Spline bậc 3 và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì, Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đàm Minh Đức 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Đàm Minh Đức 2 Mục lục MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.Sai số và xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. SPLINE BẬC 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.Một số khái niệm cơ bản về nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 2.2.Hermites Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Tính toán với Hermites Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Định nghĩa đa thức Spline bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2. Đạo hàm của B - spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3. Sai số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SPLINE BẬC 3 . . . . . . . . . . . . 39 3.1.Giải gần đúng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.Giải gần đúng hệ phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây phương trình vi phân, phương trình vi tích phân, được nghiên cứu ngày càng nhiều bằng các phương pháp xấp xỉ. Lớp bài toán này có nhiều ứng dụng trong mô hình các quá trình vật lí, sinh học và kĩ thuật. Với bài toán giải phương trình vi phân thì việc tìm được phương pháp tốt để xấp xỉ hàm rất quan trọng. Ví dụ, xét phương trình vi phân d 2 x dt 2 + a(t) dx dt + b(t)x(t) = f(t), a ≤ t ≤ b với điều kiện biên x(a) = α, x(b) = β, trong đó α, β là các hằng số và a(t), b(t), c(t), f(t) là các hàm số xác định trên [a, b]. Hơn nữa, giả sử phương trình này có nghiệm duy nhất x(t). Nhiệm vụ của ta là tìm x(t). Nhưng trong thực tế việc tìm chính xác x(t) là rất khó và có nhiều trường hợp không tìm được hoặc không cần thiết. Khi đó vấn đề được đặt ra là: 1. Làm thế nào để tìm được hàm x ∗ (t) là xấp xỉ tốt của x(t) ? 2. Làm thế nào sử dụng máy tính để đưa ra hàm x ∗ (t) là xấp xỉ của hàm x(t) ? Để giải quyết những vấn đề trên thì một trong các phương pháp được đưa ra chính là xấp xỉ bằng Spline. Spline đa thức có ưu điểm hơn các phương pháp khác là nếu tăng số mốc nội suy lên thì bậc của đa thức nội suy cũng không tăng. Phương pháp xấp xỉ bằng Spline đã và đang phát triển mạnh cùng với sự phát triển cực kì nhanh của tin học và máy vi tính. Đây cũng là một trong các xu hướng phát triển của toán học hiện đại. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về phương pháp xấp xỉ bằng Spline và với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn đề tài ” Spline bậc 3 và một số ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về Spline bậc 3 và một số ứng dụng liên quan đến sự phát triển của vấn đề trong những năm gần đây. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các khái niệm và tính chất Spline bậc 3 - Nghiên cứu cách tìm xấp xỉ tốt cho đa thức và cho việc giải gần đúng phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Spline bậc 3 - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến phương pháp xấp xỉ bằng Spline. 5. Phương pháp nghiên cứu - Lấy ý kiến chuyên gia. - Phân tích, tổng hợp. 6 6. Đóng góp mới Đề tài trình bày trình bày định nghĩa và chứng minh một số tính chất của hàm spline bậc 3 cụ thể trên Hermite và Cubic spline. Ứng dụng lý thuyết spline bậc 3 vào giải xấp xỉ phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Một tập X được gọi là một không gian vectơ, nếu: • Ứng với mỗi phần tử x, y của X ta có, theo quy tắc nào đó, một phần tử của X, gọi là tổng của x với y, và được ký hiệu x + y; ứng với mỗi phần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tích của x với α và được ký hiệu αx. • Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1. x + y = y + x. 2. (x + y) + z = x + (y + z). 3. Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho x + 0 = 0 + x với mọi x ∈ X (phần tử này gọi là phần tử không). 4. Ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại duy nhất phần tử −x ∈ X sao cho x + (−x) = 0 phần tử −x được gọi là phần tử đối của x. 5. 1.x = x. 6. α(βx) = (αβ)x (α, β là những số bất kỳ). 7. (α + β)x = αx + βx. 8. α(x + y) = αx + αy. Trên đây là định nghĩa không gian vectơ thực. Nếu trong định nghĩa ấy ta thay các số thực bằng các số phức thì ta có không gian vectơ phức. Các phần tử của một không gian vectơ thường được gọi là vectơ. Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng thực E 2 Tập X = E 2 là tập E 2 = {(x 1 , x 2 ) : x 1 và x 2 các số thực} Với mỗi số thực α và các vectơ x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ) ∈ X, phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) αx = (αx 1 , αx 2 ) là không gian vectơ. Ví dụ 1.1.2. Không gian C[a, b] Không gian C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b]. 9 Với mỗi số thực α và f(t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: (f + g)(t) = f(t) + g(t), a ≤ t ≤ b(αf)(t) = αf(t) là không gian vectơ Ví dụ 1.1.3. P n [a, b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a, b] là không gian vectơ 1.2. Vec tơ độc lập tuyến tính, không gian con Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ X là một tổng có dạng: α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α n x n Các vectơ x 1 , x 2 , . . . , x n được gọi là độc lập tuyến tính nếu α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . α n x n = 0 ⇒ α 1 = α 2 = . . . α n = 0 Các vectơ x 1 , x 2 , . . . , x n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính, tức là tồn tại những số α 1 , α 2 , . . . , α n trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho: α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α n x n = 0 Ví dụ, hai vectơ x và (-x) là phụ thuộc tuyến tính vì: 1.x + (1)(−x) = 0 Nếu trong các vectơ x 1 , x 2 , . . . , x n có một vectơ bằng 0 thì chúng là phụ thuộc tuyến tính. 10 [...]... tk+1 ] vào (2 .3. 11), ta được: αk−1 (tk+1 − t )3 + αk h3 + 3h2 (tk+1 − t) + 3h(tk+1 − t)2 − 3( tk+1 − t )3 + +αk+1 h3 + 3h2 (t − tk ) + 3h(t − tk )2 − 3( t − tk )3 + αk+2 (t − tk )3 = 0, ∀t ∈ [tk , tk+1 ] (2 .3. 12) Tiếp tục thay t = tk , t = tk+1 , t = tk + tk+1 , ta được: 2 αk−1 + 4αk + αk+1 = 0 (2 .3. 13) αk + 4αk+1 + αk+2 = 0 (2 .3. 14) αk−1 + 23 k + 23 k+1 + αk+2 = 0 (2 .3. 15) Đạo hàm hai vế của (2 .3. 12) ba... tn+1 lớp hàm Bi (t) như sau:   (t − ti−2 )3 ,       3 h + 3h2 (t − t ) + 3h(t − t )2 − 3( t − t )3 ,  i−1 i−1 i−1    1 Bi (t) = 3 h3 + 3h2 (ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t)2 − 3( ti+1 − t )3 ,  h     (ti+2 − t )3 ,       0, t ∈ [ti−2 , ti−1 ] t ∈ [ti−1 , ti ] t ∈ [ti , ti+1 ] t ∈ [ti+1 , ti+2 ] t ∈ [ti−2 , ti+2 ] / Mệnh đề 2 .3. 1 Bi (t) ∈ S3 (π) Chứng minh Thật vậy: Từ định nghĩa hàm Bi (t),... là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1 trên mỗi khoảng [tk−1 , tk ] nên g (t) = 0 trên [t0 , tn ] tức là g(t) = αt + β Lại có g(t0 ) = g(tn ) = 0, nên g(t) ≡ 0 Do đó s(t) = f (t) ∈ B3 (π) ⇒ S3 (π) ⊂ B3 (π) Vậy S3 (π) = B3 (π) Hệ quả 2 .3. 1 dimS3 (π) = (n + 3) và B = {B−1 , B0 , · · · , Bn+1 } là cơ sở của S3 (π) Hệ quả 2 .3. 2 Tồn tại duy nhất spline bậc 3 s(t) là nghiệm của bài toán nội suy (2 .3. 