Spline bậc 3 và một số ứng dụng

Với bài toán giảiphương trình vi phân thì việc tìm được phương pháp tốt để xấp xỉ hàm rất quan trọng.. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về Spline bậc 3 và một số ứng dụng liên quan đến sự ph

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã hướng dẫn vàtruyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học.Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua nhữngkhó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắcnhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao họcchuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học tập

Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệptrường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì, Phú Thọ đã quan tâm, động viên

và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Đàm Minh Đức

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướngdẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Đàm Minh Đức

2

Mục lục

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1.Không gian vectơ 8

1.2.Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con 10

1.3.Không gian định chuẩn 12

1.3.1 Khái niệm không gian định chuẩn 12

1.3.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 14

1.4.Sai số và xấp xỉ tốt nhất 14

1.4.1 Sai số 14

1.4.2 Xấp xỉ tốt nhất 16

1.4.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ 17

1.5.Ma trận đường chéo trội 17

Chương 2 SPLINE BẬC 3 19

2.1.Một số khái niệm cơ bản về nội suy 19

3

2.2.Hermites Spline 21

2.2.1 Tính toán với Hermites Spline 23

2.2.2 Nội suy Hermite 24

2.2.3 Sai số 26

2.3.Cubic Spline 28

2.3.1 Định nghĩa đa thức Spline bậc 3 28

2.3.2 Đạo hàm của B - spline 34

2.3.3 Sai số 35

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SPLINE BẬC 3 39

3.1.Giải gần đúng phương trình vi phân 40

3.2.Giải gần đúng hệ phương trình vi phân cấp 2 43

KẾT LUẬN 48

Tài liệu tham khảo 48

4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây phương trình vi phân, phương trình vi tích phân, đượcnghiên cứu ngày càng nhiều bằng các phương pháp xấp xỉ Lớp bài toán này có nhiềuứng dụng trong mô hình các quá trình vật lí, sinh học và kĩ thuật Với bài toán giảiphương trình vi phân thì việc tìm được phương pháp tốt để xấp xỉ hàm rất quan trọng

Ví dụ, xét phương trình vi phân

d2x

dt2 + a(t)dx

dt + b(t)x(t) = f (t), a ≤ t ≤ bvới điều kiện biên x(a) = α, x(b) = β, trong đó α, β là các hằng số và a(t), b(t), c(t), f (t)

là các hàm số xác định trên [a, b] Hơn nữa, giả sử phương trình này có nghiệm duynhất x(t) Nhiệm vụ của ta là tìm x(t) Nhưng trong thực tế việc tìm chính xác x(t)

là rất khó và có nhiều trường hợp không tìm được hoặc không cần thiết Khi đó vấn

đề được đặt ra là:

1 Làm thế nào để tìm được hàm x∗(t) là xấp xỉ tốt của x(t) ?

2 Làm thế nào sử dụng máy tính để đưa ra hàm x∗(t) là xấp xỉ của hàm x(t) ?

Để giải quyết những vấn đề trên thì một trong các phương pháp được đưa ra chính

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về phương pháp xấp xỉ bằng Spline và với sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn đề tài ” Spline bậc 3 và một sốứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về Spline bậc 3 và một số ứng dụng liên quan đến sự phát triển của vấn

đề trong những năm gần đây

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các khái niệm và tính chất Spline bậc 3

- Nghiên cứu cách tìm xấp xỉ tốt cho đa thức và cho việc giải gần đúng phươngtrình vi phân, hệ phương trình vi phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Spline bậc 3

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đếnphương pháp xấp xỉ bằng Spline

5 Phương pháp nghiên cứu

- Lấy ý kiến chuyên gia

- Phân tích, tổng hợp

6

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu:

• Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần tử của X,gọi là tổng của x với y, và được ký hiệu x + y; ứng với mỗi phần tử x của X vàmỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tích của

x với α và được ký hiệu αx

• Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau:

phần tử −x được gọi là phần tử đối của x.

