Các phương pháp hàm Spline và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------------------------- LÃ THỊ NGỌ CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUẤN HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin bày tỏ kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy tận tình hướng dẫn, bảo, động viên khuyến khích tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Khoa Toán, trường Đại hoc sư phạm Hà Nội với thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập. Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp trường THPT Đa Phúc - Sóc Sơn - Hà Nội ( nơi tác giả công tác) cổ vũ, động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập thực luận văn này. Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả Lã Thị Ngọ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi, hoàn thành hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Tuấn. Trong nghiên cứu luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả Lã Thị Ngọ Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Xấp xỉ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Một số kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 iii MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B-SPLINE 2.1 Mở đầu hàm spline B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 2.1.1 Tổ hợp lồi bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Nội suy đường cong đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Xây dựng đường cong spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.5 Giới thiệu đường cong spline theo hàm số . . . . . . 23 2.2 Tính chất spline B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Một vài hệ đơn giản hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Các tổ hợp tuyến tính B - spline . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Ma trận biểu diễn B - spline . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.4 Thuật toán để ước lượng spline 35 . . . . . . . . . . . . . . . NỘI SUY HÀM SPLINE 36 3.1 Các phương pháp xấp xỉ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.1 Nội suy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2 Nội suy bậc ba Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Ước lượng đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Nội suy spline bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Phép tính xấp xỉ spline tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.1 Nội suy hàm spline bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.2 Nội suy hàm spline bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 iv BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức S C[a;b] Không gian hàm Spline bậc Không gian hàm số thực liên tục đoạn [a; b] MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Trong khoa học, kĩ thuật thường gặp nhiều toán cần phải tính giá trị hàm số điểm để tính giá trị hàm số điểm số hàm gặp nhiều khó khăn ví dụ hàm số mũ, hàm lượng giác, hàm số logarit, Để giải vấn đề người ta nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau. Trong phương pháp hàm Spline nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu. Áp dụng hàm spline phương pháp nội suy để xấp xỉ hàm số người ta chia khoảng xác định thành nhiều đoạn, đoạn ta xấp xỉ hàm spline, từ ta xấp xỉ hàm số cho.Tính xấp xỉ giá trị hàm