Một phương pháp lặp xoay vòng tổng quát giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC HO€NG THÀ PH×ÌNG MËT PH×ÌNG PHP LP XOAY VÁNG TÊNG QUT GIƒI B€I TON B‡T NG THÙC BI˜N PH…N TR–N TŠP NGHI›M CÕA B€I TON IšM B‡T ËNG CHUNG TCH LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: To¡n ùng dưng M số: 46 01 12 TP TH HìẻNG DN KHOA HC PGS.TS Trữỡng Minh Tuyản TS PhÔm Hỗng Trữớng ThĂi Nguyản  2022 ii Lới cÊm ỡn TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS Trữỡng Minh Tuyản, TS PhÔm Hỗng Trữớng  luổn tên tẳnh hữợng dăn, ch bÊo v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu  hon thnh luên vôn TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi cĂc thƯy, cổ khoa ToĂnTin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v giúp ù tĂc giÊ thới gian hồc têp v nghiản cựu tÔi trữớng Qua Ơy tĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn gia ẳnh, bÔn b v ỗng nghiằp  luổn ởng viản tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi và mồi mt suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny iii Mửc lửc Mởt số kỵ hiằu v viát tưt iv M Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 Mët sè °c tr÷ng cõa khỉng gian Hilbert 1.2 nh xÔ khổng giÂn 1.3 ToĂn tỷ ìn i»u 11 13 1.4 B§t ¯ng thùc bián phƠn 19 1.5 Bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp Ưu 22 1.6 Mët sè bê · bê trñ 23 Chữỡng Thuêt toĂn lp xoay vỏng têng qu¡t v  sü hëi tö 2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 2.2 Thuªt to¡n v  sü hëi tư 2.3 Mët sè ùng döng 2.4 24 24 26 35 2.3.1 Bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp ¦u 35 2.3.2 B i to¡n khỉng iºm chung t¡ch vỵi a têp Ưu 35 36 Vẵ dử số minh hồa Kát luên 40 Ti liằu tham khÊo 41 iv Mởt số kỵ hi»u v  vi¸t t­t H khỉng gian Hilbert ⟨., ⟩ tẵch vổ hữợng trản . chuân trản php hủp php giao R+ têp cĂc số thỹc khổng Ơm G(A) ỗ th cừa toĂn tỷ D(A) miÃn xĂc nh cõa to¡n tû R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A−1 toĂn tỷ ngữủc cừa toĂn tỷ IH toĂn tỷ ỗng nhĐt trản têp rộng x vợi mồi x tỗn tÔi xn x0 dÂy {xn } hởi tử mÔnh và xn x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và Fix(T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ H H A A A A H x x x0 x0 T M Ưu Bi toĂn BĐt ng thực bián phƠn ữủc nÊy sinh quĂ trẳnh nghiản cựu v giÊi cĂc bi toĂn thỹc tá nhữ bi toĂn cƠn bơng kinh tá, ti chẵnh, bi toĂn mÔng giao thổng, lỵ thuyát trỏ chỡi, phữỡng trẳnh vêt lỵ toĂn Bi toĂn ny ữủc giợi thiằu lƯn Ưu tiản bi Hartman v Stampacchia vo nôm 1966 ti liằu [5] Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian hỳu hÔn chiÃu, cụng nhữ vổ hÔn chiÃu vợi cĂc ựng dửng cừa nõ ữủc giợi thiằu kh¡ chi ti¸t cuèn s¡ch An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications cõa D Kinderlehrer v  G Stampacchia xuĐt bÊn nôm 1980 [6] Tứ õ, bi toĂn bĐt ng thực biản phƠn ữủc nghiản cựu v phĂt trin mÔnh m, thu hút sỹ ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu ngữới lm toĂn v ngoi nữợc Mởt nhỳng hữợng nghiản cựu quan trồng cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn l viằc xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp giÊi Cõ nhiÃu phữỡng