Về tính lipschitz của toán tử trong không gian hibert và ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TRIU TH XEN V TNH LIPSCHITZ CA TON T TRONG KHễNG GIAN HIBERT V NG DNG VO BI TON BT NG THC BIEN LUN VN THC s TON HC H NI, 2016 phõn B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TRIU TH XEN V TNH LIPSCHITZ CA TON T TRONG KHễNG GIAN HIBERT V NG DNG VO BI TON BT NG THC BIEN phõn Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch M ó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH Lấ DNG MU H NI, 2016 Li cm n Lun c thc hin v hon thnh di s hng dn khoa hc ca GS.TSKH Lờ Dng Mu Tụi xin c gi li cm n sõu sc n Thy, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi sut quỏ trỡnh tỡm hiu, nghiờn cu tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin chõn thnh cm n ti ton th cỏc Thy Cụ giỏo khoa Toỏn, chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, Phũng Sau i hc, Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v giỳp tụi ong sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ti trng Tụi xin gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh v bn bố ó c v, ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny Mc dự ó cú nhiu c gng nhng lun ny khụng trỏnh nhng thiu sút v hn ch Tụi mong nhn c nhng ý kin úng gúp v phn hi t phớa cỏc thy, cỏc cụ, cỏc bn lun ny c hon thin mt cỏch tt hn Tụi xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2016 Ngi thc hin Triu Thi Xen 11 Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca GS.TSKH Lờ Dng Mu, lun chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti Tớnh Lpschtz ca toỏn t khụng gian Hlbert v ng dng vo bt ng thc bin phõn c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn, khụng trựng lp vi bt c lun no khỏc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2016 Ngũi thc hin Triu Th Xen Ill Mc lc Lfti cm fin i Lũi cam oan ii Danh mc kớ hiu thng dựng iv 1 Toỏn t Lipschitz khụng gian Hilbert 1.1 Kin thc chun b 1.1.1 Khụng gian metric 1.1.2 Khụng gian Hilbert 1.1.3 Phộp chiu metric 1.2 im bt ng ca ỏnh x co 1.3 im bt ng ca ỏnh x khụng gión 15 ng dng vo bt ng thc bin phõn 27 2.1 Bi toỏn bt ng thc bin phõn 27 2.2 S tn tai nghiờm ca bt ng thc bin p h õ n 34 2.3 Nguyờn lý ỏnh x co Banach gii bt ng thc bin phõn 36 Kt lun 44 Ti liu tham kho 45 iv Danh mc kớ hiu thng dựng R Tp hp s thc H Khụng gian Hilbert (X,d) Khụng gian metric dc{y) d(x,y) Khong cỏch t y n c Khong cỏch gia cỏc phn t X v y Tớch vụ hng x& c X thuc c x c X khụng thuc c Vx e c Vi mi X thuc