số điểm phương pháp hàm Spline thuận lợi hàm đa thức nên việc tính toán, lập trình với hàm đa thức thuận tiện dễ dàng. Do vậy, với hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Tuấn, nghiên cứu luận văn: “ Các phương pháp hàm Spline số ứng dụng”. Bố cục luận văn gồm chương: Chương luận văn trình bày số khái niệm để sử dụng cho chương sau. Chương luận văn trình bày khái niệm tính chất hàm spline B-spline. Chương luận văn trình bày nội suy hàm spline ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số hàm spline. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để nắm số phương pháp hàm spline. Ứng dụng hàm Spline để tính giá trị hàm số điểm số ứng dụng khác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm, tính chất hàm Spline B- spline. Xấp xỉ hàm số hàm spline. Ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số hàm spline. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, tham khảo ý kiến chuyên gia. 6. Giả thuyết khoa học Áp dụng phương pháp spline để xấp xỉ lớp hàm có nhiều ứng dụng thực tế. Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X khác rỗng với phép toán hai viết theo lối cộng (+) ánh xạ ψ : K × X → X. Với α ∈ K x ∈ X phần tử ψ(α, x) gọi tích số α với phần tử x kí hiệu αx. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) x + y = y + x, ∀x, y ∈ X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ X; 3) Tồn phần tử θ cho x + θ = θ + x, ∀x ∈ X (phần tử gọi phần tử không); 4) Ứng với phần tử x ∈ X, tồn phần tử −x ∈ X cho x+(−x) = θ phần tử (−x) gọi phần tử đối x; 5) · x = x, ∀x ∈ X; 6) α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ X; 7) (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ X, α, β ∈ K; 8) α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ X, α ∈ K; Khi ta nói X không gian tuyến tính trường K, K trường số thực trường số phức phần tử ∀x ∈ X gọi vectơ; điều kiện gọi tiên đề không gian tuyến tính. Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng thực R2 Tập X = R2 tập R2 = {(x1 , x2 ) : x1 x2 số thực} Với số thực α vectơ x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X, phép cộng nhân vô hướng định nghĩa: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) αx = (αx1 , αx2 ) không gian tuyến tính. Ví dụ 1.1.2. Không gian C[a, b] Không gian C[a, b] không gian hàm liên tục [a, b]. Với số thực α f (t), g(t) ∈ C[a, b], phép cộng nhân vô hướng định nghĩa: (f + g)(t) = f (t) + g(t), a ≤ t ≤ b (αf )(t) = αf (t) không gian tuyến tính. Ví dụ 1.1.3. Pn [a, b], không gian đa thức bậc n đoạn [a, b] không gian tuyến tính. 1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian Định nghĩa 1.1.2. Cho X không gian tuyến tính. Một tổ hợp tuyến tính vectơ x1 , x2 , . . . , xn ∈ X tổng có dạng: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn Các vectơ x1 , x2 , . . . , xn gọi độc lập tuyến tính α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = ⇒ α1 = α2 = . . . = αn == θ Các vectơ x1 , x2 , . . . , xn gọi phụ thuộc tuyến tính chúng không độc lập tuyến tính, tức tồn số α1 , α2 , . . . , αn có số khác 0, cho: α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 43 g(xi ) = m ∑ cj Bj,d (xi ) = yi , cho i=1, . . . ,m. (3.17) j=1 Các phương trình 3.17 tạo hệ m phương trình m ẩn. Dạng ma trận tạo thành từ phương trình viết   Ac =  B1,d (x1 ) . . . Bm,d (x1 )  c1   y1       . . . = . . . = y(3.18) B1,d (xm ) . . . Bm,d (xm ) cm ym . Định lý 3.3.1 đưa điều kiện cần đủ cho hệ để có nghiệm nhất, nói cách khác cho A không suy biến. Định lý 3.3.1. Ma trận A 3.18 không suy biến phần tử đường chéo ai,j = Bi,d (xi ) dương với i = 1, . . . , m. Chứng minh: Điều kiện để phần tử đường chéo A khác viết là: τi < xi+1 < τi+d+1 , i = 1,2, . . . , m. Nếu quy định xi = τi , τi = . = τi+d . Áp dụng định lý 3.3.1 cho thấy ma trận hệ số nội suy spline bậc thỏa mãn toán không suy biến. Hệ 3.3.1. Nội suy spline bậc thỏa mãn (bài toán 3.2.1F)có nghiệm nhất. Chứng minh: Các hệ số nội suy thấy cách giải dạng hệ phương trình tuyến tính 3.17 τ = (τi )m+4 = (x1 , x1 , x1 , x1 , x3 , x4 , ., xm−2 , xm , xm xm , xm ). Chúng ta ý i=1 B1 (x1 ) B2 (x2 ) dương. Bởi τi+2 = xi , cho i=3, . . . , m-2, có τi < xi−1 < τi+4 , cho ≤ i ≤ m − . Hai điều kiện cuối theo sau tương tự, ma trận hệ số không suy biến. 3.4 3.4.1 Áp dụng Nội suy hàm spline bậc Trên đoạn [0; 1] chọn điểm nút cách t = (tj )n+2 j=1 , n = 10, d = 1), = 11 12 t1 < t2 < . < t10 = < t11 = < t12 = . 10 10  j − j  10x − j + 1, ≤x≤ 10 10 Khi đó: Bj,1 = j j + , j = 1, 2, ., 10  j + − 10x, ≤x≤ 10 10 44 Bj,1 = B(x, j), j = 1, 2, , 10. Các hàm B1,j sở không gian S1 . Để nội suy hàm f B1,j trên, ta sử dụng công thức: H(x) = 10 ∑ j=1 f( j )B(x, j). 10 Ví dụ 3.4.1. Tìm nội suy cho hàm spline bậc cho hàm số: y = ex . Chương trình chạy máy sau: [ > y := x → exp(x); y := x → ex (1) [> with(plots) : [> [> restart ; [> with(linalg) : [> with(student) : [> [ > f := x → exp(x); f := x → ex (2) [> for j from to 10  j (j − 1)  B := (x, j) → piecewise ( 10 ≤ x ≤ 10 ,  j (j + 1)   10.x − j + 1, ≤x< , j + − 10.x, 0); od :  10 10   B := (x, j) → piecewise ( j − ≤ x and x ≤ j, 10.x − j + 1,  10 10 10  1 j ≤ x and x < j + , j + − 10x, 0); (3) 10 10 10 [ [ Đồ thị hàm sở tìm hàm nội suy cho hàm f sau: [ > plot(B(x, 1), x = ) 10 [> 45 [ > plot(B(x, 2), x = ) 10 [ [ 10 > plot(B(x, 9), x = ); 10 10 46 [ > plot(B(x, 10), x = 11 ); 10 10 47  j  > g := (x; j) → f ( 10 ).B(x, j);  [>      g := (x; j) → f ( > H := x → sum(g(x, k), k = 10); H := x → 10 ∑ j ).B(x, j)(4) 10 g(x, k)(5) k=1 expand(H(x));   10x     e 10  − 10x     0  ≤ x and x ≤ 10  1   + e5 ≤ x and x ≤ 10 10   otherwise    10x ≤ x and x ≤   10     − 10x ≤ x and x ≤   10 10      0 otherwise      10x − ≤ x and x ≤ 10     +e 10  4 − 10x 10 ≤ x and x ≤  + e     0 otherwise   10x −     − 10x     0      10x − ≤ x and x ≤      +e  − 10x ≤ x and x ≤  + e 10 5     0 otherwise     10x − ≤ x and x ≤      − 10x ≤ x and x ≤   10      0 otherwise     ≤ x and x ≤ 10x −  10     +e 10  8 − 10x 10 ≤ x and x ≤  + e     0 otherwise    10x −    − 10x     0  ≤ x and x ≤  10   ≤ x and x ≤ 10   otherwise     10x − ≤ x and x ≤     10     ≤ x and x ≤   + e 11 − 10x 10     0 otherwise  ≤ x and x ≤  10 11   ≤ x and x ≤ 10   otherwise   10x −    +e 10  10 − 10x    0 [>  ≤ x and x ≤  10   ≤ x and x ≤   otherwise 48  > a := array(1 15, 5) : a[1, 1] := TT : a[1, 2] := Bien : a[1, 3] :   = Ham : a[1, 4] := NS :   a[1, 5] := SSo : for i from to 10 a[i + 1, 1] := i :   2i-1 2i-1  ) : a[i + 1, 3] := evalff ( , 6) : a[i + 1, 4] a[i + 1, 2] := evalf(  20 20  2i − 2i − 2i −  ), 6) : c[i + 1, 5] := evalf(abs(f ( ) − h( )), 6) : := evalf(H(  20 20 20  od :  print(a);   TT Bien Ham NS SSo    0.05000000000 1.05127 0.552585 0.498685     0.1500000000 1.16183 1.16328 0.001455     0.2500000000 1.28403 1.28563 0.001600     0.3500000000 1.41907 1.42084 0.001770     0.4500000000 1.56831 1.57027 1.001960      0.5500000000 1.73325 1.73542 0.00240     0.6500000000 1.91554 1.91794 0.00240       8. 