Họ toán tử tiến hoá có nhiễu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN NGỌC THU HỌ TOÁN TỬ TIẾN HÓA CÓ NHIỄU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN NGỌC THU HỌ TOÁN TỬ TIẾN HÓA CÓ NHIỄU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ ĐÌNH ĐỊNH HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Lê Đình Định Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Trần Ngọc Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Lê Đình Định, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Họ toán tử tiến hóa có nhiễu ứng dụng” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Trần Ngọc Thu Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng kí hiệu Mở đầu Phương trình vi phân không gian Banach họ toán tử tiến hóa 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach họ toán tử tiến hóa 10 1.2 1.3 Sự tồn nghiệm 14 Tính ổn định giới nội nghiệm phương trình vi phân tuyến 1.4 tính có nhiễu 16 Phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach với toán tử 24 1.4.1 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 1.4.2 không 24 Điều kiện tồn nghiệm giới nội phương trình vi phân không 25 Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính ứng dụng 31 2.1 2.2 Nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach 31 Toán tử sinh nửa nhóm 36 2.3 2.4 Bài toán Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa 49 Nhiễu nửa nhóm 53 2.5 Ứng dụng phương pháp nửa nhóm cho mô hình dân số phụ thuộc tuổi 58 2.5.1 Mô hình dân số cổ điển 58 2.5.2 2.5.3 Mô hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển 61 Mô hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát 66 Kết luận Tài liệu tham khảo 69 70 Bảng kí hiệu N R Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực C C[a,b] Tập hợp số phức Tập hợp hàm liên tục đoạn [a, b] C[a,b] Tập hợp hàm khả vi, liên tục đoạn [a, b] Rn B Không gian n chiều Không gian Banach L(B) C([a, b], B) Lp (R) Lp ([a, b]) W 1,1 [a, b] Không gian toán tử tuyến tính giới nội Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] Không gian hàm khả tích bậc p R Không gian hàm khả tích bậc p [a, b] Không gian Sobolev (Không gian hàm có đạo hàm yếu bậc có chuẩn Lp ([a, b]) hữu hạn) Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Các kết nhận tính ổn định phương trình vi phân không gian Banach ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân hàm đồng thời sử dụng việc nghiên cứu mô hình ứng dụng mô hình quần thể sinh học, vật lý, học, khoa học kỹ thuật công nghệ Một vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều thành tựu quan trọng lý thuyết ổn định, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu mối tương quan họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach Để hiểu biết sâu lĩnh vực này, hướng dẫn TS Lê Đình Định chọn đề tài “Họ toán tử tiến hóa có nhiễu ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu họ toán tử tiến hóa có nhiễu ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức phương trình vi phân không gian Banach - Nghiên cứu kiến thức lý thuyết nửa nhóm - Nghiên cứu toán Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa, nhiễu nửa nhóm - Ứng dụng phương pháp nửa nhóm cho mô hình dân số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết họ toán tử tiến hóa có nhiễu ứng dụng vào mô hình dân số - Phạm vi nghiên cứu: Họ toán tử tiến hóa có nhiễu Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu có liên quan Đưa phương pháp xấp xỉ họ toán tử tiến hóa có nhiễu ứng dụng thực tế Dự kiến đóng góp Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên, học viên cao học họ toán tử tiến hóa có nhiễu ứng dụng.Luận văn trình bày cách tổng quan bất đẳng thức vi biến phân không gian hữu hạn chiều Chương Phương trình vi phân không gian Banach họ toán tử tiến hóa Trong chương này, nhắc lại khái niệm phương trình vi phân không gian Banach nghiệm số định lý tồn nghiệm phương trình Cho B không gian Banach Trong không gian B ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), (1.1) dt đó: f : R+ × B → B, t ≥ 0, x(.) ∈ B Từ sau, không nói thêm ta hiểu nghiệm phương trình (1.1) nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.0.1 Hàm trừu tượng x = x(t)(x : I → B; I ⊂ R+ ) xác định I , khả vi liên tục theo t ∈ I gọi nghiệm (1.1) ta thay vào (1.1) thu đồng thức I , tức dx(t) = f (t, x(t)) với t ∈ I, dt dx(t) đạo hàm hiểu theo nghĩa Frechet dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước 56 Lấy tích phân [0, t] ta có: t t d ξx (s)ds = ds T (t − s)BS(s)xds t Suy S(s)x − T (t)x = T (t − s)BS(s)xds ∀x ∈ D(A) Do D(A) = X, T, B, S toán tử bị chặn nên đẳng thức với x ∈ B Chú ý: Nếu thay ξx ηx (s) := S(s)T (t−s)x cách lập luận tương tự ta có: t S(s)BT (t − s)xds với t ≥ với x ∈ B S(t)x = T (t)x + Để mô tả cấu trúc nửa nhóm nhiễu thuận tiện trình sử dụng kỹ thuật nửa nhóm, sau trình bày khái niệm toán tử Volterra trừu tượng phương pháp tính gần nửa nhóm có nhiễu Trước hết ta cần nhắc tới không gian hàm có giá trị toán tử χt0 := C([0, t0 ], Ls (B)) gồm hàm liên tục từ [0, t0 ] vào Ls (B), tức F ∈ χt0 F (t) ∈ Ls (B) t → F (t)x liên tục với x ∈ B Không gian không gian Banach với chuẩn F ∞ := sup F (s) , F ∈ χt0 s∈[0,t0 ] (xem [5] trang 225) Bây định nghĩa toán tử toán tử "kiểu Volterra" (Volterra type) không gian C([0, t0 ], Ls (B)) Định nghĩa 2.4.1 (Toán tử Volterra) Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach B B ∈ L(B) Với t0 > 0, ta xác định: t T (t − s)BF (s)xds, V F (t)x := với x ∈ B, F ∈ C([0, 1], Ls (B)) ≤ t ≤ t0 Toán tử V gọi toán tử Volterra trừu tượng 57 Bổ đề 2.4.1 Toán tử Volterra ứng với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 toán tử bị chặn B ∈ L(B) toán tử bị chặn C([0, 1], Ls (B)) thỏa mãn (M B t0 )n n ∀n ∈ N (2.15) V ≤ n! M := sup T (s) Đặc biệt r(V ) = 0, r(V ) bán kính phổ s∈[0,t0 ] V ∞ V n hội tụ Suy ∈ ρ(V ) Chú ý: Từ 2.15 suy chuỗi n=0 ∞ −1 R(1, V ) = (I − V ) V n = n=0 Khi phương