Khổng gian Hilbert thỹc
ành nghắa
ành nghắa 1.1.1 (xem [4]) Khổng gian tuy‚n t‰nh thỹc X ữổc gồi l mºt khổng gian ti•n Hilbert hay cặn gồi l khổng gian cõ t‰ch vổ hữợng, n‚u trản X xĂc ành ữổc mºt h m thỹc hai bi‚n, kỵ hiằu l hx 1 ; x 2 i v ữổc gồi l t‰ch vổ hữợng cıa x 1 v x 2 , n‚u thọa mÂn cĂc i•u kiằn sau:
(ii) vợi mồi x1; x2; x3 2 X; hx1 + x2; x3i = hx1; x3i + hx2; x3i;
(iii) vợi mồi x1; x2 2 X v sŁ thỹc bĐt ký, h x1; x2i = hx 1 ; x 2 i;
(iv) vợi mồi x 2 X; hx; xi 0 v hx; xi = 0 khi v ch¿ khi x = 0. ành nghắa 1.1.2 (xem [4]) (i) N‚u1 h:; :i l mºt t‰ch vổ hữợng trản X th… Ănh x⁄ bi‚n x 2 X th nh hx; xi 2 l mºt chu'n trản X, gồi l chu'n sinh bði t‰ch vổ hữợng, kỵ hiằu l :
(ii) N‚u h:; :i l t‰ch vổ hữợng trản X th… c°p (X,h:; :i) l mºt khổng gian ti•n Hilbert. ành nghắa 1.1.3 (xem [4]) Mºt khổng gian ti•n Hilbert ƒy ı ữổc gồi l khổng gian Hilbert.
Kỵ hiằu khổng gian Hilbert l H.
Sỹ hºi tử y‚u, hºi tử m⁄nh trong khổng gian Hilbert 13
Cho H l mºt khổng gian Hilbert thỹc vợi t‰ch vổ hữợng v chu'n ữổc kỵ hiằu tữỡng ứng l h:; :i v k:k. ành nghắa 1.1.4 (xem [4]) (a) DÂy fx n g trong H ữổc gồi l hºi tử y‚u ‚n phƒn tò x 2 H n‚u vợi mồi y 2 H ta cõ: lim hxn; yi = hx; yi: n!1
(b) DÂy fxng trong H ữổc gồi l hºi tử m⁄nh ‚n phƒn tò x 2 H n‚u lim kxn xk = 0: n!1
(i) xn * x nghắa l dÂy fxng hºi tử y‚u ‚n x;
(ii) xn ! x nghắa l dÂy fxng hºi tử m⁄nh ‚n x.
(iii) ww(xn) = x : 9 xn j * x l t“p w-giợi h⁄n y‚u cıa dÂy fxng.
Nh“n x†t 1.1.5 Trong khổng gian Hilbert thỹc H, n‚u dÂy fx n g hºi tử y‚u ‚n x0 2 H v dÂy fkxnkg hºi tử ‚n kx0k th… dÂy fxng hºi tử m⁄nh x0 2 H Th“t v“y, vợi mồi n, ta cõ kx n x 0 k 2 = hx n kxnk2 x0; xn x0i h x 0 ; x n i h xn; x0i + kx0k2:
Tł gi£ thi‚t, suy ra: lim kxnk2 = kx0k2; n!1 lim hx n ; x 0 i n!1
= kx0k2; lim hx0; xni = kx0k2: n!1
Mºt sŁ t‰nh chĐt cıa khổng gian Hilbert
Mửc n y tr…nh b y mºt sŁ t‰nh chĐt cıa khổng gian Hilbert ữổc sò dửng trong cĂc chứng minh cıa lu“n vôn. ành lỵ 1.1.6 (xem [4]) Cho H l mºt khổng gian Hilbert thỹc Khi õ,
(i) jhx; yij kxk kyk vợi mồi x; y 2 H (bĐt flng thức Cauchy Schwartz);
(ii) kx + yk 2 + kx yk 2 = 2(kxk 2 + kyk 2 ) ( flng thức h…nh b…nh h nh);
(iii) N‚u lim x n = a, lim y n = b th… lim hx n ; y n i = ha; bi. n!1 n!1 n!1 ành lỵ 1.1.7 (xem [4]) Trong khổng gian Hilbert thỹc H ta luổn cõ
(i) kx + yk 2 = kxk 2 + kyk 2 + 2hx; yi vợi mồi x; y 2 H;
(ii) kx yk2 = kxk2 + kyk2 2hx; yi vợi mồi x; y 2 H;
(iii) ktx + (1 t)yk 2 = tkxk 2 + (1 t)kyk 2 t(1 t)kx yk 2 vợi mồi t 2 [0; 1] v mồi x; y 2 H. ành lỵ 1.1.8 (xem [4]) Trong khổng gian Hilbert thỹc H ta luổn cõ flng thức sau kx yk 2 + kx zk 2 = ky zk 2 + 2hx y; x zi; vợi mồi x; y; z 2 H.