c \fx Vi mi INI Chun X \\x - y II Chun ca X y Giỏ tr tuyt i ca |x| X M u Lớ chn ti Gii tớch hm l mt ngnh Toỏn hc c xõy dng vo khong u th k XX Trong quỏ trỡnh phỏt trin Gii tớch hm ó tớch ly c mt ni dung ht sc phong phỳ Nhng phng phỏp v kt qu mu mc tng quỏt ca Gii tớch hm ó xõm nhp vo tt c cỏc ngnh toỏn hc cú liờn quan v s dng n cụng c Gii tớch v khụng gian vect Chớnh iu ú ó m phm vi nghiờn cu ln cho ngnh toỏn hc Mt hng nghiờn cu mnh m ca Gii tớch hm l lý thuyt im bt ng Cỏc nh lý im bt ng liờn quan n cỏc iu kin m nú khng nh s tn ti ca mt im T : c ằ c im X* X* C ( C c X ) cho Tx* = X* vi nh vy gi l im bt ng ca ỏnh x T Nhng nh lý im bt ng ni ting ó xut hin t u th k 20, ú phi k n nh lý im bt ng Brouwer (1912) v nguyờn lý ỏnh x CO Banach (1922) Cỏc kt qu ny ó m rng cỏc lp ỏnh x c bit l lp ỏnh x cú tớnh Lipschitz trờn cỏc khụng gian khỏc nhau, ó c ng dng rng rói ong nhiu lnh vc v c hp li di mt cỏi tờn chung: Lý thuyt im bt ng Vi mong mun c nghiờn cu v tỡm hiu sõu sc hn v b mụn ny v bc u tip cn vi vic nghiờn cu khoa hc Di s hng dn ca GS.TSKH Lờ Dng Mu tụi ó chn ti : Tớnh Lipschitz ca toỏn t khụng gian Hilbert v ng dng vo bt ng thc bin phõn 2 Mc ớch nghiờn cu Lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc, tỡm hiu sõu hn v Gii tớch hm c bit v tớnh Lipschitz ca toỏn t khụng gian Hilbert Lun trỡnh by cỏc nh lý v tn ti im bt ng ca ỏnh x cú tớnh Lipschitz nh: im bt ng ca ỏnh x khụng gión v ỏp dng nguyờn lý ỏnh x co Banach gii bt ng thc bin phõn Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v tớnh Lipschitz ca toỏn t khụng gian Hilbert Nghiờn cu bi toỏn bt ng thc bin phõn ng dng tớnh Lipschitz ca toỏn t vo bi toỏn Bt ng thc bin phõn i tng v phm v nghiờn cu Tớnh Lipschitz ca toỏn t khụng gian Hilbert v ng dng vo Bt ng thc bin phõn Phng phỏp nghiờn cu Thu thp cỏc ti liu liờn quan n tớnh Lipschitz ca toỏn t khụng gian Hilbert Phõn tớch, tng hp v h thng cỏc kin thc liờn quan ti bi toỏn bt ng thc bin phõn úng gúp ca lun Xõy dng lun thnh mt ti liu tng quan tt cho sinh viờn v hc viờn cao hc v ti Tớnh Lipschitz ca toỏn t khụng gian Hilbert v ng dng vo bt ng thc bin phõn Chng Toỏn t Lipschitz khụng gian Hilbert Trong chng ny chỳng tụi gii thiu v khụng gian metric, khụng gian Hilbert, phộp chiu metric, nhm trang b nhng kin thc cn thit cho vic trỡnh by v im bt ng ca ỏnh x co, ỏnh x khụng gión 1.1 1.1.1 Kin thc chun b Khụng gian metric inh ngha 1.1.1 Mt hm d cú giỏ tr thc c xỏc nh vi mi cp phn t X, y ca hp X c gi l metric trờn X nu nú tha cỏc iu kin sau ( vi mi x , y , z X ): 1) d ( x , y ) > 0, d(x, y) = 4ằ X = y; 2) d(x, y) = d ( y , x ); 3) d(x, z) < d ( x , y) + d ( y , x )( bt ng thc tam giỏc) Mt X cựng vi metric xỏc nh nh trờn c gi l mt khụng gian metric v d(x, y) c gi l khong cỏch gia X v y Cỏc phn t ca khụng gian metric (X , d ) c gi l im nh ngha 1.1.2 Gi s X\ , X , x n l dóy cỏc im khụng gian metric (X , d) Dóy x n c gi l hi t n im X Ê X nu lim d (x n, x ) = XƠ00 kớ hiu lim x n = X X>00 nh ngha 1.1.3 Cho hai khụng gian metric (X , d) v (Y ,p ) Mt ỏnh x T t X vo Y c gi l liờn tc ti Xo Ê X nu vi mi Ê > tn ti > cho vi mi X Ê X thỡ d ( x , Xo) < kộo theo p ( T x , T x o) < Ê nh x T c gi l liờn tc nu nú liờn tc ti mi im X Ê X nh ngha 1.1.4 Ta núi dóy {xn} l dóy Cauchy hay dóy c bn khụng gian metric X nu vi mi Ê > tn ti n e cho d( x n, x m) < Ê vi mi n , m > n e Nu mi dóy Cauchy X u hi t thỡ X c gi l khụng gian Metric y Nguyờn lý Cantor: Trong khụng gian metric y mi dóy hỡnh cu úng tht dn u cú mt im chung nht nh ngha 1.1.5 nh x T : (X , d) ỡ (Y , p ) ca cỏc khụng gian metric tha món: p(Tx,Tz) < M d (x,z) vi mt hng s c nh M no ú v mi x , z Ê X c gi l ỏnh x Lipschitz S nh nht cỏc s M nh th gi l hng s Lipschitz ca ỏnh x T v kớ hiu L( T) 1.1.2 Khụng gian Hilbert nh ngha 1.1.6 (Tớch vụ hng) Cho H l khụng gian tuyn tớnh trờn 1R Mt tớch vụ hng trờn H l mt ỏnh x, ký hiu (,): H X H Ơ M tha cỏc iu kin sau: 1) Vx Ê H : (x, x) > 0, ( i , x ) = ^ x = 0; 2) V x , y Ê H : ( x , y ) = (y, x); 31 Vớ d 2.1.2 Cho : [0,1] > R l hm liờn tc trờn [0,1] Tỡm f X* G [a, 6] tha f ( x *) = m ina.e[a f ( x ) Cú ba trng hp sau: a) Nu a thỡ < x < b b) Nu Xq = c) Nu Xq = b f ' ( x ) = a thỡ f'(xo) > thỡ f ' ( x o) < Cỏc trng hp trờn cú th vit di dng f ' ( x 0) ( x x 0) > v i m o i X G [a, b] Vớ d 2.1.3 Cho X = R, ${x) = X a Nu A = [1, oo) thỡ Sol(VI(, A )) = 1; b Nu A = ( - 0 , - ) thỡ Sol(VI(, A )) = T nh ngha ta cú X* M nh 2.1.2 Cho G i n t A l nghim ca (2.4) v ch ớ>(x*) = X* A Nu tn ti Ê > cho ($(z*), y X* } ^ 0,V|/ A n B( x* , e ) thỡ nghim X* (2.5) G S o l ( V A )) Chng minh Vi Vy Ê A v vi mi t Ê [0,1], A li nờn ta luụn cú ty + (1 t)x* G A Khi ú s tn ti tQG [0,1] cho X* + t(y - X* ) = ty + (1 - t)x* G A n B(x*, e) Do dú t0 G ($(a;*), y X* ) ^ Vi mi y G A, suy ($ (), y X* ) ^ vi mi y G A Vy G 5'o/(y/(ớ>, A)) nh lý c chng minh Mnh ny ch rng mi nghim a phng ca bt ng thc bin phõn cng l nghim ton cc Nhc li rng a Nu tn ti XQ G X * cho r /0*0 - f { x*) - ( x , x x^xIIX a;*|| X* ) = 32 Thỡ ta núi / kh vi F r ộ c h e t ti