phĂp giÊi  ữủc à xuĐt nhữ phữỡng phĂp gradient, gradient tông cữớng hay phữỡng phĂp im bĐt ởng, phữỡng phĂp ữớng dốc nhĐt Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ữủc phĂt biu nhữ sau: Tẳm mởt phƯn tỷ x C , cho ⟨F(x∗ ), x − x∗ ⟩ ≥ 0, x C, õ F l mởt Ănh xÔ liản tửc tứ khổng gian Hilbert kỵ hiằu bi toĂn n y l  VIP(C, F) (0.1) H v o ch½nh nâ v  ta Bi toĂn ny cõ ỵ nghắa quan trồng viằc giÊi bi toĂn tối ữu lỗi cõ rng buởc v mởt trữớng hủp c biằt l bi toĂn chĐp nhên lỗi nời tiáng Ta xem mội têp C l têp im bĐt ởng cừa php chiáu mảtric PC tø H l¶n C, â b i to¡n tr¶n câ th xem nhữ bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn Nôm 2001, Yamada [17]  giợi thiằu phữỡng phĂp ữớng dèc nh§t lai gh²p gi£i b i to¡n (0.1), â mÔnh v C F : H H l mởt toĂn tỷ Lipschitz, ỡn iằu l têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn T1 , T2 , , TN , tùc l , C = N i=1 Fix(Ti ) (nh lỵ 1.4.5) Nôm 2020, Reich v Tuyen [12]  à xuĐt v nghiản cựu mỉ h¼nh sau: Cho X , X1 , X2 , , XN i = 1, 2, , N , trữợc trản cho toĂn x∗ (Pi ) X l  c¡c khæng gian Hilbert hay Banach v cho l cĂc Ănh xÔ tứ v Xi , X vo tữỡng ựng vợi Xi i = 1, 2, , N (P ), (Pi ), i = 1, 2, , N l  mët nghi»m cõa B i to¡n vỵi Gi£ sû (P ) v  Ti : X −→ Xi , l cĂc bi toĂn cho Tẳm mởt phƯn tỷ Ti (x∗ ) x∗ ∈ X l  mët nghi»m cõa B i Hå gåi mỉ h¼nh b i to¡n n y l  b i to¡n tĂch vợi a têp Ưu Khi cĂc bi toĂn (P ), (Pi ) l  c¡c b i to¡n iºm b§t ởng thẳ ta nhên ữủc bi toĂn im bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu Mửc ẵch cừa luên vôn ny l trẳnh by mởt phữỡng phĂp lp xoay vỏng tờng quĂt  tẳm nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn trản têp nghiằm cừa bi toĂn im bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu ra, ối vợi lợp Ănh xÔ khổng giÂn trản khổng gian Hilbert Nëi dung n y ÷đc tham kh£o tø b i b¡o [13] cõa c¡c t¡c gi£ Reich v  Tuyen Nëi dung cõa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh, õ: Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng ny têp trung trẳnh by lÔi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn và khổng gian Hilbert, php chiáu mảtric, Ănh xÔ khổng giÂn, toĂn tỷ ỡn iằu, bĐt ng thực bián phƠn, bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu v  cuèi còng l  mët sè bê · bê trđ nh¬m phưc vư cho vi»c chùng minh sü hëi tử cừa hai thuêt toĂn Chữỡng Chữỡng Thuªt to¡n l°p xoay váng têng qu¡t v  sü hëi tử Nởi dung cừa chữỡng ny à cêp án cĂc kát quÊ ti liằu [13] mởt thuêt toĂn lp xoay váng têng qu¡t x§p x¿ nghi»m cõa b§t ¯ng thực bián phƠn vợi Ănh xÔ giĂ l Lipschitz v ỡn iằu mÔnh, trản têp nghiằm cừa bi toĂn im bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu Tiáp theo, luên vôn cụng giợi thiằu ựng dửng cừa thuêt toĂn cho hai lợp bi toĂn khĂc, õ l bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu v bi toĂn khổng im chung tĂch vợi a têp Ưu Cuối cũng, chữỡng ny, l mởt vẵ dử số ữủc tẵnh toĂn trản MATLAB nhơm minh hồa thảm cho tẵnh khÊ dửng cừa thuêt toĂn Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng ny bao gỗm mửc chẵnh Mửc 1.1 à cêp án mët sè °c tr÷ng cì b£n cõa khỉng gian Hilbert thỹc Mửc 1.2 v Mửc 1.3, lƯn