Chứng minh Th“t v“y, ta cõ: ky zk 2 + 2hx y; x zi = hy; yi + hz; zi + 2hx; xi 2hx; zi 2hx; yi
= (hx; xi 2hx; yi + hy; yi) + (hx; xi 2hx; zi + hz; zi)
Mºt sŁ t‰nh chĐt sau Ơy ữổc sò dửng trong phƒn chứng minh cĂc ành lỵ hºi tử. ành lỵ 1.1.9 (xem [4]) Trong khổng gian Hilbert thỹc H ta cõ:
2hx; yi = kx + yk 2 k xk 2 k yk 2 = kxk 2 + kyk 2 k x yk 2 ; (1.1) v k x + (1 )yk 2 = kxk 2 + (1 )kyk 2 (1 )kx yk 2 (1.2) vợi mồi x; y 2 H v 2 [0; 1].
BŒ • 1.1.10 (xem [4]) Cho H l mºt khổng gian Hilbert v fxng l mºt dÂy trong H sao cho tỗn t⁄i t“p hổp C H khĂc rỉng thọa mÂn cĂc i•u kiằn:
(i) Tỗn t⁄i giợi h⁄n lim kx n zk vợi mồi z 2 C: n!1
(ii) N‚u dÂy con fx n k g cıa dÂy fx n g thọa mÂn x n k * x, th… x 2 C:
Khi õ, tỗn t⁄i x 2 C sao cho xn * x
ToĂn tò trong khổng gian Hilbert
nh x⁄ khổng giÂn v toĂn tò chi‚u
ành nghắa 1.2.1 (xem [4]) Cho C l mºt t“p con khĂc rỉng cıa khổng gian Hilbert thüc H.
(i) nh x⁄ T : C ! H ữổc gồi l Ănh x⁄ L-liản tửc Lipschitz trản C n‚u tỗn t⁄i h‹ng sŁ L 0 sao cho kT (x) T (y)k Lkx yk;
(ii) Trong (1.3), n‚u L 2 [0; 1) th… T ữổc gồi l ữổc gồi l Ănh x⁄ khổng giÂn.
Cho H l mºt khổng gian Hilbert thỹc, C l mºt t“p lỗi, õng, khĂc rỉng cıa
H Ta x†t h…nh chi‚u cıa mºt phƒn tò x 2 H lản C. ành nghắa 1.2.2 (xem [4]) Cho C l mºt t“p con lỗi, õng, khĂc rỉng trong khổng gian Hilbert thỹc H nh x⁄ PC : H ! C thoÊ mÂn k x P C ( )k = x min z C k x z k
2 ữổc gồi l toĂn tò chi‚u (ph†p chi‚u mảtric) lản C.
H…nh 1.1: Minh hồa v• ph†p chi‚u mảtric ành lỵ 1.2.3 (xem [4]) Cho C l mºt t“p con lỗi õng khĂc rỉng trong khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ vợi mồi x 2 H, tỗn t⁄i duy nhĐt phƒn tò y 2
2 i”m y 2 C thọa mÂn (1.4) l h…nh chi‚u cıa x trản C.
Sau Ơy l mºt v i v‰ dử v• toĂn tò chi‚u.
V‰ dử 1.2.4 GiÊ sò a; b 2 R N , a 6= 0 X†t nòa khổng gian C R N v m°t phflng Q R N cho bði
Khi õ toĂn tò chi‚u lản C v Q lƒn lữổt cho bði
V‰ dử 1.2.5 GiÊ sò : R 0 v h…nh cƒu ữổc xĂc ành bði
Khi õ, toĂn tò chi‚u lản D ữổc cho bði
: Mºt sŁ t‰nh chĐt cıa toĂn tò chi‚u lản t“p lỗi, õng, khĂc rỉng C trong khổng gian Hilbert thỹc H ữổc tr…nh b y trong cĂc bŒ • dữợi Ơy.
BŒ • 1.2.6 (xem [4]) Cho PC l toĂn tò chi‚u khổng gian Hilbert thỹc H lản t“p lỗi, õng, khĂc rỉng C cıa H.
(i) kPC (x) PC (y)k kx yk vợi mồi x; y 2 H.
(ii) hx y; PC (x) PC (y)i kPC (x) PC (y)k2 vợi mồi x; y 2 H.
Mằnh • dữợi Ơy cho ta mºt i•u kiằn cƒn v ı ” Ănh x⁄ PC tł H lản
Mằnh • 1.2.7 (xem [4]) Cho C l mºt t“p con lỗi õng cıa khổng gian
Hilbert H Khi õ, i•u kiằn cƒn v ı ” Ănh x⁄ PC : H ! C l ph†p chi‚u mảtric tł H lản C l hx PC (x); PC (x) yi 0 vợi mồi x 2 H v y 2 C: (1.5)
BŒ • 1.2.8 (xem [16]) (i) PC l toĂn tò khổng giÂn.
Kỵ hiằu Fix(T ) l t“p i”m bĐt ºng cıa Ănh x⁄ T , nghắa l :
BŒ • 1.2.9 (xem [16]) GiÊ sò T : C ! H l Ănh x⁄ khổng giÂn vợi C l t“p con lỗi, õng trong khổng gian Hilbert thỹc H Khi õ, Ănh x⁄ I H T l nòa õng trản C; nghắa l , n‚u dÂy fx k g bĐt ký trong C hºi tử y‚u tợi u 2 C v dÂy f(I H T )x k g hºi tử m⁄nh tợi y, suy ra (I H T )u = y.
Tł BŒ • 1.2.9, n‚u xk * u v (IH T )xk ! 0, th… u 2 Fix(T ).
BŒ • 1.2.10 (Maing†, [22]) Cho fskg l tỗn t⁄i mºt dÂy con fs k n g sao cho: dÂy sŁ thỹc khổng giÊm theo nghắa sk n sk n +1 vợi mồi n 0:
XĂc ành dÂy sŁ nguyản sau:
Khi õ (k) ! 1 khi k ! 1 v vợi mồi k k0, ta cõ: max f s (k) ; s k g s (k)+1 :
BŒ • 1.2.11 (xem [27]) Cho fskg l dÂy khổng Ơm thọa mÂn i•u kiằn sau: sk+1 (1 bk)sk + bkck; k 0; vợi fbkg v fckg l cĂc dÂy sŁ thỹc thọa mÂn:
ToĂn tò tuy‚n t‰nh bà ch°n
ành nghắa 1.2.12 (xem [4]) Cho hai khổng gian tuy‚n t‰nh X v Y trản
R nh x⁄ A : X ! Y ữổc gồi l Ănh x⁄ tuy‚n t‰nh (hay toĂn tò tuy‚n t‰nh) n‚u
(ii) A( x) = Ax vợi mồi x; y 2 X v mồi 2 R.
Hay A( x + y) = A(x) + A(y) vợi mồi x; y 2 X v mồi ; 2 R. ành nghắa 1.2.13 (xem [4]) (a) ToĂn tò tuy‚n t‰nh A tł khổng gian ành chu'n X v o khổng gian ành chu'n Y ữổc gồi l bà ch°n n‚u tỗn t⁄i mºt h‹ng sŁ M > 0 sao cho kAxk Mkxk; 8x 2 C: (1.6)
(b) H‹ng sŁ M > 0 nhọ nhĐt thọa mÂn (1.6) ữổc gồi l chu'n cıa toĂn tò
V‰ dử 1.2.14 Cho toĂn tò tuy‚n t‰nh A : R 2 ! R 2 xĂc ành bði
Ax = (2x1 + x2; x1 2x2) vợi mồi x = (x1; x2) 2 R 2 l toĂn tò tuy‚n t‰nh bà ch°n Bði v…: kAxk = p
5(x 1 2 + x 2 2 )(2x 1 + x 2 ) 2 + (x 1 2x 2 ) 2 5Suy ra kAk = p 5. ành nghắa 1.2.15 (xem [4]) Cho A l mºt toĂn tò tuy‚n t‰nh bà ch°n trong khổng gian Hilbert thỹc H ToĂn tò liản hổp A : H ! H cıa toĂn tò A ữổc xĂc ành bði hAx; yi = hx; A yi:
V‰ dử 1.2.16 Cho A : R 2 ! R 2 l toĂn tò tuy‚n t‰nh bà ch°n xĂc ành bði Ax
= (2x 1 + x 2 ; x 1 2x 2 ) vợi mồi x = (x 1 ; x 2 ) 2 R 2 Gồi A l toĂn tò liản hổp cıa A.
