Các phương pháp hàm Spline và một số ứng dụng

Lý do chọn đề tài Trong khoa học, kĩ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán cần phải tínhđược giá trị của hàm số tại một điểm nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại mộtđiểm của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN TUẤN

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng

dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn.

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn,

người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giảtrong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Đồng thời, tác giả cũng xin đượcgửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại hoc sưphạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toángiải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Nhân dịp này tác giả cũngxin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp trong trườngTHPT Đa Phúc - Sóc Sơn - Hà Nội ( nơi tác giả đang công tác) đã luôn cổ vũ, độngviên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận vănnày

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014

Tác giả

Lã Thị Ngọ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được

hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn Trong khi nghiên cứu

luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọngbiết ơn

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014

Tác giả

Lã Thị Ngọ

Mục lục

1.1 Không gian tuyến tính 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con 4

1.2 Không gian định chuẩn 6

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 6

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 7

1.2.3 Sai số 8

1.2.4 Xấp xỉ tốt nhất 9

1.2.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ 9

1.2.6 Ma trận đường chéo trội 10

1.3 Không gian Hilbert 10

1.3.1 Mở đầu 10

1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert 11

1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn 11

1.3.4 Một số kết quả cơ bản 13

iii

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B-SPLINE 15

2.1 Mở đầu về hàm spline và B-spline 15

2.1.1 Tổ hợp lồi và bao lồi 15

2.1.2 Các khái niệm cơ bản 17

2.1.3 Nội suy các đường cong đa thức 18

2.1.4 Xây dựng đường cong spline 19

2.1.5 Giới thiệu đường cong spline theo các hàm số cơ bản 23

2.2 Tính chất cơ bản của spline và B-spline 25

2.2.1 Một vài hệ quả đơn giản của hệ thức truy hồi 25

2.2.2 Các tổ hợp tuyến tính của B - spline 29

2.2.3 Ma trận biểu diễn của các B - spline 32

2.2.4 Thuật toán để ước lượng một spline 35

3 NỘI SUY HÀM SPLINE 36 3.1 Các phương pháp xấp xỉ địa phương 36

3.1.1 Nội suy tuyến tính 36

3.1.2 Nội suy bậc ba Hermite 37

3.1.3 Ước lượng các đạo hàm 39

3.2 Nội suy spline bậc ba 40

3.3 Phép tính xấp xỉ spline tổng quát 42

3.4 Áp dụng 43

3.4.1 Nội suy bằng hàm spline bậc 1 43

3.4.2 Nội suy bằng hàm spline bậc 2 53

iv

N Tập số tự nhiên

Z Tập các số nguyên

R Tập số thực

C Tập số phức

S3 Không gian các hàm Spline bậc 3

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong khoa học, kĩ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán cần phải tínhđược giá trị của hàm số tại một điểm nhưng để tính đúng giá trị của hàm số tại mộtđiểm của một số hàm gặp rất nhiều khó khăn ví dụ như hàm số mũ, hàm lượng giác,hàm số logarit, Để giải quyết vấn đề này người ta đã nghiên cứu nhiều phương phápkhác nhau Trong đó phương pháp hàm Spline đang được nhiều nhà toán học trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Áp dụng hàm spline và phương pháp nội suy đểxấp xỉ hàm số người ta chia khoảng xác định thành nhiều đoạn, trên mỗi đoạn ta xấp

xỉ bằng một hàm spline, từ đó ta xấp xỉ được hàm số đã cho.Tính xấp xỉ giá trị củahàm số tại một điểm bằng phương pháp hàm Spline rất thuận lợi vì nó là những hàm

đa thức nên việc tính toán, lập trình với hàm đa thức rất thuận tiện và dễ dàng

Do vậy, với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Tuấn, tôi đã nghiên cứu luận văn: “

Các phương pháp hàm Spline và một số ứng dụng”.

