Phương pháp xác suất và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- TRƯƠNG THỊ THÙY NGA PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- TRƯƠNG THỊ THÙY NGA PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn: TS NGUYỄN HẮC HẢI Hà Nội - 2017 Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan iv MỞ ĐẦU v NỘI DUNG 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Định nghĩa xác suất 1.1.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển 1.1.2 Định nghĩa xác suất tần suất 1.1.3 Định nghĩa xác suất hình học Một số tính chất xác suất 1.2.1 Tính chất 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Tính chất Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối 1.3.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.3.2 Hàm phân phối Một số khái niệm đồ thị Phương pháp xác suất số ứng dụng 2.1 Đại cương phương pháp xác suất i 6 2.2 2.3 Một số phương pháp xác suất 10 2.2.1 Phương pháp sử dụng tính chất xác suất 10 2.2.2 Phương pháp sử dụng tính chất tuyến tính kỳ vọng 17 Chứng minh định lý Weierstrass 26 Ứng dụng phương pháp xác suất di truyền quần thể toán sơ cấp 3.1 3.2 3.3 29 Ứng dụng di truyền quần thể 29 3.1.1 Lý thuyết xác suất di truyền quần thể 29 3.1.2 Vận dụng xác suất di truyền quần thể người 32 Ứng dụng toán sơ cấp 35 3.2.1 Ứng dụng chương trình phổ thơng 35 3.2.2 Ứng dụng toán thi Olimpic 38 Một số ứng dụng khác 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hắc Hải, giảng viên khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội trực tiếp giao đề tài hướng dẫn tơi tận tình, cho tơi kiến thức kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình thực hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo tơi tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tơi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2017 Học viên Trương Thị Thùy Nga iii Lời cam đoan Luận văn tơi hồn thành hướng dẫn tiến sĩ Nguyễn Hắc Hải với cố gắng thân Trong q trình thực tơi có tham khảo số tài liệu (được nói đến mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn kết trình tìm hiểu, học tập tiếp thu hướng dẫn, dạy thầy Nguyễn Hắc Hải Những nội dung khơng trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2017 Học viên Trương Thị Thùy Nga iv Mở đầu Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, phương pháp xác suất phát triển nhanh chóng có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Ý tưởng phương pháp xây dựng không gian xác suất hợp lý để chứng minh tính chất tập hợp đối tượng chứng minh lại kết tốn học có Phương pháp xác suất đặc biệt ứng dụng đại số tổ hợp khoa học máy tính - lĩnh vực mà gần nguồn gốc nhiều toán tổ hợp hấp dẫn Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp xác xuất số vấn đề Toán tổ hợp xác xuất, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ” cho luận văn thạc sĩ Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên nội dung đề cập