Lý thuyết sóng nhỏ và một số ứng dụng trong giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong Phòng sau đại học, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉ dạy tận tình cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tác giả cũng cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Quang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng biết ơn. Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Ngọc Quang Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Tích phân các hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Tích phân của các hàm đo được . . . . . . . . . . 8 1.3 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Không gian L 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Khai triển Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 iii 1.5 Không gian các hàm Spline . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Spline đa thức bậc 3 với mốc cách đều . . . . . . 14 1.5.2 Spline đa thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Xấp xỉ và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ 20 2.1 Cơ sở sóng nhỏ Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Xấp xỉ bằng hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Cơ sở sóng nhỏ Haar . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Phân tích đa phân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải . . . . . . . . 23 2.2.2 Tính ổn định của các hàm Scaling . . . . . . . . . 24 2.2.3 Tính đầy đủ của hàm bậc thang . . . . . . . . . . 26 2.3 Cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn từ phân tích đa phân giải . . 27 2.3.1 Sóng nhỏ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Sóng nhỏ spline trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 B-spline cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn . . . . . . . 34 2.5 Sóng nhỏ có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.1 Tính đối xứng của hàm Scaling và mặt nạ của nó 36 2.6 Biến đổi sóng nhỏ nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6.1 Xấp xỉ khởi đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6.2 Phân dã đa bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.3 Biến đổi sóng nhỏ nhanh . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.4 Thuật toán kim tự tháp . . . . . . . . . . . . . . 43 iv 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SÓNG NHỎ 45 3.1 Xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân . . . . . . . 46 3.2.1 Kỹ thuật sóng nhỏ Galerkin . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2 Các hệ số kết nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3 Phương pháp sóng nhỏ cho ODE . . . . . . . . . 51 3.2.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Một ứng dụng sóng nhỏ Haar trong giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.1 Hàm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2 Giải xấp xỉ phương trình vi phân . . . . . . . . . 55 3.3.3 Ứng dụng vấn đề giá trị biên . . . . . . . . . . . . 56 3.3.4 Áp dụng với điều kiện biên hỗn hợp loại 1 . . . . 57 3.3.5 Áp dụng với điều kiện biên hỗn hợp loại 2 . . . . 57 3.3.6 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 v BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập các số nguyên R Tập số thực C Tập số phức S 3 Không gian các hàm Spline bậc 3 C [a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b] L 2 [a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b] MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thời gian gần đây lý thuyết sóng nhỏ và các ứng dụng nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết sóng nhỏ với các ứng dụng của nó đã xâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực trong cuộc sống hiện đại như sử lý tín hiệu, sử lý ảnh, đồ họa máy tính Khi nghiên cứu về lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng có xuất hiện một số vấn đề sau 1. Có thể xấp xỉ một hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ hay không? 