Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCKHỔNG THỊ THÚY HỒNG VỀ GIẢ THUYẾT ABC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015... Mason phát biểu dựa vào sự tương tự của số nguyên và đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

KHỔNG THỊ THÚY HỒNG

VỀ GIẢ THUYẾT ABC

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

KHỔNG THỊ THÚY HỒNG

VỀ GIẢ THUYẾT ABC

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

Mục lục

1.1 Ideal và Radical 4

1.2 Phép lấy đạo hàm 9

1.3 Định lý Mason 13

1.4 Một vài ứng dụng của định lý Mason 15

2 Giả thuyết abc và một số ứng dụng 21 2.1 Giả thuyết abc 21

2.2 Một số ứng dụng của giả thuyết abc 21

2.3 Giả thuyết abc đồng dư 29

2.4 Một số hệ quả khác của giả thuyết abc 37

2.4.1 Số lũy thừa hoàn hảo 37

2.4.2 Phương trình Fermat tổng quát 39

2.4.3 Giả thuyết Erd¨os - Woods 40

2.4.4 Bài toán Warings 41

2.4.5 Bài toán của P Erd¨os 42

2.4.6 Mạnh hơn giả thuyết abc Ước lượng tốt nhất có thể? 43 2.4.7 Giả thuyết abc dạng tường minh 44

Giả thuyết này được phát biểu vào năm 1985 bởi J Oesterle’ trong mộtkết quả của đường cong Elliptic của bộ môn hình học đại số, ngay sau đóD.R Mason phát biểu dựa vào sự tương tự của số nguyên và đa thức.

Giả thuyết abc kéo theo rất nhiều hệ quả và các giả thuyết liên quan.Mục đích của luận văn là trình bày định lý Mason và một số ứng dụngcủa định lý này Từ định lý Mason cho đa thức ta có sự tương tự số học đó

là giả thuyết abc Từ đó nghiên cứu một số hệ quả trong số rất nhiều các hệquả của giả thuyết này Bản luận văn "Về giả thuyết abc và một số ứngdụng" được tiến hành chủ yếu dựa vào một số tài liệu tham khảo

Bài luận văn "Về giả thuyết abc và một số ứng dụng" gồm có: mởđầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày định nghĩa ideal, radical, một số tính chấtcủa ideal, radical Phép lấy đạo hàm trong vành và các tính chất của phéplấy đạo hàm Định lý Mason và một số ứng dụng của định lý này

Trong chương này trình bày giả thuyếtabcvà một số hệ quả của giả thuyếtnày Định lý tiệm cận Fermat, Định lý tiệm cận Catalan và một số hệ quảkhác

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.

TS Nông Quốc Chinh, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Emxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảohướng dẫn tận tình của thầy

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong Ban Giám hiệu, Khoa Toán

- Tin, phòng đào tạo trường Đại học Khoa học Đồng thời tôi xin gửi lời cảm

ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7B Trường Đại học Khoa học, cùng giađình tôi đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận vănnày

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ luận văn thạc sĩ,nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong nhận được sự chỉ dạy và đóng góp của các thầy, cô và cácbạn đồng nghiệp

Tác giả

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Mục đích của tôi trong chương này là trình bày một số kiến thức nhưideal, radical, phép lấy đạo hàm trong vành, định lý Mason và một vài ứngdụng của định lý này

Trong chương này ta quy ước một vành R là một vành giao hoán, cóphần tử đơn vị

ii) Tập các số nguyên chẵn là một ideal của vành Z

iii) Tập các đa thức có hạng tử tự do bằng 0 là một ideal của vành R [t],trong đó R [t] là vành các đa thức với hệ số trong vành R

Mệnh đề 1.1 Giao của một họ các ideal của một vành R cho trước là mộtideal của R

Chứng minh

Giả sử (Ai)i∈I là một họ các ideal của R Đặt

A = ∩

i∈IAi

Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng giao hoán R.

Ta có

∀x ∈ R, ∀a ∈ A ⇒ a ∈ Ai∀i ⇒ ax ∈ Ai ∀i

⇒ ax ∈ A ⇒ A là ideal của R

Mệnh đề được chứng minh

tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn có dạng a1r1 + a2r2 + + akrk với

ai ∈ A, ri ∈ R, i = 1, , k là một ideal của R kí hiệu bởi hAi và gọi là idealsinh bởi A

Một ideal sinh bởi một phần tử a ∈ R gọi là một ideal chính và kí hiệubởi

ii) ∀a, b ∈ R, ab ∈ I kéo theo a ∈ I hoặc b ∈ I

Định nghĩa 1.5 Phổ của vành R kí hiệu là Spec(R), là tập tất cả các idealnguyên tố của R

TH1 : d = p là một số nguyên tố và ab ∈ pZ thì p là ước của ab Theo

bổ đề Euclid, p là ước của a hoặc p là ước của b, do đó a ∈ pZ hoặc b ∈ pZ.