đến luận văn Ngồi luận văn tránh khỏi sai sót nhiều góc độ, mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn Mục đích nghiên cứu Đưa khía cạnh khác giải số vấn đề không dựa vào cách chứng minh túy mà dựa vào phương pháp xác suất để giải vấn đề Xây dựng tài liệu phương pháp xác suất ứng dụng vào việc tính v xác suất hay chứng minh vấn đề cụ thể phương pháp xác suất Với hi vọng đóng góp phần nhỏ hệ thống vô lớn tài liệu phương pháp xác suất Và đặc biệt hi vọng kết nghiên cứu nêu luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho cá nhân muốn tìm hiểu phương pháp xác suất Nhiệm vụ nghiên cứu Qua vấn đề nêu luận văn, ta sử dụng công cụ phương pháp xác suất để làm rõ vấn đề thơng qua tính chất xác suất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tìm hiểu cách sử dụng phương pháp xác suất ứng dụng phương pháp xác suất vào số toán tổ hợp từ đơn giản đến phức tạp kỳ thi Olimpic nước, kết chứng minh lý thuyết đồ thị, toán di truyền quần thể thực tế sống Dự kiến đóng góp Luận văn tài liệu hệ thống đầy đủ, khoa học, dễ hiểu vấn đề phương pháp xác suất áp dụng phương pháp xác suất vào giải số vấn đề Luận văn trình bày theo hướng từ lý thuyết qua giải ví dụ từ đơn giản đến phức tạp Vì tơi hi vọng cung cấp tài liệu hữu ích cho việc nghiên cứu tìm hiểu cách phương pháp xác suất cho người vi Phương pháp nghiên cứu Luận văn hoàn thiện dựa nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu thực tiễn dựa vào phân tích tổng kết kinh nghiệm quan sát khoa học vii Nội dung Luận văn tốt nghiệp chia thành ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung cụ thể Chương 1, Chương 2, Chương luận văn phân bố sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa xác suất 1.2 Một số tính chất xác suất 1.3 Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối 1.4 Một số khái niệm đồ thị Chương 2: Phương pháp xác suất số ứng dụng 2.1 Đại cương phương pháp xác suất 2.2 Một số phương pháp xác suất 2.3 Chứng minh định lý Weierstrass Chương 3: Ứng dụng phương pháp xác suất di truyền quần thể toán sơ cấp 3.1 Ứng dụng di truyền quần thể 3.2 Ứng dụng toán sơ cấp 3.3 Một số ứng dụng khác viii Lời giải Tô cách ngẫu nhiên điểm màu đen trắng, điểm tơ màu đen với xác suất x Với đa giác lồi P , gọi EP kiện mà tất đỉnh P màu đen, tất đỉnh nằm bên P màu trắng Dễ thấy: P (EP ) = xa(P ) (1 − x)b(P ) Do đa giác P khác nên EP đôi xung khắc với nhau, ta có: P( EP ) = P Mà xa(P ) (1 − x)b(P ) P (EP ) = P P P (EP ) = (EP ) hệ kiện đầy đủ P Do vậy: xa(P ) (1 − x)b(P ) = P Ta có điều phải chứng minh 3.2.2 Ứng dụng toán thi Olimpic Bài toán 1( MathLink.ro 2008) Cho A1 , , An B1 , , Bn tập hữu hạn khác N cho: ❼ Với i, Ai ∩ Bi = ∅ ❼ Với i = j, (Ai ∩ Bj ) ∪ (Aj ∩ Bi ) = ∅ Chứng minh rằng, với số thực ≤ p ≤ 1, p|Ai | (1 − p)|Bi | ≤ i Chú ý: Kết thuộc Tuza (1985) 38 Lời giải Xét tập ngẫu nhiên đơn giản không gian cách lấy phần tử với xác suất p Gọi Ei kiện mà phần