X* v gi V f ( x *) = x l o hm F r ộ c h e t ca / ti X* b Nu tn ti y f ( x * + tv) - f ( x*) t t thỡ gii hn ú l o hm theo hng V ca / ti X* v kớ hiu f ' { x *, v ) tr o n g ú c Nu tn ti f '(x*, V) vi mi {x*v) X = (Xf(x*), X - X*)) G X v nu ỏnh x f '(x*, ) : X ằ M l tuyn tớnh v liờn tc thỡ ta núi / l kh vi G ateaux ti f '(x*, ) E X * l o hm G ateaux ca / ti X* v gi v / ( x * ) = X* Xột bi toỏn ti u: (p ) nh ngha 2.1.8 Bi toỏn (2.6), nu tn ti X* m i n f ( x ) : X e A (2.6) e A c gi l nghim a phng ca bi toỏn > cho f ( x * < f ( y ) , V y & A n B (x * ,n ) Tp nghim Ă1 a phng ca bi toỏn (]2.6) c kớ hiu l loc(P ) Phn t X* e A c gi l nghim ton cc ca bi toỏn (2.6), nu tha f ( x *) < f { y ) , \ / y Ê A Tp nghim ton cc ca bi toỏn (2.6) c kớ hiu l S o l(p ) nh lý 2.1.1 (iu kin cn ti u bc nht) Nu X* l nghim a phng ca bi toỏn ti u (2.6) thỡ (A f ( x * ) , y - x * ) Vy e A, (2.7) ú V f ( x ) l o hm Frechet Chng minh Gi s X* G A l nghim a phng ca bi toỏn (2.6) Khi ú p > cho f ( y ) > f { x * ) , V/ e A n B ( x * , p ) Ly tựy ý X A \ X*, thỡ > cho X* + t(x X*) A n B ( x * , p ) 3t e (0, ) Do ú < lim f ( x * + t ( x - X*) - f ( x*) f{x*\x - X* ) ớo = X*) 33 nh lý c chng minh nh ngha 2.1.9 Ta núi hm s $ : X >R l Lipschitz a phng ti X G X nu tn ti Ê> v > cho\ ${x) d?(w)| < /||x w|| Va:, U G B ( x , e) Nhn xột 2.1.1 Nu hm s $ kh vi, liờn tc ti X, thỡ d? Lipschitz a phng ti X Vớ d 2.1.4 Hm s * ( * ) = {[ *0 " nu " ! "X V = * w o} khụng l Lipschitz a phng ti X = ( vỡ o hm ca hm s khụng cú gii hn X tin ti 0) nh ngha 2.1.10 Gi s d? l Lipschitz a phng ti X s thc $ ( x , v ) = l im s u p - -x^ x t o c gi l o hm suy rng theo ngha Clarke ti X theo hng V õy (lim ^ õf supớ0 *(x+tv)-*(x) = sup xk X, v k -ằ V, t k Nhõn xột 2.1.2 0(:, V) < / II'Ill vi mi V E X v $ ( ổ, ) l hm li (l l h s Lipschitz ca $ lõn cn x) nh ngha 2.1.11 Cho A ỗ X l nún li Nún A + = {a:* G X * : (x*,v) > 0,Vv G A} c gi l nún i ngu dng Xột bi toỏn (|2.4|), V I ( $ , A ) Tỡm X* G A tha ((a;*), y X* ) > Vy G A Mờnh 2.1.3 Nu A l mt nún li úng, thỡ bi toỏn VI(1 A) cú th vit nh sau X* G A, $(x*) G A +, ($(Ê*), Z*) = ( 8) 34 Chng minh Ly X* l nghim ca bi toỏn (2.4) Vi mi V & A, Do A l nún li nờn X* + V G A T (2A), ta suy < tha Vi mi y A , Do ( iu ny chng t rng X* G S o ( V I ( $ , A )) 2.2 S tn ti nghim ca bt ng thc bin phõn Cho H l khụng gian Hilbert, A 7^ 0, A c H l li, úng v t dA (x) = in f{ ||z - 2/11,2/ G A } (2.9) l hm khong cỏch nh lý 2.2.1 (Xem [3], Chng 2, nh lý 2.2.1) Vi gi thit trờn, vi mi X G H , tn