5 1.x = x

6 α(βx) = (αβ)x (α, β là những số bất kỳ)

7 (α + β)x = αx + βx

8 α(x + y) = αx + αy

Trên đây là định nghĩa không gian vectơ thực Nếu trong định nghĩa ấy ta thay các

số thực bằng các số phức thì ta có không gian vectơ phức

Các phần tử của một không gian vectơ thường được gọi là vectơ

Ví dụ 1.1.1

Trong mặt phẳng thực E2

Tập X = E2 là tập

E2 = {(x1, x2) : x1và x2 các số thực}

Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X, phép cộng và nhân

vô hướng được định nghĩa:

x + y = (x1+ y1, x2 + y2)

αx = (αx1, αx2)

là không gian vectơ

Ví dụ 1.1.2

Không gian C[a, b]

Không gian C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b]

9

Với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được địnhnghĩa:

(f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b(αf )(t) = αf (t)

là không gian vectơ

Ví dụ 1.1.3

Pn[a, b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a, b] là không gian vectơ

1.2 Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con

Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1, x2, , xn∈ X là một tổng có dạng:

α1x1 + α2x2 + + αnxnCác vectơ x1, x2, , xn được gọi là độc lập tuyến tính nếu

α1x1+ α2x2+ αnxn= 0 ⇒ α1 = α2 = αn = 0Các vectơ x1, x2, , xn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lậptuyến tính, tức là tồn tại những số α1, α2, , αn trong đó có ít nhất một số khác 0,sao cho:

Một không gian vectơ X được gọi là không gian k chiều nếu trong X có k vectơ độclập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến tính.

Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sởcủa nó

Các không gian k chiều, với k là một số nguyên không âm bất kỳ gọi là không gianhữu hạn chiều

Một không gian không hữu hạn chiều tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơđộc lập tuyến tính của nó, gọi là không gian vô hạn chiều

Ví dụ: Rk là không gian k chiều, với cơ sở là:

x1 = (1, 0, , 0), x2 = (0, 1, 0, , 0), , xn= (0, 0, , 1)Không gian B[a,b] là vô số chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của nó độc lập tuyếntính, đó là:

x1(t) = t, x2(t) = t2, , xn(t) = tnNếu X là không gian k chiều và x1, x2, , xk là một cơ sở cuả nó thì mọi x ∈ Xđều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

α1x1+ α2x2+ + αkxkcủa những phần tử của A.

1.3 Không gian định chuẩn

1.3.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.3.1 Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ X, trong đóứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số k x k, gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi

x, y ∈ X, và mọi số α thỏa mãn 3 điều kiện sau:

12

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:

k x k1= |x1| + |x2|hay

m ||x| |1 ≤ ||x| |2 ≤ M ||x| |1với ∀x ∈ X

Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương Chẳng hạn:

1.3.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn và {xn} ⊂ X, x0 ∈ X

1) xn−→ x0 (dãy xn hội tụ tới x0) có nghĩa là ||xn− x0| | −→ 0

2) Nếu xn−→ x0 thì ||xn| | −→ ||x0| |, tức là chuẩn ||x| | là một hàm liên tục của x3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu xn hội tụ thì (∃M ) (∀n) ||xn| | ≤ M4) Nếu xn −→ x0, yn−→ y0 thì xn+ yn−→ x0+ y0

số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán Do đó đi nghiêncứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trongviệc giải bài toán

14

Định nghĩa 1.4.1 Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khác với a∗ khôngnhiều.

Ký hiệu a ≈ a∗

Định nghĩa 1.4.2 Đại lượng ∆ = |a − a∗| được gọi là sai số thực sự của a

Nói chung, ta không biết a∗ nên không biết ∆ Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai

số thực sự của a bằng số dương ∆a> 0 sao cho

Định nghĩa 1.4.3 Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (3.2.5) gọi là sai số tuyệt đốicủa số gần đúng a

Khi đó a∗ = a ± ∆a

Định nghĩa 1.4.4 Số δa = ∆a

|a| được gọi là sai số tương đối của a.

Ví dụ 1.4.1

Giả sử a∗ = π và a = 3, 14

Do 3, 14 < π < 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01

Do 3, 14 < π < 3, 142 = 3, 14 + 0, 002 nên ta cũng có thể lấy ∆a = 0, 002

Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy chúng có cùng sai

số tuyệt đối ∆a = ∆b = 0, 01m

15

• Sai số tuyệt đối cũng như sai số tương đối của một số gần đúng a của số đúng

Từ ||x| | là hàm liên tục của x nên K là tập đóng và bị chặn Mà K là không gian hữuhạn chiều nên K compact.