Vậy pZ là iđêan nguyên tố với mọi số nguyên tố p

TH2 : d là hợp số, ta có thể viết d = ab, trong đó 1 < a ≤ b < d.Nếu a ∈ dZ thì a = dk = abk với k nguyên dương, suy ra 1 = bk, vô lý Do

đó a /∈ dZ.

Tương tự b /∈ dZ.

Vì d = ab ∈ dZ, suy ra dZ không phải là một ideal nguyên tố Do vậy,

các ideal nguyên tố của vành Z là các ideal có dạng pZ, với p là nguyên tốhoặc p = 0

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.6 Một phần tử x của vành R được gọi là lũy linh nếu tồntại một số nguyên dương k sao cho xk = 0

Ví dụ 1.3

i) Phần tử không trong một vành bất kì là phần tử lũy linh

Phần tử đơn vị 1 trong vành không là phần tử lũy linh

ii) Lớp đồng dư 6 + 27Z là phần tử lũy linh của vành Z/27Z

Định nghĩa 1.7 Ta gọi tập tất cả các phần tử lũy linh của R là radical củavành R và kí hiệu bởi N (R)

Nhận xét N (R) là một ideal của vành R

Thật vậy:

• ∀a, b ∈ N (R), tồn tại các số nguyên k, h sao cho ak = 0, bh = 0

Dùng khai triển Newton có ngay mọi hạng tử trong khai triển (a − b)k+h

đều bằng 0, suy ra (a − b)k+h = 0 nên (a − b) ∈ N (R)

• ∀a ∈ N (R), ∀x ∈ R, do R là vành giao hoán ta có (ax)k = ak.xk = 0,suy ra ax ∈ N (R)

Định nghĩa 1.8 Ta gọi tích của các ước nguyên tố khác nhau của số nguyênkhác không m là radical của số m và kí hiệu là rad (m)

Ta có

rad (m) = Yp

p|m

i) Z/mZ là vành chính và các ideal của Z/mZ là các ideal sinh bởi các lớp

đồng dư d + mZ, với d là ước của m

ii) Các ideal nguyên tố của Z/mZ là các ideal sinh bởi các lớp đồng dư

p + mZ, trong đó p là một ước số nguyên tố của m

iii) Radical của Z/mZ là ideal sinh ra bởi lớp đồng dư rad (m) + mZ.

Mặt khác, do d ∈ I nên p (d) = d + mZ ∈ J suy ra ideal chính trong

Z/mZ sinh bởi hd + mZi chứa trong J

Ngược lại, lấy bất kì a + mZ ∈ J ta có a ∈ I nên a = dr với r nguyên.Suy ra

a + mZ = dr + mZ = (d + mZ) (r + mZ) ∈ hd + mZi

Từ đó suy ra J = hd + mZi và a + mZ ∈ J khi và chỉ khi d là ước của

a

ii) Gọi J là ideal chính sinh bởi d + mZ, trong đó d là ước của m, d ≥ 2.Nếu d = p là nguyên tố và

(a + mZ) (b + mZ) = ab + mZ ∈ J

thì p là ước của ab và do đóplà ước của ahoặc của b, tức làa + mZ ∈ J

hoặc b + mZ ∈ J suy ra J là ideal nguyên tố

Spec (Z/mZ) = hp + mZi | với p là ước nguyên tố của m

iii) Lớp đồng dư a + mZ là lũy linh trong R khi và chỉ khi với k nguyêndương

Ta kí hiệu No(f ) là số các nghiệm phân biệt của f, tức là

No(f ) = |Z (f )| = r

Định nghĩa 1.10 Bậc của rad (f ) là số nghiệm phân biệt của f (t), tức là

deg rad (f ) = No(f )

Trong đại số cao cấp, đối với vành đa thức một ẩn C[t] trên trường số phức

ta đã biết kết quả sau: Vành C[t] là vành chính

D : R → R sao cho với mọi x, y ∈ R,

D (x + y) = D (x) + D (y) , (1.1)

D (xy) = D (x) y + xD (y) (1.2)Điều kiện (1.1) nói rằng D là một đồng cấu của nhóm cộng trong R

thì D là một phép lấy đạo hàm trên R [t].