tử Ai chọn phần tử Bi khơng chọn Khi P (Ei ) = p|Ai | (1 − p)|Bi | Do Ei kiện đôi xung khắc với nhau, P (∪Ei ) xác p|Ai | (1 − p)|Bi | ≤ suất mà vài Ei xảy ra, P (∪Ei ) = i Bổ đề 3.4 Cho X biến ngẫu nhiên Khi tồn vài giá trị không gian xác suất với X ≥ E[X] vài giá trị không gian xác suất với X ≤ E[X] Dựa vào bổ đề trên, xem xét toán Bài tốn 2(Nga 4/1996) Trong Viện Đu-ma có 1600 đại biểu, thành lập 16000 ủy ban, ủy ban gồm 80 người Chứng minh ta tìm thấy ủy ban có thành viên chung Lời giải Chọn cặp ủy ban ngẫu nhiên số 16000 cặp Gọi X số người hai ủy ban chọn, ý rằng: X = X1 + + X1600 Với người thứ i ta xác định biến ngẫu nhiên Xi sau:    người thứ i thuộc hai ủy ban Xi =   ngược lại 39 Bằng tuyến tính kỳ vọng: E[X] = E[X1 ] + + E[X1600 ] Điều kỳ diệu E[Xi ] q dễ để tính tốn Gọi ni số ủy ban có người thứ i Khi E[Xi ] = P [ người thứ i hai ủy ban chọn ] = ni 16000 Mà: ni = 16000.80 i Do ta có: E[X] = E[Xi ] = i ≥ 1600 ( i ) − i ni 16000 ni 16000 i ni = 2 i (ni − ni ) 16000 ≈ 3.995 Vì X ln ln số nguyên nên kết kiện phải có X ≥ Vậy kết luận có số cặp ủy ban có ≥ thành viên chung Bài toán 3(MOP 1/7/2007) Trong ma trận cỡ n × n, số 1, 2, , n xuất n lần Chỉ tồn hàng cột ma trận mà có √ n số khác Lời giải Chọn ngẫu nhiên hàng cột, có 2n cách chọn Gọi X số số khác Ta cần E(X) ≥ √ n Gọi Ii biến ngẫu nhiên xác định sau:    số thứ i xuất dòng cột chọn (có thể nhiều một) Ii =   ngược lại 40 Khi ta có: X = Ii i Rõ ràng: E[Ii ] = P [Ii ≥ 1] Đặt A = {(p, q)| phần tử vị trí (p, q) i} Ở (p, q) ký hiệu cho vị trí dòng thứ p, cột thứ q ma trận cỡ n × n Khi |A| = n Ta nhận thấy số kết thuận lợi để i xuất dòng cột chọn số dòng cột chứa i Gọi B = {p|(p, q) ∈ A} C = {q|(p, q) ∈ A} Vì (p, q) ∈ A nên p ∈ B q ∈ C , A ⊆ B × C Mà: |B|.|C| = |B × C| ≥ |A| = n Vì |B| |C| số dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: |B| + |C| ≥ √ |B|.|C| ≥ n Sử dụng tính chất tuyến tính kỳ vọng kết hợp với bất đẳng thức vừa nêu ta được: n E(X) = i=1 √ n √ = n E(Ii ) = n.P (Ii ≥ 1) ≥ n 2n Bài toán 4(IMO C4/1999) Cho A tập n lớp thặng dư modulo n2 Chỉ tồn tập B n lớp thặng dư modulo n2 cho nửa lớp thặng dư modulo n2 viết dạng: a + b với a ∈ A, b ∈ B Lời giải Lấy n biến ngẫu nhiên độc lập chọn từ n2 lớp thặng dư (có (n2 )n cách chọn) tập hợp chúng vào tập B Chú ý trình chọn độc lập 41 nên tập cuối thu có lực lượng ≤ n Nhưng xảy nửa lớp thặng dư biểu diễn dạng a + b với a ∈ A b ∈ B tăng B tùy ý đến có lực lượng lớn |B| = n Gọi X biến ngẫu nhiên số lớp thặng dư viết dạng: a + b, ta chứng minh E(X) ≥ n2 Với lớp thặng dư khả i, có xác n cách để chọn vài b cho i ∈ A + b, |A| = n Do số khả thuận lợi để lớp thặng dư i không xuất A + B (n2 − n)n Khi đó: n P(Lớp thặng dư i khơng xuất A + B) = ( n n−n ) Do đó: P (Lớp thặng dư i xuất A + B ) = − ( n2 − n n ) = − (1 − )n n n Gọi Ii biền ngẫu nhiên xác định sau:    lớp thặng dư i xuất A + B Ii =   ngược lại Khi đó: E(Ii ) = n2 P (Ii = 1) = n2 (1 − (1 − E[X] = i Do x ≥ 1+x với x ∈ R nên 1− ≤ n E[X] = n2 (1 − (1 − −1 n n ) ) n , kết hợp với sử dụng ≈ 2, 718 ta được: n n2 ) ) ≥ n2 (1 − ) > n Ta điều phải chứng minh Bài toán 5(Định lý Turan) Cho G đồ thị có n đỉnh bậc trung bình d Chứng minh tìm thấy tập S gồm đỉnh khơng kề có lực lượng n d+1 42 Chú ý: Đây gọi tập độc lập, kết chặt hợp cặp rời Kd+1 khơng có tập độc lập có lực lượng lớn n d+1 Lời giải Xét thứ tự ngẫu nhiên đỉnh V , ký hiệu dv bậc đỉnh v ∈ V Khi tập chứa v đỉnh kề có lực lượng dv + Do đó: P (v đứng trước tất đỉnh kề thứ tự trên) = dv + Nếu gọi S tập tất đỉnh v cho v đứng trước tất đỉnh kề theo thứ tự rõ ràng S tập độc lập và: dv + E(|S|) = v Điều chứng tỏ tồn tập độc lập S có lực lượng ≥ v Do d bậc trung bình đồ thị G nên dv + dv = nd v n ≥ Áp dụng bất đẳng thức: i=1 n2 n i=1 (ai ) Do thay vào ta có tồn tập độc lập S mà có lực lượng thỏa mãn ≥ v ≥ dv + n2 n2 n = = nd + n d + (d ) v v Bài toán 6(Bollobas, 1965) Cho A1 , , An B1 , , Bn tập khác N cho: ❼ Mọi |Ai | = r, |Bi | = s ❼ Với i, Ai ∩ Bi = ∅ ❼ Với i = j, Ai ∩ Bj = ∅ Chứng minh rằng: n ≤ r+s r 43 Lời giải ( Đây chứng minh Alon-Spencer ) Cho không gian X hợp tất Ai Bj Lấy ngẫu nhiên hoán vị X Định nghĩa kiện Xi tất phần tử Ai đứng trước tất phần tử Bi hoán vị Dễ dàng kiểm tra tất n kiện Xi đôi xung khắc với P [Xi ] = r+s −1 r Nhưng tổng xác suất ≤ 1, nên ta có điều phải chứng minh Bài tốn 7(Alon- Spencer, Exercise 1.7) Cho A1 , , An B1 , , Bn tập khác N cho: ❼ Mọi |Ai | = r, |Bi | = s ❼ Với i, Ai ∩ Bi = ∅ ❼ Với i = j, (Ai ∩ Bj ) ∪ (Aj ∩ Bi ) = ∅ Chứng minh rằng: n ≤ (r + s)(r+s) rr ss Lời giải Đặt vào kết với p = r s r+s r+s Thơng thường, ta làm sau: n Ai ∪ Bi tập sở Đặt X := i=1 r xét đồng xu mà có mặt A mặt r+s B với xác suất mặt A xuất p Với phần tử X , tung đồng xu Định nghĩa p := cách độc lập, điều định nghĩa ánh xạ f : X → {A, B} Định nghĩa họ kiện {Ei }1n việc có Ei xảy tất phần tử x ∈ Ai có f (x) = A tất phần tử y ∈ Bi có f (y) = B Chú ý Ei Ej không xảy đồng thời i = j , ngược lại tồn vài phần tử nằm Ai ∩ Bj Aj ∩ Bi khơng A khơng B , mâu thuẫn Do kiện Ei rời 44 Vì thế, giống toán trước, ta xem xét xác suất Ei xảy Rõ ràng: P (Ei ) = pr (1 − p)s , ≤ i ≤ n Vì kiện rời nên: n P (Ei ) = n.pr (1 − p)s i=1 Vì tất xác suất bị chặn 1, nên: n ≥ P( n P (Ei ) = n.p−r (1 − p)−s Ei ) = i=1 i=1 Hay n ≤ p−r (1 − p)−s (∗) Thay p := r vào (∗) ta được: r+s n≤ (r + s)(r+s) rr ss Ta có điều phải chứng minh 3.3 Một số ứng dụng khác Trong phần lại chương, tìm hiểu tốn tiếng Buffon số π , áp dụng xác suất để tính gần giá trị số π số toán sống thường ngày Bài toán 1: Trên mặt phẳng bàn kẻ đường song song cách a Người ta thả ngẫu nhiên bút chì có độ dài b (b ≤ a) lên mặt phẳng bàn Tính xác suất để bút chì cắt đường kẻ trên? 45 Lời giải Gọi x khoảng cách từ điểm bút chì tới đường kẻ gần Gọi θ góc tạo chiều dài bút chì đường kẻ (x, θ) xác định vị trí bút chì Ta có khơng gian