Về tính co và không giãn của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU VỀ TÍNH CO VÀ KHÔNG GIÃN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60. 46. 01. 12 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU VỀ TÍNH CO VÀ KHƠNG GIÃN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 4 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong khơng gian Hilbert . 8 1.2 Ánh xạ đa trị đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị đơn điệu . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Định nghĩa ánh xạ đơn điệu mạ nh . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Định nghĩa ánh xạ đồng bức . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Bài tốn bấ t đẳng thức bi ến phân đa trị . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Phát biểu bài t ốn và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Sự tồn tạ i nghiệm của bài t ốn (MVIP) . . . . . . 23 2 Phương pháp ánh xạ co và khơng giãn của ánh xạ nghiệm cho bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 26 2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Tính co của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Mơ tả thuật tốn và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Tính khơng giãn và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . . . . . 37 2.2.1 Tính khơng giãn của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . 37 2.2.2 Mơ tả thuật tốn và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học và Cơ ng nghệ Việt Nam). Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy đã giành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp thắc mắc của Tơi trong suốt q trình làm luận văn. T hầy đã tạo điều kiện và giúp đỡ Tơi có thêm kiến thức, khả năng nghiên cứu, chọn lọc và tổng hợp các tài liệu chính cũng như cơ bản để hồn thành luận văn. Tơi xin kính chúc Thầy và gia đình ln ln mạnh khỏe, hạnh phúc. Qua đây Tơi xin cảm ơn các q Thầy, Cơ tham gia giảng dạy khóa cao học 2 011 - 2013 tại Đại học Thái Ngun và tại Viện Tốn Học lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với cơng lao dậy dỗ trong suốt q trình đào tạo giáo dục tại nhà trường, đã mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khơng chỉ về mặt chun mơn mà còn cả trong cuộc sống. Tơi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, đồng mơn đã giúp đỡ tơi trong thời gian họ c tập tại Đại học Thái Ngun và trong q trình hồn thành luận văn này. Cuối cùng, Tơi xi n giành lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình và ngườ i bên cạnh Tơi. Nhờ có sự chăm sóc, lo lắng, động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để Tơi có được thành quả ngày hơm nay. Xin kính tặng bản luận văn này tới Gia đình. Thái Ngun, tháng 8 - 2013 Người viết Luận văn VŨ THỊ THU Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Bài tốn Bất đẳng thức biến phân đa trị được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 196 6 b ởi Ha rtman và Stampachia. Những nghiên cứu đầu tiên về bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị liên quan tới việc giải bà i tốn biến phân, bài tốn điều khiển tối ưu và các bà i tốn có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian hữu hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới thiệu trong cuốn sách ” An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách ” Variational and Quasivariat ional Inequalities: Appli cations to Free Boundary Problems ” của Baiocci C. và Capelo A., xuất bản năm 198 4. Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài tốn cân bằng mạng giao thơng và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài tốn này là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài tốn bất đẳng thức biến phân được phát tr iển trở thành một cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài tốn cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều bài tốn khác. Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị có quan hệ mật thiết với nhiều bài tốn khác như: bài tốn bù phi tuyến, bài tốn quy hoạch lồi, bài tốn xác định phương án sản xuất, các bài tốn đó là một trong những trường hợp riêng của bài to án bất đẳng thức biến phân đa trị. Gần đây bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị cũng là một đề tài thu hút được nhiều sự q uan tâm của các nhà nghiên cứu khoa học vì nó có nhiều vai trò và ứng dụng trong lý thuyết tốn học và các ứng dụng trong thực tế. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọ ng của bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị là xây dựng phương pháp giải. Thơng thường các phương pháp giải được chia thành các lo ại sau: Loại thứ nhất là các phương pháp chuyển bài tốn về hệ phương trình và dùng các phương pháp thơng dụng như phương pháp Newton, phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 2 pháp điểm trong hệ phương trình. Loại t hứ hai l à phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu điển hình của phương pháp này là các phương pháp gradient sau này được tổng qt bởi Cohen thành lý thuyết bài tốn phụ, phương pháp điểm gần kề của Rockafellar, phương pháp hiệu chỉnh của Tikhonov, Các phương pháp này khá là hiệu q uả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng các điều kiện hội tụ chỉ được đảm bảo dưới các giả thiết khác nha u về tính chất đơn điệu. Loại t hứ ba là các phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm đánh giá. Nội dung chính của phương pháp này là chuyển bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị về cực tiểu của hàm chắn và sau đó sử dụng k ỹ thuật tối ưu trơn hoặc khơng trơn để t ìm cực tiểu của hàm chắn, phương pháp này có thể giải được bà i tốn với giả thiết rất nhẹ. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ của thuật tốn được đề xuất là chậm và thường chỉ hội tụ với các giả thiết về tính đơn điệu. Loại thứ tư là các phương pháp dựa trên điểm bất động, nội dung chính của phương pháp này là chuyển bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị về tìm điểm bất động của ánh xạ nghiệm. Trong luận văn này, ta xây dựng phương pháp giải bằng loại thứ tư. Luận văn trình bày phương pháp giải bấ t đẳng thức biến phân thơng qua việc tìm điểm bất độ ng của ánh xạ nghiệm với ánh xạ giá là phù hợp, nội dung chính của phương pháp này được viết trong bài báo ” P. N. Anh, L. D. Mưu, V. H. Nguyen and J. J Strodio t (2005), Using the Banach Contracti on Principle to Implement the Proximal Point Method for Multivalued Monotone Variational Inequaliti es, J. Oplim. Theory Appl, 124, pp. 285 - 306”. Luận vă n được chia thành hai chương: Chương I gồ m hai phần: Phần một nhắc lại một số kiến thức cơ bản của khơng gian Hilbert , giải tích lồi, ánh xạ đa trị, ánh xạ đơn điệu mạnh, ánh xạ đồng bức (ánh xạ đơn điệu m ạnh ngược). Phần hai trình bày về bài tốn bất đẳng thức biến phâ n đa trị (vi ết tắt là MVIP), nêu ra một số trường hợp riêng của bài tốn và các ví dụ điển hình, sự tồn tại nghiệm cũng như t ính chất của tập nghiệm. Chương II trình bày phương pháp lặp Banach giải bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) trong hai trườ ng hợp hàm giá là đơn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 3 điệu mạnh và hàm giá là đồng bức. Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học T hái Ngun dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Do vấn đề đề cập trong luận văn là tương đối mới và phức tạp, thời gian cũng như khả năng còn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp q báu của các Thầy, Cơ giáo, các bạn đồng nghiệp, đồng mơn và những ng ười quan tâm để đề tài được hồn thiện hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 4 Chương 1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị Trong tồn bộ luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên khơng gian Hilbert thực H. Ta có một số tính chất và định nghĩa cơ bản về khơng gian Hilbert. Các kiến thức trong chương này được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]. 1.1 Một số khái n iệm và tính chất cơ bản 1.1.1 Khơng gian Hilbert Định n ghĩa 1.1. Cho H là m ột khơng gian tuyến tính. Tích vơ hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định: ., . :H ×H → R (x, y) → x, y thỏa mãn các điều k i ện sau: i. x, y = y, x với mọi x, y ∈ H ii. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H iii. λx, y = λx, y với mọi x, y ∈ H và λ ∈ R iv. x, x ≥ 0 với m ọi x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0 x, y được gọi là t í ch vơ hướng của hai véctơ x và y Cặp (H, ., .) đư ợc gọi là khơng gian tiề n Hilbert (hay còn gọi l à khơng gian Unita). Từ định nghĩa trên ta thấy rằng tích vơ hướng là một dạng song tuyến t ính trên H. Ví dụ 1.1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tốn bất đẳng thức biến phân đa trị, các trường hợp riêng và các bài tốn ứng dụng trong thực tế của bài tốn bất đảng thức biến phân đa trị Phần hai ta nêu về sự tồn tại nghiệm và các tính chất nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 1.3.1 Phát biểu bài tốn và ví dụ Định nghĩa 1.16 (Phát biểu bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 18 Cho