Lý thuyết ramsey và một số ứng dụng

1 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Lời nói đầu 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 Chương 2 Định lí Ramsey 7 §1 Định lí Ramsey trong lí thuyết đồ thị 7 §2 Định lí Ramsey trong tập hợp hữu hạn 15 Chương 3 Ứng dụng của định lí Ramsey 15 §1 Định lí Schur 25 §2 Định lí Erdös–Szekeres 32 §3 Ứng dụng trong giải toán phổ thông 39 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 2 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1928, nhà toán học người Anh Frank Plumpton Ramsey đã công bố kết quả chứng minh của ông trên tạp chí “On a Proplem of Formal logic” trong đó ông đã chứng minh định lí”Giả sử họ   r S  được phân hoạch thành hai họ các tập hợp A và B , p và q là hai số nguyên sao cho ,r p q s  . Khi ấy tồn tại số nguyên nhỏ nhất   , ,R p q r chỉ phụ thuộc vào các số , ,p q r mà không phụ thuộc vào tập S , sao cho nếu   , ,s R p q r thì tồn tại một tập P gồm p phần tử của S , mà tất cả các tập con r phần tử của P đều thuộc A , hoặc tồn tại một tập Q gồm q phần tử của S , mà tất cả các tập con r phần tử của Q đều thuộc B ”. Định lí trên sau này được gọi là Định lý Ramsey. Định lí trên đã mở ra một cách tiếp cận mới về các bài toán tổ hợp nay được gọi là lý thuyết Ramsey. Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu một số kết quả quan trọng trong lý thuyết Ramsey và một số ứng dụng của lí thuyết này. Năm 1916 Issai Schur đã chứng minh rằng “Cho r là số tự nhiên, 1r . Khi đó tồn tại một số tự nhiên ( )S r sao cho ( ) N S r , tập số {1,2,…,N} được tô bởi r màu luôn tồn tại ba số , ,x y z có cùng màu sao cho  x y z ”. Kết quả cơ bản này đã được tổng quát hóa bởi Richard Rado vào năm 1933. Định lý Van der Waerden đã được chứng minh vào năm 1927, một năm sớm hơn so với chứng minh của Ramsey. Van der Waerden đã chứng minh rằng “Cho k r, là số tự nhiên k r, 1 . Khi đó tồn tại một số tự nhiên k rW( , ) sao cho N k rW( , )  , tập số {1,2,…, k rW( , ) } được tô bởi r màu luôn tồn tại k số được tô cùng màu lập thành một cấp số cộng”. 3 Năm 1935, Paul Erdös và György Szekeresđã phát biểu giả thuyết (Erdös– Szekeres, 1935) “ Với mỗi số tự nhiên 3n  , mọi tập có tối thiểu   2 2 1 n N n    điểm trên mặt phẳng ở vị trí tổng quát, đều chứa n điểm là đỉnh của một đa giác lồi n cạnh.” Các kết quả trên có thể được chứng minh độc lập với định lý Ramsey, tuy nhiên sau khi Ramsey công bố kết quả chứng minh của mình thì các bài toán trên đã được chứng minh lại theo cách ngắn gọn hơn nhờ áp dụng định lý Ramsey. Luận văn được chia làm ba chương Chương I Kiến thức chuẩn bị Chương II Định lý Ramsey Chương III Ứng dụng của định lý Ramsey. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy. Tôi xin được cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập. Hà Nội ngày 26 tháng 8 năm 2014 Đinh Hữu Lâm 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1.1Đồ thị được hiểu là một bộ hai tập hợp hữu hạn : tập hợp đỉnh và tập hợp cạnh nối các đỉnh này với nhau. Định nghĩa 1.1.2Mộtđồ thị n đỉnh được gọi là đồ thị đầy đủ nếu hai đỉnh bất kì của nó có đúng một cạnh nối. Một đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu là n K . Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị gọi được là đồ thị đều bậc t nếu mỗi đỉnh của đồ thị G có bậc là t. Định nghĩa 1.1.4 Một đồ thị n đỉnh gọi là đồ thị hai màu nếu các cạnh của nó được tô bởi hai màu xanh hoặc đỏ. Định nghĩa 1.1.5 Một đồ thị n đỉnh gọi là đồ thị r màu nếu các cạnh của nó được tô bởi một trong r màu 1 2 , , , r k k k . §1.2 Nguyên lí Dirichlet Định lí Ramsey là một cách mở rộng của Nguyên lí chuồng chim bồ câu (Nguyên lí Dirichlet): Một tập gồm s phần tử được chia thành n các tập con phân biệt. Nếu s n thì tồn tại ít nhất một tập con chứa nhiều hơn một phần tử. Nguyên lí Dirichlet được dùng để giải bài toán sau. Bài toán 1.2.1 Sáu điểm được nối với nhau bởi các đoạn thẳng tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tìm được một tam giác đơn sắc, nghĩa là tam giác có ba cạnh cùng có màu đỏ hoặc màu xanh. 5 Giải. Kí hiệu một đỉnh là O , các đỉnh còn lại là , , , , .A B C D E Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất ba trong số các cạnh , , , ,OA OB OC OD OE là cùng màu (đỏ hoặc xanh). Giả sử , ,OA OB OC có cùng màu đỏ. Xét tam giác ABC . Nếu có ít nhất một cạnh, thí dụ, AB là màu đỏ, thì tam giác OAB có cả ba cạnh là màu đỏ. Nếu tất cả các cạnh của tam giác ABC là màu xanh, thì tam giác ABC là tam giác cần tìm. Như vậy, từ 6 điểm không thẳng hàng, ta có tất cả 3 6 20 C  tam giác, trong đó có ít nhất một tam giác đơn sắc (các cạnh cùng màu đỏ hoặc xanh). Câu hỏi Số điểm ít nhất là bao nhiêu để không có một tam giác đơn sắc? Trả lời Số điểm ít nhất là 6. Thật vậy, xét năm điểm , , , ,A B C D E với các cạnh , , , ,AB BC CD DE EA màu xanh và các cạnh , , , ,AD AC BE BD CE màu đỏ. Khi ấy màu của các cạnh của các tam giác được cho trong hình bên và bảng sau. Tam giác Cạnh xanh Cạnh đỏ Tam giác Cạnh xanh Cạnh đỏ ABC AB; BC AC ADE AE; DE AD ABD AB; AD; BD BCD BC;CD BD F E C B A O 6 ABE AB; AE BE BCE BC BE; CE ACD CD AD;AC BDE DE BD;BE ACE AE AC; CE CDE CD; DE CE Như vậy, không có tam giác nào trong số tất cả 10 tam giác có các cạnh cùng màu. Nói cách khác, trong năm điểm bất kỳ không có một tam giác đơn sắc. Dưới đây ta cố gắng phát triển tư tưởng của Bài toán 1.2.1 trên ngôn ngữ tập hợp kết hợp với nguyên lí Dirichlet. Trong nguyên lí Dirichlet, tập gồm s phần tử được chia thành n tập với các phần tử riêng rẽ. Nếu s n thì tồn tại một tập gồm ít nhất hai phần tử từ tập cho trước (gồm s phần tử). Tập hai phần tử này có thể coi như một tập chứa hai tập con một phần tử trong cùng một lớp chia. Trong Bài toán 1.2.1, ta có một tập gồm sáu phần tử. Chúng có thể được coi là sáu đỉnh của một đồ thị, kí hiệu là 6 K . Ta có thể coi các tập hai phần tử lấy từ tập các đỉnh như là các cạnh. Và coi tập ba phần tử (ba đỉnh) như là tam giác. Chia các cạnh thành hai lớp, là lớp các cạnh màu đỏ và lớp các cạnh màu xanh. Và ta đã chỉ ra rằng trong đồ thị 6 K có một tam giác có cả ba cạnh được tô cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh. Nói cách khác, nếu ta chia tập gồm sáu điểm thành hai lớp các tập hợp hai điểm, thì có một tập ba điểm nào đó trong tập gồm sáu điểm có mọi tập con hai điểm nằm trong cùng một lớp chia. Từ bài toán đơn giản trên, ta đi đến một định lí quan trọng là định lí Ramsey được trình bày trong chương 2. 