Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách

1 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách BÙI THỊ THU HUỆ hue.btt211302m@sis.hust.edu.vn Ngành Toán Tin Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Viện: Toán ứng dụng Tin học HÀ NỘI, 03/2023 Chữ kí GVHD Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng năm 2023 Học viên Bùi Thị Thu Huệ Xác nhận Xác nhận Viện nghiên cứu người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Đại học Bách khoa Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn khích lệ tơi q trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Đại học Bách khoa Hà Nội, Phòng đào tạo sau đại học, Viện Tốn ứng dụng Tin học, thầy động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Cuối tác giả xin cảm ơn động viên hỗ trợ gia đình, bạn bè suốt trình học tập nghiên cứu Tóm tắt nội dung luận văn Giới thiệu chấp nhận tách, toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không gian Hilbert thực Trình bày phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách hội tụ mạnh phương pháp Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách không gian Hilbert thực Đưa tính tốn ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp áp dụng giải tốn điều khiển tối ưu tuyến tính Học viên Bùi Thị Thu Huệ Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân toán chấp nhận tách không gian Hilbert 12 1.1 Không gian Hilbert thực 13 1.1.1 Định nghĩa 13 1.1.2 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh không gian Hilbert 13 1.1.3 Một số tính chất khơng gian Hilbert 14 Tốn tử khơng gian Hilbert 16 1.2.1 Ánh xạ không giãn toán tử chiếu 16 1.2.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn 20 1.2.3 Toán tử đơn điệu, toán tử liên tục 21 Bài toán bất đẳng thức biến phân toán chấp nhận tách 22 1.2 1.3 1.3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 22 1.3.2 Bài toán chấp nhận tách 25 Chương Một phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách 30 2.1 Phát biểu toán 31 2.2 Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến 2.3 phân tập nghiệm toán chấp nhận tách 31 2.2.1 Mô tả phương pháp 31 2.2.2 Sự hội tụ 33 Nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách 40 Chương Áp dụng ví dụ minh họa 42 3.1 Ví dụ minh họa 42 3.2 Áp dụng giải toán điều khiển tối ưu tuyến tính 48 3.2.1 Thuật toán 48 3.2.2 Ví dụ 49 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực ∀x với x x∈D x thuộc tập D hx, yi tích vơ hướng x y kxk chuẩn Euclide x A∗ toán tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T PC phép chiếu trực giao (mêtric) lên tập C VIP(F, C) toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C Sol(F, Ω) tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP(F, Ω) SFP toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) Danh sách bảng √1 k+2 3.1 Kết số cho Ví dụ 3.1.1 với αk = 3.2 Bảng kết cho ví dụ 3.1.1 với tham số đầu vào khác 44 3.3 Bảng kết cho ví dụ 3.1.2 với lần lặp khác 46 3.4 Bảng kết cho ví dụ 3.1.2 với sai số khác 46 3.5 Bảng kết cho ví dụ 3.1.2 với dãy tham số αk khác 47 3.6 Bảng kết cho ví dụ 3.2.2 với tham số đầu vào khác 50 44 Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa phép chiếu mêtric 17 1.2 Minh họa thuật toán chiếu gradient 23 1.3 Minh họa thuật toán CQ 26 1.4 Minh họa mơ hình chụp X-quang 28 3.1 Dáng điệu dãy {xk } Ví dụ 3.1.1 45 3.2 Dáng điệu dãy {xk } Ví dụ 3.1.2 47 Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng h·, ·i chuẩn k·k Cho Ω tập lồi, đóng, khác rỗng H ánh xạ F : Ω → H Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) không gian Hilbert thực H với ánh xạ F tập ràng buộc Ω, viết tắt VIP(F, Ω), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ Ω cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ với x ∈ Ω (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (Lions Stampacchia, 1967 [21]; Stampacchia, 1964 [25]), nghiên cứu đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân ln chủ đề nghiên cứu mang tính thời sự, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vai trị quan trọng tốn lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế Bất đẳng thức biến phân công cụ quan trọng để nghiên cứu toán cân chẳng hạn toán cân mạng giao thơng [15], [24], tốn cân thị trường độc quyền nhóm, tốn cân tài [23] tốn cân di cư [8], [18] Những năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng toán số ngành khoa học nghiên cứu mở rộng thành dạng 10 tổng qt tốn cân bằng, tốn tìm nghiệm chung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp v.v Trong thực tế, có mơ hình, chẳng hạn mơ hình IMRT (Intensity– Modulated Radiation Therapy) xạ trị liệu (xem [10, 11]) u cầu tìm nghiệm tốn khơng gian cho ảnh qua tốn tử tuyến tính bị chặn nghiệm tốn khơng gian khác Bài tốn có tên tốn chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) Bài toán chấp nhận tách, viết tắt (SFP), phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho A(x∗ ) ∈ Q, (SFP) đây, C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế tốn xử lý tín hiệu khơi phục ảnh (xem [7]), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem [10, 11]), hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi Cho đến nhiều vấn đề khó bất đẳng thức biến phân cần quan tâm nghiên cứu với công cụ toán học đại Một hướng nghiên cứu quan trọng quan tâm nghiên cứu xây dựng phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm tốn chấp nhận tách Do đó, đề tài luận văn nhằm nghiên cứu phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP) với tập ràng buộc Ω tập nghiệm toán chấp nhận tách (SFP) 39 Do đó, theo Bổ đề 1.2.10, tồn số nguyên, dãy không giảm {ν(k)} cho k ≥ k0 (với số k0 đủ lớn) cho ν(k) → ∞ k → ∞, kxν(k) − u∗ k ≤ kxν(k)+1 − u∗ k kxk − u∗ k ≤ kxν(k)+1 − u∗ k (2.20) với k ≥ Từ (2.9) với k thay ν(k), có: < kxν(k)+1 − u∗ k2 − kxν(k) − u∗ k2 ≤ 2αν(k) hT u∗ − u∗ , xν(k)+1 − u∗ i Vì αν(k) → dãy {xν(k) } bị chặn, kết luận rằng:
lim kxν(k)+1 − u∗ k2 − kxν(k) − u∗ k2 = k→∞ (2.21) Bằng lập luận tương tự Trường hợp 1, thu được:   lim I H1 − PC xν(k) = k→∞   lim I H2 − PQ Ay ν(k) = k→∞ Ngoài thu được:   kxν(k)+1 − u∗ k2 ≤ − (1 − τ )αν(k) kxν(k) − u∗ k2 + 2αν(k) hT u∗ − u∗ , xν(k)+1 − u∗ i, lim supn→∞ hT u∗ − u∗ , xν(k)+1 − u∗ i ≤ Vì bất đẳng thức biến phân thứ (2.20) αν(k) > 0, ta có (1 − τ )kxν(k) − u∗ k2 ≤ 2hT u∗ − u∗ , xν(k)+1 − u∗ i Do đó, từ lim supn→∞ hT u∗ − u∗ , xν(k)+1 − u∗ i ≤ τ ∈ [0, 1), nhận limk→∞ kxν(k) − u∗ k2 = Điều với (2.21) ngụ ý limk→∞ kxν(k)+1 − u∗ k2 = Cùng với bất đẳng thức thứ hai (2.20) ngụ ý limk→∞ kxk − u∗ k = Định lý chứng minh  40 2.3 Nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách Xét trường hợp đặc biệt Thuật toán 2.2.2 Định lý 2.2.3 ánh xạ T : H1 → H1 ánh xạ khơng Khi đó, tốn VIP(I H1 − T, Ω) trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách (SFP) Từ Thuật toán 2.2.2 ta thu thuật toán sau Thuật toán 2.3.1 Bước Chọn điểm ban đầu x1 ∈ H1 dãy {αk } thỏa mãn điều kiện (B1), {βk } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1), {ρk } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1), {κk } ⊂ [e, f ] ⊂ (0, K) với K > Đặt k := Bước Tính y k = βk xk + (1 − βk )PC xk Bước Tính z k = PQ Ay k Bước Tính v k = y k + γk A∗ (z k − Ay k ) với γk xác định (2.3) Bước Tính xk+1 = (1 − αk )v k Bước Đặt k := k + quay lại Bước Hệ 2.3.2 Giả sử điều kiện (A3) thỏa mãn Khi đó, dãy {xk } xác định Thuật toán 2.3.1 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách SFP, giả thiết tập nghiệm Ω toán SFP khác rỗng Năm 2017, Phạm Kỳ Anh cộng [5] đề xuất thuật toán sau xk+1 = (1 − αk )PC xk + γk A∗ PQ Axk − Axk

, k ≥ 1, (2.22) 41 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ toán (SFP) với dãy tham số {αk } {γk } thỏa mãn điều kiện sau αk ⊂ (0, 1), αk → k → ∞, ∞ X αk = ∞ (2.23) k=1 < a1 ≤ γk ≤ a2 < kAk2 + (2.24) 42 Chương Áp dụng ví dụ minh họa Chương nghiên cứu áp dụng tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách đưa ví dụ số minh họa Bố cục chương chia thành hai mục Mục thứ đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách Mục thứ hai trình bày áp dụng giải tốn điều khiển tối ưu tuyến tính thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách Phần ví dụ số minh họa kết nghiên cứu tác giả với chương trình tính tốn viết ngơn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính Lenovo thinkpad, CORE i5-6200U, RAM 8GB 3.1 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.1.1 Đầu tiên ta xem xét ví dụ không gian Hilbert thực hữu hạn chiều Cho H1 = H2 = R4 , F = I H1 −T với x = (x1 , x2 , x3 , x4 )> ∈ R4 , xét tốn tử tuyến tính bị chặn: 43 A : R4 → R4 x 7→ Ax = (x1 , −x2 , 2x3 + x4 , x3 − 2x4 ) Chọn C ⊂ R4 cho C = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | 2x1 + x2 − 2x3 ≤ 0} Chọn Q ⊂ R4 cho Q = {y = (y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ R4 | − y1 + 3y2 + y3 + 2y4 ≤ 0} Ánh xạ co: T : R4 → R4  x 7→ T (x) =  1 1 x1 , x2 , x3 , x4 2 2 Từ Thuật toán 2.2.2 Định lý 2.2.3 ta thu thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách tức VIP(I H1 − T, Ω) Tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ C | Ax∗ ∈ Q} SFP khác rỗng Bây giờ, ta lấy xˆ ∈ Ω = {ˆ x ∈ C | Aˆ x ∈ Q} Khi đó, xˆ = (ˆ x1 , xˆ2 , xˆ3 , xˆ4 )> ∈ R4 , thỏa mãn:   2ˆ x1 + xˆ2 − 2ˆ x3 ≤ 0,  −ˆ x1 + 3(−ˆ x2 ) + (2ˆ x3 + xˆ4 ) + 2(ˆ x3 − 2ˆ x4 ) ≤ Nghiệm có chuẩn nhỏ hệ là: x∗ = (0, 0, 0, 0)> ∈ R4 44 Áp dụng Thuật toán 2.2.2 cho Ví dụ 3.1.2 với đầu vào thỏa mãn điều kiện Thuật toán 2.2.2 Chọn tham số thỏa mãn: Với αk = √1 , k+2 κk = 1000, ρk = 0.6, βk = 0.5, x0 = (−1, 3, 1, 2)> ∈ R4 , điều kiện dừng dãy lặp kxk −x∗ k ≤ err, chọn sai số err = 10−5 ta thu Bảng 3.1 k xk1 xk2 xk3 xk4 kxk − x∗ k -0.711303 2.133986 0.711412 1.422584 2.754941 -0.533468 1.600494 0.533597 1.066910 2.066202 -0.414177 1.242615 0.414298 0.828329 1.604184 190 -0.000003 0.000008 0.000003 0.000005 0.000010 Bảng 3.1: Kết số cho Ví dụ 3.1.1 với αk = √1 k+2 Sau thời gian thực thi 0.0125s ta nhận nghiệm xấp xỉ: x(190) = (−0.000003, 0.000008, 0.000003, 0.000005)> Bây ta tính tốn với dãy tham số đầu vào αk khác nhau, điều kiện dừng dãy lặp kxk+1 − x∗ k ≤ 10−5 Kết bảng tính tốn với xấp xỉ ban đầu x0 khác x0 = (−1, 3, 1, 2)> x0 = (11, 30, 15, 20)> Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) αk = (k+2)0.6 0.030731 441 0.031486 644 αk = k0.6 +2 0.035687 602 0.044581 852 αk = √1 k+2 0.012563 190 0.028519 259 Bảng 3.2: Bảng kết cho ví dụ 3.1.1 với tham số đầu vào khác 45 Hình 3.1: Dáng điệu dãy {xk } Ví dụ 3.1.1 Ví dụ 3.1.2 Bây giờ, xét ví dụ khơng gian Hilbert vơ R1 hạn chiều Xét H1 = H2 = L2 [0, 1] với tích vơ hướng hx, yi = x(t)y(t) dt R 1/2 chuẩn kxk = x (t) dt với x, y ∈ L2 [0, 1] Chúng ta xét tốn (SFP) tập C ⊂ L2 [0, 1], Q ⊂ L2 [0, 1] tốn tử tuyến tính bị chặn A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] định nghĩa sau:   C = x ∈ L2 [0, 1] | ha, xi = , a(t) = t2 , 18   Q = y ∈ L [0, 1] | hb, yi ≥ , b(t) = (t + 1), 40 x(t) (Ax) (t) = Xét trường hợp đặc biệt ánh xạ co T ánh xạ khơng, tốn trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách (SFP)
Ta thấy tập nghiệm toán (SFP): Ω = C ∩ A−1 Q khác rỗng x(t) = t3 ∈ Ω Trong ví dụ ta xét hàm sai số k   k k k (k) = x − PC x + Ax − PQ Ax dãy lặp xk+1 xác định Thuật tốn 2.3.1 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách Khi ta thay đổi dãy tham số {αk } ảnh hưởng đến số lần lặp để đạt nghiệm xấp xỉ toán với sai số cho trước 3.2 3.2.1 Áp dụng giải tốn điều khiển tối ưu tuyến tính Thuật toán Trong phần này, tác giả áp dụng thuật toán đề xuất để giải toán chấp nhận tách xuất phát từ toán điều khiển tối ưu Đồng thời, tác giả thực số so sánh Thuật toán 2.3.1 với Thuật toán 2.22 đề xuất Phạm Kỳ Anh cộng [5] Cho Ai Bi , i = 0, 1, , N − 1, ma trận thực kích thước n × n and n × m Xét tốn điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc có dạng    xi+1 = Ai+1 xi + Bi+1 ui ,        ui ∈ Ci , i = 0, 1, , N − 1, (3.1)  x = 0, x ∈ Q,  N    NP −1    kui k2 → min,  J(x, u) := i=0 ui Ci ⊂ Rm , i = 0, 1, , N − 1, Q ⊂ Rn tập lồi đóng mơ tả ràng buộc điều khiển ràng buộc trạng thái Xây dựng ma trận kích thước n × N m F := [F0 , F1 , , FN −1 ] , 49 Fi := AN AN −1 Ai+2 Bi+1 , i = 0, 1, , N − 2, FN −1 = BN , định nghĩa tập C := C0 × C1 × · · · × CN −1 ⊂ Rm × Rm × · · · × Rm Đặt u := (u0 , u1 , , uN −1 ) vector điều khiển ui , i = 0, 1, , N − 1, P −1 kuk2 := N i=0 kui k Khi đó, tốn (3.1) trở thành tốn chấp nhận tách (SFP): Tìm u∗ = argmin {kuk | u ∈ C, F u ∈ Q} Theo thuật toán 2.3.1 (2.22), chọn u0 ∈ RN m tuỳ ý giả sử tìm uk Xấp xỉ cho toán (3.1) xác định sau   y k = βk uk + (1 − βk )PC uk  uk+1 = (1 − α ) yk + γ F > P Fyk − Fyk

, k k (3.2) Q uk+1 = (1 − αk )PC uk + γk F > PQ F uk − F uk

, (3.3)
P −1 PC u = PC0 u0 , PC1 u1 , , PCN −1 uN −1 F u = N i=0 Fi ui 3.2.2 Ví dụ Ta xét toán điều khiển tối ưu sau:    x˙ = x + u, t ∈ (0, 1),        x(0) = 0, x(1) = 1,  |u(t)| ≤ 1,     R1    J(x, u) :=  u (t) dt → u(t) Ta thấy điều khiển tối ưu toán uopt (t) = e−t sinh (1) Để xấp xỉ nghiệm cho tốn này, ta tiến hành rời rạc hóa toán cách chia đoạn (0,1) thành N phần với cỡ lưới h = 1/N , xấp xỉ x(t ˙ i) ≈ xi+1 −xi , h ta 50 toán (3.1), với Ai+1 = + h, Bi+1 = h, Fi = h(1 + h)N −i−1 , Ci = [−1, 1], i = 0, 1, , N − 1, Q = [1 − , + ], chọn  = 10−6 Tính tốn dãy lặp {uk } sinh thuật toán (3.2) xấp xỉ đủ tốt cho e−t sinh (1) điểm lưới ti = ih, i = 0, 1, , N − P −1 k 1/2 Thật vậy, định nghĩa hàm sai số xấp xỉ ε(k) := ( N , i=0 (ui − uopt (ti )) ) điều khiển tối ưu uopt (t) = chọn αk = k+1 , ρk = 0.3, βk = 0.4 với k ≥ 0, ta