên s n phải có giới hạn, nghĩa là chuỗi (1.2) hội tụ. Ta có (∀n) s n  =      n  k=1 x k      ≤ n  k=1 x k . Cho qua giới hạn n → ∞ trong biểu thức trên ta được ước lượng nói trên. 1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. 1.2.1. Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.2. Một toán tử A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu 1. A(x 1 + x 2 ) = A(x 1 ) + A(x 2 ), (∀x 1 , x 2 ∈ X) ; 2. A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ P ) . Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong toán tử A. Dĩ nhiên hai điều kiện 1) và 2) tương đương với A(α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n ) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 + + α k Ax k , (∀x 1 , x 2 , , x k ∈ X, ∀α 1 , α 2 , , α k ∈ P ) . Nếu X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X. Ta ký hiệu ImA là miền giá trị (hay phạm vi) của toán tử A, tức là tập tất cả các y ∈ Y sao cho y = Ax, ∀x ∈ X nào đó. Rõ ràng nếu y 1 , y 2 ∈ ImA thì α 1 y 1 + α 2 y 2 ∈ ImA, ∀α 1 , α 2 ∈ P nên ImA bao giờ cũng là một không gian con của Y . [...]... 1.8 Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong không gian Hilbert H nếu (Ax, x) ≥ 0, ∀x ∈ H Định nghĩa 1.9 Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho (Ax, x) ≥ γ x 2 , ∀x ∈ H Dễ thấy, nếu A là toán tử tuyến tính xác định dương thì A là toán tử tuyến tính dương Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình toán tử 2.1 Phương pháp Ritz giải phương trình. .. trong đó K(t, s) là một hàm số liên tục của t và s trong hình vuông a ≤ t, s ≤ b Toán tử này gọi là một toán tử tích phân với hạch là K(t, s) 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên tục Định nghĩa 1.3 Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu xn → x0 (n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0 (n → ∞) 12 Một toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục Thật vậy, như trên đã thấy, một toán tử như thế có dạng (1.3)... A = H A : HA → H là toán tử tuyến tính Xét phương trình toán tử Ax = f, f ∈ H, (2.1) trong đó f ∈ H là phần tử cho trước, x ∈ HA là phần tử cần tìm Phương pháp Ritz dựa vào định lý sau: Định lý 2.1 Giả sử toán tử A dương và đối xứng Khi đó: Nếu phương trình (2.1) có nghiệm x∗ , thì tại đó giá trị phiếm hàm J(x) = (Ax, x) − 2(f, x), đạt giá trị cực tiểu Ngược lại, nếu tại một phần tử nào đó x∗ mà phiếm... kỳ thì toán tử tuyến tính không nhất thiết liên tục Ở đây điều kiện liên tục tương đương với tính bị chặn định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.4 Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K để cho (∀x ∈ X) Ax ≤ K x (1.4) Định lý 1.1 Một toán tử A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn Chứng minh Giả sử toán tử A liên tục Ta chứng minh rằng trước hết phải có một hằng số K để... n n n ∗ αk ϕk k=1 là dãy cực tiểu hoá 2.2 Phương pháp Newton – Kantorovich 2.2.1 Nội dung phương pháp Xét phương trình A(x) = 0, (2.7) trong đó A là toán tử phi tuyến, ánh xạ không gian Banach X vào không gian Banach Y Giả sử toán tử A khả vi (theo nghĩa Fréchet) trong một hình cầu tâm x0 bán kính r : S(x0 , r) Lấy x0 làm nghiệm gần đúng ban đầu của phương trình (2.7) sao cho A(x) = 0 ⇔ A(x0 ) − A(x∗... tới một điểm x ∈ S(x0 ; r0 ) nào đó Qua giới hạn trong bất đẳng thức (2.24) ta nhận được A(x∗ ) = 0 Từ cách chứng minh định lý ta suy ra ước lượng đánh giá sai số x − x∗ rn , (n = 1, 2, ) Ngoài hai định lý trên, ta còn có một phương pháp để giải phương trình toán tử dựa vào định lý sau: Định lý 2.5 Giả sử toán tử f hai lần khả vi, liên tục trong S và các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1 Tồn tại toán. .. n+1 (2.25) 1 , (h < ) 2 (2.26) Chương 3 Một số ứng dụng 3.1 Các ứng dụng của phương pháp Ritz 3.1.1 Giải bài toán biên tuyến tính đối với phương trình vi phân thường Xét bài toán biên x = q(t)x + f (t) x(0) = x(T ) = 0 (3.1) trong đó q(t) ≥ q0 > 0, f (t) (0 ≤ t ≤ T ) là những hàm số liên tục Đặt H = L2 [0, T ] và Ax ≡ −x + qx Kí hiệu HA là tập hợp những hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục và thoả mãn... (đạo hàm Gateaux) của toán tử f tại x0 1.3.3 Một số tính chất cơ bản của phép tính vi phân trong không gian định chuẩn Định lý 1.3 (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Đạo hàm của một toán tử (nếu có) là duy nhất 16 Chứng minh Thật vậy, nếu có hai toán tử tuyến tính liên tục A, B cùng là đạo hàm của f tại x, thì khi h → θ A(h) − B(h) rB (h) − rA (h) = → 0 h h Nhưng với mọi phần tử k ∈ X và mọi ε > 0... bởi công thức đơn giản hơn −1 xn+1 = xn − [A (x0 )] A(xn ), n = 0, 1, 2, (2.14) Phương pháp xây dựng dãy {xn } như trên được gọi là phương pháp Newton – Kantorovich cải biên 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp Trước tiên ta xét định lý về sự hội tụ cho phương pháp Newton – Kantorovich cải biên 27 Định lý 2.3 Giả sử toán tử A khả vi (theo Fréchet) trong hình cầu S(x0 , r) và đạo hàm A thỏa mãn điều kiện... hàm số liên tục Khi đó {x∗ (t)} , với n n x∗ (t) n ∗ αk ϕk (t), = k=1 hội tụ đến nghiệm của bài toán (3.1) 3.1.2 Giải bài toán biên đối với phương trình vi phân elliptic Ký hiệu G là miền bị chặn của mặt phẳng và Γ là biên trơn từng khúc của G Xét bài toán biên đối với phương trình vi phân elliptic 2 2 − ∂ u − ∂ u + qu = f ∂x2 ∂y 2 , u|Γ = 0 (3.3) trong đó q(x; y) ≥ q0 > 0 và f (x, y) là những hàm số . tài nghiên cứu Một số phương pháp giải phương trình toán tử làm đề tài luận văn của mình. 6 2. Mục đích nghiên cứu Nhận được một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình toán tử ” tuyến tính,. một số phương pháp giải gần đúng phương trình toán tử và ứng dụng của chúng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp Ritz (phương pháp biến phân), Phương pháp Newton – Kantorovich và một. . . . . . . . . . 20 Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình toán tử 21 2.1. Phương pháp Ritz giải phương trình tuyến tính . . . . . . 21 2.2. Phương pháp Newton – Kantorovich . . . . .