Bố cục của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm cơ bản để sử dụng cho các chươngsau

Chương 2 của luận văn trình bày về các khái niệm và tính chất của hàm spline vàB-spline

Chương 3 của luận văn trình bày về nội suy hàm spline và ứng dụng phần mềm Maplevào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu để nắm được một số phương pháp hàm spline

Ứng dụng hàm Spline để tính giá trị của hàm số tại một điểm và một số ứng dụngkhác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline

Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline

Ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline

Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, tham khảo ý kiến chuyên gia

6 Giả thuyết khoa học

Áp dụng phương pháp spline để xấp xỉ một lớp hàm có nhiều ứng dụng trongthực tế

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi viết

theo lối cộng (+) và một ánh xạ ψ : K × X → X Với mỗi α ∈ K và mỗi x ∈ X thì phần tử ψ(α, x) được gọi là tích của số α với phần tử x và được kí hiệu αx Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:

3

là không gian tuyến tính.

Ví dụ 1.1.2 Không gian C[a, b]

Không gian C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b].

Với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa:

(f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b

(αf )(t) = αf (t)

là không gian tuyến tính.

Ví dụ 1.1.3 P n [a, b], không gian các đa thức bậc n trên đoạn [a, b] là không gian tuyến

tính.

1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian con

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tuyến tính.

Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1, x2, , x n ∈ X là một tổng có dạng:

α1x1 + α2x2 + + α n x n Các vectơ x1, x2, , x n được gọi là độc lập tuyến tính nếu

α1x1+ α2x2+ + α n x n = 0⇒ α1 = α2 = = α n == θ

Các vectơ x1, x2, , x n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc

lập tuyến tính, tức là tồn tại những số α1, α2, , α n trong đó có ít nhất một số khác

0, sao cho:

α1x1+ α2x2+ + α n x n= 0

Các không gian k chiều, với k là một số nguyên không âm bất kì gọi là không

gian hữu hạn chiều

Một không gian vô hạn chiều tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơ độc

x = α1x1+ α2x2+ + α k x k

Các số α1, α2, , α k là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở x1, x2, , x k Nếu talàm phép ánh xạ 1− 1 : x ↔ (α1, α2, , α k ) thì đó là một phép đẳng cấu giữa X và

Rk Như vậy không gian tuyến tính k chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian Rk

Định nghĩa 1.1.3 Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một

không gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhân phần

A khác rỗng, giao của họ các không gian ấy cũng là một không gian con và là không

gian con nhỏ nhất bao hàm A Không gian này gọi là không gian con sinh bởi tập A.

Như vậy, không gian con sinh bởi A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu

hạn:

α1x1+ α2x2+ + α k x k

của những phần tử của A.

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X, trong

đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số ∥x∥, gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi

x, y ∈ X, và mọi số α thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1) ∥x∥ > 0 nếu x ̸= 0; ∥x∥ = 0 nếu x = 0.

2) ∥αx∥ = |α| · ∥x∥.

3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (bất đẳng thức tam giác).

Ví dụ 1.2.1 Không gianR2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường chọn là chuẩn:

∥x∥2 =

√

x2

1+ x2 2

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:

∥x∥1 =|x1| + |x2| hay

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn và {x n } ∞

n=1 ⊂ X, x0 ∈ X.

1) x n −→ x0 (dãy x n hội tụ tới x0) có nghĩa là∥x n − x0∥ −→ 0.

2) Nếu x n −→ x0 thì ∥x n ∥ −→ ∥x0∥, tức là chuẩn ∥x n ∥ là một hàm liên tục của x.

3) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x n hội tụ thì ∃M ∈ R, M > 0, ∀n, ∥x n ∥ ≤

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là:∥x n −x m ∥ →

0 kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho x n → x0, thì không gian đó được gọi là khônggian đủ thường gọi là không gian Banach

1.2.3 Sai số

Trong thực tế khi giải quyết các bài toán về kĩ thuật và vật lý ta thường khôngbiết chính xác giá trị của một đại lượng nào đó Số liệu ban đầu mà ta có trong cácbài toán trên được gọi là số gần đúng Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với

số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán Do đó đi nghiêncứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trongviệc giải bài toán

Định nghĩa 1.2.3 Số a được gọi là số gần đúng của số a ∗ nếu a sai khác với a ∗ không nhiều.

Kí hiệu a ≈ a ∗ .

Định nghĩa 1.2.4 Đại lượng ∆ = |a − a ∗ | được gọi là sai số thực sự của a.

Nói chung ta không biết a ∗ nên ta không biết ∆ Tuy nhiên ta có thể ước lượng

sai số thực sự của a bằng số dương ∆a ≥ 0 sao cho:

|a − a ∗ | 6△ a (1.1)

Định nghĩa 1.2.5 Số ∆a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2.1) gọi là sai số tuyệt đối

của số gần đúng a.