0.7500000000 2.11700 2.11965 0.00265     0.8500000000 2.33965 2.34257 0.00292    10 0.950000000 2.58571 2.55894 0.00323 Ví dụ 3.4.2. Nội suy cho spline bậc cho hàm số u = x4 sin (2x − 1) voi n = 20. 49 Chương trình chạy máy sau: [ > u := x → x4 .sin(2.x − 1); u := x → x4 sin(2x − 1) (8) [> for t from to 20  (j − 1) j  C := (x, j) → piecewise ( 20 ≤ x ≤ 10 , 20.x − j + 1,  (j + 1)  j  ≤x< , j + − 20.x, 0);  10 20   > C := (x, j) → piecewise ( j − ≤ x and x ≤ j, 20x − j + 1,  20 20 20  1 j ≤ x and x < j + , j + − 20x, 0); (9) 20 20 [ 20  > od : k  > t := (x, k) → u( 20 ).C(x, k);  [>   [> t := (x, k) → u( > N := k → sum(t(x, l), l = 20); N := x → 20 ∑ k).C(x, k); (10) 20 t(x, l)(11) l=1  > b := array(1 21, 5) : b[1, 1] := TT : b[1, 2] := Bien : b[1, 3] := Ham : b[1, 4]   := NS : b[1, 5] := SSo : i from to 20 b[i + 1, 1] := i :   2i-1 2i-1  ) : b[i + 1, 3] := evalff ( , 6) : b[i + 1, 4] b[i + 1, 2] := evalf(  40 40   := evalf(n( 2i − ), 6) : b[i + 1, 5] := evalf(abs(N ( 2i − ) − u( 2i − )), 6) :  40 40 40   od :  print(b); 50   TT Bien Ham NS SSo    0.02500000000 −3.1774110− −0.00000244790 0.00000213016    0.07500000000 −0.0000237709 −0.0000383157 0.0000145448        0.1250000000 −0.000166416 −0.000198936 0.000032520     0.1750000000 −0.000567599 −0.000614782 0.000047183       0.2250000000 −0.00133959 −0.00138809 0.00004850     0.2750000000 −0.00248763 −0.00251352 0.00002589       0.3250000000 −0.00382558 −0.00379446 0.00003112     −0.00489251 −0.00476028 0.00013223   8. 0.3750000000     0.4250000000 −0.00487547 −0.00458985 0.00028562      10 0.4750000000 −0.00254427 −0.00204689 0.00049738  (12)    11 0.5250000000  0.00379687 0.00456769 0.00049738      12 0.5750000000 0.0163355 0.0174415 0.0011060     13 0.6250000000  0.0377509 0.0329499 0.0014990      14 0.6750000000 0.0711836 0.0731257 0.0019421     15 0.7250000000 0.12073 0.122596 0.002423       16 0.7750000000  0.188559 0.191486 0.002927    17 0.8250000000 0.280352 0.283782 0.003430       18 0.8750000000  0.399565 0.40372 0.003907    19 0.9250000000  0.550008 0.554351 0.004333   20 0.9750000000 0.735074 0.739748 0.004674 [> Ví dụ 3.4.3. Tìm nội suy cho spline bậc cho hàm số f (x) = x7 − 3sin(2x). 51 Chương trình chạy máy sau: [> with(plots) : [> [> restart ; [> with(linalg) : [> with(student) : [ > f := x → x7 − 3. sin(2.x); f := x → x7 − sin(2x)(1) [> for j from to 10  (j − 1) j j  B := (x, j) → piecewise ( 10 ≤ x ≤ 10 , 10.x − j + 1, 10 ≤ x  (j + 1)   < , j + − 10.x, 0);  10   B := (x, j) → piecewise ( j − ≤ x and x ≤ j, 10.x − j + 1,  10 10 10  1 j ≤ x and x j + , j + − 10x, 0); (2) 10 10 10 [> [>od: 52 [ > B2 := (x, k) → (10.x − k + 1) (k + − 10.x) .B(x, k) + .B(x, k + 1) : 2 [> for t from to 10 [ t t > HP T := sum(al .B2( , l), l = 10) = f ( ) : 10 10 [> od:   > a1 := 2.f ( 10 );  [ a1 := 1 − sin( )(3) 5000000 > a1 := evalf (a1 , 6);  > a2 := 2.f ( 10 ) − 2.a1 ;  a1 := −1.19201 (4) (5) a2 := 2.384045600 − sin( ) > evalf(a2 , 6); (6) 