ti nht u G A cho \x - u|| = dA (x) = inf ớc - y\\ : y A (2 10) nh lý 2.2.2 (Xem [3], Chng 2, nh lý 2.2.2) Vi mi X G H , phn t u e A tha (]2.10) v ch (x u ,y u) < \/y G A Phộp chiu metric PA (') l ỏnh x Lipschitz vi h s bng c th hin nh lớ sau 35 nh lý 2.2.3 (Xem [3], Chng 2, nh lý 2.2.3) Vi mi x , y G H , ta cú \\PA (x) - PA (y)\\ < \ \ x - y \ \ nh lý 2.2.4 (Xem [3], Chng 2, nh lý 2.2.4) ( nh lý B ro u w e r) Cho A c Kn l li, compact, khỏc rng v f : A > A l ỏnh x lin tc Khi ú, tn ti X G A tha f (x) = X Da vo nh lý im bt ng Brouwer, ta chng minh c s tn ti nghim ca bt ng thc bin phõn (|2.4|) nh ngha 2.2.1 Ta núi iu kin bc coercivity condition tha i vi bi toỏn V(, A ), nu tn ti x G A cho ($ (y ) $(Ê )) ^ + 00 y-x \\y\\ > + oo v y G A (2.11) nh lý 2.2.5 (Xem [3], Chng 2, nh lý 2.3.2) Cho A c R l ỏnh x liờn tc Nu bi toỏn Nhn xột 2.2.1 A ) tha iu kin bc thỡ nú cú nghim iu kin (]2.11 ) cú ngha l vi mi M > tn ti p > cho (* y : y ằ > M 11y II V j,gA M a M >p- iu kin bc úng vai trũ quan trng nghiờn cu bt ng thc bin phõn trng hp hn ch A khụng compact D thy rng nu A l compact, thỡ vi mi x G A bi toỏn VI(: A) tha iu kin bc Nu tn ti x G A v a > cho ( $( y) - $ ( x ) , y - x ) > a\\y - x \\2, \/y G A (2.12) thỡ (|2.1 l) c tha Nu tn ti a > cho (&(y) $ ( x ) , y x) > a\\y CII2, \/x G A, Vy G A thỡ (2.12) c tha v ú (|2.11|) c tha 36 2.3 Nguyờn l ỏnh x co Banach gii bt ng thc bin phõn Cho H l mt khụng gian Hilbert, c l li, úng, khỏc rng ca H \ F : c > H l mt ỏnh x n iu v (p l hm li úng trờn H Chỳng ta xột bi toỏn bt ng thc bin phõn dng tng quỏt sau: Tỡm E c cho X* ( F ( x * ) , x X * ) + ip(x) \/x E c (2.13) t g( x) = -m in ( F( x) , y - x) + ( y - X, G{y - x)) + (2.17) 37 Cng hai bt ng thc (2.15) v (2.17) chỳng ta cú (G(h(x*) z*),x* h(x*)) + (z*: x h(x*)) + ip(h(x*)) ip(x*) > (2.18) T Z* G dớp(h(x*)), ta cú {z*,x* h(x*)) < >(x*) ip(h(x*) Do ú (z*:x* h(x*)) >{x*) ip(h(x*)) < (2.19) T bt ng thc (2.18) v (2.19) nờn ('G ( h ( x *) x * ) , x h(x*)) > Do ú h(x*) = X* X*, t ú G xỏc nh dng Ngc li, gi s bõy gi h(x*) Khi ú (2.16) cú dng (F{x*) + z*:y - x * ) > Vye T ú Z G d(fi(h(x*) (z*, y - X* ) < ip(y) - ip(x*), My&c Cng vo cui cựng hai v bt ng thc ta cú ( F( x *) , y Cú ngha X* - X* ) +if{y) - ip(x*) > \/y G c l nghim ca bi toỏn (2.13) nh ngha 2.3.1 nh x a tr $ (z : c > H Z , x X } > 0, Mx, x G c, Z c gi l n iu trờn G $(x), Z c nu G 3>(x ) $ c gi l n iờu mnh vi h s ò > ( ò n iu mnh) nu {z z nh x , x x ) > ò\\x X ||2 Va:, X G c , z G ^(a:), Z G ^(a: ) c vi h s > nu ||x X