Định lí 1.4 Cho R là một miền nguyên với trường các thương F, và cho

D là một phép lấy đạo hàm trên R Tồn tại duy nhất phép lấy đạo hàm DF

trên F sao cho DF (x) = D (x) , ∀x ∈ R.



= D (a) b − D (b) a

là một phép lấy đạo hàm trên F và thỏa mãn

DF (a) = D (a) , ∀a ∈ R



= DF



ad + bcbd



= D (x) y + xD (y)

• Hiển nhiên với mọi a ∈ R ta có DF (a) = D (a)

Giả sử tồn tại một phép lấy đạo hàm DF trên F sao cho

DF (a) = D (a) , ∀a ∈ R

Giả sử D là một phép lấy đạo hàm trên trường F

Với mỗi x 6= 0 trong F, xét ánh xạ

Theo định lý cơ bản của Đại số, mọi đa thức với hệ số phức luôn có n

nghiệm phức (kể cả bội), nên C là trường đóng đại số Giả sử f (t) ∈ C[t], kí

hiệuN0(f ) là tập các nghiệm phân biệt của đa thức f (t) Nếu bậc của f (t)

max {deg (a) , deg (b) , deg (c)} ≤ No(abc) − 1 = deg (rad (abc)) − 1,

vớiNo(abc) là số các nghiệm phân biệt của đa thứcabcvàrad (abc) là radicalcủa abc

Vì định lý Mason đối xứng theoa, b, c nên có thể viết phương trình dướidạng a + b + c = 0

Chứng minh

Giả sử D là phép lấy đạo hàm duy nhất, xác định trên trường các hàmhữu tỉ C(t) Theo định lý 1.3, định lý 1.4, giả sử L là phép lấy đạo hàmlôgarit, ta xây dựng hàm hữu tỉ khác không u = a

c và v =

b

c trong C(t).Khi đó



+ v



D (v)v

L (v) = L



bc

deg (q) = deg (rad (abc)) = N0(a) + N0(b) + N0(c)

Ngoài ra, qL (u) vàqL (v) là các đa thức có bậc cao nhất là deg (q) − 1 Theo(1.5) ta có

Định lý Mason cho ta một cách chứng minh đơn giản của định lýFermat đối với đa thức có hệ số phức

Định lí 1.6 Với mọi n ≥ 3, không tồn tại các đa thức khác không với hệ sốphức a, b, c nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là hằng số và thỏa mãn

phương trình an+ bn = cn.

Chứng minh

Cho n ≥ 3, giả sử tồn tại các đa thức khác không với hệ số phức x, y,

z thỏa mãn không đồng thời là hằng số, đôi một là nguyên tố cùng nhau và

xn + yn = zn

Theo định lý Mason với a = xn, b = yn, c = zn,

ta có

rad (abc) = rad (xnynzn) = rad (xyz)

Vì deg (xn) = n deg (x) nên ta có

n deg (x) ≤ n max {deg (x) , deg (y) , deg (z)}

= max {deg (xn) , deg (yn) , deg (zn)}

= max {deg (a) , deg (b) , deg (c)}

≤ deg (rad (abc)) − 1 = deg (rad (xyz)) − 1

≤ deg (x) + deg (y) + deg (z) − 1

Một cách tương tự ta có kết quả như vậy đối với n deg (y) , n deg (z)

Do đó:

n (deg (x) + deg (y) + deg (z)) ≤ 3 (deg (x) + deg (y) + deg (z)) − 3

≤ n (deg (x) + deg (y) + deg (z)) − 3

Áp dụng định lý Mason ta có:

maxdeg a2014, deg b2015, deg c2016 ≤ No a2014.b2015.c2016
− 1

⇔ max {2014 deg a, 2015 deg b, 2016 deg c} ≤ No(a.b.c) − 1

⇔ max {2014 deg a, 2015 deg b, 2016 deg c} ≤ deg a + deg b + deg c − 1

Từ đây suy ra:

2014 deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1,

2015 deg b ≤ deg a + deg b + deg c − 1,

2016 deg c ≤ deg a + deg b + deg c − 1

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được kết quả sau

2011 deg a + 2012 deg b + 2013 deg c ≤ −3

điều này hoàn toàn vô lý

Điều phải chứng minh

Định lí 1.7 Không tồn tại các đa thức a, b, c thỏa mãn

maxdeg am, deg bn, deg ck ≤ No am.bn.ck
− 1

⇔ max {m deg a, n deg b, k deg c} ≤ No(a.b.c) − 1

⇔ max {m deg a, n deg b, k deg c} ≤ deg a + deg b + deg c − 1

Từ đây ta suy ra:

m deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1

⇒1

deg a + deg b + deg c − 1.

Hoàn toàn tương tự ta cũng rút ra được:

deg a + deg b + deg c − 1.

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta thu được kết quả sau

Định lý Mason cho ta một cách chứng minh định lý Davenport

Định lí 1.8 Giả sử a, b là hai đa thức khác hằng, nguyên tố cùng nhau và

a3 6= b2 Khi đó ta có:

deg a3 − b2

≥ 1

2deg (a) + 1,deg a3 − b2

Ta nhân hai vế của bất đẳng thức (1.7) với số 2 ta có

4 deg b ≤ 2 deg a + 2 deg b + 2 deg c − 2 (1.8)Cộng vế theo vế (1.6) và (1.8) ta thu được kết quả sau

Định lí 1.9 Cho m, n là các số nguyên dương lớn hơn 1 Giả sử a (t) , b (t)

là các đa thức phức, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho am 6= bn.Khi đó ta có:

Chương 2

Giả thuyết abc và một số ứng dụng

Định lý Mason cho đa thức được phát biểu tương tự cho số nguyên đó

là giả thuyết abc

2.1 Giả thuyết abc

Giả thuyết 2.1 Với mọi ε > 0, tồn tại hằng số K (ε) sao cho nếu a, b, c làcác số nguyên khác 0, nguyên tố cùng nhau và

a + b = c

thì max (|a| , |b| , |c|) ≤ K (ε) rad(abc)1+ε

Vì bất đẳng thức này đối xứng theoa, b, c nên phương trình có thể được viếtdưới dạng a + b + c = 0

Việc chứng minh hay bác bỏ giả thuyết này là một bài toán mở chưa có lờigiải trong lý thuyết số Từ giả thuyết abc ta có thể suy ra nhiều định lý vàcác mệnh đề chưa chứng minh được trong lý thuyết số

2.2 Một số ứng dụng của giả thuyết abc

Định lí 2.1 (Định lý tiệm cận Fermat) Giả thuyết abc suy ra rằng tồn tại

số nguyên no để phương trình Fermat

xn + yn = zn

không có nghiệm x, y và z nguyên tố cùng nhau với mọi hệ số mũ n ≥ no

Chứng minh

Giả sử x, y, z là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau thỏa mãn

xn + yn = zn

Ta đã biết

rad (xnynzn) = rad (xyz) ≤ xyz ≤ z3

Nếu n ≥ 2 thì z ≥ 3 Áp dụng giả thuyết abc với ε = 1 và

Giả sử(x, y, m, n)là lời giải của phương trình Catalan với min (m, n) ≥

3 Khi đó x và y là các số nguyên tố cùng nhau Từ giả thuyết abc với ε = 1

4,

suy ra tồn tại một hằng số K2 = K 14
sao cho

yn < xm ≤ K2rad(xmyn)54 = K2rad(xy)54 ≤ K2(xy)54,

log x +



n − 52

Định lý được chứng minh

Định nghĩa 2.1 Một số nguyên tố lẻ p thỏa mãn

2p−1 6≡ 1 mod p2
được gọi là số nguyên tố Wieferich

Ví dụ 2.1

3 là các số nguyên tố Wieferich vì 22 6≡ 1 ( mod 9) ,

5 là các số nguyên tố Wieferich vì 24 6≡ 1 ( mod 25) ,

7 là các số nguyên tố Wieferich vì 26 6≡ 1 ( mod 49)

Câu hỏi đặt ra là tập các số nguyên tố Wieferich có vô hạn hay không?Hay tập các số nguyên tố không là Wieferich có vô hạn hay không?

Kí hiệu W là tập các số nguyên tố Wieferich, ta sẽ chỉ ra rằng từ giảthuyết abc kéo theo tập W là vô hạn

Bổ đề 2.1 Cho p là một số nguyên tố lẻ Nếu tồn tại một số nguyên dương

n sao cho 2n ≡ 1 ( mod p) nhưng 2n 6≡ 1 mod p2
thì p là số nguyên tốWieferich

Chứng minh

Giả sử d là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 2d ≡ 1 (modp) Khi

đónchia hết chod Vì2n 6≡ 1 mod p2
nên2d 6≡ 1 mod p2
và2d = 1+kp,trong đó (k, p) = 1

Ngoài ra, p − 1 chia hết cho d, vì 2p−1 ≡ 1 (mod p) nên p − 1 = de, với e

nguyên sao cho 1 ≤ e ≤ p − 1 Khi đó (ek, p) = 1 và

2p−1 = 2d
e = (1 + kp)e ≡ 1 + ekp 6≡ 1 mod p2

,

và p là một số nguyên tố Wieferich

Bổ đề được chứng minh

nguyên tố p của v ta luôn có v chia hết cho p2

với vn là số lớn cực đại trong số các ước là số lớn của 2n − 1

Khi đó un là số nguyên không chính phương

{un : n = 1, 2, 3 }là hữu hạn Suy ra tập {vn : n = 1, 2, 3, } là vô hạn nên

Định lí 2.4 Giả thuyết abc kéo theo phương trình (x!)n + 1 = ym chỉ cóhữu hạn nghiệm nguyên dương với x, y, n và m ≥ 2.

nx1−1+εm

≤ 2Kε4x(1+ε),

và do đó

xe

Hệ quả 2.1 Giả sử x, y là các số nguyên dương sao cho x3 − y2 6= 0 Khi

đó với mọi ε > 0, tồn tại số Kε sao cho:

tương đương với

1−5ε)(1

2 − 12ε 1−5ε)

tương đương với

Hệ quả được chứng minh

Ta có thể biến đổi hệ quả (2.1) như sau

Điều đó kéo theo

x3 − y2

6 1−2ε > Kεx3,

Hệ quả 2.2 Cho m và n là các số nguyên dương lớn hơn 1 Giả sử x, y làcác số nguyên sao cho

a.xm − b.yn 6= 0

Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại số Kε sao cho:

|xm| < Kε|xm − yn|m.n−n−mn.m(1+ε)

2.3 Giả thuyết abc đồng dư

Giả thuyết 2.2 (Giả thuyết abc đồng dư theo môđun m) Cho m ≥ 2 Giảthuyết abc đồng dư cho m phát biểu rằng với mọi ε > 0, tồn tại số K (m, ε)

sao cho nếu a, b và c là các số nguyên khác 0, nguyên tố cùng nhau thỏa mãn

abc ≡ 0 ( mod m)

và

a + b = c,

thì

max (|a| , |b| , |c|) ≤ K (m, ε) rad(abc)1+ε

Đây là một khẳng định yếu hơn giả thuyết abc, vì giả thuyết abc không

bị hạn chế bởi bất kì điều kiện đồng dư nào Tuy nhiên, ta sẽ chứng minhrằng nếu giả thuyết abc đồng dư là đúng với môđun m thì giả thuyết abc

cũng đúng

Nhận xét 2.2 Xét bộ 3 số nguyên (a, b, c) thỏa mãn

a + b = c

Khi đó :

• Ít nhất một trong các số nguyêna, b, cphải chẵn, do đóabc ≡ 0 ( mod 2)

Giả thuyết abc đồng dư với m = 2 giống như giả thuyết abc đã xét, vìvậy ta chỉ cần xét môđun m ≥ 3

• Nếu (a, b, c) = 1 thì hoặc c lẻ và b − a lẻ hoặc c chẵn, cả a và b lẻ, b − a

chẵn

• Nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 thì bằng phương pháp hoán vị, ta cóthể giả thiết rằng đó là các số dương và a < b < c.

Bổ đề 2.2 Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn (a, b, c) = 1 và

a + b = c Khi đó (a, b) = (b, c) = (a, c) = 1 và a = b khi a = 1, c = 2

Chứng minh

Vìa+b = cnên(a, b) = (b, c) = (a, c) Đặtd = (a, b) thìdlà ước của a

vàb Mà a + b = cnên d là ước củac Suy ra d| (a, b, c) = 1 ⇒ d| 1 ⇒ d = 1.Nếu a = b thì 2a = c ⇒ a| c ⇒ (a, b, c) = (a, c) = a Mà (a, b, c) = 1 ⇒ a =

...

2.3 Giả thuyết abc đồng dư

Giả thuyết 2.2 (Giả thuyết abc đồng dư theo môđun m) Cho m ≥ Gi? ?thuyết abc đồng dư cho m phát biểu với ε > 0, tồn số K (m, ε)

sao cho a, b c số. .. mãn

abc ≡ ( mod m)

và

a + b = c,

thì

max (|a| , |b| , |c|) ≤ K (m, ε) rad (abc) 1+ε

Đây khẳng định yếu giả thuyết abc, giả thuyết abc khơng

bị... nhiên, ta chứng minhrằng giả thuyết abc đồng dư với mơđun m giả thuyết abc

cũng

Nhận xét 2.2 Xét số nguyên (a, b, c) thỏa mãn

a + b = c

Khi :

• Ít số nguna, b,