lữủt giợi thiằu sỡ lữủc mởt số kát quÊ và Ănh xÔ khổng giÂn v toĂn tỷ ỡn iằu, vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn Mửc 1.4 à cêp án mởt số kát quÊ cỡ bÊn và bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert Mửc 1.5 trẳnh by và bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu khổng gian Hilbert Mửc 1.6 à cêp án mởt sè bê · bê trđ, nh¬m phưc vư vi»c chùng minh cĂc nh lỵ chẵnh chữỡng sau cừa luên vôn Nởi dung cừa chữỡng ny phƯn lợn ữủc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1, 2, 7, 15] 1.1 Mët sè °c tr÷ng cõa khỉng gian Hilbert Ta ln gi£ thi¸t hi»u l  ⟨., ⟩ H l  khỉng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng ữủc kẵ v chuân ữủc kẵ hiằu l . Trữợc hát, ta nhưc lÔi mởt c trững hẳnh hồc quan trồng cừa khổng gian Hilbert M»nh · 1.1.1 Trong khæng gian Hilbert thüc H ta luæn câ ¯ng thùc sau ∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 = ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩, vỵi måi x, y, z ∈ H Chùng minh Thªt vªy, ta câ ∥y − z∥2 + 2⟨x − y, x − z⟩ = ⟨y, y⟩ + ⟨z, z⟩ + 2⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ − 2⟨x, y⟩ = [⟨x, x⟩ − 2⟨x, y⟩ + ⟨y, y⟩] + [⟨x, x⟩ − 2⟨x, z⟩ + ⟨z, z⟩] = ∥x − y∥2 + ∥x − z∥2 Vêy ta ữủc iÃu phÊi chựng minh Mằnh à 1.1.2 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc Khi â, vỵi måi x, y ∈ H v  måi λ ∈ R, ta câ ∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 Chùng minh (1.1) Ta câ ∥λx + (1 − λ)y∥2 = λ2 ∥x∥2 − 2λ(1 − λ)⟨x, y⟩ + (1 − λ)2 ∥y∥2 = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)(∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2 ) = λ∥x∥2 + (1 − λ)∥y∥2 − λ(1 − λ)∥x − y∥2 Ta ÷đc i·u ph£i chùng minh M»nh · 1.1.3 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thỹc Khi õ, náu vợi x, y H thọa mÂn iÃu kiằn |x, y| = x.y, tực l bĐt ng thực Schwars xÊy dĐu bơng, thẳ hai vc tỡ x v y l phử thuởc tuyán tẵnh Chựng minh GiÊ sỷ ngữủc lÔi rơng x = y vợi mồi R Khi õ, tứ tẵnh chĐt cừa tẵch vổ hữợng, ta cõ < x y2 = λ2 ∥y∥2 − 2λ⟨x, y⟩ + ∥x∥2 , R Ta thĐy rơng náu y = 0, thẳ hin nhiản x v y l phử thuởc tuyán ⟨x, y⟩ Gi£ sû y ̸= 0, â vỵi = , thẳ bĐt ng thực trản tr thnh y2 vợi mồi tẵnh |x, y| < x.y, iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát Vêy x v y l phử thuởc tuyán tẵnh Mằnh à ữủc chựng minh {xn } Nhưc lÔi rơng, dÂy và phƯn tỷ x H, khỉng gian Hilbert H ÷đc gåi l  hëi tư y¸u n¸u lim ⟨xn , y⟩ = ⟨x, y⟩, n→∞ vỵi måi y ∈ H xn ⇀ x Tø tẵnh liản tửc cừa tẵch vổ hữợng, suy náu thẳ Tuy nhiản, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Chng hÔn, x²t khæng gian l2 = {{xn } ⊂ R : P∞ n=1 |xn | < ∞} en = (0, , 0, vỵi måi xn → x, n ≥ Khi â, en ⇀ 0, v  {en } ⊂ l2 , ÷đc cho bði , 0, , 0, ), v trẵ thự n n Thêt vêy, vợi mội y H, tứ bĐt ng thực Bessel, ta câ ∞ X |⟨en , y⟩|2 ≤ ∥y∥2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ ⟨en , y⟩ = 0, ∥en ∥ = vỵi måi tùc l  en ⇀ Tuy nhi¶n, {en } khỉng hëi tư v· 0, vẳ n Ta biát rơng mồi khổng gian Hilbert H Ãu thọa mÂn iÃu kiằn cừa Opial, tẵnh chĐt ny ữủc th hiằn mằnh à dữợi Ơy: M»nh · 1.1.4 Cho H l  mët khæng gian Hilbert thỹc v {xn} H l mởt dÂy bĐt ký thäa m¢n i·u ki»n