Khi đó a ∗ = a ± ∆a.

Định nghĩa 1.2.6 Số δa = ∆a

|a| được gọi là sai số tương đối của a.

Ví dụ 1.2.3 Giả sử a ∗ = π và a = 3, 14.

Do 3, 14 < π < 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01.

Do 3, 14 < π < 3, 142 = 3, 14 + 0, 002 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 002.

Ví dụ 1.2.4 Đo độ dài đoạn thẳng AB và CD ta thu được a = 10m ± 0, 01m; b =

Cho X =R2, M = (1, y) : y ∈ R ∪ (−1, y) : y ∈ R, p = (0; 0) Trong trường hợp

này tồn tại hai xấp xỉ tốt nhất z1 = (−1, 0), z2 = (1, 0).

Định lý 1.2.1 Nếu X là không gian định chuẩn với chuẩn ∥∥ và X N là không gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi x ∈ X tồn tại xấp xỉ tốt nhất x N ∈ X N , tức là:

Từ ∥x∥ là hàm liên tục của x nên K là tập đóng và bị chặn Mà K là không

gian hữu hạn chiều nên K compact.

Đặt g(z) = ∥x − z∥, z ∈ K Khi đó, g là hàm liên tục của z.

Do K compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm x N ∈ K.

Vậy ∥x − x N ∥ = min y ∈K ∥x − y∥.

1.2.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ

Cho đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia

x i , i = 0, n thỏa mãn:

x0 = a < x1 < x2 < < x n = b

thì x ∗ được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm x.

1.2.6 Ma trận đường chéo trội

Định nghĩa 1.2.8 Cho ma trận vuông A = (a ij)n

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là một không gian tuyến tính.

Ánh xạ ψ : X × X → R thỏa mãn các điều kiện:

1 ψ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ X;

Nhận xét Nếu X là một không gian tuyến tính trên đó có xác định một tích vô

hướng (·),khi đó ánh xạ ∥ · ∥ : X → R xác định bởi ∥x∥ =√(x, x) là một chuẩn trên

X và X cùng với chuẩn đó là một không gian tuyến tính định chuẩn.

Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh bởi tích vô hướng.

Từ đó có ánh xạ d : X × X → R xác định bởi:

d(x, y) = ∥x − y∥ =√(x − y, x − y)

là một hàm khoảng cách trên X và (X, d) là một không gian metric Khoảng

cách d vừa xác định được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi tích vô hướng

1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.2 Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng ( ·) Nếu cùng với khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà (X, d) trở thành một không gian metric đủ thì lúc đó X cùng với tích vô hướng ( ·) được gọi là một không gian Hilbert.

1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn

Định nghĩa 1.3.3 Hệ vô hạn các phần tử {x i } i ∈I thuộc không gian tuyến tính X được

gọi là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn các phần tử của nó là độc lập tuyến tính.

Định nghĩa 1.3.4 Cho X là một không gian Hilbert Hệ các phần tử {e i } i ∈I của X

được gọi là trực chuẩn nếu:

(e i , e j ) = δ ij =

{

1 nếu i = j

0 nếu i ̸= j

Định lý 1.3.1 Giả sử {x i } i ∈I là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert

X Khi đó có thể xây dựng được một hệ {e i } i ∈I trực chuẩn.

Thật vậy: Đặt e1 = x1

∥x1∥ , y2 = x2− (x2, e1)e1 và e2 = y2

∥y2∥

Giả sử đã có e1, e2, · · · , e k −1.

Ta đặt y k = x k −

(∑

k −1 i=1 (x k , e i)

)

e i và e k = y k

∥y k ∥ Khi đó hệ {e i } i ∈I là hoàn

toàn xác định (vì nếu tồn tại một tỉ số k sao cho ∥y k ∥ = 0 ⇔ y k = θ thì dẫn đến hệ

{x1, x2, · · · , x k −1 } là phụ thuộc tuyến tính, trái với giả thiết) Dễ thấy: (e1, e1) = 1 Xét (e2, e1) =

Quá trình xây dựng hệ {e i } i ∈I từ hệ {x i } i ∈I độc lập tuyến tính như trên được gọi là

quá trình trực chuẩn hóa Hilbert - Schmidt.