Đặt g(z) = ||x − z| |, z ∈ K Thì g là hàm liên tục của z

Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm xN ∈ K

Vậy, ||x − xN| | = miny∈K||x − y| |

1.4.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ

Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia xi, i = 0, nthỏa mãn:

x0 = a < x1 < x2 < < xn = bĐặt h = b−an

Giả sử x là nghiệm đúng và x∗ là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho (theophương pháp gần đúng nào đó) Nếu có:

||x − x∗| | = 0(hk)thì x∗ được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm x

1.5 Ma trận đường chéo trội

Định nghĩa 1.5.1 Cho ma trận vuông A = (aij)n

Định lý 1.5.1 Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến

Khi đó phương trình Ax = y luôn có nghiệm

18

Chương 2

SPLINE BẬC 3

2.1 Một số khái niệm cơ bản về nội suy

Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x) mà chỉ biết giá trị yi tại cácđiểm xi ∈ [a, b](i = 0, 1, n) Cũng có trường hợp biết thức giải tích f (x) đã chonhưng quá cồng kềnh Khi đó dùng phép nội suy ta có thể dễ dàng tính được f tại bất

kỳ x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu

Mục tiêu của phép nội suy là khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuật toán đơn giảntính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng xi, yi (i = 0, 1, n) Ngoài ra

sử dụng kết quả của phép nội suy, có thể tìm đạo hàm hoặc tích phân của f (x) trênđoạn [a, b]

Trong phép nội suy thì đa thức đại số thường được dùng vì các phép toán cộng,trừ, nhân, chia, đạo hàm và tích phân dễ dàng thực hiệu được Hơn nữa nếu P (x), còn

c là hằng số thì P (cx) và P (x + c) cũng là đa thức

Bài toán nội suy được đặt ra như sau: Cho các mốc nội suy

a ≤ x0 < x1 < x2 < < xn ≤ b

Hãy tìm đa thức bậc m: Pm(x) =Pm

i=0aixi sao cho

Pm(xi) = yi = f (xi)(i = 0, n)

Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: xây dựng đường cong đại số y = Pm(x)

đi qua các điểm cho trước (xi, yi)(i = 0, n)

Như vậy ta cần xác định m + 1 hệ số ai(i = 0, n) từ hệ phương trình tuyến tínhsau:

0≤i<j≤n

(xi− xj) 6= 0

Suy ra phương trình (3.2.5) có nghiệm duy nhất

Trong bài toán nội suy, nội suy bằng spline thường được gọi là nội suy đa thức vì

nó cho kết quả tương tự ngay cả trong trường hợp sử dụng đa thức bậc thấp Điều này

đã khắc phục được nhược điểm là nếu mốc nội suy tăng lên thì bậc của đa thức nộisuy rất lớn và gây khó khăn trong quá trình tính toán

Hermites và B-Spline là spline bậc 3 được sử dụng phổ biến nhất trong nội suybằng spline

20

2.2 Hermites Spline

Trước hết ta xét bài toán nội suy đơn giản với hai mốc nội suy

p(a) = f (a) p0(a) = f0(a)p(b) = f (b) p0(b) = f0(b)trong đó a, b là các số thực

Trên thực tế có vô số đa thức thỏa mãn bài toán nội suy trên nhưng chỉ có duynhất một đa thức bậc 3

p(t) = a0+ a1t + a2t2+ a3t3

và đa thức này được gọi là nội suy cubic Hermite của f

Ta có thể chỉ ra sự tồn tại của p(t) trong bài toán trên

p(t) = p(a)φ1(t) + p(b)φ2(t) + p0(a)ψ1(t) + p0(b)ψ2(t)trong đó

và có định lý chỉ ra sự duy nhất của p(t) như sau:

Định lý 2.2.1 Tồn tại duy nhất đa thức bậc 3 p(t) = a0+ a1t + a2t2+ a3t3 là nghiệmcủa bài toán nội suy p(ti) = f (ti), p0(ti) = f0(ti), i = 1, 2

Việc chứng minh định lý này sẽ được chứng minh trong một định lý mở rộng trongphần sau Bây giờ tiếp tục mở rộng bài toán nội suy trong trường hợp có n mốc nộisuy a = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn= b] và xây dựng các đa thức Hermite pi(t) là nghiệm của

Do s là đa thức trên mỗi khoảng (ti−1, ti) nên có đạo hàm hữu hạn trên mỗi đoạn

đó Hơn nữa, từ f (ti) = pi(ti) = pi+1(ti) = s(ti) và p0i+1(ti) = s0(ti) = p0i(ti) = f0(ti) vớimọi ti, 1 ≤ i ≤ n − 1 nên

s ∈ C1[a, b]