II \ / x , x G c c gi l Lipschitz liờn tc trờn ||$(a;) $ ( x )|| < (2.20) 38 (2.20) c tha vi < 1, ỏnh x 3> c gi l ỏnh x co trờn c Nú c gi l khụng gión trờn c nu ( = nh x $ c gi l úng bc ờn c vi h s $ > gi tt l (5-úng bc trờn c nu ( $( x) ),X X ) > ||(rc) )||2 V x , x c H s c gi l h s úng bc Mt hm thc / c gi l (5-úng bc trờn c nu o hm ca nú V / l -úng bc trờn c , tc l ( V f ( x ) - V f ( x ' ) , x - x ) > \ \ V f ( x ) - V/(:r')|2 Vx , x ' c dn gin ta gi s G = a i , ong ú I l ỏnh x ng nht v a > B 2.3.2 (Xem [6], Chng 5, B 3.1j Cho h( x ) l nghim nht ca bi toỏn ti u li (2.14) Khi ú II/i(ớc) h (x )||2 < \\x X ( F( x ) F ( x ) ||2 a Chng minh T G l xỏc nh dng v (p l li trờn c , bi toỏn (2.14) l li mnh Do ú h( x) l xỏc nh nht v l nghim ca bi toỏn m i n { ( y - x , G ( y - x)} + ( F ( x ) , y - x) + >(y) - >(x) + ục (y) I y H } , ú c (y ) thay cho hm mc tiờu ca c Vi phõn ca hm du hiu ca c l hỡnh nún phỏp tuyn ngoi ca c , chỳng ta cú G( h( x ) ?) + F ( x ) + N c ( h ( x )) + dip{h{x)) m bao hm ú tn ti Z E N c {h( x)) v z E dtp(h(x)) Sao cho G( h( x ) - x) + F ( x ) + Zi + z2 = 0, ú N c ( h ( x )) l nún phỏp tuyn ngoi ca c ti h(x) T ú G = a i , cho nờn h{x) = X 1 F ( x ) Zi z ot a a (2 21 ) 39 Tng t T/ / \ h {x) = X / ! / / / F ( x ) Z z a Oi ( 22 ) Oi T (2.21) v ta cú th vit li ||/i(z) h( x )2 = (h ( x ) h( x ), h{x) h( x ) = (x X - (F ( x ) F ( x ) {zi z x) (z2 z'2), h{x) h( x )) Oớ a a T vi phõn ca hm li l n iu , chỳng ta cú {z\ z [ , h( x ) h( x ) > V^I e N c {h(x)), z[ e N c ( h( x )), (z2 z 2, h ( x ) h( x ) > 0h( x) h( x z d(f c{h{x)), z2 dl co trờn c c phỏt biu nh lý sau: nh lý 2.3.1 (Xem [6], Chng 5, nh lý 3.1) i) Nu F l 3- n iu mnh v L-Lipschitz liờn tc trờn c , thỡ h l co trờn c vi h s - _ /" 2/3 := \ - H a a* ii) Nu l p-l mnh, thỡ h l co trờn r / l + c*2 ũ := \ a +p _ vi L2 a > 23 c vi h s vi bõt c a > L2 - p 2p 40 Chng minh, (i) Gi s rng F l /3-n iu mnh v L-Lipschitz liờn tc trờn c T ||ổ l|z - x'\\2 - - ( x - X, a X - (F ( x ) F ( x ) ||2 a {F{x) - F{x' ) ) + ~^\ \ {F{x) - F{x' )\\2 er ca B 2.3.2, kộo theo \\h ( x ) - h ( x ') \\2 < \ \ x - x \ \ 2- - { x - x , (F ( x ) - F ( x ')) + ^ t \\(F( x ) - F ( x )\\2 er a T F l ò-ọửn iu mnh v L-Lipschitz liờn tc trờn c , ta cú (x X , F ( x ) F ( x )) > ò \\x X \\2 v ||F (:r) F ( x )2 < L 2\\x X Do ú ||/i(ổ) h (x ) ||2 < ||ổ X \\2 \\x a X _ / _ l , = (\ - + T ) F X a cr / \\2 H -||ổ X er Do ú ||/ ợ (ổ) - h { x ) II2 < J - + \ \ \ x - x \ \ V a cr Rừ rng, nu a > L thỡ := Y/ -1 + &(0,1) Do ú hl co