xn ⇀ x, n → ∞ Khi â, vỵi måi y ∈ H v  y ̸= x, ta câ lim inf ∥xn − x∥ < lim inf ∥xn − y∥ n→∞ n→∞ (1.2) 29 ∥(I HInd(n) − TInd(n) )AInd(n) un ∥4 − ρn (1 − ρn ) ∗ ∥AInd(n) (I HInd(n) − TInd(n) )AInd(n) un ∥2 + aInd(n),n M»nh · ÷đc chùng minh {un } Tẵnh b chn cừa dÂy xĂc nh bi Thuêt toĂn 2.2.2 ữủc thiát lêp mằnh à dữợi Ơy Mằnh à 2.2.5 Trong Thuêt toĂn 2.2.2, dÂy {un} b ch°n Chùng minh Cè ành p ∈ Ω, ta câ ∥un+1 − p∥ = ∥(I H0 − tn µ F)vn − p∥ = ∥(I H0 − tn µ F)vn − (I H0 − tn µ F)p − tn µ F p∥ °t τ = 1− p − µ(2η − µL2 ) (ta câ ¡nh gi¡ (2.8) Tø (2.8), Bê · 3.1 t i li»u [17], v  (2.3) ∥vn − p∥ ≤ ∥un − p∥) suy r¬ng ∥un+1 − p∥ ≤ (1 − tn τ )∥vn − p∥ + tn µ∥ F p∥ µ∥ F p∥ = (1 − tn τ )∥un − p∥ + tn τ  τ  µ∥ F p∥ ≤ max ∥un − p∥, τ   µ∥ F p∥ ≤ max ∥u0 − p, iÃu ny ch rơng dÂy {un } b chn nh lỵ ữủc chựng minh Sỹ hởi tử mÔnh cừa Thuêt toĂn 2.2.2 ữủc thiát lêp nh lỵ sau nh lỵ 2.2.6 Náu dÂy {tn} thọa m¢n c¡c i·u ki»n C1) and C2) v  i·u ki»n sau óng max {sup{ai,n }} < ∞, i=0,1, ,N (A) n thẳ dÂy {un } xĂc nh bi Thuêt toĂn 2.2.2 hởi tử mÔnh và nghiằm nhĐt cừa VIP(F, Ω) 30 Chùng minh °t p∗ l  nghi»m nhĐt cừa bĐt ng thực bián phƠn VIP(F, ), tực l , ⟨F p∗ , z − p∗ ⟩ ≥ z (2.9) Sỷ dửng (2.2), ta nhên thĐy r¬ng ∥un+1 − p∗ ∥2 = ⟨(I H0 − tn µ F)vn − p∗ , un+1 − p∗ ⟩ = ⟨(I H0 − tn µ F)vn − (I H0 − tn µ F)p∗ , un+1 − p∗ ⟩ − tn µ⟨F p∗ , un+1 − p∗ ⟩ ≤ ∥(I H0 − tn µ F)vn − (I H0 − tn µ F)p∗ ∥2 + ∥un+1 − p∗ ∥2 − tn µ⟨F p∗ , un+1 − p∗ ⟩ (1 − tn τ )2 ∥vn − p∗ ∥2 + ∥un+1 − p∗ ∥2 − tn µ⟨F p∗ , un+1 − p∗ ⟩ (1 − tn τ )∥un − p∗ ∥2 + ∥un+1 − p∗ ∥2 − tn µ⟨F p∗ , un+1 − p∗ ⟩ ≤ ≤ i·u n y suy r¬ng ∥un+1 − p∗ ∥2 ≤ (1 − tn τ )∥un − p∗ ∥2 − 2tn µ⟨F p∗ , un+1 − p∗ ⟩ °t Υn = ∥un − p∗ ∥2 , κn = τ tn , λn = −2µ⟨F p∗ , un+1 − p∗ ⟩/τ Khi â, b§t ¯ng thùc tr¶n trð th nh Υn+1 ≤ (1 − κn )Υn+1 + n n BƠy giớ, ta ch rơng thúc i·u n y, gi£ sû r¬ng Υn → {Υkn } (2.10) bơng cĂch Ăp dửng Bờ à 1.6.1  kát l mởt dÂy bĐt ký cừa {n } thọa m¢n lim inf n→∞ (Υkn +1 − Υkn ) ≥ Tứ tẵnh b chn cừa dÂy {un } (Mằnh · 2.2.5) suy d¢y {vn } cơng bà ch°n Do õ, tỗn tÔi số thỹc dữỡng M cho max{sup ∥vn ∥, sup ∥ F ∥} ≤ M n n 31 Theo M»nh · 2.2.4 v  sû döng i·u ki»n {ρn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1), ta suy r¬ng c(1 − d)Γkn ≤ Υkn − Υkn +1 + tn (tn µ2 M + 2M + 2∥p∗ ∥)M, â Γkn = ∥(I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥4 ∥A∗Ind(kn ) (I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥2 + aInd(kn ),kn Do õ, ta nhên ữủc lim supkn n [lim sup Υkn − Υkn +1 + tn (tn µ2 M + 2M + 2∥p∗ ∥)M ] c(1 − d) n→∞ [lim sup(Υkn − Υkn +1 ) + lim sup tn (tn µ2 M + 2M + 2∥p∗ ∥)M ] = c(1 − d) n→∞ n→∞ = [− lim inf (Υkn +1 − Υkn ) + lim sup tn (tn µ2 M + 2M + 2∥p∗ ∥)M ] n→∞ c(1 − d) n→∞ ≤ ≤ i·u ny suy rơng limn kn = Tứ tẵnh b chn cừa dÂy tỗn tÔi mởt số thỹc dữỡng {un } K v  sû döng i·u ki»n (A), ta nhƠn thĐy rơng cho max {sup{Ai (I Hi Ti )Ai un ∥2 + ai,n }} ≤ K i=0,1, ,N Do â, ta câ K¸t hđp i·u n y n ∥(I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥4 ≤ Γkn K vỵi limn→∞ Γkn = 0, ta nhên ữủc lim (I HInd(kn ) TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥ = (2.11) n→∞ Ti¸p theo, ta ch¿ r¬ng cõa {ukn } lim supn→∞ λn ≤ Gi£ sû {umn } l  mët d¢y cho lim inf ⟨F p∗ , ukn − p∗ ⟩ = lim ⟨F p∗ , umn − p∗ ⟩ n→∞ Vẳ dÂy {umn } mởt phƯn tỷ n n b chn, nản tỗn tÔi mởt dÂy cừa dÂy q H0 {umn }, Khổng mĐt tờng qu¡t, ta câ thº gi£ sû r¬ng (2.12) hëi tư yáu và umn q , BƠy giớ ta khng nh rơng rơng, vợi bĐt ký 32 q Ω º i ∈ I = {0, 1, , N }, thĐy iÃu ny, trữợc hát, ta ỵ tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản Mi cho i ∈ {Ind(mn ), Ind(mn + 1), , Ind(mn + Mi − 1)} vỵi måi n Mi 1} Vợi mội n, giÊ sỷ rơng i = Ind(pn ) vỵi pn ∈ {mn , mn + 1, , mn + Tø ành ngh¾a cừa Ănh xÔ iÃu khin ch số, suy tỗn tÔi mởt phƯn tỷ pn+1 {mn + Mi , mn + Mi + 1, , mn + 2Mi − 1} cho Ind(pn+1 ) = i i = Ind(pn ) vỵi måi Tø (2.11) v  {upn } Tõm lÔi, tỗn tÔi mởt dÂy cừa {umn } n i = Ind(pn ) vỵi måi n, ta suy r¬ng lim ∥(I Hi − Ti )Ai upn ∥ = (2.13) n→∞ V¼ umn ⇀ q Ai upn ⇀ Ai q v  {upn } l  mët d¢y cừa (lữu ỵ rơng Ai {umn }, i = 0, 1, , N , q ∈ , Suy l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn) Do õ, theo l bĐt ký, nản ta thu ữủc tực l, upn q nản ta cõ nguyản lỵ nỷa õng (xem Mằnh Ã) v (2.13), ta nhên ữủc i {0, 1, , N } cho Ai q ∈ Ai q ∈ Fix(Ti ) Vẳ Fix(Ti ) vợi mồi nhữ  khng ành Do â, sû döng (2.9) v  (2.12), ta câ lim inf ⟨F p∗ , ukn − p∗ ⟩ = lim ⟨F p∗ , umn − p∗ ⟩ n→∞ n→∞ = ⟨F p∗ , q − p∗ ⟩ ≥ (2.14) Tø ∥ukn +1 − vkn ∥ = µtkn ∥ F vkn ∥ ≤ M µtkn → suy r¬ng lim ∥ukn +1 − vkn ∥ = n→∞ (2.15) 33 Ta công câ ∥vkn − ukn ∥ = τInd(kn ),n ∥A∗Ind(kn ) (I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥ ∥(I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥2 = ρkn ∗ ∥AInd(kn ) (I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥2 + aInd(kn ),kn × ∥A∗Ind(kn ) (I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥ ∥(I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥2 ∥A∗Ind(kn ) (I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥2 + aInd(kn ),kn q × ∥A∗Ind(kn ) (I HInd(kn ) − TInd(kn ) )AInd(kn ) ukn ∥2 + aInd(kn ),kn p = ρkn Γkn → ≤ ρkn i·u n y suy r¬ng limn vkn ukn = Kát hủp vợi (2.15), ta nhên ữủc lim ukn +1 ukn = (2.16) n→∞ Tø (2.14) v  (2.16), ta suy r¬ng lim inf ⟨F p∗ , ukn +1 − p n n , Vẳ vêy, tứ ành ngh¾a cõa ta câ lim sup λkn = lim sup −2µ⟨F p∗ , ukn +1 − p∗ ⟩/τ n→∞ n→∞ = −2µ lim inf ⟨F p∗ , ukn +1 − p∗ ⟩/τ n→∞ ≤ Sû döng c¡c i·u kiằn C1) v C2), ta nhên thĐy rơng n v  P∞ n=1 κn = ∞ Do â, t§t cÊ cĂc giÊ thiát cừa Bờ à 1.6.1 ữủc thọa mÂn Ngay lêp tực, ta suy rơng n 0, tùc l , un → p∗ n → ∞ nh lỵ ữủc chựng minh GiÊ sỷ f : F = I H0 − f H0 → H0 Khi õ F l l mởt Ănh xÔ co vợi hằ sè co (1 + cf )-Lipschitz v  (1 − cf )-ỡn Ăp dửng nh lỵ 2.2.6, ta nhên ữủc hằ quÊ sau cf [0, 1) t iằu mÔnh Do â, H» qu£ 2.2.7 34 Cho {αn } l  mët dÂy số khoÊng (0, 1) Vợi bĐt ký phƯn tû ban ¦u u0 ∈ H0 , cho {un } l dÂy ữủc xĂc nh bi = un τInd(n),n A∗Ind(n) (I HInd(n) − TInd(n) )AInd(n) un , (2.17) un+1 = αn f (vn ) + (1 − αn )vn , n (2.18) Náu dÂy {n } thäa m¢n hai i·u ki»n i) ii) limn→∞ αn = 0, P n=1 n = , thẳ dÂy {un } hởi tử mÔnh và p = P f (p ) as n → ∞ Chùng minh Chån tn ∈ (0, 1) n vợi (0, cf (1 + cf )2 ừ lợn Hỡn nỳa, dÂy v t {tn } tn = n /à Vẳ n 0, nản ta cõ toÊn mÂn cĂc iÃu kiằn C1) v C2) QuĂ trẳnh lp (2.17)(2.18) cõ th ữủc viát lÔi dÔng sau: = un Ind(n),n AInd(n) (I HInd(n) − TInd(n) )AInd(n) un , un+1 = (I H0 − tn µ F)vn , n ≥ Tø nh lỵ 2.2.6 suy rơng dÂy {un } hởi tử mÔnh và phƯn tỷ p thọa mÂn F p , z − p∗ ⟩ ≥ 0, ∀z ∈ Ω, hay tữỡng ữỡng vợi, p f (p ), z − p∗ ⟩ ≥ ∀z ∈ Ω K¸t hđp iÃu ny vợi (1.3), ta nhên ữủc p = P Ω f (p∗ ) H» qu£ ÷đc chùng minh Chó ỵ 2.2.8 Trong Hằ quÊ 2.2.7, náu ta lĐy mởt phƯn tỷ cố nh H0 , thẳ dÂy {un } f (x) = w vỵi måi x¡c ành bði x ∈ H0 u0 ∈ H0 = un − τInd(n),n A∗Ind(n) (I HInd(n) − TInd(n) )AInd(n) un , un+1 = αn w + (1 − αn )vn , n 0, hởi tử mÔnh và P w n → ∞ v  v  w l  35 2.3 Mët sè ùng döng Cho Hi , i = 0, 1, , N , i = 1, 2, , N , to¡n tû l  c¡c khæng gian Hilbert thỹc, cho l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n v  cho L-Lipschitz sè thüc d÷ìng, cho v  -ỡn iằu mÔnh Cho Ai : H0 Hi , F : H0 → H {ai,n }, i = 0, 1, , N , l  mët l  c¡c d¢y {tn } l  mët d¢y kho£ng mð (0, 1), v  µ l  mët sè thüc d÷ìng kho£ng mð (0, 2η/L2 ) 2.3.1 B i to¡n chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu Cho Ci , i = 0, 1, , N , l cĂc têp lỗi, õng v khĂc rộng cừa Hi , tữỡng ựng GiÊ sỷ rơng SF P := C0 ∩ (∩N i=1 Ai (Ci )) ̸= Xt bi toĂn sau: Tẳm mởt phƯn tỷ p dửng nh lỵ 2.2.6 cho T i = P Ci p∗ ∈ ΩSF P vỵi måi (2.19) i = 0, 1, , N , ta nhªn ữủc nh lỵ sau  giÊi Bi toĂn (2.19) nh lỵ 2.3.1 Náu dÂy {tn} thọa mÂn cĂc iÃu kiằn kiằn (A) C1) v C2), v náu iÃu úng, thẳ d¢y {un } x¡c ành bði u0 ∈ H0 v  = un − τInd(n),n A∗Ind(n) (I HInd(n) − P CInd(n) )AInd(n) un , un+1 = (I H0 − tn F)vn , n 0, hởi tử mÔnh và mët ph¦n tû p∗ ∈ ΩSF P l  nghi»m nhĐt cừa bĐt ng thực bián phƠn VIP(F, SF P ) 2.3.2 B i to¡n khỉng iºm chung t¡ch vỵi a têp Ưu Cho Bi : Hi 2Hi , i = 0, 1, , N , l cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v giÊ sû r¬ng −1 ΩSCZP P := Zer(B0 ) ∩ (∩N i=1 Ai (Zer(Bi ))) ̸= ∅ 36 X²t b i toĂn sau: Tẳm mởt phƯn tỷ p dửng nh lỵ 2.2.6 cho Ti = JrBi p∗ ∈ ΩSCZP P vỵi måi i = 0, 1, , N , (2.20) â r l  mët sè thüc dữỡng cho trữợc, ta nhên ữủc nh lỵ sau  xĐp x nghiằm cừa Bi toĂn (2.20) nh lỵ 2.3.2 Náu dÂy {tn} thọa mÂn cĂc iÃu kiằn kiằn (A) C1) v C2), v náu iÃu úng, thẳ dÂy {un } x¡c ành bði u0 ∈ H0 v  B = un − τInd(n),n A∗Ind(n) (I HInd(n) − J r Ind(n) )AInd(n) un , un+1 = (I H0 − tn F)vn , n 0, hởi tử mÔnh và mët ph¦n tû p∗ ∈ ΩSCZP P , l  nghi»m nhĐt cừa bĐt ng thực biản phƠn VIP(F, SCZP P ) 2.4 V½ dư sè minh håa Ta x²t bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu khổng gian Euclid hỳu hÔn chiÃu v so sĂnh thuêt toĂn à cêp nh lỵ 2.3.1 vợi mởt số thuêt toĂn trữợc õ cừa Reich v cĂc cởng sü (Thuªt to¡n (1.5) v  Thuªt to¡n (1.6) t i liằu [9], v vợi cĂc thuêt toĂn ữủc xĂc nh c¡c H» qu£ 4.3 v  H» qu£ 4.4 cõa t i li»u [10]) Tr÷íng hđp A R30 v  R40 , Cho Ci , i = 0, 1, 2, 3, l  cĂc têp lỗi v õng cừa tữỡng ựng GiÊ sỷ rơng têp Ci R10 , R20 , ữủc x¡c ành bði Ci = {x ∈ R10(i+1) : ⟨ai , x⟩ ≤ bi }, â, c¡c tåa ë cõa v²c tì kho£ng âng Cho [−1, 2] v  [0, 1], v số thỹc bi ữủc chồn ngău nhiản cĂc tữỡng ựng, vợi mồi Ai : R10 R10i , i = 1, 2, 3, i = 0, 1, 2, l cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn vợi cĂc phƯn tỷ cừa ma biu diạn ữủc chồn ngău nhiản khoÊng õng [5, 5] 37 Dạ dng kim tra ữủc rơng SF P = C0 ∩ (∩N i=1 Ai (Ci )) ̸= ∅ v¼ ∈ ΩSF P C¡c tham sè i·u khin cho mội thuêt toĂn (phữỡng phĂp lp) ữủc chồn nhữ sau: Thuêt toĂn (thuêt toĂn nh lỵ 2.3.1): = 0.15, tn = (n + 1)0.5 , ρn = 0.25 n ≥ 0, ˆ v  v  F x = 2x ai,n = 10−3 vỵi måi vỵi måi x ∈ R10 , i = 0, 1, 2, 3, Ind(n) = n mod Thuêt toĂn (Phữỡng phĂp l°p (1.5) t i li»u [9]): Tham sè γn ÷đc n ữủc chồn nhữ sau n = vợi mồi 5(∥A1 ∥2 + ∥A2 ∥2 + ∥A3 ∥2 ) n Thuêt toĂn (Phữỡng phĂp lp (1.6) t i li»u [9]): Tham sè chån nh÷ sau γn = αn = (n + 1)−0.5 ˆ vỵi måi ∥2 , + ∥A2 ∥2 + ∥A3 ∥2 ) v  f (x) = 0.85x 5(∥A1 n≥0 f(x) = 0.85x vỵi måi vỵi måi i = 0, 1, 2, βi,n = 0.25, v  måi måi n ≥ 0, v  x R10 Thuêt toĂn (Phữỡng phĂp lp H» qu£ 4.4 cõa [10]): αn = (n + 1)−0.5 vỵi måi i = 0, 1, 2, v  måi n ≥ 0, v  θi,n = 10−3 , f(x) = 0.85x vợi x R10 Vợi phƯn tỷ ban Ưu õng x R10 Thuêt toĂn (Phữỡng ph¡p l°p H» qu£ 4.3 cõa [10]): θi,n = 10−3 , αn = (n + 1)−0.5 ˆ vỵi måi [5, 10], u0 , câ c¡c tåa ë ÷đc sinh ngău nhiản khoÊng v sỷ dửng quy tưc dứng Σn < ϵ cho c¡c qu¡ tr¼nh l°p, â Σn = (∥un − P C0 un ∥2 + ∥A1 un − P C1 A1 un ∥2 38 + ∥A2 un − P C2 A2 un ∥2 + ∥A3 un − P C3 A3 un ∥2 ) v  l mởt sai số cho trữợc, ta nhên ữủc bÊng kát quÊ số dữợi Ơy Thuêt toĂn Thuêt toĂn Thuªt to¡n Thuªt to¡n Thuªt to¡n Thuêt toĂn = 106 n 5.3808 ì 107 9.8942 × 10−7 9.9919 × 10−7 8.9760 × 10−7 5.7039 × 10−7 ϵ = 10−7 Σn 7.5184 × 10−9 9.9106 × 10−8 9.8539 × 10−8 7.6119 × 10−8 4.9975 × 10−8 n 59 857 916 132 65 n 60 956 1019 139 68 B£ng 2.1: B£ng k¸t qu£ sè cho Tr÷íng hđp A D¡ng i»u cõa h m Σn B£ng 2.1 ữủc mổ tÊ hẳnh dữợi Ơy 10 Our new algorithm in Theorem 4.1 The iterative method (1.5) in [5] The iterative method (1.6) in [5] The iterative method in Corollary 4.3 of [7] The iterative method in Corollary 4.4 of [7] 10 10 −2 Σ 10 −4 10 −6 10 −8 10 −10 10 200 400 600 800 1000 1200 Number of iterations H¼nh 2.1: D¡ng i»u cõa h m Σn vỵi i·u ki»n døng n < 107 Trữớng hủp B Tiáp theo,  thĐy ró hỡn và sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn mợi cừa Reich v Tuyen, ta xt bi toĂn trản vợi v  âng cõa R3 , R6 , R8 v  R12 , Ci , i = 0, 1, 2, 3, t÷ìng ựng, v l cĂc têp lỗi Ai : R3 → R3(i+1) , i = 1, 2, 3, l  c¡c toĂn tỷ tuyán tẵnh b chn vợi cĂc phƯn tỷ cừa ma biu diạn ữủc chồn ngău nhiản kho£ng âng [−5, 5] 39 p dưng thuªt to¡n nh lỵ 2.3.1) cho = 0.15, tn = (n + 1)−0.5 måi n ≥ 0, v  vỵi , ρn = 0.25 Ind(n) = n mod 4, v  F x = 2x ai,n = 10−3 u0 u0 = (6, 2, 3) u0 = (4, 8, 9) u0 = (1, 7, 4) u0 = (5, 5, 7.5) Σn = ∥un ∥2 < ϵ x ∈ R3 , i = 0, 1, 2, vỵi måi {un } 0, hëi tư v· v  â º døng qu¡ tr¼nh l°p ϵ = 10−7 Σn 9.9288 × 10−8 9.7064 × 10−8 9.9234 × 10−8 9.7972 × 10−8 n 299 301 251 304 un (30.204, 2.3779, 8.6544) × 10−5 (29.399, 5.1627, 8.9241) × 10−5 (26.317, 15.955, 6.7187) × 10−5 (29.754, 3.2287, 9.1622) × 105 BÊng 2.2: BÊng kát quÊ số cho Trữớng hủp B DĂng iằu cừa nghiằm xĐp x un ữủc mổ tÊ hẳnh dữợi Ơy The exact solution (0,0,0) u0=(6,2,3) u0=(4,8,9) u =(1,7,4) u =(5,5,7.5) 6 5 4 3 2 1 v ta nhên ữủc bÊng kát quÊ số dữợi Ơy (BÊng 2.1) Chú ỵ rơng, trữớng hủp ny, dÂy ta sỷ dửng iÃu kiằn vợi