Không gian L2[a, b] với tích vô hướng vừa xác định là một không gian Hilbert.

Ví dụ 1.3.3 Xét trường hợp cụ thể của L2[a, b] ở trên với a = −1, b = 1, p(t) ≡ 1, và xét hệ đa thức x1(t) ≡ 1, x2(t) ≡ t, , x k (t) = t k −1 , k > 2 Hãy trực giao hóa hệ {x k (t) } nói trên tương tự quá trình trực chuẩn hóa Hilbert - Schmidt(chính xác đến một hằng

số nhân).

(1

3t

3 1

−1

)12

=

√2

3 Vì e2 =

y2

∥y2∥ ,thay số có e2 =

√3

−1

= 23

2.tdt =

√3

5, từ đó có e3 =

3

2.

√5

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử X là không gian Hilbert, còn {e i } ∝

i=1 là hệ trực chuẩn trong

Định lý 1.3.2 Cho không gian Hilbert X và {e i } ∝

i=1 là một hệ trực chuẩn của nó Khi

đó các phát biểu sau tương đương:

1 ∀x ∈ X, x = ∑∝ i=1 (x, e i )e i

2 ∀x ∈ X, ∥x∥2 =∑∝

i=1 (x, e i)2

3 Nếu z là một phần tử trong X sao cho (z, e i ) = 0, ∀i ∈ N ∗ thì z = θ.

4 Bao đóng của không gian con sinh bởi {e i } ∝

i=1 trùng với X.

Chương 2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B-SPLINE

2.1 Mở đầu về hàm spline và B-spline

2.1.1 Tổ hợp lồi và bao lồi

thay cho giải thích (2.2)

b) Bao lồi của một tập hợp các điểm

Định nghĩa 2.1.2. • Bao lồi của hai điểm:

Trong không gian R2, cho c1 = (x1, y1), c2 = (x2, y2), x i , y i ∈ R, i = 1, 2 Tập hợp

15

Hình 2.3: Bao lồi (phần được bôi đen) của các điểm (các chấm đen)

2.1.2 Các khái niệm cơ bản

Cho hai điểm c0 = (x0, y0) và c1 = (x1, y1), x i , y i ∈ R, i = 0, 1 Gọi AB là đoạn

thẳng đi qua c0 và c1 thì đoạn thẳng AB là bao lồi của hai điểm trên Phương trìnhcủa đoạn thẳng AB là:

với (x; y) ∈ AB, A(x0; y0); B(x1; y1).

2.1.3 Nội suy các đường cong đa thức

a) Nội suy bậc hai của ba điểm

Giả sử c0, c1; c2 ∈ R là ba điểm đã cho, (t j)2

là đường cong bậc hai ẩn t.

q 0,2 (t) đi qua ba điểm c0, c1, c2 đã cho vì

Ta nói q 0,2 (t) là đường cong bậc hai 2 nội suy qua ba điểm c0, c1, c2

b) Nội suy đa thức bậc cao

• Nội suy đa thức bậc ba.

Giả sử (c i)3i=0 là các điểm đã cho, gọi t = (t i)3i=0 , t i ∈ R là các tham số cho trước.

Khi đó q 0,2 (t) là đường cong bậc hai nội suy cho các điểm c0, c1, c2 và q 1,2 (t) là đường cong bậc hai nội suy cho các điểm c1, c2, c3 thì:

0, d), là các tham số cho trước.

Từ định nghĩa nội suy bậc hai, bậc ba ta có thể xây dựng định nghĩa nội suy bậc

thì q 0,d (t) là đường cong bậc d (Đồ thị của đa thức bậc d đi qua c i , i = 0, d)

Ta xây dựng thuật toán tìm q o,d (t) như sau:

Thuật toán 2.1.1 (Phương pháp Neville-Aitken).