22

2.2.1 Tính toán với Hermites Spline

Hàm f (t) được cho với phép phân hoạch π : a = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = b Để tìm hàms(t) là nội suy Hermites bậc 3 của f (t) thì ta chọn hệ cơ sở như sau: với 1 ≤ i ≤ n − 1,lấy

(ti+1− ti)3[2(ti+1− t) + (ti+1− ti)], ti ≤ t ≤ ti+1

(t − ti+1)2(t − ti)(ti+1− ti)2 , ti ≤ t ≤ ti+1

23

2.2.2 Nội suy Hermite

Nội suy Hermite không chỉ tìm hàm p(x) khớp của hàm f (x) tại các mốc nội suy màcòn cả đạo hàm liên tiếp đến một cấp nào đó Cụ thể, cho các số thực x1 < x2 < < xk

và các số nguyên dương m1, m2, , mk, chúng ta cần tìm hàm p(x) duy nhất có bậc

m1+ m2+ + mk− 1 là nghiệm của bài toán nội suy

p(j)(xi) = f(j)(xi)với mọi j =0, mi− 1 và i = 1, k

24

Định lý 2.2.2 Cho các số thực x1 < x2 < < xk và các số nguyên dương

m1, m2, , mk, khi đó tồn tại duy nhất đa thức p(x) có bậc m1+ m2+ + mk− 1 = Nhoặc nhỏ hơn là nghiệm của bài toán nội suy

p(j)(xi) = f(j)(xi)với mọi j = 0, mi− 1 và f là hàm có đạo hàm liên tục cấp mi− 1 tại xi, i = 1, k

Chứng minh Ta đi tìm hàm p(x) = aNxN + aN −1xN −1+ +a 0 thỏa mãn tại mỗi xi, i =

Từ mi phương trình tại mỗi mốc nội suy xi chúng ta có tổng số m1+ m2+ + mk=

N + 1 phương trình tuyến tính N + 1 ẩn aN, aN −1, , a0 Để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất của nghiệm của bài toán nội suy thì ta phải chứng minh ma trận các hệ

số của hệ tuyến tính là không suy biến

Để đơn giản chúng ta viết hệ phương trình dưới dạng Ay = b trong đó y =(aN, aN −1, , a0)T và b = (f (x1), f0(x1), , f(m1 −1)(x1), f (x2), , f(mk −1)(xmk))T.Nếu hệ Ay = 0 thì chỉ có nghiệm tầm thường aN = aN −1 = = a0 = 0 do đó Akhông suy biến

Do đó không mất tính tổng quát, giả sử f (x) ≡ 0 Khi đó, ta tìm đa thức p(x)thỏa mãn tại mỗi điểm xi, p(j)(xi) = 0 với j = 0, mi− 1 Tuy nhiên, ta biết rằng đathức bậc N có nghiệm x = r và có đạo hàm cấp l cũng triệt tiêu tại x = r thì có dạngp(x) = α(x − r)l+1q(x) trong đó q(x) là đa thức bậc N − (l + 1) hoặc nhỏ hơn và α là

25

m 1(x − x2)m2 (x − xk)mk

trong đó N =Pk

i=1mi− 1 Biểu thức này cũng chính là biểu thức đánh giá sai số của

đa thức nội suy Hermite

Ta đánh giá sai số của đa thức nội suy Hermite trong trường hợp x1 = a, x2 = b vàgiả sử p(x) là đa thức bậc 5 Để đánh giá một cách cụ thể sai số f − p thì ta xét biểuthức

E(x) = [f (x) − p(x)] − [f0(x) − p0(x)]w(x)

w(x)trong đó x là điểm nào đó trong (a, b), và w(x) = x − x1)3(x − x2)3

Do E(x) triệt tiêu tại a, b và x, E0(x) triệt tiêu tại a < z1 < z2 < b (theo định lýRolles) nên E00(x) triệt tiêu tại a < y1 < y2 < y3 < b Cứ tiếp tục như vậy, ta có có

E(6)(ζ) = 0 tại một số điểm ζ ∈ (a, b) Nhưng

E(6)(ζ) = f(6)(ζ) −6[f (x) − p(x)]

w(x)26