trình tích phân S(t)x = T (t)x + t T (t − s)BS(s)xds trở thành T (.) = (I − V )S(.) với T (.), S(.) ∈ C([0, 1], Ls (B)) ∞ Do S(.) = R(1, V )T (.) = V n T (.) n=0 Chuỗi hội tụ không gian Banach C([0, 1], Ls (B)) Định lý 2.4.2 Nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 sinh C := A + B A toán tử sinh (T (t))t≥0 B ∈ L(B) biểu diễn sau: ∞ S(t) = Sn (t) (2.16) n=0 S0 (t) := T (t) Sn+1 (t) := V Sn (t) = chuỗi 2.16 hội tụ theo chuẩn toán tử L(B) t T (t − s)BSn (s)ds Chứng minh Xem [5] 199-221 Hệ 2.4.2 (T (t))t≥0 (S(t))t≥0 hai nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh (S(t))t≥0 nhận từ toán tử sinh (T (t))t≥0 nhiễu bị chặn Khi T (t) − S(t) ≤ M t với t ∈ [0, 1] M số dương 58 Chứng minh Áp dụng Hệ 2.1.2, ta có: t T (t)x − S(t)x ≤ T (t − s)BS(s) ds ≤ t sup T (r) sup S(s) r∈[0,1] B x , s∈[0,1] với x ∈ B với t ∈ [0, 1] Suy T (t) − S(t) ≤ M t với t ∈ [0, 1] Hệ chứng minh 2.5 Ứng dụng phương pháp nửa nhóm cho mô hình dân số phụ thuộc tuổi Từ năm 1798 Malthus bắt đầu xây dựng mô hình dân số sau có nhiều cải tiến mô hình xây dựng mô hình dân số Chẳng hạn mô hình Logistic, mô hình Lotk-Voitera Trong phần này, trước tiên giới thiệu vài mô hình dân số cổ điển sau trình bày việc ứng dụng phương pháp nửa nhóm việc xây dựng mô hình dân số phân bố theo tuổi 2.5.1 Mô hình dân số cổ điển Xét phương trình bảo toàn dân số dN = b(t)N − d(t)N + m(t) dt Trong N (t) dân số thời điểm t b(t), d(t), m(t), dN dt dân số sinh ra, dân số chết đi, di cư tốc độ thay đổi dân số Trong trường hợp đơn giản ta xét m(t) = (tức mô hình di cư) Khi dân số sinh dân số chết tỷ lệ thuận với N Ta có phương trình dN = bN − dN ⇒ N (t) = N0 e(b−d)t , (2.17) dt với N0 = N (0) số dân ban đầu thời điểm t0 Phương trình (2.17) phản ánh tốc độ tăng trưởng dân số 59 • Nếu b > d dân số tăng theo cấp số nhân • Nếu b < d dân số dần diệt vong Hình 2.1: Tăng trưởng hậu dân số Lưu ý khác biệt hai trường hợp N0 < K K < N0 < K Trong trường hợp dân số tăng trưởng cấp số nhân Ta xét phương trình hậu dân số dN N = rN − dt K (2.18) Trong r, K số dương K sức chứa môi trường xác định nguồn tài nguyên có sẵn để trì r − phụ thuộc vào N N K tỷ lệ sinh theo đầu người Xét tính ổn định phương trình (2.18) vị trí cân bằng: rt Nếu N = tính chất tuyến tính nên ta có: dN dt ≈ rN hay N (t) = N0 e với r > 0, phương trình (2.18) không ổn định t → +∞ Nếu N = K tính chất tuyến tính nên ta có: d(Ndt−K) ≈ −r(N −K) 60 với điều kiện ban đầu N0 = N (0) Khi ta có N (t) = N0 Kert → K t → +∞ [K + N0 (ert − 1)] Do trạng thái phương trình ổn định mô tả hình (2.1) Bây xét phương trình dân số xác định hàm sau: dN = f (N ) dt (2.19) Trong f (n) hàm phi tuyến phụ thuộc vào N Giả sử N ∗ vị trí cân phương trình (2.19) (tức f (N ∗ ) = 0) Nếu ta đặt n(t) ≈ N (t) − N ∗ , |n(t)| phương trình (2.19) trở thành dN = f (N ∗ + n) ≈ f (N ∗ ) + nf (N ∗ ) + dt thứ tự n(t) dn ≈ nf (N ∗ ) ⇒ n(t) ≈ ef dt (N ∗ )t (2.20) Khi • Nếu f (N ∗ ) < phương trình (2.20) ổn định với nhiễu