Lý thuyết ramsey và một số ứng dụng

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1.1Đồ thị được hiểu là một bộ hai tập hợp hữu hạn : tập hợp đỉnh và tập hợp cạnh nối các đỉnh

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1928, nhà toán học người Anh Frank Plumpton Ramsey đã công bố kết quả

chứng minh của ông trên tạp chí “On a Proplem of Formal logic” trong đó ông đã chứng minh định lí”Giả sử họ r S được phân hoạch thành hai họ các tập hợp Avà B , p và q là hai số nguyên sao cho r p q,  Khi ấy tồn tại số nguyên s nhỏ nhất R p q r , ,  chỉ phụ thuộc vào các số , , p q r mà không phụ thuộc vào tập

S , sao cho nếu sR p q r , ,  thì tồn tại một tập P gồm p phần tử của S , mà tất

cả các tập con r phần tử của P đều thuộc A, hoặc tồn tại một tập Q gồm q phần

tử của S , mà tất cả các tập con r phần tử của Q đều thuộc B ” Định lí trên sau

này được gọi là Định lý Ramsey Định lí trên đã mở ra một cách tiếp cận mới về các bài toán tổ hợp nay được gọi là lý thuyết Ramsey

Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu một số kết quả quan trọng trong lý thuyết Ramsey và một số ứng dụng của lí thuyết này

Năm 1916 Issai Schur đã chứng minh rằng “Cho r là số tự nhiên, r1 Khi đó tồn tại một số tự nhiên ( ) S r sao cho NS r( ), tập số {1,2,…,N} được tô bởi r màu luôn tồn tại ba số , , x y z có cùng màu sao cho x yz” Kết quả cơ bản này đã được tổng quát hóa bởi Richard Rado vào năm 1933

Định lý Van der Waerden đã được chứng minh vào năm 1927, một năm sớm hơn

so với chứng minh của Ramsey Van der Waerden đã chứng minh rằng “Cho k r ,

là số tự nhiên k r,  Khi đó tồn tại một số tự nhiên 1 W( , ) sao cho k r

N W( , )k r

  , tập số {1,2,…, W( , ) } được tô bởi r màu luôn tồn tại k số được k r

tô cùng màu lập thành một cấp số cộng”

Năm 1935, Paul Erdös và György Szekeresđã phát biểu giả thuyết (Erdös–

Szekeres, 1935) “ Với mỗi số tự nhiên n 3, mọi tập có tối thiểu   2

Luận văn được chia làm ba chương

Chương I Kiến thức chuẩn bị

Chương II Định lý Ramsey

Chương III Ứng dụng của định lý Ramsey

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy

Tôi xin được cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập

Hà Nội ngày 26 tháng 8 năm 2014

Đinh Hữu Lâm

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1.1 Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết đồ thị

Định nghĩa 1.1.1Đồ thị được hiểu là một bộ hai tập hợp hữu hạn : tập hợp đỉnh và tập hợp cạnh nối các đỉnh này với nhau

Định nghĩa 1.1.2Mộtđồ thị n đỉnh được gọi là đồ thị đầy đủ nếu hai đỉnh bất kì của

nó có đúng một cạnh nối

Một đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu là K n

Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị gọi được là đồ thị đều bậc t nếu mỗi đỉnh của đồ thị G

có bậc là t

Định nghĩa 1.1.4 Một đồ thị n đỉnh gọi là đồ thị hai màu nếu các cạnh của nó

được tô bởi hai màu xanh hoặc đỏ

Định nghĩa 1.1.5 Một đồ thị n đỉnh gọi là đồ thị r màu nếu các cạnh của nó được

tô bởi một trong r màu k k1, 2, ,k r

§1.2 Nguyên lí Dirichlet

Định lí Ramsey là một cách mở rộng của Nguyên lí chuồng chim bồ câu (Nguyên lí Dirichlet): Một tập gồm s phần tử được chia thành n các tập con phân biệt Nếu

sn thì tồn tại ít nhất một tập con chứa nhiều hơn một phần tử

Nguyên lí Dirichlet được dùng để giải bài toán sau

Bài toán 1.2.1

Sáu điểm được nối với nhau bởi các đoạn thẳng tô màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tìm được một tam giác đơn sắc, nghĩa là tam giác có ba cạnh cùng có màu đỏ hoặc màu xanh

xanh) Giả sử OA OB OC, , có cùng màu đỏ

Xét tam giác ABC Nếu có ít nhất một

cạnh, thí dụ, AB là màu đỏ, thì tam giác

OAB có cả ba cạnh là màu đỏ Nếu tất cả

các cạnh của tam giác ABC là màu xanh, thì tam giác ABC là tam giác cần tìm

Như vậy, từ 6 điểm không thẳng hàng, ta có tất cả C 63 20 tam giác, trong đó có ít nhất một tam giác đơn sắc (các cạnh cùng màu đỏ hoặc xanh)