trờn c vi h s (ii) Vi ớp l p-li mnh ờn c T (2.21) v (2.22) chng minh ca B 2.3.2 kộo theo IIh ( x ) h( x )||2 < ( x x , ( F ( x ) F ( x )), h ( x ) h( x ) ) (z2z 2>, h ( x ) h( x ), ) a a ong ú z2 e d(p(h(x)), z e dớp(h(x )) (2.24) 41 p-li mnh ca >, ta cú {z2 - z'2, h ( x ) - h(x' )) > p \\h (x) - h ( x ) ||2 T (|2.24|), suy ||/i(:r) h (x )||2 < ( x X ( F ( x ) F ( x ) ) : h ( x ) h ( x ) ) \\h(x)h ( x ) \ \ a a 4=>- (1 + ) ||h( x) h( x )||2 < (x X {F{x ) < X X - (F ( x ) F ( x )) a = ^ (1 + - f \ \ h { x ) - h { x ) II2 < F { x ))j h( x) h( x )) ~ \\h(x) - h { x )II - (F ( x ) F ( x )) a X X = \\x x |2 ||F(a;) F(a; )2 - (x X , F ( x ) F ( x )) a a T F l Lipschitz liờn tc ờn c vi hng s L > v n iu trờn (2.25) c, chỳng ta cú ||F (x ) F ( x )|| < L \\x X ( F( x ) F ( x ), X X II }>0 c, G c \ / x ,x G Va;, X Kt hp vi (2.25) c (1 4- )2\\h(x) h( X )||2 < ||x X ||2 - ||x X ' II2 = ( - ) ||x X aớ ' II2 Do ú ||/t(a;) - h(x')\\ip Rừ rng, < L p2 2p Trong phn tip the chỳng ta lm yu i tớnh n iu mnh ca F (2.13) bi úng bc Bt ng thc bin phõn (2.13) ú cú th cú nhiu nghim 42 nh lý 2.3.2 (Xem 16], Chng 5, nh lý 4.1) Gi s rng F l ụ-úng trờn c vi O L> Khi ú h l ỏnh xa khụng gión trờn ||/i(x) h (x )|| < ||x X II c, 'ix ^ x Ê c Chng minh Vi mi x , x tó cú X X - (F(a;) F { x ) a = ||:r X ||2 - (x X , F ( x ) F ( x )) H -||-F(:r) F ( x ) ||2 a a Mt khỏc, T F l - t bc trờn c vi hờ s v > , ta cú (x X , F ( x ) F ( x )) > \\F(x) F ( x )\\2 \/x : x Ê c Do ú X X - {F{x ) ~ F { x )) a < ||x X' II2 hoc X X - {F{x ) F ( x )) a < ||x X || (2.26) Theo B 2.3.2, nú kộo theo (2.26) ||/i(x) h( x )|| < \\x X II \ / x ,x Ê c Vớ d 2.3.1 F(x) = A x +) F l n iu trờn 1 Xl ' Vi Xi + x 2j yi Jji + Z/2, < L J1 + V2t ( x i - 2/i\ \x2 + y2j ^ ( x i - y i) + Xi - yi + x - y2)2 < Ly J ( x i - Vi)2 + ( x2 - y2y V zi Z / (si - y i f + {x\ - y i + x - y2f t Xi - (^1 - / )2 + (^2 - /2) ' yi = a , x y = b a2 + (a + b)2 a + b2 a2 + (a2 4- ề2 ~ a2 + b2 = 2+ X < a + &2 DM ống ;t;y a = b = Do ú L = \/3 +) /z mnh vi h sP = thỡ h lco trờn c h{x) = L 2- y - z) + ^ llỡ/ - z ||2 + Ơ>(ợ/) - yj(ớc)} P2 3-1 , v' a > = = Chn a = ú 2P h( x) = m in {{ F( x ) , y - x) + \\y - x\\2 + ip(y) - ip{x)} Vy = L2+ a2 a + P Do ú h l ỏnh x Khi y gii bi toỏn bt ng thc bin phõn quy v vic tỡm im bt ng ca ỏnh x co theo nguyờn lý ỏnh x CO Banach, mi bc lp k ú cú x k ta tớnh x k+1 = h ( x k) tớnh h ( x k), theo nh ngha ca ỏnh x h ta phi gii bi toỏn quy hoch co mnh h ( x k) = m in { ( F ( x k) , y - x k) + I\y - x k \\ + [...]