C... http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 Chương 2 Phương pháp ánh xạ co và khơng giãn của ánh xạ nghiệm cho bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm Như đã biết, phương pháp lặp theo Ngun lí ánh xạ co Banach là một kết quả nổi tiếng và là một phương pháp cơ bản, hiệu quả để tính điểm bất động của ánh xạ co Ngun lí này sau này được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi Nadler Trong phần này, chúng... trong H, cho F : H −→ 2H là một ánh xạ đa trị, ta ln giả sử C ⊆ domF , trong đó domF := {x ∈ H : F (x) = ∅} và F (x) là lồi, đóng với mọi x ∈ domF Khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C, w∗ ∈ F (x∗) : w∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (MV IP ) F được gọi là ánh xạ giá của bài tốn bất đẳng thức biến phân (MVIP) Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài tốn bất đẳng thức biến phân. .. nhất của nghiệm Định lí 1.11 (xem [5]) Cho ánh xạ đa trị F : C ⊆ H −→ 2H i) Nếu F là đơn điệu chặt trên C thì bài tốn bất đẳng thức biến phân (MVIP), nếu có nghiệm, thì nghiệm là duy nhất ii) Nếu F là đơn điệu mạnh trên C thì bài tốn bất đẳng thức biến phân (MVIP) ln có duy nhất một nghiệm Chứng minh i) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của bài tốn bất đẳng thức biến phân (MVIP) Nếu x1 là nghiệm. .. định nghĩa của dưới vi phân w∗ , x − x∗ + F (x∗) ≤ F (x) ∀x nhưng w∗ , x − x∗ ≥ 0 nên từ đây F (x∗) ≤ F (x), ∀x ∈ C Chứng tỏ x∗ là nghiệm của bài tốn (OP) Trong trường hợp F là hàm lồi, khả vi thì x∗ là nghiệm của bài tốn (OP) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân đơn trị (VIP), với F (x) := ∇F (x) Sau đây là các ví dụ thực tế của bài tốn bất đẳng thức biến phân Bài tốn cân... Bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) có quan hệ mật thiết với nhiều bài tốn khác của giải tích phi tuyến như: Bài tốn bù phi tuyến, bài tốn điểm bất động, bài tốn quy hoạch lồi, Ngồi ra, còn có nhiều ứng dụng trong thực tế như: Bài tốn xác định phương án sản xuất, bài tốn cân bằng mạng giao thơng, Dưới đây ta xét một vài trường hợp riêng điển hình của bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị: ... trị: Bài tốn điểm bất động Kakutani Cho C là tập tùy ý lồi, đóng trong khơng gian Hilbert H và T : C −→ 2C là ánh xạ đa trị Bài tốn điểm bất động của ánh xạ đa trị F được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C : x∗ ∈ T (x∗) (1.1) Chú ý, nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài tốn điểm bất động Kakutani trở thành bài tốn điểm bất động Brouwer sau: Tìm x∗ ∈ C : x∗ = T (x∗) Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài tốn (MVIP) và bài. .. cách tiếp cận điểm bất động theo phương pháp lặp của Ngun lí ánh xạ co Banach để giải bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị (MVIP) được định nghĩa ở Chương I Ta sẽ xét trường hợp khi F là ánh xạ đơn điệu mạnh sau đó xét đến tính chất co của ánh xạ nghiệm được xây dựng từ bài tốn (MVIP), trên cơ sở đó trình bày thuật tốn lặp Banach và chứng minh tính chất hội tụ của thuật tốn Các kiến thức được lấy trong... ngồi của C tại x◦ 1.1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz trong khơng gian Hilbert Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và đưa ra một số ví dụ minh họa Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là hai khơng gian bất kì, F : X ⇉ Y là ánh xạ từ X vào các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ) Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của Y , (F (x) có thể là... là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân w + G(h(x, w) − x), y − h(x, w) ≥ 0, ∀y ∈ C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.7) 29 ∗ Với mỗi x ∈ C, ta định nghĩa ánh xạ H(x) := {h(x, w) | w ∈ F (x)} Nói chung, H là ánh xạ đa trị và domH ⊆ C Để tiện cho việc trình bày, ta sẽ gọi H là ánh xạ nghiệm của bài tốn (MVIP) Kết quả dưới đây khẳng định rằng x∗ là nghiệm của (MVIP) khi và . xạ co và khơng giãn của ánh xạ nghiệm cho bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị 26 2.1 Tính co và sự hội tụ của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Tính co của ánh xạ nghiệm . . . . HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU VỀ TÍNH CO VÀ KHÔNG GIÃN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60. 46. 01. 12 . http://lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Bài tốn Bất đẳng thức biến phân đa trị được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 196 6 b ởi Ha rtman và Stampachia. Những nghiên cứu đầu tiên về bài tốn bất đẳng thức biến phân đa trị liên