Câu hỏi Số điểm ít nhất là bao nhiêu để không

có một tam giác đơn sắc?

Trả lời Số điểm ít nhất là 6 Thật vậy, xét năm

điểm A B C D E, , , , với các cạnh

AB BC CD DE EA màu xanh và các cạnh

AD AC BE BD CE màu đỏ Khi ấy màu của

các cạnh của các tam giác được cho trong hình

bên và bảng sau

Tam giác Cạnh xanh Cạnh đỏ Tam giác Cạnh xanh Cạnh đỏ

F

E

C B

A

O

ABE AB; AE BE BCE BC BE; CE

Như vậy, không có tam giác nào trong số tất cả 10 tam giác có các cạnh cùng màu Nói cách khác, trong năm điểm bất kỳ không có một tam giác đơn sắc

Dưới đây ta cố gắng phát triển tư tưởng của Bài toán 1.2.1 trên ngôn ngữ tập hợp

kết hợp với nguyên lí Dirichlet Trong nguyên lí Dirichlet, tập gồm s phần tử được chia thành n tập với các phần tử riêng rẽ Nếu sn thì tồn tại một tập gồm ít nhất

hai phần tử từ tập cho trước (gồm s phần tử) Tập hai phần tử này có thể coi như

một tập chứa hai tập con một phần tử trong cùng một lớp chia

Trong Bài toán 1.2.1, ta có một tập gồm sáu phần tử Chúng có thể được coi là sáu

đỉnh của một đồ thị, kí hiệu là K6 Ta có thể coi các tập hai phần tử lấy từ tập các

đỉnh như là các cạnh Và coi tập ba phần tử (ba đỉnh) như là tam giác Chia các

cạnh thành hai lớp, là lớp các cạnh màu đỏ và lớp các cạnh màu xanh Và ta đã chỉ

ra rằng trong đồ thị K6 có một tam giác có cả ba cạnh được tô cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh Nói cách khác, nếu ta chia tập gồm sáu điểm thành hai lớp các tập hợp hai điểm, thì có một tập ba điểm nào đó trong tập gồm sáu điểm có mọi tập con hai điểm nằm trong cùng một lớp chia

Từ bài toán đơn giản trên, ta đi đến một định lí quan trọng là định lí Ramsey được trình bày trong chương 2

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ RAMSEY

§2.1 Định lí Ramsey trong lí thuyết đồ thị

1 Định lí Ramsey cho đồ thị hai màu

Định lí 2.1.1Cho 2 số tự nhiên p và q Khi ấy tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất

Ta xét một đồ thị 2 màu đầy đủ có p đỉnh Nếu tất cả các cạnh được tô màu xanh thì p đỉnh này thỏa mãn định lí Nếu tất cả các cạnh không được tô màu xanh thì

tồn tại một cạnh được tô màu đỏ giả sử là AB thì 2 đỉnh , A B thỏa mãn định lí suy

Ta thấy bài toán 1.2.1 là một trường hợp đặc biệt của định lí Ramsey lúc này

Trường hợp 1:Có ít nhất bốn đỉnh được đánh số là x x x x2, 3, 4, 5 nối với x1 bởi các cạnh màu xanh

Nếu tồn tại một cặp hai điểm trong số bốn đỉnh x x x x2, 3, 4, 5, thí dụ, x x2, 3 được nối với nhau bởi cạnh màu xanh, thì ta có đồ thị con K3 x x x1, 2, 3 có tất cả các cạnh màu xanh Nếu không tất cả các cạnh tạo bởi bốn điểm x x x x2, 3, 4, 5 phải đều là màu đỏ, khi ấy ta lại có đồ thị con K4 x x x x2, 3, 4, 5 có tất cả các cạnh màu đỏ

