2 LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ
3.2.1 Kỹ thuật sóng nhỏ Galerkin
Xét phương trình vi phân một chiều
Lu(x) = f (x), 0 ≤x ≤ 1.
Với điều kiện biện Dirichlet u(0) = a, u(1) = b, f là một hàm giá trị thực và liên tục trên[0; 1]. L là một toán tử vi phân Eliptic đều.L2([0; 1])
là một không gian Hilbert với tích vô hướng
hf, gi = 1
Z
0
f (x)g(x)dt.
Giả sử rằng {vj} là một hệ trực giao đầy đủ của L2([0; 1]) và vj là C2 trên [0; 1] sao cho vj(0) = a, vj(1) = b.
Chọn một tập hữu hạn Λ các chỉ số j và xét các không gian con S = span{vj, j ∈ Λ}.
Chọn nghiệm us là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho us = X
k∈Λ
xkvk ∈ S. (3.2)
Ta cần xác định xk sao cho us là một nghiệm thực sự trên S, tức là
hLus, vji = hf, vji, ∀j ∈ Λ. (3.3) Sao cho điều kiện biên us(0) = us(1) = 0 là thỏa mãn. Thay thế us trong (3.3) ta được
X
k∈Λ
hLvk, vjixk = hf, vji, ∀j ∈ Λ. (3.4) X và Y biểu thị cho các vectơ (xk)k∈Λ và (yk)k∈Λ = hf, vki và A là ma trận A = baj,kcj,k∈Λ, trong đó aj,k = hLvk, vji.
(3.4) trở thành phương trình tuyến tính P
k∈Λ
aj,kxk = yj hoặc tương đương
Trong phương pháp Galerkin, với mỗi tập con của Λ ta tìm được một xấp xỉ ux của u trong S bằng việc giải (3.5) sau đó thay vào (3.2). Ta mong muốn rằng khi tăng Λ một cách có hệ thống us sẽ hội tụ tới u nghiệm đúng của phương trình.
Số điều kiện của Ma trân
Ta biết rằng hệ tuyến tính AX = Y cho nghiệm duy nhất X cho mỗi Y nếu A là vuông và khả nghịch. Nếu với Y và Y’ gần nhau mà ta tìm được X và X’ xa nhau thì hệ tuyến tính trên gọi là điều kiện xấu. Do vậy với Y chính xác thì số điều kiện của A được cho bởi
C#(A) =kAkA−1,(C#(A) ≥ 1).
Ta nói C#(A) là thước đo sự ổn định của hệ theo sự thay đổi của Y. Số điều kiện nhỏ gần một là mong muốn. Trong trường hợp nó cao, thay thế bởi hệ tương đương BAX = BY, B là ma trận điều kiện ban đầu sao cho C#(BA) < C#(A). Việc tính toán thuận lợi nhất khi ma trận A là thưa. Tức là có tỉ lệ các số 0 cao. Tốt nhất khi A ở dạng đường chéo.
Phương pháp sóng nhỏ Galerkin
Cho ψj,k(x) = 2j/2ψ 2jx−k là một cơ sở sóng nhỏ choL2([0; 1])
với các điều kiện biênψj,k(0) = ψj,k(1) = 0. Với mỗi(j, k) ∈ Λ, ψj,k làC2. Quy mô của ψ xấp xỉ 2−j và tập chung gần điểm 2−jk và bằng 0 bên ngoài khoảng trung tâm 2−jk chiều dài tỉ lệ thuận với 2−j. Khi đó (3.2) và (3.3) có thể được thay thế bằng us = X j,k∈Λ xj,kψj,k và X j,k∈Λ hLψj,k, ψl,mixj,k = hf, ψl,mi, ∀(l, m) ∈ Λ.
Vì vậyAX = Y.Trong đó:A = bal,m;j,kc(l,m),(j,k)∈Λ, X = (xj,k)(j,k)∈Λ, Y = (yl,m)(l,m)∈Λ, và al,m;j,k = hLψj,k, ψl,mi, yl,m = hf;ψl,mi. Các cặp (l, m)
và (j, k) đại diện cho hàng và cột của A.
Xét A là thưa ta có thể thay thể AX = Y bằng
M Z = V (3.6)
trong trường hợp M có số điều kiện thấp thì hệ trên có điều kiện tốt. Vì vậy ta cũng mong muốn M có dạng thưa.