7 CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ RAMSEY §2.1 Định lí Ramsey trong lí thuyết đồ thị 1. Định lí Ramsey cho đồ thị hai màu Định lí 2.1.1Cho 2 số tự nhiên p và q. Khi ấy tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất   ,R p q chỉ phụ thuộc vào các số ,p q sao cho mọi đồ thị đầy đủ n đỉnh 2 màu,   ,n R p q luôn tồn tại một đồ thị con đầy đủ p đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu xanh hoặc q đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu đỏ. Bổ đề 2.1.2 1)   , 2 R p p . 2)   2, R q q . 3)     , ,R p q R q p . Chứng minh 1) Nếu   , 2 1R p p  ta chọn đồ thị đầy đủ có 1p đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu xanh thì đồ thị này không thỏa mãn định lí suy ra   , 2 1R p p  . Ta xét một đồ thị 2 màu đầy đủ có p đỉnh. Nếu tất cả các cạnh được tô màu xanh thì p đỉnh này thỏa mãn định lí. Nếu tất cả các cạnh không được tô màu xanh thì tồn tại một cạnh được tô màu đỏ giả sử là AB thì 2 đỉnh ,A B thỏa mãn định lí suy ra   , 2 R p p . Vậy   , 2 R p p . 2) Chứng minh tương tự ta có   2, R q q . 3) Do vai trò như nhau của 2 màu xanh ,đỏ nên ta có     , , .R p q R q p Bổ đề 2.1.3       , 1, , 1 R p q R p q R p q     . Chứng minh Đặt     1, , 1 n R p q R p q     xét đồ thị 2 màu đầy đủ n đỉnh kí hiệu là n K . Gọi A là một đỉnh bất kì thuộc đồ thị. 8 Kí hiệu: A B = {Tập tất cả các đỉnh thuộc n K mà cạnh nối nó với A có màu xanh} A R = {Tập tất cả các đỉnh thuộc n K mà cạnh nối nó với A có màu đỏ} Vì n K là đồ thị đầy đủ nên 1   A A B R n . Nếu   1,  A B R p q và   , 1  A R R p q thì 2   A A B R n vô lí. Vậy   1,  A B R p q hoặc   , 1  A R R p q . Giả sử   1,  A B R p q suy ra hoặc tồn tại 1p đỉnh mà tất cả các cạnh có màu xanh thì 1p đỉnh này cùng với A tạo thành đồ thị có p đỉnh mà tất cả các cạnh có màu xanh hoặc tồn tại q đỉnh mà tất cả các cạnh có màu đỏ .Vậy khi     1, , 1 n R p q R p q     thì luôn tồn tại p đỉnh mà tất cả các cạnh có màu xanh hoặc tồn tại q đỉnh mà tất cả các cạnh có màu đỏ tức là       ; 1, , 1 R p q n R p q R p q      . Chứng minh Định lí 2.1.1 Ta sẽ chứng minh Định lí 2.1.1 bằng cách quy nạp theo ,p q . Theo Bổ đề 2.1.2 ta có   , 2 R p p ; 2)   2, R q q . Giả sử   , 1 R p q  và   1,R p q là tồn tại theo Bổ đề 2.1.3 ta có       , 1, , 1 R p q R p q R p q     suy ra định lí được chứng minh. 2. Số Ramsey Định nghĩa 2.1.4 Số   ,R p q trong Định lí 2.1.1 được gọi là số Ramsey. 9 Ta thấy bài toán 1.2.1 là một trường hợp đặc biệt của định lí Ramsey lúc này   3,3 6 R  . Bài toán 2.1.5 Chứng minh rằng   3,4 9 R  . Chứng minh Hình bên là một đồ thị gồm 8 đỉnh 8 K có các cạnh được tô màu đỏ hoặc xanh (đỏ– đường nét liền; xanh–đường nét đứt) không chứa đồ thị con 3 K có tất cả các cạnh màu xanh, cũng không chứa đồ thị con 4 K nào có tất cả các cạnh màu đỏ. Như vậy   3,4 8 R  . Ta phải chứng minh rằng trong đồ thị hai màu 9 K thì luôn tồn tại một đồ thị con 3 K có tất cả các cạnh màu xanh hoặc một đồ thị con 4 K có tất cả các cạnh màu đỏ. Gọi 1 x là một đỉnh nào đó của 9 K . Nối 1 x với tám đỉnh còn lại thì theo nguyên lí Dirichlet phải có tối thiểu bốn đỉnh nối với 1 x bởi các cạnh hoặc màu đỏ hoặc màu xanh. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 7 6 5 4 8 3 6 10 Trường hợp 1:Có ít nhất bốn đỉnh được đánh số là 2 3 4 5 , , ,x x x x nối với 1 x bởi các cạnh màu xanh. Nếu tồn tại một cặp hai điểm trong số bốn đỉnh 2 3 4 5 , , ,x x x x , thí dụ, 2 3 ,x x được nối với nhau bởi cạnh màu xanh, thì ta có đồ thị con   3 1 2 3 , ,K x x x có tất cả các cạnh màu xanh. Nếu không tất cả các cạnh tạo bởi bốn điểm 2 3 4 5 , , ,x x x x phải đều là màu đỏ, khi ấy ta lại có đồ thị con   4 2 3 4 5 , , ,K x x x x có tất cả các cạnh màu đỏ. Trường hợp 2:Có nhiều nhất ba đỉnh nối với 1 x bởi các đoạn màu xanh, nghĩa là có ít nhất năm đỉnh được nối với 1 x bởi các đoạn màu đỏ. Nếu tất cả các đỉnh được nối với 8 đỉnh còn lại bởi năm cạnh màu đỏ và ba cạnh màu xanh.Bây giờ ta xét đồ thị con đơn sắc (monochromatic subgraphs). Trong đồ thị con đơn sắc màu xanh, có tất cả 9 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc 3 (có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh có màu xanh). Suy ra số cạnh màu xanh là 9.3 27 2 2  (vì mỗi cạnh được tính 2 lần).Vô lí. Vậy phải tồn tại đồ thị 6 K được tạo bởi 6 đỉnh, kí hiệu là 2 3 4 5 6 7 , , , , ,x x x x x x , được nối với 1 x bởi các đoạn màu đỏ. Đồ thị 6 K có các cạnh đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Từ Bài toán 1.6 tồn tại tam giác có ba cạnh màu đỏ hoặc ba cạnh màu xanh. Nếu tam giác này có ba cạnh màu xanh thì nó cũng là tam giác có ba cạnh màu xanh của 9 K . Còn nếu tồn tại một tam giác, kí hiệu là 2 3 4 x x x có ba cạnh màu đỏ.Khi đó vì 2 3 4 , ,x x x được nối với 1 x bởi các cạnh màu đỏ nên đồ thị gồm các đỉnh   4 2 3 4 1 , , ,K x x x x có tất cả bốn cạnh màu đỏ. [...]... 3 Một số công thức đánh giá số Ramsey Định lí 2.2.1 và Định lí 2.2.3 cho ta biết sự tồn tại số Ramsey R  p, q; r  và R  k1 , k2 , , kn ; r  Tuy nhiên, hai định lí này không cho ta biết cách tính số Ramsey Nói chung không có công thức tính số Ramsey Vì vậy người ta cố gắng đi tìm các công thức đánh giá số Ramsey Các đánh giá này hiện nay cũng chưa nhiều Mục này trình bày một số giá trị của số Ramsey. .. tử của P đều thuộc A , hoặc tồn tại một tập Q gồm q phần tử của S , mà tất cả các tập con r phần tử của Q đều thuộc B Số R  p, q, r  tìm được trong Định lí 2.2.1 được gọi là số Ramsey Các số Ramsey rất được quan tâm vì có nhiều ứng dụng, nhưng rất khó tính được nó Ta mới chỉ tính được một vài số Ramsey nhỏ Thậm chí rất khó tìm ra các công thức đánh giá các số Ramsey 15 Trong trường hợp r  2 , ta... với hai hằng số b và c nào đó 24 Bảng dưới đây ghi lại một số kết quả về số Ramsey trong trường hợp hai màu p q 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 9 10 6 9 14 18 23 28 36 (40,43) 18 25 (49,61) (53,84) (35,41) (43,49) (58,87) (80,143) (95,216) (102,165) 25 (69,115) (80,149) CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ RAMSEY §3.1 Định lí Schur 1 Định lý Schur Định lí 3.1.1 Cho r là số tự nhiên, r  1 Khi đó tồn tại một số tự nhiên... các tập hợp A và B nếu A và B khác rỗng và thỏa mãn điều kiện:  r  S   A  B; A  B   Định lí 2.2.1 (Ramsey, 1930) Giả sử họ  r  S  được phân hoạch thành hai họ các tập hợp A và B ; p và q là hai số nguyên sao cho r  p, q  s Khi ấy tồn tại số nguyên nhỏ nhất R  p, q, r  chỉ phụ thuộc vào các số p, q, r mà không phụ thuộc vào tập S , sao cho nếu s  R  p, q, r  thì tồn tại một tập P gồm... Với mọi số nguyên r  1 ta có 3r  1  S(r )  3r ! 2 3 .Một số kết quả mở rộng định lý Schur Định lí 3.1.8 (Van der Waerden) Cho r là số tự nhiên, r  1 Khi đó tồn tại một số tự nhiên W(r ) sao cho N  W(r ) , tập số {1,2,…, W(r ) } được tô bởi r màu luôn tồn tại ba số x, y, z có cùng màu sao cho x  y  2 z Định lí 3.1.9 (Van der Waerden) Cho k, r là số tự nhiên k, r  1 Khi đó tồn tại một số tự...  Rn  t;2   1  1 Chứng minh Đặt p  Rn  s;2   1 và q  Rn  t ;2   1 Xét các đồ thị đầy đủ K p và K q với các đỉnh tương ứng là x1 , x2 , , x p và y1 , y2 , , yq Tô các cạnh của K p và K q bởi n màu C1 , C2 , , Cn sao cho K p không chứa K s đồ thị đơn sắc, và K q không chứa đồ thị K t đơn sắc Cách tô màu này là có thể theo Định lí Ramsey và định nghĩa của các số p và q (vì p  Rn  s;2 ... tại hay không tồn tại số ES (n) ? Bài toán 3.2.2b Nếu số ES (n) tồn tại thì làm thế nào xác định được ES (n) như một hàm của n ? 34 Sự tồn tại số ES (n) đã được chứng minhbằng hai cách Cách thứ nhất do G Szekeres chứng minh dựa trên định lí Ramsey (mà Ông đã tự chứng minh do không biết bài báo của Ramsey) Từ đó ta có bất đẳng thức ES (n)  R(n,5;4) , trong đó R (n,5;4) là số Ramsey (xem Chương II)... Mục này trình bày một số giá trị của số Ramsey và một số công thức đánh giá số Ramsey p 1 Định lí 2.2.4Với mọi số nguyên p, q  2 ta có R  p, q;2   C p q 2 Chứng minh Đặt n  p  q Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n Để bắt đầu 1 qui nạp, ta nhắc lại công thức từ Bổ đề 2.1.2: R  2,2;2   2  C22 22 Vì p, q  2 nên n  p  q  4 và n  4 khi và chỉ khi p  q  2 Do đó đánh giá trong định... cho a, b, c cùng màu và a+b=c Do đó tồn tại i, 1  i  k sao cho a, b, c  ai S và a  b  c Chứng tỏtồn tại x, y, z : ai x n  ai y n  ai z n (mod p) Vậy x n  yn  z n (mod p) (Vì Z* là nhóm nhân nên luôn tồn tại ai1 ) Đpcm p 2 Một số công thức đánh giá số Schur Định lí 3.1.4 Với mọi số nguyên r  1 ta có S(r )  Rr (3) Chứng minh Xét hàm số f : 1, N   1, r  trong đó số i được tô bởi màu...   q  C2 q 2 và R  p,2;2   p  C p 22 Như vậy, đánh giá trong định lí cũng đúng nếu một trong hai số p hoặc q bằng 2 20 Bây giờ, không hạn chế tổng quát, ta có thể giả thiết rằng p  3, q  3 và theo giả thiết qui nạp theo n , đánh giá trong định lí đúng cho mọi số nguyên p  2 và q  2 , trong đó p  q  n và n  4 Giả sử p và q là các số nguyên sao cho p  q  n Áp dụng giả thiết qui . được gọi là lý thuyết Ramsey. Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu một số kết quả quan trọng trong lý thuyết Ramsey và một số ứng dụng của lí thuyết này. Năm 1916 Issai Schur đã chứng minh rằng. Số   , ,R p q r tìm được trong Định lí 2.2.1 được gọi là số Ramsey. Các số Ramsey rất được quan tâm vì có nhiều ứng dụng, nhưng rất khó tính được nó. Ta mới chỉ tính được một vài số Ramsey. trị của số Ramsey và một số công thức đánh giá số Ramsey. Định lí 2.2.4Với mọi số nguyên , 2p q  ta có   1 2 , ;2 p p q R p q C     . Chứng minh Đặt n p q  . Ta sẽ chứng minh