Lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử và một số ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN THƯỜNG LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Mã số: Tốn Giải Tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN KHẢI HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hồn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải, người ln quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Hưng Yên, Trường THPT Yên Mỹ, gia đình, bạn bè học… tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Thường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học tham khảo tài liệu, đặc biệt tài liệu “ Phương trình sai phân số ứng dụng” nhóm tác giả Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Thường MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………… Mở đầu…………………………………………………………………… Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach………………………………………………… 1.2 Phương trình vi phân cấp 2………………………………………… 14 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2…………………………… 16 1.4 Phương trình sai phân…………………………………………… 27 1.5 Giới thiệu phần mềm Maple………………………………… 33 1.6 Các lệnh lập trình bản…………………………………………… 38 Chương LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ 43 2.1 Một số khái niệm bản…………………………………………… 43 2.2 Sự hội tụ lược đồ xấp xỉ……………………………………… 50 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 58 3.1 Sự hội tụ lược đồ sai phân toán biên phương trình vi phân cấp 2………………………………………………………………… 58 3.2 Ứng dụng phần mềm Maple vào giải toán biên phương trình vi phân cấp 2………………………………………………………………… 61 Kết luận …………………………………………………… 72 Tài liệu tham khảo………………………………………… 73 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp sai phân phương pháp toán học, nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Bản chất phương pháp đưa toán cần nghiên cứu ( thường phức tạp) dãy toán rời rạc ( thường đơn giản hơn) Trong q trình sai phân hố (rời rạc hoá) toán liên tục, số vấn đề nảy sinh có ý nghĩa sâu sắc: điều kiện xấp xỉ, điều kiện ổn định khái niệm hội tụ Với mong muốn tìm hiểu chất phương pháp sai phân bước đầu nghiên cứu số ứng dụng phương pháp này, mạnh dạn nhận nghiên cứu luận văn tốt nghiệp “ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” Mục đích nghiên cứu Hệ thống hố số vấn đề xấp xỉ phương trình tốn tử Nêu số ứng dụng với phần mềm chạy Maple Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử, điều kiện đủ để bảo đảm cho lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử hội tụ toán ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp sai phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương pháp giải tích hàm phương pháp sai phân 6 Dự kiến đóng góp Nêu ứng dụng xấp xỉ phương trình tốn tử phần mềm Maple tốn biên phương trình vi phân cấp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.1.1 không gian Banach Định nghĩa 1.1 Xét tập hợp X ≠ với ánh xạ d: X × X  R thỏa mãn điều kiện: a) d (x, y)   x, y  X ; b) d(x, y) =  x = y; c) d(x, y) = d(y, x)  x, y X; d) d(x, y)  d(x, z) + d(z, y)  x, y, z  X Khi tập hợp X với d không gian metric ký hiệu (X, d) đơn giản X không sợ nhầm; ánh xạ d gọi hàm khoảng cách Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric X dãy phần tử xn  X Khi x* gọi giới hạn dãy { xn }nN lim d( xn, x*) = kí hiệu n lim xn = x* n Định nghĩa 1.3 Dãy { xn }  X gọi dãy Cauchy   > 0,  N0 cho  n, m  N0 d( xn, xm ) <  Định nghĩa 1.4 Không gian metric X thỏa mãn điều kiện dãy Cauchy có điểm giới hạn a X gọi không gian metric đủ Định nghĩa 1.5 Cho tập hợp X ≠Ø với phép tốn hai ngơi viết theo lối cộng (+) ánh xạ  : R × X  X với k  R x  X phần tử ( k, x) gọi tích ngồi số k với phần tử x kí hiệu k x Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1, ( X, +) nhóm Abel với phần tử trung hòa , nghĩa là: a) x + (y + z) = (x + y) + z  x, y, z  X; b) x + y = y + x  x, y  X; c) Trong X tồn phần tử  cho x +  =  + x = x  x  X; d) Với phần tử x  X, tồn phần tử đối (- x) cho x + (- x) =  2, Tích ngồi có tính chất: a) x = x  x  X; b) k( l x) = ( k l)x  k, l  R  x  X; c) Giữa tích ngồi phép tốn hai ngơi có luật phân phối: i) ( k + l)x = k x + l x  k, l  R  x  X; ii) k(x + y) = k x + k y  k  R  x, y  X Khi X khơng gian tuyến tính R phần tử x  X gọi vecto Trong nhiều trường hợp khơng gian tuyến tính R gọi không gian vecto R Định nghĩa 1.6 Giả sử X không gian tuyến tính R Ánh xạ : X R xác định X, lấy giá trị tập số thực x  R  x  X thỏa mãn điều kiện: a) x   x  X; b) x =  x = 0; c) x y  x  y d) x  x  x, y  X;   R  x  X; gọi chuẩn X Không gian tuyến tính X với chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn X ta định nghĩa hàm khoảng cách d sau: d ( x, y )  x  y Khi X không gian metric với khoảng cách d nêu Nếu với metric đó, X khơng gian đủ X gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1: Xét C[0,1] hàm số liên tục đoạn [0, 1] Với x(t), y(t)  C[0,1] k  R ta định nghĩa: (x + y)(t) = x(t) + y(t)  t  [0, 1]; (k x)(t) = k x( t)  t  [0, 1] Khi C0,1 với hai phép tốn khơng gian tuyến tính R Với x  C[0,1], đặt x  m ax x( t ) chuẩn C[0,1] t   0, 1 chứng minh C[0,1] với chuẩn nêu khơng gian Banach 1.1.2 Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian vecto X Y R Một ánh xạ A: X Y gọi ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính nếu: a) A(x1 + x2) = A x1 + A x2 với x1, x2  X; b) A( x) =  A x với x  X với số  Ở ta viết A x thay cho A(x) để phần tử ứng với x ánh xạ A Nếu Y = X ta nói A tốn tử tuyến tính X Định nghĩa 1.8 Giả sử X, Y hai không gian định chuẩn Toán tử A từ X vào Y gọi liên tục xn  x0 luôn kéo theo A xn  A x0 Toán tử A từ X vào Y gọi bị chặn (giới nội) có số K > cho Ax K x  x  X Chuẩn bên trái bất đẳng thức chuẩn Y, chuẩn bên phải chuẩn X 10 Định lý 1.1 Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y liên tục bị chặn Chứng minh Giả sử toán tử A liên tục Ta chứng minh có số K cho A x  K với x mà x  Thật vậy, giả sử điều ngược lại tức là: ( n) (  xn ) xn  , A xn  K Đặt xn’ = xn xn’  n ' A xn  A xn A xn   n n Vậy A x’ không tiến tới phần tử   Y trái với giả thiết A liên tục Từ tồn số K với tính chất Với x ≠0 ta có x x  , Ax  K x Ax K x Ngược lại, giả sử tồn số K xn  x0 Ta có A xn  A x0  A( xn  x0 )  K xn  x0  Vậy A liên tục x0 Định nghĩa 1.9 Số K > nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chuẩn toán tử A ký hiệu A Như vậy: a)  x  X Ax  A x ; b) Nếu  x  X A x  K x A  K Xét phương trình Ax=y A tốn tử tuyến tính từ X vào Y, với X Y hai không gian tuyến 59 Trong phương trình (3.1) đạo hàm cấp thay biểu thức gần x’’(t) ≈ x( t   )  x( t )  x( t   ) 2 Trong khơng gian Xn ta viết dãy toán xấp xỉ tương ứng với toán (3.1) - (3.2) sau:  xk 1  xk  xk 1  ck xk  yk 2 k 1, 2, , n  x0 = xn = Khi Tn y = (y( tk ))n-1 = ( y( t1 ), y( t2 ),…, y( tn-1 )) k-1 Tn c = (c( tk ))n-1 = (c( t1 ), c( t2 ),…, c( tn-1 )) k=1 Phương trình tốn tử xét xấp xỉ dãy phương trình: A n x n = y n, 2    c1     1  c2  2 An         0              cn1  2  Đây hệ phương trình sai phân toán biên (3.1) - (3.2) Ta kiểm tra điều kiện hội tụ lược đồ xét a) Kiểm ta điều kiện xấp xỉ nghiệm x(t) toán (3.1) - (3.2) Giả sử x(t) nghiệm khả vi đến cấp khoảng (0, l) đồng thời   sup x (4)  t     (0, 1) Khi theo cơng thức Taylo ta có : x (t k  )   i 0 x ( i ) (t k ) i x ( 4) ( k )    ; i! 24 60 x( i ) (tk ) i x (4) (k ) x(tk 1 )   (1)    i! 24 i 0 i ξ k  (tk , tk+1 ) , ηk  (tk-1,, tk ) Xét 2 = || AnTn x - Tn A x || = n     x tk 1  x  tk   x tk 1 l n 1     ck x  tk   x "  tk   ck x  tk  n k 1 2     x t k 1  x  t k   x t k 1 l n 1   x "  tk   n k 1 2 2  4  4 l n 1 x  k  x k         l    n k 1 24 24  12  Do :  l 2 || AnTn x -Tn A x || = n  12 