dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa bị nhiễu và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói dầu . . . . . . . . 3 Chương 1. Phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa 6 1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 7 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Sự ổn định và giới nội nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính và bài toán ứng dụng 31 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và nhiễu của nó . 31 1 2.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . 31 2.1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Bài toán Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa . . . . 47 2.1.4 Nhiễu của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm cho mô hình dân số phụ tuổi . 52 2.2.1 Mô hình dân số cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.2 Mô hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển . . . . . . . . . . . 55 2.2.3 Mô hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát . . . . . . . . . . 60 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định là một trong những bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân (LTDTCPTVP). Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng được nhiều người quan tâm của LTDTCPTVP là lý thuyết ổn định theo nghĩa Lyapunov (1857-1918). Dù đã trải qua thời gian dài nhưng lý thuyết ổn định vẫn là một trong những lĩnh vực mà được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều thành tựu quan trọng. Đồng thời lý thuyết ổn định cũng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ trình bày hai phương pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất của họ toán tử tiến hóa và phương pháp nửa nhóm bị nhiễu. Trong phần cuối chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào việc nghiên cứu mô hình quần thể phụ thuộc tuổi. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Bao gồm kiến thức chuẩn bị, phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa. Chương 2: Trình bày về lý thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào các mô hình tiến hóa quần thể có phụ thuộc tuổi. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy, người 3 hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Đặng Đình Châu, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã trang bị cho tác giả các kiến thức cơ bản nhất về lý thuyết toán học. Cảm ơn các thầy cô phòng sau đại học và các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Do thời gian và trình độ còn có sự hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những sai sót rất mong nhận sự đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, Ngày 03 Tháng 11 Năm 2012 Tác giả: Nguyễn Công Hùng 4 Bảng kí hiệu N Tập hợp số tự nhiên. R Tập hợp số thực. R + Tập hợp các số thực dương. C Tập hợp số phức. C [a,b] Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. C 1 [a,b] Tập các hàm khả vi, liên tục trên đoạn [a, b]. R n Không gian n chiều. B Không gian Banach. L(B) Không gian các toán tử tuyến tính giới nội từ B vào B. C([a, b]; B) Không gian các hàm liên tục trên [a, b] lấy giá trị trong B. L p (R) Không gian các hàm khả tích bậc p trên R. L p ([a, b]) Không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b]. W 1,1 [a, b] Không gian Sobolev (Không gian các hàm có đạo hàm yếu bậc 1 và có chuẩn trong L 1 ([a, b]) là hữu hạn). 5 Chương 1 Phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa Giả sử B là không gian Banach. Trong không gian B ta xét phương trình vi phân: dx(t) dt = f(t, x(t)), (1.1) trong đó t ∈ R + , x(.) ∈ B và hàm f : R + × D −→ D, D là một miền đơn liên trong không gian Banach B. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.0.1. Hàm x : I −→ B (I ⊂ R + ) khả vi liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi ta thay vào (1.1) sẽ thu được một đồng nhất thức trên I. Tức là dx(t) dt = f(t, x(t)); ∀t ∈ I, (trong đó dx(t) dt là đạo hàm hiểu theo nghĩa Frechet). Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 với (t 0 , x 0 ) ∈ I × B cho trước. Tương ứng với phương trình (1.1), người ta thường xét phương trình 6 tích phân sau: x(t) = x 0 + t  t 0 f(τ, x(τ ))dτ. (1.2) Nhận xét 1. Trong trường hợp B = R n . Kí hiệu f = (f 1 ; f 2 ; . . . ; f n ); x(t) = (x 1 (t); x 2 (t); . . . ; x n (t)). Khi đó, phương trình (1.1) được viết như sau:                  dx 1 dt = f 1 (t; x 1 ; x 2 ; . . . ; x n ) dx 2 dt = f 2 (t; x 1 ; x 2 ; . . . ; x n ) . . . . . . dx n dt = f n (t; x 1 ; x 2 ; . . . ; x n ) (trong đó t ∈ R + ; x 1 ; x 2 ; . . . ∈ R) và với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = (x 1 (t 0 ); x 2 (t 0 ); . . . ; x n (t 0 )) = (x 0 1 ; x 0 2 ; . . . ; x 0 n ) thì phương trình tích phân (1.2) có thể viết dưới dạng x k (t) = x 0 k + t  t 0 f k (t, x 1 (τ), x 2 (τ), . . . , x n (τ))d(τ) (k = 1, 2, . . . , n). Với , η là các số dương. Chúng ta kí hiệu W (,η) =  (t, x) ∈ R + × B)| |t − t 0 | ≤ ; ||x − x 0 || ≤ η  là một lân cận đóng của điểm (t 0 , x 0 ) trong R + × B. Khi đó, ta có định lí tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy như sau: 1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm Định lý 1.1.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương) Giả sử tồn tại một lân cận đóng của (t 0 , x 0 ) sao cho trong lân cận đó 7 hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f(t, x 2 ) − f(t, x 1 )|| ≤ M ||x 2 − x 1 ||, (1.3) (M là một hằng số hữu hạn). Khi đó, tồn tại một lân cận của x 0 mà trong lân cận đó (1.1) có duy nhất một nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 . Chứng minh. Từ giả thiết ta suy ra rằng , η > 0 sao cho trong miền |t − t 0 | ≤ , ||x − x 0 || ≤ η , ta có: ||f(t, x)|| ≤ ||f (t, x 0 )|| + ||f(t, x) − f(t, x 0 )|| ≤ ||f (t, x 0 )|| + Mη ≤ M 1 < ∞. (Do f(t, x) liên tục theo t nên f(t, x 0 ) bị chặn trên |t − t 0 | ≤ ). Lấy δ = min(; η M 1 ) và kí hiệu C δ (B) là không gian Banach các hàm liên tục x(t) xác định trên |t − t 0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup |t−t 0 |≤δ ||x(t)||. Gọi B η (x 0 ) = {x ∈ C δ (B) : |||x − x 0 ||| ≤ η}. Xét toán tử (Sx)(t) = x 0 +  t t 0 f(τ, x(τ ))dτ ||(Sx)(t) − x 0 || =   t t 0 f(τ, x(τ ))dτ ≤ ||t − t 0 || sup τ∈[t 0 ,t] ||f(τ, x(τ ))|| ≤ δM 1 ≤ η (∀x(t) ∈ B η ). Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ B η vào B η . 8 [...]... đến t hai vế, ta được: t y = x0 + U −1 (τ )f (τ )dτ t0 Khi đó, nghiệm của phương trình (1.4) có thể viết dưới dạng: t x(t) = U (t)x0 + U (t)U −1 (τ )f (τ )dτ (1.15) t0 Đặt U (t, τ ) = U (t)U −1 (τ ) Toán tử U (t, τ ) được gọi là toán tử tiến hóa (hoặc là toán tử tự giải) của phương trình dx = A(t)x dt Họ các toán tử tiến hóa có các tính chất sau: a) U (t, t) = I b) U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) c)... là một công cụ có thể ứng dụng một cách hữu hiệu vào nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach, đặc biệt là không gian Hilbert Để tổng quát chúng ta đi tìm hiểu tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach, các tính chất này vẫn còn đúng trong không gian Hilbert Định nghĩa 2.1.1 Một họ (T (t))t≥0 của toán tử tuyến tính bị. .. trục [t0 , +∞) 29 Định lý 1.4.2 Giả sử phổ σ(A) của toán tử A không cắt trục ảo và hàm f (t) liên tục và bị chặn trên [t0 , ∞) Mỗi phần tử x− ∈ B− có tương 0 ứng một nghiệm duy nhất của phương trình (1.34) bị chặn trên [t0 , ∞) và thỏa mãn điều kiện P− x(t0 ) = x− Nghiệm này cho bởi công thức: 0 ∞ x(t) = eA(t−t0 ) x− + 0 GA (t − s)f (s)ds (1.40) t0 Chứng minh Phương trình (1.34) là tương đương với... P1 và P2 là hai phép chiếu tương ứng Ta nhớ lại rằng (xem [3] I.2.4): Pk = − 1 2πi Rλ dλ k = 1, 2 với Γk Trong đó Rλ = (A − λI)−1 và λ là điểm chính quy của toán tử A Ta đưa vào hàm toán tử Green sau: G(t) = 1 eAt P1 = − 2πi −eAt P2 = 1 2πi eλt Rλ dλ nếu t>0 λt Γ2 e Rλ dλ nếu t 0 và N > 0 sao cho: ||GA (t)|| ≤ N e−ν|t| 27 (1.38) 2 Nghiệm bị chặn trên toàn trục: Hàm Green chính tắc đóng vai trò quan trọng trong việc xác định điều kiện tồn tại nghiệm bị chặn trên toàn trục của phương trình (1.34) Định lý 1.4.1 Để ứng với mỗi hàm f (t) liên tục và bị chặn trên toàn trục tồn tại một nghiệm duy nhất bị chặn trên toàn trục của (1.34) thì điều kiện cần và đủ là phổ σ(A)... ≤c+ τ Suy ra điều phải chứng minh 20 h(s)e− s τ v(ξ)dξ ds t τ v(s)ds Bây giờ ta xét phương trình vi phân dx = A(t)x + f (t, x), dt (1.22) trong đó: A(t) là toán tử tuyến tính giới nội và liên tục theo t và toán tử hàm f (t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện: ||f (t, 0)|| ≤ M và ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 || trong miền G (1.23) Kí hiệu U (t, τ ) là toán tử Cauchy của phương trình dx = A(t)x . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội -. - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CÔNG HÙNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỌ CÁC TOÁN TỬ TIẾN HÓA BỊ NHIỄU VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ. thức chuẩn bị, phương trình vi phân trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa. Chương 2: Trình bày về lý thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào các mô hình tiến hóa quần