loạn nhỏ • Nếu f (N ∗ ) > phương trình (2.20) không ổn định Trạng thái ổn định mô tả hình (2.2) Một thiếu sót mô hình dân số cổ điển phương trình vi phân thông thường không phản ánh cấu trúc quần thể dân số phân bố theo lứa tuổi khác Trong thời đại ngày toán thu hút nhiều người quan tâm Vì xét mở rộng liên quan đến phụ thuộc vào độ tuổi sinh tốc độ chết Để khắc phục hạn chế năm 1945 nhà nghiên cứu Leslie xây dựng ma trận Leslie với mục đích 61 hợp lớp tuổi khác nguyên sinh, trưởng thành hay di chuyển số lượng từ quần thể đến quần thể khác vào mô hình Tiếp theo nhà nghiên cứu Chalesworth (1980), Metz Diekmann (1986) Kot (2001) mở rộng phổ biến ứng dụng mô hình cấu trúc tuổi Hình 2.2: Mô hình động lực dân số: dN dt = f (ω) với vài trạng thái ổn định, Grad(f (N )) trạng thái ổn định (f (N ) = 0) xác định ổn định tuyến tính Với Unstable không ổn định Stable ổn định 2.5.2 Mô hình dân số với phân bố tuổi dạng cổ điển Xét phương trình bảo tồn dân số dn(t, a) = ∂n ∂n dt + da = −µ(a)n(t, a)dt ∂t ∂a (2.21) Trong n(t, a) dân số thời điểm t theo độ tuổi từ a đến a + da Các hàm b(a) µ(a) tỷ lệ sinh tỷ lệ chết quần thể (xem hình 2.3) µ(a)n(t, a)dt số dân độ tuổi a chết thời gian tăng lên nhỏ dt n(t, 0) tốc độ sinh (có thể cá thể sinh độ tuổi a > 0) 62 Hình 2.3: Chất lượng sinh (a) chết (b) tỷ lệ cho người chức năm tuổi Chia hai vế phương trình (2.21) cho dt ta phương trình đạo hàm riêng cấp (chú ý thời gian t tăng lên tuổi a tăng lên nên da dt ∂n ∂n + = −µ(a)n với t > a > 0, ∂t ∂a với điều kiện ban đầu n(t, a) thời điểm t độ tuổi a n(0, a) = f (a) = 1) (2.22) (2.23) cho biết dân số thời điểm t = có phân bố tuổi cho trước f (a) Và điều kiện biên khác tốc độ sinh n(t, 0) (có thể sinh vật sinh độ tuổi a > 0) ∞ n(t, 0) = b(a)n(t, a)da (2.24) Theo a → ∞ b(a) → 0, nên ta thay ∞ am b(a) = với a > am Một câu hỏi đặt tỷ lệ sinh b(a) tỷ lệ chết µ(a) có ảnh hưởng đến phát triển quần thể sau thời gian dài Bây ta xét đặc trưng phương trình (2.22) sau: da dn = 1, = −µn dt dt (2.25) 63 Giả sử a0 độ tuổi ban đầu cá thể thời điểm t = t0 thời điểm sinh cá thể Khi độ tuổi cá thể thời điểm t xác định sau: (xem hình 2.4) a=   t + a0 a > t  t − t0 a < t (2.26) Hình 2.4: Đặc tính phương trình Von Foerster (2.17) Phương trình thứ (2.25) có hai nghiệm khác nhau: Nếu a > t, tích phân hai vế phương trình thứ hai (2.25) sử dụng da dt = kết hợp điều kiện (2.26) ta có a n(t, a) = n(0, a0 )exp − µ(s)ds , a > t, a0 n(0, a0 ) = n(0, a − t) = f (a − t) từ (2.23) ta suy a n(t, a) = f (a − t)exp − µ(s)ds a > t (2.27) a−t Nếu a < t, ta có n(t, a) = n(t0 , 0)exp − a µ(s)ds Do n(t0 , 0) = n(t − a, 0) nên ta có: a n(t, a) = n(t − a, 0)exp − µ(s)ds a γ < Thật vậy, ta thay (2.30) vào (2.23) ta dr = −[µ(a) + λ]r da a r(a) = r(0)exp −γa − µ(s)ds , (2.31) với r(a) (2.30) n(t, a) thêm vào điều kiện biên (2.24) cho đẳng thức: ∞ γt a γt b(a)e r(0)exp −γa − e r(0) = µ(s)ds da Do đó, triệt tiêu eγt r(0) ta được: ∞ a b(a)exp −γa − 1= µ(s)ds da = φ(γ) (2.32) Phương trình xác định γ nhất, γ0 , φ(γ) hàm đơn điệu giảm theo γ Dấu γ xác định đại lượng φ(0); (xem hình 2.5) Thấy 65 rằng, γ0 xác định tỷ lệ sinh b(a) tỷ lệ chết µ(a) Ngưỡng tới hạn S cho phát triển dân số ∞ a b(a)exp − S = φ(0) = µ(s)ds da (2.33) Với S > cho thấy phát triển S < cho thấy trì hoãn Trong (2.33) ta a coi exp[− µ(s)ds] xác suất để cá thể sống sót độ tuổi a Hình 2.5: Yếu tố tăng trưởng y0 xác định giao điểm φ(y) = : y0 > φ(0) > y0 < φ(0) < Nghiệm (2.30) (2.31) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.23) Câu hỏi đặt liệu nghiệm có xấp xỉ tới nghiệm (2.32) - (2.24) sau thời gian đủ lớn, toán thông thường không Nếu t đủ lớn để n(t, a) (2.29) xấp xỉ tích phân biên vế phải t n(t, 0) ≈ a b(a)n(t − a, 0)exp − µ(s)ds da, t → ∞ (2.34) a−t Nếu tìm nghiệm phương trình có dạng tương tự (2.30); thay vào (2.34) thu (2.32) Vì ta đoán nghiệm phương 66 trình (2.30) với r(a) từ (2.31) γ từ (2.32) nghiệm với t đủ lớn phương trình (2.34) với điều kiện ban đầu điều kiện biên (2.25) (2.26) Tất nhiên không xác định để mở rộng số r(0) ta quan tâm đến phát triển hay trì hoãn nên ta không quan tâm đến r(0) không gây ảnh hưởng Tham số quan trọng tham số ngưỡng S (2.33) từ việc kéo dài thời gian ảnh hưởng đến tỷ lệ sinh tiêu vong đánh giá 2.5.3 Mô hình dân số phụ thuộc tuổi dạng tổng quát Chúng ta xét quần thể sinh học phân chia thành nhiều nhóm nhỏ theo quy mô (kích thước) phân bố cá thể (chẳng hạn theo lứa tuổi) Kí hiệu n(t, s) số lượng dân số nhóm dân số thời điểm t với quy mô s Khi đó, số lượng toàn dân số nhóm thể thời điểm t có kích thước từ s1 đến s2 xác định sau: s2 n(t, s)ds s1 Sau ta giả thiết rằng: • Mỗi nhóm dân số tăng trưởng tuyến tính theo thời gian • Mỗi nhóm dân số chết với xác suất phụ thuộc vào quy mô chúng • Mỗi nhóm dân số phân chia thành nhóm cháu phụ thuộc cách ngẫu nhiên vào quy mô Ngoài ra, giả sử thêm rằng: • Tồn nhóm dân số có quy mô cực đại (thông thường s = 1) • Tồn nhóm dân số có quy mô cực tiểu s = α > tương ứng với mật độ cách phân chia 67 Như vậy, kích thước s cá thể quần thể phải thỏa mãn s ≥ α2 Từ giả thiết ta có phương trình tiến hóa sau: (CE) ∂ ∂ n(t, s) = − n(t, s) − µ(s)n(t, s) − b(s)n(t, s) ∂t ∂s   4b(2s)n(t, 2s) với α ≤ s ≤ 2 +  với ≤ s ≤ với điều kiện biên (2.35) α n(t, ) = với t ≥ điều kiện ban đầu α ≤ s ≤ Ngoài ra, giả sử tỷ lệ chết µ hàm liên tục dương xác định [ α2 , 1], tỷ lệ sinh hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: b(s) > với s ∈ (α, 1) b(s) = s khác n(0, s) = n0 (s) với Chúng ta xác lập phương trình vi phân trừu tượng ứng với toán (CE) cách đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 2.5.1 Trong không gian Banach B := L1 [ α2 , 1] xác định toán tử α α A0 f = −f − (µ + b)f với D(A0 ) = f ∈ W 1,1 [ , 1] : f ( ) = 2   b(2s)n(t, 2s) với α ≤ s ≤ 2 Bf (s) :=  với ≤ s ≤ với hàm f ∈ B Và toán tử A = A0 + B với D(A) := D(A0 ) Với định nghĩa phương trình đạo hàm riêng (CE) trở toán Cauchy trừu tượng   