9) Hàm s... tính đạo hàm của B splines, ta tính: K(t) = ∆4 Ft (x0 ) trong đó với mỗi t thì Ft (x) = (x − t )3 + Hàm (x − t )3 được định nghĩa bởi + (x − t )3 + =    (x − t )3 , t ≤ x  0, 34 t>x Như vậy hàm Ft (x) là hàm có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R Từ đó Ft (x) là mảnh bậc 3 và dễ dàng thấy mỗi hàm Ft (x), t ∈ R là spline bậc 3 và nó thuộc S3 (π) Như vậy hàm K(t) có liên hệ gì tới các hàm B spline ? Tất nhiên... toán nội suy (2 .3. 9) Hàm s được gọi là nội suy spline bậc 3 của f 33 2 .3. 2 Đạo hàm của B - spline Như vậy chúng ta đã xây dựng thuật toán nội suy bằng Spline bậc 3 với các hàm B Spline Bi (t), −1 ≤ i ≤ n + 1 Trong mục này chúng ta nghiên cứu đạo hàm của các hàm này Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức về sai phân Ta có: ∆f (x0 ) = f (x1 ) − f (x0 ) (2 .3. 22) ∆k+1 f (x0 ) = ∆k f (x1 ) − δ k f (x0 )... 4 1  3 3 0 − h h 32    Bn+1 (t0 )    Bn+1 (t1 )       Bn+1 (tn )  Bn+1 (t0 ) (2 .3. 21) Vì A là ma trận đường chéo trội nên A không suy biến Vậy phương trình Ax = b có nghiệm duy nhất Định lý 2 .3. 2 B3 (π) = S3 (π) Chứng minh +) Từ định nghĩa của B3 (π), ta có B3 (π) ⊂ S3 (π) +) Lấy f (t) ∈ S3 (π), khi đó f (x0 ), f (xn ), f (xi )(i = 0, n) là hoàn toàn xác định Giả sử s(t) là spline. .. Hermites bậc 2m − 1 của f và nó có đạo hàm từ cấp 1 đến (m − 1) tại a và b thì |f (j) − p(j) | ≤ |f (2m) | h2m−j , (2m − j)!22m−[j] 0 ≤ j ≤ 2m − 1 trong đó [j] = j nếu j chẵn và [j] = j + 1 nếu j lẻ 2 .3 Cubic Spline 2 .3. 1 Định nghĩa đa thức Spline bậc 3 Gọi S3 (π) là tập tất cả các hàm s(t)thỏa mãn: 1 s(t) ∈ C 2 [a, b] 2 s(t) hạn chế trên mỗi đoạn con (ti , ti+1 ), 0 ≤ i ≤ n − 1, của [a,b] là đa thức bậc 3. .. với nhau và người ta chứng minh được rằng h3 K(t) = B2 (t) 2 .3. 3 Sai số Định lý 2 .3. 4 Nếu s(t) là nội suy spline bậc 3 của f (t) ∈ C 2 [a, b] thì:    f −s   f −s và ≤ ≤    f −s      f −s      f −s 2 8 f” h1.5 8 f” h0.5 ≤ 16 2 2 √ f” 2 √ ≤4 f” ≤ f” 2 h2 h 2 Chứng minh Từ f (ti ) = s(ti ), 0 ≤ i ≤ n nên theo định lý Rolles ta có : f − s = 0 có n nghiệm ηi , ti−1 < ηi < ti và thêm η0... ra phương trình (3. 2.5) có nghiệm duy nhất Trong bài toán nội suy, nội suy bằng spline thường được gọi là nội suy đa thức vì nó cho kết quả tương tự ngay cả trong trường hợp sử dụng đa thức bậc thấp Điều này đã khắc phục được nhược điểm là nếu mốc nội suy tăng lên thì bậc của đa thức nội suy rất lớn và gây khó khăn trong quá trình tính toán Hermites và B -Spline là spline bậc 3 được sử dụng phổ biến nhất... 3 f (x0 ) = f (x3 ) − 3f (x2 ) + 3f (x1 ) − f (x0 ) (2 .3. 23) ∆4 f (x0 ) = f (x4 ) − 4f (x3 ) + 6f (x2 ) − 4f (x1 ) + f (x0 ) k Hệ số của f (xk ) trong ∆n f (x0 ) chính là (−1)k Cn Định lý 2 .3. 3 Sai phân cấp n ∆n p(x) với các mốc nội suy cách đều của đa thức bậc n − 1 thì bằng không Định lý này chỉ sai khi các mốc nội suy không cách đều Ví dụ trong trường hợp p(x) = x, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 3 . xấp xỉ bằng Spline và với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn đề tài ” Spline bậc 3 và một số ứng dụng 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về Spline bậc 3 và một số ứng dụng liên quan. trình bày định nghĩa và chứng minh một số tính chất của hàm spline bậc 3 cụ thể trên Hermite và Cubic spline. Ứng dụng lý thuyết spline bậc 3 vào giải xấp xỉ phương trình vi phân và hệ phương trình. . . . . . . 35 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SPLINE BẬC 3 . . . . . . . . . . . . 39 3. 1.Giải gần đúng phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. 2.Giải gần