... Vz, y, z ... toỏn t bt k trờn mt tp con ca mt khụng gian tuyn tớnh, vic ch ra phng trỡnh D u = 0 (tng ng u > X Du = 0) cú nghim tng ng vi vic ch ra ỏnh x u > u D u (tng ng vi u > Du) 7 Cể mt im bt ng Nh vy nhng iu kin lờn mt toỏn t hay min xỏc nh nh ngha m bo tn ti mt im bt ng din gii nh cỏc nh lý v tn ti trong gii tớch nh ngha 1.2.2 nh x T t khụng gian metric (X , d) vo khụng gian meic (Y, p ) c gi l ỏnh x co nu... khụng gión nh ngha 1.3.1 nh x T t khụng gian metric (X , d) vo khụng gian metric (z, p ) c gi l khụng gión nu vi mi X, y G X ta cú p { T x , T y ) < d(x, y) 16 c l mt tp con li, úng, khỏc rng ca khụng gian Hilbert H nh x T : c Ơ c khụng gión Cỏc mnh sau tng ng nh lý 1.3.1 Cho 1) Tp F ( T ) cỏc im bt ng ca ỏnh x T khụng rng 2) Vi mi X Ê c dóy { T nx } b chn Hn na trong trng hp ny F { T ) l li úng Chng... Tz T (l.l) v (1.2) suy ra z + Tz \\x - yII < z + Tz X + y < \\z - x\\ + \\z - y II < \\x - y 11 c l tp con, li úng, b chn trong khụng gian Hilbert H, : c > c khụng gión Khi ú, T cú mt im bt ng trong c H qu 1.3.1 Cho ỏnh x T nh lý 1.3.2 (Xem [8], Chng 2, nh lý 2.3) Cho H l khụng gian Hilbert, vúi u ,v Ê H cho r , B l cỏc hng s vi 0 < r < R Nu tn ti w ổ || < R, ||f x\\ < R v u + V X \u - v\\ < 2V r... ta suy ra rng F cú duy nht im bt ng trong B (x , r ) nh lý c chng minh 9 Nhiu tỏc gi ó tng quỏt húa nh lý ỏnh x CO Banach v phỏt biu vi ni dung di õy nh lý 1.2.2 ( Xem [8], Chng 1, nh lý 1.5) Cho ( x , d ) l khụng gian metric y v F : X Ơ X l ỏnh x (khụng nht thit liờn tc) vi mi Ê > 0 tn ti (e) > 0 sao cho nu d ( x : F ( x )) < (e) thỡ F (B (x ,Ê )) ỗ B ( x : e) trong ú B ( x, e) = {y Ê X : d ( x ,... |ớ| 0 u tn ti sao cho nu Ê < d(x, y ) < Ê + d(Tx,Ty) < Ê... Banach (1922) nh lý ch ra s tn ti duy nht im bt ng ca ỏnh x nh lý ỏnh x co Banach ( xem [4j, Chng 1) Cho (X , d) l khụng gian meic y v T : X > X l ỏnh x co trong X Khi ú tn ti duy nht X* G X m Tx* X* Ngoi ra vi mi x G X ta cú T nx 0 > X* khi n > 0 0 Chng minh Ly Xq l im tựy ý trong X v t Xn + 1 = T x n vi n N Ta cú d ( x i , x 2) = d ( T x 0, T x i) < k d ( x , X \ ) d ( x 2 , x 3) d ( T x i... chng minh nh lý 1.2.1 (Xem [8], Chng 1, nh lý 1.3) Cho (X , d) l khụng gian metric y v B ( x 0, r ) = { x G X : d ( x , x o) < r} trong ú Xq g X v r > 0 Gi s rng F : B ( x 0 , r) > X l ỏnh x co (ngha l d (F (x ) , F (y)) < L d (X, y ) , Vx, y e B ( x0, r) vi 0 < L < 1) v d ( F ( x o),Xo) < (1 - L ) r Khi ú F cú duy nht im bt ng trong B { x 0 , r) Chng minh Tn ti r 0 vi 0 < r 0 < r d ( F ( x 0) , x