0.04754 [  > a3 := 2.f ( 10 ) − 2.a2 ;  [ (7) a3 := −4.767653800 − sin( + 12 sin ) 5 ) − 2.a3 ; 10 [ > a5 := 2.f ( ) − 2.a4 ; 10 [ > a6 := 2.f ( ) − 2.a5 ; 10 [ > a7 := 2.f ( ) − 2.a6 ; 10 [ > a8 := 2.f ( ) − 2.a7 ; 10 [ > a9 := 2.f ( ) − 2.a8 ; 10 [ 10 > a10 := 2.f ( ) − 2.a9 ; 10  > seq(evalf(ai , 6), i = 10);  −1.19201, 0.04754, −3.48248, 2.66407, −10.3613, 15.1868, −36.1207, 66.664, (8) > a4 := 2.f ( −138.216, 272.974 [>   > g := x → sum(ak .B2(x, k), k = 10); 10 (9) ∑ g := x → ak B2(x, k) k=1 [> 53 [>  > c := array(1 15, 5) : c[1, 1] := TT : c[1, 2] := GT y : c[1, 4] := GT g :   c[1, 5] := SS : i from to 10 c[i + 1, 1] := i :  i i   c[i + 1, 2] := evalf( ) : c[i + 1, 3] := evalff ( ) : c[i + 1, 4]  20 20   := evalf(g( i )) : c[i + 1, 5] := evalf(abs(f ( i ) − g( i )), 6) : od :  20 20 20 print(c);   TT Bien GT y GT g SS     0.05000000000 −0.2995002492 −0.1490012500 0.150499     0.1000000000 −0.5960078924 −0.5960050000 0.000002      0.1500000000 −0.8865589115 −0.8808880655567 0.001508     0.2000000000 −1.168242227 −0.5722372270 0.596002      0.2500000000 −1.438215581 −0.5486606570 0.889568      0.3000000000 −1.693708720 −1.717476493 0.02377      0.3500000000 −1.932009669 −2.272909791 0.340907      8. 0.4000000000 −2.150429873 −0.409185607 1.74125      0.4500000000 −2.346244034 0.267597479 2.61384   10 0.5000000000 −2.516600454 −3.848659113 1.33203 3.4.2 Nội suy hàm spline bậc Trên đoạn [0; 1] chia điểm nút cách t = (tj )n+3 j=1 , n = 10). Khi hàm spline bậc kí hiệu B(x, j), (j=1,2, .,10) xác định:   10x − j + 1, j − ≤ x ≤ j 10 10 B(x, j) = j j+1  j + − 10x, ≤x≤ 10 10 , j = 1, 2, ., 10 Các hàm spline bậc xác định: B2 (x, k) = 10x − k + k + − 10x B(x, k) + B(x, k + 1), 2 với k=1,2, ,10. Nội suy spline cho hàm f xác định bởi: 10 ∑ ak B2 (tj+1 , k) = f (tj+1 ).với j=2,3, .,10 k=1 xác định ak ta g xấp xỉ spline bậc f: g= 10 ∑ k=1 ak B2 (x, k) 54 Ví dụ 3.4.4. Tìm nội suy cho spline bậc cho hàm số: f (x) = 3sin(2x)−2x2 −1. Chương trình chạy máy sau: [> with(plots) : [> [> restart ; [> with(linalg) : [> with(student) : [ > f := x → 3. sin(2.x) − 2x2 − 1; f := x → 3sin(2x) − x2 − 1(1) [> for j from to 10  j j (j + 1) (j − 1)  > B := (x, j) → piecewise ( 10 ≤ x ≤ 10 , 10.x − j + 1, 10 ≤ x < 10 ,   j + − 10.x, 0);  . [>  B := (x, j) → piecewise ( j − ≤ xandx ≤ j, 10.x − j + 1, j ≤ x and  10 10 10 10  1 x < j + , j + − 10x, 0); (2) 10 10 [od: [ (10.x − k + 1) (k + − 10.x) > B2 := (x, k) → .B(x, k) + .B(x, k + 1) : 2 [> [> 55   > a1 := 2.f ( 10 );  [ 51 a1 := sin( ) − (3) 25 a1 := evalf (a1 , 6);  > a2 := 2.f ( 10 ) − 2.a1 ;  [  a1 := −0.84799 (4) (5) a2 := sin( ) − 0.464020000 > evalf(a2 , 6); (6) 1.87249 > a3 := 2.f ( ) − 2.a2 ; 10 (7) a3 := sin( − 1.431960000 − 12 sin ) 5 [ > a4 := 2.f ( ) − 2.a3 ; 10 [ > a5 := 2.f ( ) − 2.a4 ; 10 [ > a6 := 2.f ( ) − 2.a5 ; 10 [ > a7 := 2.f ( ) − 2.a6 ; 10 [ > a8 := 2.f ( ) − 2.a7 ; 10 [ > a9 := 2.f ( ) − 2.a8 ; 10 [ ) > a10 := 2.f ( ; a9  > seq(evalf(ai , 6), i = 10);  −0.84799, 1.87249, −2.71713, 7.098369, −12.1480, 26.4480, (8)   −50.9437, 103.325, −206.045, 411.548(8) [>   > g := x → sum(ak .B2(x, k), k = 10); 10 (9) ∑ g := x → ak B2(x, k) k=1 [> Vi du 1: Nội suy cho hàm số: 56 [ f := x → 3. sin(2.x) − 2x2 − 1; f := x → 3sin(2x) − x2 − 1(1)  > c := array(1 15, 5) : c[1, 1] := TT : c[1, 2] := Bien := c[1, 3] := GTyc[1, 4]   := GT g : c[1, 5] := SS : i from to 10 c[i + 1, 1] := i :  i i   c[i + 1, 2] := evalf( ) : c[i + 1, 3] := evalff ( ) : c[i + 1, 4]  30 30  i i i  := evalf(g( )) : c[i + 1, 5] := evalf(abs(f ( ) − g( )), 6) : od :  30 30 30 print(c);   TT Bien GT y GT g SS    0.03333333333 −0.8023703372 −0.0471105556 0.755257      0.06666666667 −0.6100730312 −0.1884422222 0.421631     0.1000000000 −0.4239920076 −0.4239950000 0.000002     0.1333333333 −0.2450033824 −0.5084099970 0.263401      0.1666666667 −0.0739714656 −0.1963283215 0.122355      0.2000000000 0.088255027 0.5122500270 0.423995     0.2333333333 0.240846753 1.012960302 0.772113      8. 0.2666666667 0.382997431 0.7014377571 0.318435     0.3000000000 0.513927420 −0.422317607 0.936240   10 0.333333333 0.632887187 −1.151904510 1.78479 57 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu tìm hiểu hàm spline phương pháp nội suy spline, luận văn đạt kết sau: Trình bày khái niệm tính chất spline B- spline, vấn đề nội suy hàm spline. Trên sở kết luận tiếp tục nghiên cứu trình bày số ứng dụng phương pháp nội suy hàm spline B-spline để xấp xỉ hàm số. Trong có sử dụng chương trình tính toán với Mapple. Do thời gian có hạn nên ứng dụng khác hàm spline phương pháp nội suy spline tiếp tục nghiên cứu thời gian tiếp theo. Với khả thời gian nghiên cứu hạn chế, luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, (2001), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục. [2] Phạm Huy Điển, (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội. [3] Phạm Kỳ Anh, (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [4] H.T.Rathod, H.Y.Shrivalli, K.V.Nagaraja and Kesvulu Naidu (2010), On a New cubic splines Interpolation with Application to Quadrature. Int.Journal of Math. Analysis,Vol.4,2010,no.28,1387-1415. [5] P. M. Prenter (2008),Spline and Variatonal Methods , Dover Publications, INC. Mineola, New York. [6] Tom Lyche and Knut Morken (2005),Splines and Variational Methods , http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/INF-MAT5340/v10/ ./book.pdf. 58 [...]... 2.2.2 (Các hàm spline) Giả sử t = (tj )n+d+1 là một dãy các số thực j=1 không giảm Không gian tuyến tính của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các B - spline này là một không gian spline S d,t định nghĩa bởi: { n } ∑ Sd,t = span {B1,d , , Bn,d } = cj Bj,d |cj ∈ R, 1 ≤ j ≤ n j=1 Một thành phần f= n ∑ cj Bj,d j=1 của Sd,t được gọi là một hàm spline , hoặc chỉ là một spline, bậc d với các điểm nút d và. .. chất 5 và tính chất 6 chứng minh dựa vào định nghĩa 2.2.2 Các tổ hợp tuyến tính của B - spline Các hàm spline B - spline Bj,d phụ thuộc các nút tj , , tj+d+1 Nghĩa là nếu các điểm nút cho bởi t = (tj )n+d+1 với n là số nguyên dương, ta có thể tạo ra n hàm B - spline j=1 {Bj,d }n bậc d liên kết với các điểm nút Một tổ hợp tuyến tính của B – spline, có j=1 n ∑ cj Bj,d với c = (cj )n là n số thực... = 2.2 Tính chất cơ bản của spline và B -spline 2.2.1 Một vài hệ quả đơn giản của hệ thức truy hồi Cho n điểm điều khiển (ci )n và n + d + 1 điểm nút (ti )n+d+1 Đường cong i=1 i=1 spline f f= n ∑ ci Bi,d, i=1 Với {Bi,d }n là B – spline i=1 Định nghĩa 2.2.1 Cho d là một số nguyên không âm và đặt t = (tj ), là một dãy các số thực không giảm có độ dài tối thiểu là d + 2 B – spline thứ j bậc d xây dựng... Hilbert X và {ei }∝ là một hệ trực chuẩn của nó Khi i=1 đó các phát biểu sau tương đương: 1 ∀x ∈ X, x = ∑∝ i=1 (x, ei )ei 14 2 ∀x ∈ X, ∥x∥2 = ∑∝ 2 i=1 (x, ei ) 3 Nếu z là một phần tử trong X sao cho (z, ei ) = 0, ∀i ∈ N∗ thì z = θ 4 Bao đóng của không gian con sinh bởi {ei }∝ trùng với X i=1 Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ B -SPLINE 2.1 Mở đầu về hàm spline và B -spline 2.1.1 Tổ hợp lồi và bao lồi... 1) 2 2 M3 (x) = x 4−x M2 (x) + M2 (x − 1) 3 4 Tính chất cơ bản của B -spline Bổ đề 2.2.1 Giả sử d là một số không âm và đặt t = (tj ) là một dãy các nút Các B - spline trên t có các tính chất sau: 1 Các nút địa phương: B - spline thứ j là Bj,d chỉ phụ thuộc vào các nút tj , tj+1 , , tj+d+1 2 Giá địa phương (a) Nếu x nằm ngoài đoạn [tj , tj+d+1 ] thì Bj,d (x) = 0 Cụ thể nếu tj = tj+d+1 thì Bj,d đồng... điểm nút d và (cj )n được gọi là các hệ số B - spline của f Các B - spline là độc lập tuyến tính j=1 nên Sd,t là một không gian tuyến tính n chiều Trong trường hợp đó Ta có thể viết một ∑ spline là cj Bj,d mà không cần biên trên và biên dưới của j j Ví dụ 2.2.3 (một spline tuyến tính) Giả sử (xi, yi)m là một tập hợp các điểm với i=1 xi < xi+1 (i = 1, 2, , m − 1) Trên các điểm nút, khi đó t = (tj )m+2... đường cong spline Định lý 2.1.1 Giả sử số ti+1 xuất hiện m lần giữa các nút (tj )m+d , với 1 ≤ m ≤ d+1, j=i−d nghĩa là: ti < ti+1 = = ti+m < ti+m+1 Khi đó hàm spline: f (t) = pi,d,1 (t) Bi,0 (t) + pi+m,d,1 (t) Bi+m,0 (t) có đạo hàm liên tục đến d − m ở điểm chung ti+1 2.1.5 Giới thiệu đường cong spline theo các hàm số cơ bản n+d Cho n điểm điều khiển (ci )n và n + d − 1 điểm nút t = (ti )i=2 spline. .. định như trên là i=1 một không gian Hilbert Ví dụ 1.3.2 Xét X = L2 [a, b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a, b] bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả tích trên [a, b] sao cho: ∫b p(t)x2 (t)dt < +∞ a trong đó p(t) là hàm trọng p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều kiện: xác định và khả tích trên [a, b], p(t) ≥ 0 trên [a, b] và p(t) = 0 chỉ trên một tập có độ đo 0)... Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhân phần tử với một số, nghĩa là: 1) ∀x, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M 2) ∀x ∈ M, α ∈ R ⇒ αx ∈ M Cho A là một tập con bất kì, khác rỗng của X Khi đó, bao giờ cũng có ít nhất một không gian con bao hàm A, đó chính là X Vậy họ các không gian con bao hàm 6 A khác rỗng, giao của họ các. .. nào đó Số liệu ban đầu mà ta có trong các bài toán trên được gọi là số gần đúng Nếu đánh giá được độ lệch của số gần đúng với số đúng thì ta đánh giá được chất lượng của việc giải quyết bài toán Do đó đi nghiên cứu và đánh giá sự sai khác giữa số gần đúng và số đúng là yêu cầu bắt buộc trong việc giải bài toán Định nghĩa 1.2.3 Số a được gọi là số gần đúng của số a∗ nếu a sai khác với a∗ không nhiều . spline và ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để nắm được một số phương pháp hàm spline. Ứng dụng hàm Spline để tính giá trị của hàm số. số tại một điểm và một số ứng dụng khác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline. Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. Ứng dụng phần mềm Maple vào xấp. xỉ hàm số bằng hàm spline. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số. 5.