Vậy toán tử { An } xấp xỉ toán tử A x(t) với cấp b) Kiểm tra điều kiện ổn định dãy toán tử { An }  n 1 Trong không gian Rn tích vơ hướng phần tử u n   u k k 1 ,  n 1   vk k 1 xác định công thức:  n 1 l u v ( un , ) = n k 1 k k  Trong khơng gian Xn-1 ta có đẳng thức:   ( un , un ) = || u n || Bằng cách thay trực tiếp vào ta có: n -1 (An xn, xn) = -τ ( xk+1 - 2xk + xk-1 )xk + τ  k ck  nên : n 1 k 1 ck x2 k 61 n -1 (An xn , xn)  τ  ( xk-1 - xk )2 k1 Mặt khác ta viết : s xs =  ( xk - xk-1 ), s  1, x0 = k1 Vì áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: s | xs |  n  | xk - xk-1 | s( k1  | xk - xk-1 |2 )2 k1 Suy ra: n n 1 n 1 || xn || = τ  | xk |  τ  s  | xk  xk 1 | 2 k1 S 1 k 1 l ( n  1) n l2   = | xk  xk 1 |  ( An xn xn ) , k 1 nên:   ( An xn , xn )  2l-2 || xn ||2  || An xn ||  2l-2 || xn ||  Vậy điều kiện ổn định thỏa mãn c) Kết luận Lược đồ xấp xỉ hội tụ, đồng thời ta có đánh giá sau: || xn - Tn x || 4 l l  , 24n dãy nghiệm xấp xỉ { xn } T- hội tụ đến nghiệm x với tốc độ  0 n    3.2 Ứng dụng phần mềm Maple vào giải toán biên phương trình vi phân cấp Xét tốn biên -x”(t) + c(t)x(t) = y(t), < t < l x(0) = x( l) = với c(t) y( t) hàm liên tục [0, l] đồng thời c(t)  [0, l] Các 62 điều kiện bảo đảm cho toán biên (3.1) - (3.2) có nghiệm đoạn [0, l] Sơ đồ giải toán: Ax=y A := - x”(t) + c(t)x(t) x(0) = x(l) = An xn = yn xn = A-1n yn Q trình giải tốn tiến hành theo bước sau: Xây dựng khơng gian Xn tốn tử Tn đồng thời rời rạc hóa hàm c(t) y (t) Lập phương trình xấp xỉ An xn = yn 3.Giải phương trình xấp xỉ xn = A-1n yn Lập chương trình giải tốn phần mềm Maple Ví dụ 3.1: Với tốn biên: - x”(t) + c(t)x(t) = y(t), < t < x(0) = x(1) = c(t) = 1, y(t) = - t2 + Bài toán viết phần mềm Maple sau: 63 64 65 Gọi chu trình : Nhập n = 10, l = ta giá trị gần nghiệm sau: x0 = x4 = 0,291702252878 x8 = 0,181598208863 x1 = 0,114794447981 x5 = 0,298868260311 x9 = 0,100297616350 x2 = 0,200860297233 x6 = 0,282109370099 x10 = x3 = 0,259428576617 x7 = 0,242616018033 Nghiệm toán là: et e e t e 1  1 1  t2 X (t )  1 e e e e Đồ thị nghiệm (đồ thị đường màu đỏ) giá trị gần nghiệm (các điểm màu xanh) đoạn [0, 1]: Hình 3.1 So sánh giá trị gần nghiệm x(t) với nghiệm X(t) ta thấy chênh lệch khoảng 0,03 Nếu lấy n lớn sai số nhỏ tức giá trị gần nghiệm gần với nghiệm Nhập n = 50, l = giá trị gần nghiệm sau: 66 x0 = x17 = 0,280121076456 x34 = 0,259162535742 x1 = 0,025601822554 x18 = 0,286810942195 x35 = 0,249422615610 x2 = 0,050014052434 x19 = 0,292469509820 x36 = 0,238786546157 x3 = 0,073246954324 x20 = 0,297105206856 x37 = 0,227261901359 x4 = 0,095310654371 x21 = 0,300726384876 x38 = 0,214856232959 x5 = 0,116215144237 x22 = 0,303341322837 x39 = 0,201577073483 x6 = 0,135970285091 x23 = 0,304958230397 x40 = 0,187431939255 x7 = 0,154585811560 x24 = 0,305585251195 x41 = 0,172428333405 x8 = 0,172071335619 x25 = 0,305230466111 x42 = 0,156573748868 x9 = 0,188436350436 x26 = 0,303901896494 x43 = 0,139875671381 x10 = 0,203690234171 x27 = 0,301607507378 x44 = 0,122341582479 x11 = 0,217842253724 x28 = 0,298355210661 x45 = 0,103978962490 x12 = 0,230901568447 x29 = 0,294152868274 x46 = 0,084795293518 x13 = 0,242877233801 x30 = 0,289008295321 x47 = 0,064798062447 x14 = 0,253778204984 x31 = 0,282929263213 x48 = 0,043994763929 x15 = 0,263613340510 x32 = 0,275923502769 x49 = 0,022392903384 x16 = 0,272391405754 x33 = 0,267998707311 x50 = Đồ thị nghiệm giá trị gần nghiệm mơ tả hình 3.2 Hình 3.2 67 Với n = 100, l = sai số giá trị nghiệm gần nghiệm khoảng 0,001 Đồ thị nghiệm giá trị gần nghiệm mô tả hình 3.3 Hình 3.3 Ví dụ 3.2: Với tốn biên: -x”(t) + c(t)x(t) = y(t), < t < x(0) = x(2 )= c(t) = 1, y(t) = Bài toán viết phần mềm Maple sau: 68 69 Gọi chu trình: Nhập n = 10, l = ta giá trị gần nghiệm sau: x0 = x4 = 1,014447620390 x8 = 0,693582355841 x1 = 0,398814880314 x5 = 