thu kết sau k = 4850 vòng lặp, sai số ε(k) = 0.00547 N = 103 κk = 10−12 với k ≥ 0, kết phù hợp với sai số O(h) Bây giờ, so sánh Thuật toán (3.2) tác giả Thuật toán (3.3) Phạm Kỳ Anh cộng với h = 10−3 , ta chọn tham số sau: • Thuật toán (3.2): dãy tham số αk = k+1 , ρk = 0.9, βk = 0.4, κk = 10−12 k+1 , γk = 0.9, với với k ≥ 0, với k ≥ • Thuật tốn (3.3): dãy tham số αk = ta thu kết tính trình bày bảng sau ε(k) < 0.006 x1 (t) = 1+10k2 x1 (t) = 1+10k Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) Thời gian (s) Số vịng lặp (k ) Thuật tốn (3.2) 0.70383 1167 0.65135 1290 Thuật toán (3.3) 270.92 552530 267.02 552615 Bảng 3.6: Bảng kết cho ví dụ 3.2.2 với tham số đầu vào khác Nhận xét 3.2.1 Trong trường hợp này, ta thấy Thuật toán (3.2) hiệu Thuật toán (3.3) Phạm Kỳ Anh cộng [5] mặt số vịng lặp thời gian tính tốn 51 Kết luận Luận văn đạt mục tiêu đề “Nghiên cứu phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực; đưa tính tốn ví dụ minh họa áp dụng giải tốn điều khiển tối ưu tuyến tính.” Kết luận văn Luận văn trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực, số áp dụng trường hợp đặc biệt Cụ thể: Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân, toán chấp nhận tách khơng gian Hilbert, trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực số tốn tử khơng gian Trình bày phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán chấp nhận tách hội tụ mạnh phương pháp Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực Đưa ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp giải toán áp dụng giải toán điều khiển tối ưu tuyến tính 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [2] Nguyễn Thị Bạch Kim, Giáo trình Các phương pháp tối ưu, Nhà xuất Đại học Bách khoa Hà Nội, 2008 [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình Tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [4] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2018 Tiếng Anh [5] P K Anh, T V Anh, L D Muu, “On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications”, Acta Mathematica Vietnamica, (42), pp 413–429, 2017 [6] C Byrne, "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, (18)(2), pp 441–453, 2002 53 [7] C Byrne, "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Problems, (18), pp 103– 120, 2004 [8] C Baiocchi, A Capelo, Variational and Quasivariational Inequalities, Applications to Free Boundary Problems, J Wiley, New York, 1984 [9] Biao Qu, Binghua Liu (2018), The Split Feasibility Problem and Its Solution Algorithm, Mathematical Problems in Engineering, 2018 [10] Y Censor, T Elfving, N Kopf, T Bortfeld, "The multiple-sets split feasibility problem and its application", Inverse Problems, (21), pp 2071– 2084, 2005 [11] Y Censor, T Bortfeld, B Martin, A Trofimov, "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol., (51), pp 2353–2365, 2006 [12] Y Censor, A Gibali, S Reich, "The Subgradient Extragradient Method for Solving Variational Inequalities in Hilbert Space",Numer Algorithms, (148), pp 318–335, 2011 [13] Y Censor, T Elfving, "A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms, (8)(2-4), pp 221– 239, 1994 [14] Y Censor, A Gibali, S Reich, "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algorithms, (59), pp 301–323, 2012 [15] S Dafermos, "Traffic equilibrium and variational inequalities", Transportation Science, (14), pp 42–54, 1980