xác suất: a Ω = {(x, θ) : ≤ x ≤ , ≤ θ ≤ π} b Theo ta có bút chì cắt đường kẻ ⇔ x ≤ sin θ b Gọi A = {(x, θ) : x ≤ sin θ} ta có: P (A) = π b ( sin θ)dθ b = a aπ π Áp dụng tính gần giá trị số π Thực ném n lần bút chì, có m lần cắt Với n đủ lớn thì: P (A) ≈ b m bn m ⇒ ≈ ⇔π≈ n aπ n am Dưới số kết gần giá trị số π sau nhiều lần thử nghiệm nhà khoa học tiếng 46 Các nhà KH b a Volf 1850 0,8 5000 2532 3,1595577 Smit 1855 0,6 3204 1218 3,15665 Demorgan 1860 600 3,133159 Lazzarini 1901 n m 383 π 0,8301 3408 1801 3,1415929 Gridzemen 1960 0,7857 3,1428 Bài tốn 2: Có nên mua mua số đề không hay không ? Đánh đề vấn nạn xã hội, đánh đề lời hay lỗ mà nhiều người lại đam mê đến vậy? Chúng ta thử dùng phương pháp xác suất để giải thích Luật chơi đề sau: Bạn đặt số tiền, nói đơn giản X (đồng) vào số từ 00 đến 99 Mục đích người chơi đề số trùng vào chữ số cuối giải xổ số đặc biệt Nhà nước phát hành ngày Nếu số bạn trùng, bạn 70X (đồng) (tức 70 lần số tiền đầu tư) Nếu không trúng, bạn x (đồng) đặt cược lúc đầu 47 Quan niệm sai lầm: Rất nhiều người nghĩ sau Nếu bỏ số tiền 100.000 đồng để chơi đề Nếu trúng triệu đồng tức lời 6, triệu Tuy nhiên, thua có bị lỗ 100.000 đồng Quá lời!!! Vậy đâu sai lầm cách nghĩ này? Câu trả lời là, bạn khơng tính đến xác suất trúng có lớn hay khơng, xác suất nhỏ, bạn đánh hồi mà khơng thắng Có nghĩa bạn ln bị lỗ Vậy lời giải trình bày sau Lời giải Vì có số trúng 100 số nên xác suất trúng là: = 1% 100 Nên xác suất bạn thua − 1% = 99% Khi ta có bảng sau: Xác suất Tiền lãi Trung bình Thắng Thua 1% 99% 6.900.000 -100.000 69.000 -99.000 Như lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn lỗ khoản 30.000 đồng Bàn luận thêm: Với cách làm tương tự bạn giải thích vấn đề mua vé số, chơi bài, Bài toán 3: Chia giải thưởng cho công ? Hai đối thủ ngang tài nhau, chơi trận đấu đủ tranh chức vô địch để giành phần thưởng Người thắng người thắng ván đấu Tuy nhiên lý bất khả kháng trò chơi phải dừng lại khơng tiếp tục Khi đó, người I thắng ván, người II thắng ván Vậy phải phân chia phần thưởng hợp lý? 48 Quan niệm sai lầm: - Có người cho rằng, nên chia giải thưởng theo tỉ lệ : 3, theo tỉ lệ thắng người chơi - Ý kiến khác chia theo : 1, người I người II trận, mà trận trận, nên người I nhận giải, lại chia đơi (tức người I II nhận thêm giải) Nhưng lý giải điều sai Tại cần phải chia giải thưởng theo khả thắng thua đấu thủ Có nghĩa xác suất người I thắng cao người I nhận quà nhiều Cụ thể sau: Lời giải Yêu cầu đặt xác suất thắng người I bao nhiêu? Nghe phức tạp, đơn giản tính xác suất người I thua, tức xác suất người II thắng Mà khả người II thắng có khả thắng liên tiếp trận Như ta biết trận có khả xảy người II thắng thua Nên tổng khả trận 2.2.2 = trường hợp Vậy xác suất người II thắng là: = 8 Tóm lại, phải chia phần thưởng theo tỉ lệ : hợp lý Suy ra, xác suất người I thắng − Bài toán 4: Đếm số cá hồ Đây tốn thường ngày người ngư dân ni cá Sau khoảng thời gian nuôi cá, họ muốn biết xem số cá có hồ họ để có kế hoạch ni cách Tuy nhiên, vấn đề đặt bắt hết cá lên bờ, sau đếm thủ cơng được, ảnh hưởng khơng tốt đến Lời giải 49 Các bước thực sau: − Bước 1: Bắt lượng n cá lên, giả sử n = 50, đánh dấu chúng sau thả lại vào hồ − Bước 2: Bắt đại lượng cá lên, tính tỉ lệ p số lượng cá đánh dấu Ví dụ: Bắt 20 cá, thấy có đánh dấu, tức p = = 10% 20 n 50 − Bước 3: Ước lượng tổng số cá Như ví dụ = 500 cá p 10% Trên thực tế, số cá phân bố không nên ngư dân phải thực ước lượng số cá nhiều lần, sau tính trung bình lại, lúc kết xác Bàn luận thêm: Cách làm ước lượng tỷ lệ số cá đánh dấu, nhiên số vấn đề để suy ngẫm như: − Bắt cá lên để đánh dấu − Chọn mẫu cá lên để tính tỉ lệ − Ước lượng xác phần trăm Nếu bạn muốn nghiên cứu sâu hơn, bạn tìm tài liệu xác suất thống kê bậc đại học, phần ước lượng, cung cấp cho bạn phương pháp ước lượng xác Ngoài ra, việc ước lượng thường xuyên dùng thực tế như: Tính chiều cao trung bình người Việt Nam, Ước lượng tỷ lệ bầu cử trước ứng cử, điều tra dân số, kiểm tra chất lượng sản phẩm , 50 KẾT LUẬN Luận văn với đề tài PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG tôi, hi vọng gửi đến cho người nhìn phương pháp xác suất ứng dụng phương pháp vào số toán cụ thể toán sơ cấp, lý thuyết đồ thị lý thuyết tập hợp sống ngày thơng qua sử dụng tính chất xác suất tính chất tuyến tính kỳ vọng để giải chúng Ngồi tốn sơ cấp, lý thuyết đồ thị lý thuyết tập hợp, phương pháp xác suất ứng dụng lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên toán thực tế Hi vọng qua tài liệu này, người ngày hứng thú với cách sử dụng phương pháp xác suất để giải vấn đề toán học thực tế 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1.] Nguyễn Hắc Hải, Phạm Văn Kiều, Vũ Viết Yên(2011), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học sư phạm [2.] Võ Thị Thanh Huyền(2014),Phương pháp xác suất toán sơ cấp [3.] Phan Huy Khải(2014), Các toán tổ hợp, NXB Giáo dục Việt Nam [4.] Phan Khắc Nghệ(2016), Phương pháp giải toán xác suất sinh học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5.] Ngô Đắc Tân(2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc Gia [6.] Noga Alon, Joel.H.Spencer(2000), The Probabilitstic Method, John Wiley & Sons, Inc, New York [7.] Po-Shen Loh(2009), Probabilitstic Method in Combinatorics, Internet 52 ... nghĩa xác suất 1.2 Một số tính chất xác suất 1.3 Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối 1.4 Một số khái niệm đồ thị Chương 2: Phương pháp xác suất số ứng dụng 2.1 Đại cương phương pháp xác suất 2.2 Một. .. Một số khái niệm đồ thị Phương pháp xác suất số ứng dụng 2.1 Đại cương phương pháp xác suất i 6 2.2 2.3 Một số phương pháp xác suất ... thác, giải số vấn đề toán sơ cấp lý thuyết đồ thị phương pháp xác suất 2.2 Một số phương pháp xác suất Trong luận văn trình bày qua hai phương pháp xác suất sử dụng tính chất xác suất sử dụng tính