2. Trong các sóng nhỏ đã được giới thiệu sóng nhỏ Haar có ứng dụng rất tốt vào giải phương trình vi phân. Sóng nhỏ Haar có thể đơn giản phương trình vi phân về thành một hệ phương trình đại số. Tuy nhiên ứng dụng cụ thể trong việc sử dụng sóng nhỏ Haar để giải gần đúng nghiệm của phương trình y  + α 1 (t)y  + α 2 (t)y = f(t) Với các điều kiện biên khác nhau : y(0) = y 0 , y  (0) = y 1 , y(0) = β 0 , y(1) = β 1 , y(0) = A, y  (1) = B, và y  (0) = A, y(1) = B. Còn nhiều vấn đề cần được làm rõ. 2 3. Trong phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân, sử dụng kỹ thuật Galerkin cũng thường xuyên được sử dụng. Tuy nhiên có khó khăn trong việc đối phó với điều kiện biên. Phương pháp tiếp cận biên ảo với các hệ số kết nối có thể khắc phục được các khó khăn trên. Cần được nghiên cứu nhiều hơn. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết sóng nhỏ và các ứng dụng của nó, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu "Lý thuyết sóng nhỏ và một số ứng dụng trong giải phương trình vi phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết cơ bản của sóng nhỏ. Nghiên cứu xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ, nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về khái niệm sóng nhỏ. Trình bày về xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ. Trình bày nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng trong giải phương trình vi phân. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập nghiên cứu phân tích tổng hợp tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong nước và ngoài nước về vấn đề luận văn đề cập tới. Lấy ý kiến chuyên gia. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn là một nghiên cứu tổng quan của tác giả về lý thuyết sóng nhỏ. Sử dụng sóng nhỏ để xấp xỉ một hàm số. Sử dụng sóng nhỏ để tìm nghiệm của phương trình vi phân với độ chính xác cao. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lý thuyết độ đo Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X tùy ý. M là một lớp tập con của X. Một hàm số µ xác định trên M được gọi là một hàm tập hợp, hay gọn hơn, một hàm tập. Hàm tập hợp đó là cộng tính nếu: A, B ∈ M, A ∩B = ∅, A ∪B ∈ M ⇒ µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B). Bằng cách quy nạp ta có nếu µ là cộng tính thì µ là "hữu hạn cộng tính", nghĩa là A i ∈ M(i = 1, 2, , n), A i ∩ A j = ∅(i = j),  n i=1 A i ∈ M thì ta có µ   n i=1 A i  = n  i=1 µ(A i ). Hàm µ được gọi là σ-cộng tính nếu A i ∈ M(i = 1, 2, n), A i ∩A j = ∅(i = j),  ∞ i=1 A i ∈ M thì ta có µ   ∞ i=1 A i  = ∞  i=1 µ(A i ). Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó xác định trên một đại số C và 1. µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C. 4 [...]... được chứng minh Từ bổ đề ta có các định lý sau Định lý 2.1.1 Hệ {Hn,k }n,k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của L2 Định nghĩa 2.1.1 Một hàm ψ ∈ L2 được gọi là một sóng nhỏ trực chuẩn nếu {ψn,m }n,m∈Z tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 Cơ sở {ψn,m }n,m∈Z sinh từ ψ được gọi là cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn của L2 Một cách tổng quát ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.2 Một hàm ψ ∈ L1 được gọi là một sóng nhỏ. .. thay bằng một trong các điều kiện sau : ∀a ∈ R, {x ∈ A : f (x) > a} ∈ F, ∀a ∈ R, {x ∈ A : f (x) ≤ a} ∈ F, ∀a ∈ R, {x ∈ A : f (x) ≥ a} ∈ F 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Tích phân các hàm đơn giản Trong một không gian X, với một σ-đại số F và một độ đo µ trên F, cho A là một tập đo được (tức là ∈ F), và một hàm đơn giản không âm trên A: n f (x) = αi χAi (x), (1.5) i=1 trong đó Ai đo được, rời nhau và n Ai... nhỏ nếu ψ (x) dx = 0 R 23 2.2 Phân tích đa phân giải 