Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải Tích, cùng các thầy giáo, cô giáo phòng sau đại học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ban Giám hiệu và tổ Toán trường THPT Phương Sơn Lục Nam Bắc Giang đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bạn đã luôn quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn . Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giả Trần Việt Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Tác giả Trần Việt Phương Mục lục Lời mở đầu 6 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Quy tắc làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Ma trận đường chéo trội và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Phương pháp spline collocation 21 2.1 Khái niệm spline đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều . . . . . . . 21 2.1.2 Spline đa thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 2.2 Sử dụng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1 Phương pháp spline collocation . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2 bằng phương pháp spline collocation . . . . . . . . 34 2.3 Sử dụng phương pháp spline collocation cho một lớp phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Sự tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Đánh giá tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Định lý sự tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Đánh giá tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 3. Một số ứng dụng 61 3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Ứng dụng giải phương trình vi tích phân Fredholm bậc hai 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực C Tập số phức C [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] S 3 (π) Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3 . Chuẩn ∅ Tập hợp rỗng 6 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như các lĩnh vực khác của cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều vấn đề, rất nhiều bài toán đưa tới việc nghiên cứu các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này thường gặp khó khăn, hơn nữa nghiệm đúng tìm được khi áp dụng vào thực tiễn tính toán lại phải lấy các giá trị gần đúng. Vì vậy để tìm nghiệm của chúng người ta thường áp dụng các phương pháp giải gần đúng khác nhau. Những năm gần đây các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu phương pháp spline collocation giải gần đúng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Sở dĩ như vậy vì phương pháp spline collocation có một số ưu điểm sau: - Phương pháp này sử dụng các hàm đa thức trong giải gần đúng. Các hàm đa thức rất dễ dàng lập trình đưa lên máy tính, tính toán thuận lợi, hiệu quả. - Trong một số trường hợp phương pháp spline collocation thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm gần đúng tốt hơn các phương pháp khác. - Có thể khái quát cho nghiệm xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các hàm B-spline. Do đó với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã chọn đề tài: ”Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng.” 7 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kiến thức về phương pháp spline collocation. Ứng dụng phương pháp để giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống các kiến thức liên quan tới phương pháp spline collocation. Nghiên cứu sử dụng phương pháp giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày các vấn đề: Các hàm spline, phương pháp spline col- location, ứng dụng phương pháp spline collocation giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp. Tham khảo ý kiến chuyên gia. 6. Dự kiến đóng góp mới Đề tài đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp spline collocation tương đối rõ ràng, được minh họa bằng ví dụ đơn giản. Lấy được ví dụ về một số lớp phương trình riêng. Ứng dụng phền mềm Maple vào tính toán cho phương pháp trên. NỘI DUNG Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày hệ thống các kiến thức cần thiết sử dụng trong luận văn. 8 Chương 2 Phương pháp spline collocation Trình bày hệ thống cơ bản nhất về các hàm spline, phương pháp spline collocation. Minh họa phương pháp cho một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Chương 3 Một số ứng dụng Trong chương này sử dụng phương pháp spline collocation để giải gần đúng một số lớp phương trình vi phân. Sử dụng phần mềm Maple trong tính toán. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu: −→ α , −→ β , −→ γ , và trường K mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z, Giả sử trên E có hai phép toán: 1) Phép toán cộng, kí hiệu + : E × E −→ E ( −→ α , −→ β ) −→ −→ α + −→ β 2) Phép toán nhân, kí hiệu là . : K × E −→ E (x, −→ α ) −→ x. −→ α thỏa mãn các tiên đề sau: a) −→ α + −→ β = −→ β + −→ α , ∀ −→ α , −→ β ∈ E; b) ( −→ α + −→ β ) + −→ γ = −→ α + ( −→ β + −→ γ ), ∀ −→ α , −→ β , −→ γ ∈ E; c) Tồn tại −→ θ ∈ E sao cho −→ θ + −→ α = −→ α + −→ θ = −→ α , ∀ −→ α ∈ E; d) Với mỗi −→ α tồn tại −→ α  ∈ E sao cho −→ α  + −→ α = −→ α + −→ α  = −→ θ ; e) (x + y) −→ α = x −→ α + y −→ α , ∀ −→ α ∈ E và x, y ∈ K; f) x( −→ α + −→ β ) = x −→ α + x −→ β , ∀ −→ α , −→ β ∈ E và x ∈ K; 10 g) x(y −→ α ) = (xy) −→ α , ∀ −→ α ∈ E và x, y ∈ K; h) 1 · −→ α = −→ α , ∀ −→ α ∈ E và 1 là phần tử đơn vị của trường K; Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K, hay K-không gian vectơ, hay không gian tuyến tính. Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực. Khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức. Ví dụ 1.1.1. Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ. Định nghĩa 1.1.2. Hệ vectơ ( −→ α i ), ∀i = 1, 2, , n gọi là độc lập tuyến tính nếu n  i=1 x i −→ α i = 0 kéo theo x i = 0, ∀i = 1, 2, , n. Hệ vectơ ( −→ α i ), ∀i = 1, 2, , n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E là một không gian vectơ. Một hệ vectơ trong E được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là không gian vectơ hữu hạn sinh. Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.1.4. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian vectơ. Khi E là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu dimE = n (hay dim K E = n). [...]... Đồ thị φ1 (t) i 32 2.2 Sử dụng phương pháp spline collocation cho phương trình vi phân 2.2.1 Phương pháp spline collocation Cho X là không gian con của C[a, b] và các hàm {φ1 , φ2 , , φN } là các spline độc lập tuyến tính của X và cho XN = span {φ1 , φ2 , , φN } , là không gian con N chiều của X, chúng ta xét phương trình toán tử: L : C[a, b] −→ X (2.13) Lx = y, trong đó hàm số y ∈ X Chúng ta xấp xỉ... trận không suy biến nên hệ phương trình (2.18) có nghiệm duy nhất 2.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2 bằng phương pháp spline collocation Bài toán 3 Giải phương trình vi phân thường Lx(t) = x (t) − σ(t)x(t) = f (t), a≤t≤b (2.19) trong đó σ(t) > 0 và σ(t) liên tục trên đoạn [0, 1] với các điều kiện biên x(a) = x(b) = 0 Giải phương trình bằng phương pháp spline collocation chúng ta giả... Giả sử X là một không gian metric đầy đủ, và A : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho A(x∗ ) = x∗ 13 1.1.3 Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C) Định nghĩa 1.1.12 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x... sử xn là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử Lx = f trong không gian C[a, b] và x là nghiệm đúng của phương trình đó Nếu có đánh giá ||xn − x|| ≤ chk , với c là hằng số dương không phụ thuộc h, k ∈ N∗ thì ta nói nghiệm xỉ xn đạt tốc độ hội tụ bậc k tới nghiệm chính xác x (hay độ chính xác bậc hk ) Chương 2 Phương pháp spline collocation 2.1 Khái niệm spline đa thức 2.1.1 Spline đa thức bậc ba với... của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H 1.2 1.2.1 Số gần đúng và sai số Số gần đúng Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng số a là số gần đúng của a∗ nếu a không sai khác a∗ nhiều Đại lượng ∆ = |a − a∗ | phản ánh mức độ sai lệch giữa 17 a và a∗ gọi là sai số thật sự của a Định nghĩa 1.2.2 Số ∆a ≥ 0 gọi là sai số tuyệt đối của a∗ nếu thỏa mãn điều kiện: |a − a∗ | ≤ ∆a (1.1) hay a − ∆a... bằng phương pháp spline collocation có nghĩa là tìm hàm xN (t) ∈ XN có dạng: xN (t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t) + + aN φN (t), ai ∈ R thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính: N LxN (ti ) = aj Lφj (ti ) = y(ti ), 1 ≤ i ≤ N, (2.14) j=1 trong đó t1 , t2 , , tN là N điểm phân biệt của [a, b] Bất kỳ hàm xN (t) tìm được gọi là nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp spline collocation Chúng ta nghiên cứu lớp toán tử L và. .. Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a gọn hơn và gần đúng nhất với a 1.2.3 Quy tắc làm tròn số Giả sử a có dạng (1.2) ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i phần bỏ đi là µ thì a = ±(αp 10p + + αi+1 10i+1 + αi 10i ), 18 trong đó   αi nếu 0 ≥ µ ≥ 0, 5.10i hoặc µ = 0, 5.10i mà αi là số chẵn, αi =  α + 1 nếu µ > 0, 5.10i hoặc µ = 0, 5.10i mà α là số lẻ i i Định nghĩa 1.2.4 Sai số thu gọn... 2.2 Tồn tại duy nhất một spline bậc 3 s(t) là nghiệm của của bài toán (2.1) Hàm s(t) như vậy gọi là spline nội suy bậc 3 của f(t) Các spline bậc 3 nội suy đến hàm f (t) không phải chỉ là đa thức nội suy bậc 3 của f (t) tại các điểm nút ti , 0 ≤ i ≤ n nói trên Thực tế, nhiều vô hạn spline, có thể chứng minh một cách hoàn toàn tương tự chứng minh định lý (2.2.1) rằng, tồn tại duy nhất spline s(t) cho bởi... cho nghiệm collocation tồn tại và duy nhất Chúng ta xét ví dụ: Ví dụ 2.2.1 Giả sử bài toán biên Lx(t) = x (t) + p(t)x (t) + q(t)x(t) = f (t), 0 ≤ t ≤ 1, 33 x(0) = x(1) = 0, có nghiệm đúng duy nhất x(t) với p(t), q(t), f (t) liên tục trên [0, 1] Để xấp xỉ x(t) bằng phương pháp spline collocation, chúng ta xét phân hoạch π : 0 = t0 < t1 < t2 < < tn = 1 của [0, 1] và giả sử φi (t) = Bi (t) là spline bậc... lệch giữa a và a∗ càng ít Định nghĩa 1.2.3 Số δa = 1.2.2 ∆a |a| gọi là sai số tương đối của a Làm tròn số Số thập phân tổng quát có dạng: a = ±(αp 10p + + αi 10i + + αp−s 10p−s ) (1.2) trong đó αj ∈ N, 0 ≤ αj ≤ 9, j = p − 1, p − s, αp > 0, a) Nếu p − s 0 thì a là số nguyên nên a có giá trị chính xác, b) Nếu p − s = −k(k 0)) thì a có phần lẻ là k chữ số, c) Nếu p − s → −∞(s → +∞) thì a là số thập phân . tài: Phương pháp spline collocation và một số ứng dụng. ” 7 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kiến thức về phương pháp spline collocation. Ứng dụng phương pháp để giải gần đúng một số lớp phương. hàm spline, phương pháp spline collocation. Minh họa phương pháp cho một số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Chương 3 Một số ứng dụng Trong chương này sử dụng phương pháp spline. . . . 32 2.2.2 Giải một lớp phương trình vi phân thường bậc 2 bằng phương pháp spline collocation . . . . . . . . 34 2.3 Sử dụng phương pháp spline collocation cho một lớp phương trình đạo hàm