2 LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ
2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải
Định nghĩa 2.2.1. Một phân tích đa phân giải (viết tắt là MRA) của L2 là một nhóm các không gian con của L2
...⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂... thỏa mãn các điều kiện sau.
1. Tj∈
ZVj = {0}. 2. S
j∈ZVj = L2.
3. f (.) ∈ Vj nếu và chỉ nếu f (2·) ∈ Vj+1 và 4. tồn tại hàm φ ∈ V0 sao cho {φ(x−n)}n∈
Z là một cơ sở không có điều kiện của V0 tức là {φ(x−n)}n∈
Z là một cơ sở của V0, và tồn tại hai hằng số A, B > 0 sao cho, với mọi (cn) ∈ l2 ta có bất đẳng thức sau: AX|cn|2 ≤ X cnφ(· −n) 2 ≤ BX|cn|2. (2.1) Bất đẳng thức (2.1) trên được gọi là điều kiện ổn định, và hàm φ thỏa mãn điều kiện đó gọi là hàm ổn định. Hàm φ trong định nghĩa trên được gọi là một MRA sinh. Hơn nữa, nếu {φ(x−n)}n∈
Z là một cơ sở trực chuẩn của V0, thì φ được gọi là một MRA sinh trực chuẩn.
Khi{φm}m∈
Z là một cơ sở chưa có điều kiện củaV0 ta có{φn,m}m∈
Z
là một cơ sở không có điều kiện của Vn.
Từ φ ∈ V0 suy ra nó cũng thuộc V1, ta có thể mở rộng φ thành một tổ hợp tuyến tính của các cơ sở của V1:
φ(x) = 2X
m∈Z
h(m)φ(2x−m), (h(m))m∈
trong đó dãy hệ số (h(m)) là trong l2 vì {φ1,m} là một cơ sở không có điều kiện của V1. Phương trình trên gọi là phương trình lọc (hay phương trình tinh chế).
Định nghĩa 2.2.2. Một hàm φ ∈ L2 thỏa mãn phương trình lọc được gọi là một hàm scaling. Dãy các hệ số (h(n))n∈Z được gọi là mặt nạ của φ, chuỗi H(z) := P
m∈Zh(m)zm được gọi là dấu của φ. Nếu {φ(x−n)}n∈
Z
là một hệ trực chuẩn, thì φ được gọi là một hàm scaling trực chuẩn.