2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải Định nghĩa 2.2.1 Một phân tích đa phân giải (vi t tắt là MRA) của L2 là một nhóm các không gian con của L2 ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ thỏa mãn các điều kiện sau 1 j∈Z Vj = {0} 2 j∈Z Vj = L2 3 f (.) ∈ Vj nếu và chỉ nếu f (2·) ∈ Vj+1 và 4 tồn tại hàm φ ∈ V0 sao cho {φ (x − n)}n∈Z là một cơ sở không có điều kiện của... }m∈Z là một cơ sở chưa có điều kiện của V0 ta có {φn,m }m∈Z là một cơ sở không có điều kiện của Vn Từ φ ∈ V0 suy ra nó cũng thuộc V1 , ta có thể mở rộng φ thành một tổ hợp tuyến tính của các cơ sở của V1 : h(m)φ(2x − m), (h(m))m∈Z ∈ l2 φ (x) = 2 m∈Z 24 trong đó dãy hệ số (h(m)) là trong l2 vì {φ1,m } là một cơ sở không có điều kiện của V1 Phương trình trên gọi là phương trình lọc (hay phương trình. .. }k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của W0 Do đó hệ {Hn,k (x)}k∈Z là một cơ sở trực chuẩn của không gian Wn Chứng minh Ta cần chứng rằng các hàm Hk (x) = H (x − k) , k ∈ Z tạo thành một cơ sở trực chuẩn của W0 Ta có {Hk (x)}k∈Z là một hệ trực chuẩn trong W0 Ta chứng minh nó cũng là một cơ sở của W0 Cho g là một hàm trong W0 Khi đó g ∈ V1 và có một dãy (ck ) ∈ l2 sao cho g= ck B1,k = k∈Z (c2l B1,2l + c2l+1... không ổn định Định lý 2.3.2 Giả sử {φ (x − n)}n∈Z là một cơ sở không điều kiện của V0 Xác định φ ∈ V0 bởi biểu thức φ (ω) φ (ω) = 2 k∈Z Khi đó φ (x − n) n∈Z 1 2 (2.11) φ (ω + 2kπ) là một cơ sở trực chuẩn của V0 Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh φ là một hàm được xác 2 ˆ (ω + 2kπ) Xác định định bởi (2.11) là trong V0 Vi t F (ω) = k∈Z φ Mr và Ml như trong (2.4) và (2.5) tương ứng Ta có 1 √ ≤ Mr... 1.3.5 Một chuẩn, kí hiệu , trong X là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1 x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 khi và chỉ khi x = 0 2 λx = |λ| x , ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X 3 x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là không gian định chuẩn (thực hoặc phức tùy theo P) 11 Định lý 1.3.1 Giả sử X là một. .. (σ-hữu hạn) 3 µ là độ đo đủ 4 Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng A = B\N hoặc A = B ∪ N trong đó B ∈ F(C), N ⊂ E ∈ F(C), µ∗ (E) = µ(E) = 0, và µ∗ là độ đo ngoài xác định từ m theo công thức (1.2) Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian X, một σ-đại số F những tập con của X, và một tập A ∈ F Một hàm f (x) : X → R gọi là đo được trên tập A đối với σ-đại số F nếu ∀a ∈ R, {x ∈ A :... tập hợp thuộc σ-đại số F(C) đều là µ∗ -đo được Định nghĩa 1.1.3 Một độ đo µ trên một σ-đại số L được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập bất kỳ thuộc L có độ 0 đều cũng thuộc L và có độ đo 0, nghĩa là nếu N ⊂ E, µ (E) = 0 ⇒ N ∈ L, µ(N ) = 0 (1.3) Định lý 1.1.5 Cho một độ đo m trên một đại số C Bao giờ cũng có một độ đo µ trên σ-đại số L ⊃ F(L) ⊃ C sao cho: 1 µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C (nghĩa là µ... 2.2.2 Một hàm φ ∈ L2 thỏa mãn phương trình lọc được gọi là một hàm scaling Dãy các hệ số (h(n))n∈Z được gọi là mặt nạ của φ, chuỗi H(z) := m∈Z h(m)z m được gọi là dấu của φ Nếu {φ(x − n)}n∈Z là một hệ trực chuẩn, thì φ được gọi là một hàm scaling trực chuẩn 2.2.2 Tính ổn định của các hàm Scaling Một MRA sinh phải thỏa mãn điều kiện (2.1) Do đó ta cần cung cấp điệu kiện cần và đủ cho sự ổn định của một . dụng rất tốt vào giải phương trình vi phân. Sóng nhỏ Haar có thể đơn giản phương trình vi phân về thành một hệ phương trình đại số. Tuy nhiên ứng dụng cụ thể trong vi c sử dụng sóng nhỏ Haar để giải. nhỏ. Trình bày nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng trong giải phương trình vi phân. 3 5. Phương pháp nghiên. nghiên cứu " ;Lý thuyết sóng nhỏ và một số ứng dụng trong giải phương trình vi phân& quot; để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết cơ bản của sóng nhỏ. Nghiên