mồi Hẳnh 2.2: DĂng iằu cừa hm un vợi iÃu kiằn dứng n < 107 40 Kát luên Luên vôn  trẳnh by lÔi mởt cĂch khĂ chi tiát v hằ thống và cĂc vĐn à sau: Mởt số tẵnh chĐt c trững cừa khổng gian Hilbert; nh xÔ khỉng gi¢n v  to¡n tû ìn i»u khỉng gian Hilbert; BĐt ng thực bián phƠn khổng gian Hilbert; Bi toĂn chĐp nhên tĂch vợi a têp Ưu khổng gian Hilbert; CĂc kát quÊ cõa Reich S v  Tuyen T.M t i li»u [13] bĐt ng thực bián phƠn trản têp nghiằm cừa bi toĂn im bĐt ởng chung tĂch vợi a têp Ưu khổng gian Hilbert; XƠy dỹng mởt vẵ dử số ỡn giÊn trản MATLAB nhơm minh hồa thảm cho ph÷ìng ph¡p 41 T i li»u tham kh£o [1] Agarwal R P., O'Regan D., Sahu D R (2009), Lipschitzian-type Mappings with Applications, [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Operator Theory in Hilbert spaces, Fixed Point Theory for Springer Convex Analysis and Monotone Springer [3] Censor Y., Elfving T (1994), A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, [4] Goebel K., Kirk W.A (1990), Numer Algorithms, (2-4), pp 221239 Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- bridge Stud Adv Math 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [5] Hartman P., Stampacchia G (1966), On some nonlinear elliptic differential functional equations Acta Math., 115 , pp 271310 [6] Kinderlehrer D., Stampacchia G (1980), inequalities and their applications, An introduction to variational Academic Press, New York [7] Nakajo K., Takahashi W (2003), Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups, 279 J Math Anal Appl., , pp 372-379 [8] Reich S., Tuyen T M (2020), Iterative methods for solving the generalized split common null point problem in Hilbert spaces, 10131038 Optimization, 69 , pp 42 [9] Reich S., Tuyen T M., Ha M.T.N (2020), The split feasibility problem with multiple output sets in Hilbert spaces, Optimization Letters, 14 , pp 23352353 [10] Reich S., Tuyen T.M (2021), Two new self-adaptive algorithms for solving the split common null point problem with multiple output sets in Hilbert spaces, J Fixed Point Theory Appl 23, 16 [11] Reich S., Tuyen T.M., H, M.T.N (2021), An optimization approach to solving the split feasibility problem in Hilbert spaces, J Glob Optim 79 , pp 837852 [12] Reich S., Tuyen T.M (2021), Projection Algorithms for Solving the Split Feasibility Problem with Multiple Output Sets, J Optim Theory Appl, 190, pp 861878 [13] Reich S., Tuyen T.M (2022), A generalized cyclic iterative method for solving variational inequalities over the solution set of a split common fixed point problem", Numer Algor, 91, pp 117 [14] Reich S., Tuyen T.M., Thuy N.T.T., Ha M.T.N (2022), A new self-adaptive algorithm for solving the split common fixed point problem with multiple output sets in Hilbert spaces, Numer Algor, 89, pp 10311047 [15] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 341 , pp 276-286 [16] Xu H.-K (2006), Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators, J Math Anal Appl., 314 , pp 631643 [17] Yamada I (2001), The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings, 43 Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, , pp 473-504