Trường hợp 2:Có nhiều nhất ba đỉnh nối với x1 bởi các đoạn màu xanh, nghĩa là

có ít nhất năm đỉnh được nối với x1 bởi các đoạn màu đỏ

Nếu tất cả các đỉnh được nối với 8 đỉnh còn lại bởi năm cạnh màu đỏ và ba cạnh màu xanh.Bây giờ ta xét đồ thị con đơn sắc (monochromatic subgraphs) Trong đồ thị con đơn sắc màu xanh, có tất cả 9 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc 3 (có ba cạnh xuất

phát từ một đỉnh có màu xanh) Suy ra số cạnh màu xanh là 9.3 27

1

x bởi các cạnh màu đỏ nên đồ thị gồm các đỉnh K4 x x x x2, 3, 4, 1 có tất cả bốn cạnh màu đỏ

Vậy trong mọi trường hợp thì đồ thị 2 màu K9 luôn tồn tại một đồ thị con K3 có tất cả các cạnh màu xanh hoặc một đồ thị conK4 có tất cả các cạnh màu đỏ

có tất cả các cạnh màu xanh Như vậy R3,513

Bài toán 2.7 Chứng minh rằng R4, 418

Ta tô màu k r là màu đỏ còn các màu k1, , k r1 là màu xanh Theo Định lí 2.1.1 tồn tại số nR q p , rsao cho mọi đồ thị đầy đủ n đỉnh hai màu luôn tồn tại một

đồ thị con đầy đủ q đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu xanh hoặc p r đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu đỏ

Vậy luôn tồn tại số tự nhiên R p p 1, 2, ,p rsao cho mọi đồ thị đầy đủ n đỉnh

r màu, nR p p 1, 2, ,p r luôn tồn tại một đồ thị con đầy đủ p1 đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu k1 hoặc p2 đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu k2 hoặc

r

p đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu k r

Bài toán 2.9 Chứng minh rằng R3,3,317

Kí hiệu một đỉnh là A Vì A nối với 16 đỉnh còn lại bởi ba màu nên theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại 6 đỉnh nối với A bởi cùng một màu Giả sử sáu đỉnh là B, C, D, E,

F, G nối với A bởi màu xanh

Nếu trong sáu đỉnh có hai đỉnh nối với nhau bởi màu xanh, giả sử là B,C thìba đỉnh

A,B,C được nối với nhau cùng một màu

Nếu trong sáu đỉnh không có hai đỉnh nào nối với nhau bởi màu xanh Suy ra trong

6 đỉnh B,C,D,E,F,G các cạnh được nối với nhau bởi hai màu đỏ và vàng theo bài

toán 1.2.1 tồn tại ba đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi một màu

Vậy trong 17 đỉnh luôn tồn tại ba đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi cùng một màu

VậyR3,3,317

§2.2 Định lí Ramsey trong tập hợp hữu hạn

1 Định lí Ramsey

Giả sử S là tập hợp gồm s phần tử Kí hiệu r S là họ tất cả các tập con của

S, mỗi tập có đúng r phần tử, r  Ta nói họ 1 r S được phân hoạch thành

hai họ các tập hợp A và B nếu A và B khác rỗng và thỏa mãn điều kiện:

 

r S AB; AB

Định lí 2.2.1 (Ramsey, 1930) Giả sử họ r S được phân hoạch thành hai họ các tập hợp A và B ; p và q là hai số nguyên sao cho r  p q,  Khi ấy tồn tại số s nguyên nhỏ nhất R p q r , ,  chỉ phụ thuộc vào các số , , p q r mà không phụ thuộc vào tập S , sao cho nếu sR p q r , ,  thì tồn tại một tập P gồm p phần tử của S ,

mà tất cả các tập con r phần tử của P đều thuộc A, hoặc tồn tại một tập Q gồm

q phần tử của S , mà tất cả các tập con r phần tử của Q đều thuộc B

Số R p q r , ,  tìm được trong Định lí 2.2.1 được gọi là số Ramsey Các số Ramsey

rất được quan tâm vì có nhiều ứng dụng, nhưng rất khó tính được nó Ta mới chỉ tính được một vài số Ramsey nhỏ Thậm chí rất khó tìm ra các công thức đánh giá các số Ramsey

Trong trường hợp r  , ta có thể phát biểu lại Định lí 2.1 dưới ngôn ngữ của lí 2thuyết đồ thị như sau Giả thiết rằng sR p q , , 2 và các cạnh của đồ thị K s đã được tô bởi hai màu đỏ hoặc xanh Chia các cạnh của đồ thị thành hai lớp: lớp A

gồm các cạnh màu đỏ và lớp B gồm các cạnh màu xanh Định lí 2.1 nói rằng, đồ

thị K s phải chứa đồ thị con K p có tất cả các cạnh màu đỏ hoặc chứa đồ thị con K q

Nếu s p q 2 thì s pq 2 p1  q1 nên ta có thể chia tập hợp S

thành hai lớp, lớp thứ nhất chứa nhiều nhất p 1 phần tử và lớp thứ hai chứa nhiều nhất q 1 phần tử Nghĩa là trong cách chia này, ta không có tập nào chứa p hoặc

Do đó R p q( , ,1) p q 1

2) Trường hợp pr Số phần tử s của tập hợp S phải ít nhất là bao nhiêu để ta

có thể bảo đảm chắc chắn rằng trong S hoặc là tồn tại tập P gồm r phần tử của

S mà tất cả các tập con r phần tử của P nằm trong A hoặc là tồn tại tập Q gồm

q phần tử của S mà tất cả các tập con r phần tử của Q nằm trong B , trong đó A

và B là một phân hoạch của r S , tức là A và B là họ các tập con r phần tử và

 

r S AB; AB?

Vì A   nên A phải chứa ít nhất một tập gồm r phần tử Do pr và r q s

nên bắt buộc s  (để tin tưởng chắc chắn rằng S chứa tập q phần tử) Do đó q

Theo Bổ đề 2.2.2 thì Định lí 2.2.1 đúng cho r  Ta chứng minh qui nạp theo 1 r

Giả thiết rằng định lí đúng cho r  Bây giờ ta lại sử dụng qui nạp theo 1 pq, bằng cách sử dụng khẳng định 2) và 3) của Bổ đề 2.2.2 Như vậy, theo giả thiết qui nạp, các số p1R p 1, ,q r và q1 R p q , 1,r tồn tại Ta khẳng định rằng

 ( , ,1 1 1) 1

s R p q r phần tử Giả sử họ r S các tập con r phần tử của S được

tô bởi hai màu: đỏ và xanh Tương tự như trong chứng minh Bài toán 1.2.1 (cho

6

K ), ta lấy ra một phần tử của S và kí hiệu nó là a Bây giờ ta xác định các tập

con tô màu r  phần tử của tập 1 S : S \  như sau:

Tập X S có r  phần tử được tô màu trùng với màu của 1 X  a

Vì S có số phần tử là sR p q r( , ,1 1 1) 1 nên S có số phần tử s  R p q r( , ,1 1 1)

Theo giả thiết qui nạp, hoặc S chứa tập con A có p1 phần tử sao cho mọi tập con r  của nó phải là màu đỏ hoặc 1 S chứa tập con B có q1 phần tử sao cho mọi tập con r  của nó phải là màu xanh Không hạn chế tổng quát, giả sử xảy ra 1trường hợp 1, tức là A có p1 phần tử sao cho mọi tập con r  của nó có màu đỏ 1Bởi vì p1 R p 1, ,q r nên có thể có hai khả năng

Trường hợp 1 Hoặc A có tập con Q gồm q phần tử, mọi tập con r phần tử của

nó có màu xanh Bởi vì Q cũng là tập con q phần tử của S nên S chứa tập con

Q gồm q phần tử, mọi tập con r phần tử của nó màu xanh Như vậy, ta có khẳng

định của định lí

Trường hợp 2 Hoặc A có tập con A gồm p 1 phần tử, mọi tập con r phần tử

của nó có màu đỏ Trong trường hợp này tập con P: A  cũng có tính chất

đó, vì A  A, tức là P có p phần tử, mọi tập con r phần tử của nó có màu đỏ

Nhưng P cũng là tập con của S nên P chính là tập cần tìm Và ta có khẳng định

2 Định lí Ramsey tổng quát

Ở hai mục trên ta đã thấy, Định lí Ramsey có thể phát biểu trên ngôn ngữ chia tập hợp thành hai lớp hoặc ngôn ngữ đồ thị hai màu Có thể đặt câu hỏi, có thể tổng quát hóa Định lí Ramsey khi tập hợp được chia thành nhiều lớp hoặc trên ngôn ngữ

đồ thị nhiều màu không?

Định lí 2.2.3(Định lí Ramsey tổng quát)Giả sử S là tập hợp gồm s phần tử và

 

r S

 là họ tất cả các tập con r phần tử của S , r  Giả sử rằng chúng ta có 1

cách phân hoạch tập hợp r S  A1A2  A n , sao cho mọi lớp A i khác trống và mỗi tập con r phần tử của S thuộc vào chỉ một tập A i ( A i A j   với mọi i  ) Giả sử j k k1, 2, ,k n là các số nguyên sao cho rk i s với mọi

A Trong trường hợp này định lí được chứng minh Hoặc là S chứa tập con T

gồm  phần tử, mọi tập con r phần tử của nó thuộc tập A  A  A Theo

cách chọn  và theo qui nạp, tập T phải chứa ít nhất một tập con P i gồm k i phần

tử, mọi tập con r phần tử của nó thuộc họ A i với một giá trị i nào đó, 1 i n1 Nhưng P i cũng là tập con của tập S , do đó trong mọi trường hợp, S chứa tập một

tập con P i gồm k i phần tử, mọi tập con r phần tử của nó thuộc họ A i với một giá trị i nào đó, 1 i  Định lí được chứng minh n

Trong rất nhiều áp dụng, ta quan tâm đến trường hợp k1 k2  k n k Để đơn giản, ta kí hiệu R k k 1, 2, ,k r n; :R k r n ; 

3 Một số công thức đánh giá số Ramsey

Định lí 2.2.1 và Định lí 2.2.3 cho ta biết sự tồn tại số Ramsey R p q r , ;  và

 1, 2, , n; 

R k k k r Tuy nhiên, hai định lí này không cho ta biết cách tính số Ramsey

Nói chung không có công thức tính số Ramsey Vì vậy người ta cố gắng đi tìm các công thức đánh giá số Ramsey Các đánh giá này hiện nay cũng chưa nhiều Mục này trình bày một số giá trị của số Ramsey và một số công thức đánh giá số Ramsey

Định lí 2.2.4Với mọi số nguyên p q  ta có , 2   1

2, ;2 p q p

R p q C  

Chứng minh Đặt n pq Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n Để bắt đầu

qui nạp, ta nhắc lại công thức từ Bổ đề 2.1.2:   2 1

2 2 2

R  C   Vì ,p q 2nên 4

n pq và n 4 khi và chỉ khi pq2 Do đó đánh giá trong định lí cũng đúng cho n 4

R p  pC   Như vậy,

đánh giá trong định lí cũng đúng nếu một trong hai số p hoặc q bằng 2

Bây giờ, không hạn chế tổng quát, ta có thể giả thiết rằng p3,q3 và theo giả

thiết qui nạp theo n , đánh giá trong định lí đúng cho mọi số nguyên p 2 và

Giả sử K m là một đồ thị đầy đủ (giữa hai đỉnh bất kì có đúng một cạnh nối) có

1

2

p

p q

m C   đỉnh Ta cần chứng minh rằng K m phải chứa hoặc đồ thị con K q có tất

cả các cạnh màu xanh, hoặc đồ thị con K p có tất cả các cạnh màu đỏ, hoặc cả hai

Do p 3 nên q  1 1; q  2 2; ; q p 2 p1

Vì vậy

1 2

Suy ra, nếu mọi cạnh của đồ thị K m là màu xanh, thì K m phải chứa đồ thị conK q

có tất cả các cạnh màu xanh và ta có điều cần chứng minh Nếu K m chứa một cạnh màu đỏ thì có tối thiểu hai đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh màu đỏ Có hai khả năng

Trường hợp 1: Giả sử x là đỉnh của đồ thị K m mà có tối thiểu sR p 1, ; 2q đỉnh x x1, 2, ,x s nối với nó bởi các cạnh màu đỏ Xét đồ thị con K s tạo bởi các đỉnh ấy Bởi vì các cạnh của đồ thị K s được tô màu đỏ hoặc xanh, nên nó chứa hoặc là đồ thị con K q có tất cả các cạnh màu xanh, khi ấy định lí được chứng minh; hoặc hoặc là K s chứa đồ thị con K p1 có tất cả các cạnh màu đỏ Kí hiệu tập các đỉnh của K p1 là y y1, 2, ,y p1x x1, 2, ,x s Khi ấy các đỉnh

, , , , p

x y y y  tạo thành đồ thị con K p có tất cả các cạnh màu đỏ và định lí đúng Trường hợp 2: Giả sử rằng không có đỉnh nào của đồ thị K m mà có R p 1, ;2q đỉnh được nối với nó bởi các cạnh màu đỏ

Tất cả các trường hợp đã được xét Định lí chứng minh xong

Nhận xét Nếu p  hoặc 2 q  hoặc 2 pq thì dấu bằng xảy ra trong đánh 3giá của Định lí 2.1.1 Tuy nhiên, nếu q 3 và p 4 thì ta có R3, 4;29 (xem Bài toán 1.2.1), trong khi đó C p q p 1 2 10

Định lí 2.2.4Với mọi số nguyên s t  ta có , 2

 2;2   ;2 1   ;2 1 1

R st  s t  R s  R t   Chứng minh Đặt pR s n ;21 và qR t n ;21 Xét các đồ thị đầy đủ K p và

q

K với các đỉnh tương ứng là x x1, 2, ,x p và y y1, 2, ,y q Tô các cạnh của K p và

q

K bởi n màu C C1, 2, ,C n sao cho K p không chứa K s đồ thị đơn sắc, và K q

không chứa đồ thị K t đơn sắc Cách tô màu này là có thể theo Định lí Ramsey và

1) Nếu ig thì tô màu z z giống màu của cạnh ij gh y y trong j h K q

2) Nếu ig thì tô màu z z ij gh giống màu của cạnh x x i g trong K p

Đặt r st  s t 2, khi ấy r  pq Xét đồ thị con K r của K pq Ta sẽ chỉ ra rằng

r

K không thể là đồ thị đơn sắc Giả sử ngược lại, K r là đồ thị đơn sắc, thí dụ, tất

cả các cạnh của nó được tô một màu C1 Xuất hiện hai khả năng

1) Có tối thiểu s giá trị khác nhau của i , thí dụ, i1, 2, ,s mà đỉnh z ij nằm trong

K thì K r có tối đa s1t1st    s t 1 r 1 đỉnh NhưngK r có r đỉnh

Điều mâu thuẫn này suy ra rằng có tối thiểu một giá trị của i để z ij là đỉnh của K r

cho tối thiểu t giá trị của j Thay của p thành q và s thành t trong trường hợp

1, ta suy ra K q chứa một đồ thị đơn sắc K t Một lần nữa lại mâu thuẫn

Như vậy, K không chứa đồ thị đơn sắc pq K r Định lí được chứng minh

Định lí 2.2.5Ta có các đẳng thức và bất đẳng thức sau đây:

R p p C (Erdős Szekeres, 1935; Erdős, 1947);

10) 2bn2 R n n( , ;3)2c n với hai hằng số b và c nào đó

Bảng dưới đây ghi lại một số kết quả về số Ramsey trong trường hợp hai màu

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ RAMSEY

§3.1 Định lí Schur

1 Định lý Schur

Định lí 3.1.1 Cho r là số tự nhiên, r1 Khi đó tồn tại một số tự nhiên ( )S r sao

cho NS r , tập số {1,2,…,N} được tô bởi r màu luôn tồn tại ba số , ,( ) x y z có

cùng màu sao cho x yz

Chứng minh

Xét hàm số f : 1, N 1,r trong đó số i được tô bởi màu ( )f i

Xét đồ thị gồm N đỉnh 1,2,…, N Cạnh nối hai đỉnh i, j ta tô màu f i  j Khi đó

ta được một đồ thị đầy đủ r màu

Theo định lí Ramsey nếu thì tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô cùng một

màu Giả sử tam giác đó có ba đỉnh là i<j<k.Suy ra

Định nghĩa3.1.2 Ta gọi số tự nhiên thỏa mãn định lí Schur là số Schur

Kí hiệu là ( )S r

Các số Schur đã được tính là: S(1)2, (2)S 5, (3) 14, (4)S  S 45