u(t) ˙ = A0 u(t) + Bu(t), vớit ≥ (ACP )  u(0) = n 68 với u hàm vectơ u : R+ → L1 [ α2 , 1] Sử dụng lý thuyết nhiễu nửa nhóm định lý toán Cauchy đặt chỉnh (Xem mục 2.1.3 mục 2.1.4) đến kết sau: Định lý 2.5.1 Toán tử (A0 , D(A0 )) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T0 (t))t≥0 B xác định  t (µ(τ )+b(τ ))dτ  e− s−t f (s − t) với s − t > T0 (t)f (s) :=  với s − t < α α (2.36) 2 Toán tử (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 B toán Cauchy trừu tượng (ACP) đặt chỉnh Nửa nhóm (T (t))t≥0 tương ứng với phương trình (CE) ổn định mũ ξ(0) < Trong ξ(.) hàm đặc trưng ξ(λ) = −1 + α 4b(2σ)e− 2σ σ (µ(τ )+b(τ )+λ)dτ ) dσ, với λ ∈ C Chứng minh Xem [5].VI Bổ đề 1.2 - Mệnh đề 1.3 - Định lý 1.19 69 Kết luận Trong luận văn này, trình bày kiến thức nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh nửa nhóm, toán Cauchy đặt chỉnh cho phương trình tiến hóa, nửa nhóm có nhiễu ứng dụng vào mô hình dân số phụ thuộc tuổi Ngoài ra, chương một, trình bày kết tính chất nghiệm phương trình vi phân không gian Banach họ toán tử tiến hóa Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quy thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 70 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] E.A Barbasin (1967), Mở đầu lý thuyết ổn định ( Dịch từ nguyên tiếng Nga), NXB khoa học kỹ thuật [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Ju.L, Dalexkii and M.G.Krein (1974), Stability of solutions of differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island [5] K.J Engel - R.Nagel (2000), One- Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer verlag New York [6] J D Murray (2002), Mathematical Biology: An introduction, Third Edition, (3ed springer) [...]... (t)U −1 (τ ) Toán tử U (t, τ ) được gọi là toán tử tiến hóa Từ đẳng thức dU (t, τ ) dU (t) −1 = U (τ ) = A(t)U (t)U −1 (τ ) = A(t)U (t, τ ) dt dt 14 Toán tử này thỏa mãn phương trình sau:   X = A(t)X dt  X(τ ) = I (1.15) Việc xây dựng toán tử U (t) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị t0 Ta kí hiệu U (t) = U (t, 0) là toán tử Cauchy Khi đó, sử dụng toán tử tiến hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho... là hàm liên tục Ta giả sử rằng phổ của toán tử A phân tách thành 2 tập phổ: σ(A) = σ1 (A) ∪ σ2 (A) Kí hiệu B1 và B2 là hai không gian con bất biến của A ứng với các tập này và P1 và P2 là phép chiếu tương ứng Ta nhớ lại rằng (xem [5] I.2.4) có: Pk = − 1 2πi Rλ dλ, (k = 1, 2) Γk trong đó Rλ = (A − λI)−1 và λ là điểm chính quy của toán tử A Ta đưa vào hàm toán tử Green sau:   eAt P1 G(t) =  −eAt... đó:A(t) là toán tử tuyến tính giới nội và liên tục theo t và toán tử hàm f (t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện: f (t, 0) ≤ M và f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ L x1 − x2 trong miền G (1.23) Kí hiệu U (t, τ ) là toán tử Cauchy của phương trình dx = A(t)x dt (1.24) U (t, τ ) ≤ c.e−λ(t−τ ) , (t ≥ τ ), (1.25) và thỏa mãn bất đẳng thức trong đó c, λ là hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào t0 Khi đó ta có định... trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach và họ các toán tử tiến hóa Giả sử B là không gian Banach, xét phương trình vi phân tuyến tính   dx = A(t)x + f (t) dt  x(t0 ) = x0 (1.3) Giả thiết t thuộc khoảng hữu hạn hay vô hạn I nào đó của R f : I → B và A(.) : I → L(B) là các hàm đo được mạnh và khả tích Bochner trên I Tương ứng với (1.3) ta có phương trình tích phân t x(t) = x0 + t A(τ )x(τ... phương trình thuần nhất là không có nghiệm bị chặn trên toàn trục thực ngoài nghiệm tầm thường Giả sử tồn tại nghiệm x(t) = eAt x0 như vậy đặt A− = P− A và A+ = P+ A, ta có thể viết nó dưới dạng: x(t) = eA− t P− x0 + eA+ t P+ x0 Vì phổ của toán tử A− trong B− là tập σ− (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái nên hạng tử đầu bị chặn khi t > 0, có nghĩa là hạng tử thứ hai cũng có tính chất này: eA+ t P+ x0 ≤... bị chặn phổ σ(A) nằm trên trục ảo 31 Chương 2 Lý thuyết nửa nhóm tuyến tính và ứng dụng 2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach Trong chương này, chúng ta sẽ tiệm cận phương pháp nửa nhóm và chỉ ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach, đặc biệt là không gian Hilbert Để tổng quát chúng... R là phép tịnh tiến trái của f bởi t và (Tl (t)f ) (s) = f (t − s), với s ∈ R là phép tịnh tiến phải của f bởi t Ví dụ 2.1.1 (Nửa nhóm tịnh tiến) Xét trong không gian Lp (R) (không gian cho bởi các hàm khả tích bậc p trên R, 1 ≤ p < +∞ ) các phép tịnh tiến trái ∀s ∈ R, ∀t ≥ 0 T (t)f (s) = f (t + s), Khi đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh Chứng minh • Ta chứng minh T (t) là toán tử tuyến tính Thật... kì τ Và thử lại tính duy nhất x(t + τ ) = x(t), chẳng hạn x(t) = x = hằng số mà chỉ ra Ax = −y Do y tùy ý nên toán tử tuyến tính liên tục A ánh xạ B vào toàn bộ không gian B Từ Định lý Banach (xem [5] I.1.1) một toán tử như vậy có nghịch đảo liên tục A−1 tức là điểm λ = 0 là điểm chính quy của A Giả sử rằng pi là một số thuần ảo tùy ý Xét phương trình: dx = Ax + yepit dt Đặt x = ξepit , ta có: dξ... tại các hằng số ω ∈ R và M ≥ 1 sao cho T (t) ≤ M eωt (2.3) với mọi t ≥ 0 Định nghĩa 2.1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi đó, ta có các khái niệm sau: 33 i) Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn nếu trong (2.3) ta có thể chọn ω = 0 ii) Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm co nếu trong (2.3) ta có thể chọn ω = 0 và M = 1 Định nghĩa 2.1.3 Cho f : R → C và t ≥ 0 Ta gọi (Tl (t)f... hiệu U (t) ∈ L(B) là toán tử được xác định bởi ∞ t U (t) = I + t tn A(t1 )dt1 + t0 t2 n=2 t0 t0 A(tn ) A(t1 )x0 dt1 dtn t0 (1.12) Khi đó, nghiệm của (1.10) có thể viết dưới dạng x(t) = U (t)x0 và từ đánh giá (1.9) ta có: t U (t) ≤ exp A(τ ) dτ t0 Bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể đi tìm nghiệm của (1.3) như sau: Đặt x(t) = U (t)y , trong đó U (t) là hàm toán tử (1.12) Xét hệ phương