1,053380019990 x9 = 0,398814880314 x2 = 0,693582355841 x6 = 1,014447620390 x10 = x3 = 0,896093125602 x7 = 0,896093125602 Nghiệm toán là: 3et (1  e2 ) 3e  t (e2  1)  3  e  e 2  e  e 2 Đồ thị nghiệm (đồ thị đường màu đỏ) giá trị gần X (t )   nghiệm (các điểm màu xanh) đoạn [0, 2]: 70 Hình 3.4 So sánh giá trị gần nghiệm x(t) với nghiệm X(t) ta thấy chênh lệch khoảng 0,002 Nếu lấy n lớn sai số nhỏ Nhập n = 50, l = giá trị gần nghiệm là: x0 = x17 = 0,955353427652 x34 = 0,928400935287 x1 = 0,089006215114 x18 = 0,979034485501 x35 = 0,898133884419 x2 = 0,173354840173 x19 = 0,999481998527 x36 = 0,864503847766 x3 = 0,253180832976 x20 = 1,016728682750 x37 = 0,827457017269 x4 = 0,328611915112 x21 = 1,030802132870 x38 = 0,786934118000 x5 = 0,399768776312 x22 = 1,041724866390 x39 = 0,742870313319 x6 = 0,466765267554 x23 = 1,049514359710 x40 = 0,695195101140 x7 = 0,529708583224 x24 = 1,054183076000 x41 = 0,643832201123 x8 = 0,588699432627 x25 = 1,055738485210 x42 = 0,588699432627 x9 = 0,643832201123 x26 = 1,054183076000 x43 = 0,529708583224 x10 = 0,695195101140 x27 = 1,049514359710 x44 = 0,466765267554 x11 = 0,742870313319 x28 = 1,041724866390 x45 = 0,399768776312 x12 = 0,786934118000 x29 = 1,030802132870 x46 = 0,328611915112 x13 = 0,827457017269 x30 = 1,016728682750 x47 = 0,253180832976 x14 = 0,864503847766 x31 = 0,999481998527 x48 = 0,173354840173 x15 = 0,898133884419 x32 = 0,979034485501 x49 = 0,089006215114 x16 = 0,928400935287 x33 = 0,955353427652 x50 = 71 Đồ thị nghiệm giá trị gần nghiệm mô tả hình 3.5 Hình 3.5 Nhập n = 100, l = sai số giá trị nghiệm gần nghiệm khoảng 0,001 đồ thị nghiệm giá trị gần nghiệm mơ tả hình 3.6 Hình 3.6 72 KẾT LUẬN Phương pháp sai phân phương pháp toán học, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng toán học Luận văn nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử (sự xấp xỉ, ổn định, hội tụ) ứng dụng lược đồ sai phân phần mềm Maple giải tốn biên phương trình vi phân cấp Mặc dù có nhiều cố gắng song chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận đóng góp ý kiến nhận xét để luận văn đầy đủ hoàn thiện hơn, đồng thời để tác giả có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau Một lần cho tác giả bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Khoa Tốn, thầy Phịng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân gia đình, đặc biệt TS Nguyễn Văn Khải nhiệt tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB giáo dục [2] Nguyễn Minh Chương,Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học MAPLE, NXB khoa học kỹ thuật [4] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, NXB khoa học kĩ thuật [5] Dương Minh Đức(2000), Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [6] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB giáo dục [8] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2003), Phương pháp sai phân số ứng dụng, NXB giáo dục [9] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [10] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [11] Phạm Huy Diển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng (1998), Practice Computation on MAPLE V, Education Publ House, Hanoi ... hố số vấn đề xấp xỉ phương trình tốn tử Nêu số ứng dụng với phần mềm chạy Maple Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử, điều kiện đủ để bảo đảm cho lược đồ xấp xỉ phương. .. phương trình tốn tử hội tụ toán ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp sai phân, hệ phương trình sai phân, lược đồ xấp xỉ phương trình tốn tử ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương. .. lập trình bản…………………………………………… 38 Chương LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ 43 2.1 Một số khái niệm bản…………………………………………… 43 2.2 Sự hội tụ lược đồ xấp xỉ? ??…………………………………… 50 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG