Về dạng chuẩn Edwards và một vài ứng dụng

[...]... chuân Edwards cho ữớng cong elliptic 2.1 DÔng chuân Edwards Trong mửc ny chúng tổi trẳnh by nh nghắa ữớng cong Edwards, ữớng cong Edwards cuởn (twisted Edwards curve) cụng nhữ php cởng im trản cĂc dÔng ữớng cong ny Nởi dung cừa mửc ny ữủc trẳnh by dỹa trản cĂc ti liằu [1, 2, 4, 5, 9] 2.1.1 DÔng chuân Edwards nh nghắa 2.1 k Cho l mởt trữớng cõ c số khĂc 2, v d k \ {0, 1} ữớng cong Edwards, ... cừa Bờ ã 2.13 1 1 1 1 Chữỡng 2 DÔng chuân Edwards cho ữớng cong elliptic 27 2.2 Nhõm cĂc im trản ữớng cong Edwards cuởn Trong phƯn ny, chúng tổi s lm viằc ối vợi cĂc ữớng cong Edwards cuởn vẳ ữớng cong Edwards ch l trữớng hủp riảng cừa ữớng cong Edwards cuởn vợi a = 1, d = 1 é phƯn trữợc chúng tổi  trẳnh by hai cổng thực cởng im trản ữớng cong Edwards cuởn: cổng thực (2.2) v cổng thực (2.3)... l tữỡng ữỡng song hỳu t vợi x2 + y 2 = 1 + (1/d)x2 y 2 x2 + y 2 = 1+dx2 y 2 Chữỡng 2 DÔng chuân Edwards cho ữớng cong elliptic 20 2.1.2 Hai cổng thực cởng im trản ữớng cong Edwards Mửc ẵch cừa phƯn ny l ữa ra php cởng im trản mởt ữớng cong Edwards v chựng minh tẵnh úng ưn cừa nõ nh nghắa 2.6 Edwards E k l mởt trữớng cõ c số khĂc 2 v mởt ữớng cong xĂc nh trản trữớng d k \ {0, 1} E Cho... ) x2 + y 2 = 1 + dx2 y 2 vợi trản ữớng cong Edwards ữủc nh nghắa bi (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = x1 y2 + y1 x2 y1 y2 x1 x2 , 1 + dx1 x2 y1 y2 1 dx1 x2 y1 y2 (2.1) Vợi php cởng im trản ữớng cong Edwards nh nghắa nhữ trản, ta cõ im (0, 1) E phƯn tỷ trung hỏa cừa php cởng im ngữủc cừa im l im (x1 , y1 ) (x1 , y1 ) trản Php cởng im trản ữớng cong Edwards cụng ữủc Ăp dửng cho trữớng hủp nhƠn... tiáp theo cho ta khng nh kát quÊ cừa php cởng hai im trản ữớng cong Edwards s tữỡng ựng vợi kát quÊ php cởng hai im trản ữớng E cong elliptic m tữỡng ữỡng song hỳu t vợi ữớng cong Edwards Nhớ nh lỵ ny ta cõ th thỹc hiằn cĂc php tẵnh toĂn nhõm trản E E  cho bơng cĂch thỹc hiằn cĂc php tẵnh toĂn nhõm tữỡng ựng trản ữớng cong Edwards nh lỵ 2.8 E Vợi giÊ thiát nhữ trong nh lỵ 2.7, t e = 1 d... DÔng chuân Edwards cho ữớng cong elliptic Ơy ta suy ra Vêy x2 = 0 v y2 = 0, 24 iãu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát {1, 1} = 1 Cho ữớng cong Edwards E xĂc nh trản k, kỵ hiằu E(k) = {(x, y) k ì k : x2 + y 2 = 1 + dx2 y 2 } l têp cĂc im cừa ữớng cong Tứ ba nh lỵ trẳnh by trản ta cõ hằ quÊ sau: Hằ quÊ 2.11 Cố nh trữớng k cõ c số khĂc 2 GiÊ sỷ E : x2 + y 2 = vợi d k \ k2 l mởt ữớng cong Edwards xĂc... trỹc tiáp tứ nh lỵ 2.8 v Chú ỵ 2.9 Dữợi Ơy l sỹ tờng quĂt hõa php cởng im trản ữớng cong Edwards cho cĂc ữớng cong Edwards cuởn nh nghắa 2.12 Cho k l mởt trữớng cõ c số khĂc 1 + dx2 y 2 , a, d k, ad(a d) = 0 trản k GiÊ sỷ im ny trản (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) EE,a,d 2 v EE,a,d : ax2 + y 2 = l mởt ữớng cong Edwards cuởn xĂc nh l hai im trản EE,a,d Khi õ php cởng hai ữủc nh nghắa bi (x3 , y3... y2 1 + dax1 x2 y1 y2 (2.2) Chữỡng 2 DÔng chuân Edwards cho ữớng cong elliptic PhƯn tỷ trung hỏa l (0, 1), v phƯn tỷ ngữủc cừa 25 (x1 , y1 ) l (x1 , y1 ) Tẵnh úng ưn cừa nh nghắa php cởng im trản ữớng cong Edwards cuởn cõ ữủc l do nh nghắa ny trũng vợi php cởng im trản ữớng cong x2 + y 2 = 1 + (d/a)2 y 2 vợi x = x m rởng k( a) náu a khổng phÊi Edwards trữớng ax (ữớng cong ny xĂc nh trản... EE,d : x2 + y 2 = 1 + dx2 y 2 ữớng cong Edwards cuởn ax2 + y 2 = 1 + dx2 y 2 nh nghắa 2.2 hai cừa E trong õ Cho E EE,a,d : l ữớng cong cõ phữỡng trẳnh xĂc nh a, d k \ {0, 1}, a = d l mởt ữớng cong nh nghắa trản l ữớng cong ng cĐu vợi E k Mởt trản mởt m rởng trữớng cuởn bêc K/k vợi [K : k] = 2 Dạ thĐy ữớng cong Edwards cuởn bêc hai cừa ữớng cong Edwards EE,a,d : ax2 + y 2 = 1 + dx2 y 2 l... php toĂn hai ngổi trản têp cĂc im, kỵ hiằu l ữớng cong Edwards cuởn EE,a,d vợi a, d k \ {0}, a = d EE,a,d (k), cừa tũy ỵ  khưc phửc nhữủc im ny, ỗng thới  xƠy dỹng mởt php toĂn hai ngổi trản têp cĂc im cừa ữớng cong Edwards, Daniel J Bernstein v Tanja Lange trong [5]  ữa ra cĂch giÊi quyát nhữ sau Hai ổng nhúng têp im cừa ữớng cong Edwards cuởn EE,a,d vo bao õng cừa nõ trong P1 ì P1 v