Các phép tính liên quan tới thuật toán tính q 0,d (t) được tóm tắt như sau:

2.1.4 Xây dựng đường cong spline

a) Spline tuyến tính

Định nghĩa 2.1.4. 1 Cho hai điểm c1 và c2 và các tham số (t i)3

i=2 với t1 tùy ý,

Hình 2.4: Tính toán một điểm trên đường cong nội suy bậc ba

b) Các đường cong spline bậc hai

Hình 2.5: Đường cong bậc 2 (hình (c)) và phân đoạn đa thức của nó (hình (a) và (b))

Cho ba điểm điều khiển c1, c2, c3 Chúng ta xây dựng đường cong spline bậc hai

trên ba điểm điều khiển c1, c2, c3 Gọi (t i)5i=2 là các điểm nút thỏa mãn t2 ≤ t3 < t4 ≤ t5.

Biểu diễn đường thẳng đi qua c1, c2 được xác định bởi: p(t |c1, c2; t2, t4), với ∈ [t2, t4]

Đường thẳng đi qua c2, c3 được xác định bởi: p(t |c2, c3; t3, t5), với ∈ [t3, t5]

Đường cong spline bậc hai trên [t2, t5] được xác định như sau:

Khái quát: Giả sử có n điểm điều khiển (c i)n i=1 và dãy các điểm nút (t i)n+2 i=2 với

điều kiện: t2 ≤ t3 < t4 < < t n < t n+1 ≤ t n+2 Xác định đường cong spline bậc hai

Kí hiệu các hàm hằng{B i,0 } n

i=3 và

p i,2 (t) = p (t |c i −2 , c i −1 , c i ; t i −1 , t i , t i+1 , t i+2)

thì có thể viết f (t) như sau:

f (t) gọi là spline bậc hai.

c) Các đường cong spline bậc cao

Hình 2.6: Hai đường cong spline bậc 2 với cùng nút t = (0,0,0,1,2,2,2)

Thuật toán 2.1.2.

Cho d là số nguyên dương và cho trước d + 1 điểm (c j)i

j=i −d và cho trước 2d

điểm nút, kí hiệu t = (t j)i+d j=i −d+1 Ta có: p j,0 (t) = c j với j = i − d, i − d + 1, , i.

d) Tính trơn của đường cong spline

Định lý 2.1.1 Giả sử số t i+1 xuất hiện m lần giữa các nút (t j)m+d j=i−d , với 1 ≤ m ≤ d+1, nghĩa là: t i < t i+1 = = t i+m < t i+m+1 Khi đó hàm spline:

f (t) = p i,d,1 (t) B i,0 (t) + p i+m,d,1 (t) B i+m,0 (t)

có đạo hàm liên tục đến d − m ở điểm chung t i+1

2.1.5 Giới thiệu đường cong spline theo các hàm số cơ bản

Cho n điểm điều khiển (c i)n

i=1 và n + d − 1 điểm nút t = (t i)n+d i=2 spline bậc d có

i=2 p i,1 (t)B i,d −1 (t)

vì p j,0 (t) = c j với j = i − d, , i Biến đổi ta có:

Định lý 2.1.2 Cho (c i)n i=1 là tập hợp của các điểm kiểm soát cho đường cong spline

f bậc d, với các điểm nút không tăng (t i)n+d+1 i=1 thì:

2.2 Tính chất cơ bản của spline và B-spline

2.2.1 Một vài hệ quả đơn giản của hệ thức truy hồi

Cho n điểm điều khiển (c i)n i=1 và n + d + 1 điểm nút (t i)n+d+1 i=1 Đường cong

Định nghĩa 2.2.1 Cho d là một số nguyên không âm và đặt t = (t j ), là một dãy các

số thực không giảm có độ dài tối thiểu là d + 2 B – spline thứ j bậc d xây dựng trên

(t i)n+d+1 i=1 được định nghĩa bởi:

Hình 2.7: Một B-spline tuyến tính với các điểm nút đơn và nút đôi

Chứng minh Từ định nghĩa của B j,d và công thức tính 2.18 suy ra điều phảichứng minh

... data-page="21">

Chương 2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B -SPLINE< /b>

2.1 Mở đầu hàm spline B -spline< /b>

2.1.1 Tổ hợp lồi bao lồi...

Thuật tốn 2.1.1 (Phương pháp Neville-Aitken).

Các phép tính liên quan tới thuật tốn tính q 0,d (t) tóm tắt sau:

2.1.4 Xây dựng đường cong spline< /b>

a)... spline< /b>

a) Spline tuyến tính

Định nghĩa 2.1.4. 1 Cho hai điểm c1 và c2 và tham số (t i)3