= h(x1; x2); (2y1 + y2; y1 2y2)i = hx; A yi; 8y 2 R 2 :V… A = A nản A l toĂn tò tỹ liản hổp.
ToĂn tò ỡn iằu, toĂn tò liản tửc 21 1.3 B i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn v b i toĂn chĐp nh“n tĂch 22
ành nghắa 1.2.17 (xem [20]) Cho H l mºt khổng gian Hilbert thỹc, C l mºt t“p con lỗi, õng, khĂc rỉng cıa H nh x⁄ T : C ! H ữổc gồi l : (i) nh x⁄ - ỡn iằu m⁄nh trản H n‚u tỗn t⁄i h‹ng sŁ > 0 sao cho: hT (x) T (y); x yi kx yk 2 8x; y 2 H;
(ii) nh x⁄ ỡn iằu m⁄nh ngữổc (ISM) trản H vợi hằ sŁ > 0 (hay - ỡn iằu m⁄nh ngữổc trản H) n‚u: hT (x) T (y); x yi kT (x) T (y)k 2 8x; y 2 H: ành nghắa 1.2.18 (xem [20]) Cho H l mºt khổng gian Hilbert thỹc, C l mºt t“p con lỗi, õng, khĂc rỉng cıa H nh x⁄ T : C ! H ữổc gồi l :
(i) nh x⁄ ỡn iằu trản H n‚u: hT (x) T (y); x yi 0 8x; y 2 H;
(ii) nh x⁄ giÊ ỡn iằu trản H n‚u: hT (x); y xi 0 =) hT (y); y xi 0 8x; y 2 H:
MŁi liản hằ giœa Ănh x⁄ ỡn iằu m⁄nh ngữổc vợi Ănh x⁄ khổng giÂn ữổc nảu trong bŒ • dữợi Ơy.
BŒ • 1.2.19 (xem [14]) Cho F : C ! H l Ănh x⁄ - ỡn iằu m⁄nh ngữổc trản C v > 0 thọa mÂn i•u kiằn 0 < 2 XĂc ành Ănh x⁄ T : C ! C bði:
T x = PC I H F x vợi mồi x 2 C: (1.7) Khi õ, T l Ănh x⁄ khổng giÂn trản C.
1.3 B i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn v b i toĂn chĐp nh“n t¡ch
B i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn
Cho H l mºt khổng gian Hilbert thỹc vợi t‰ch vổ hữợng h ; i v chu'n k k Cho l mºt t“p con l ỗi, õng, khĂc rỉng cıa H v Ănh x⁄ F : ! H, thữớng gồi l Ănh x⁄ giĂ B i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn (Variational
Inequality Problem) trong khổng gian Hilbert thỹc H vợi Ănh x⁄ F v t“p r ng buºc , vi‚t t›t l VIP(F; ), ữổc phĂt bi”u nhữ sau:
T…m x 2 sao cho hF (x ); x x i 0 vợi mồi x 2 : (VIP)T“p nghiằm cıa b i toĂn (VIP) ữổc kỵ hiằu l Sol(F; ) Sỹ tỗn t⁄i v t‰nh duy nhĐt nghiằm cıa b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn VIP(F; ) phử thuºc v o t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ gi¡ F v t“p r ng buºc
Sỹ tỗn t⁄i duy nhĐt nghiằm cıa b i toĂn VIP(F; ) ữổc nảu trong bŒ
• dữợi Ơy. ành lỵ 1.3.1 (xem [20]) Cho l mºt t“p con khĂc rỉng, lỗi, õng cıa khổng gian Hilbert thỹc H N‚u F : ! H l Ănh x⁄ - ỡn iằu m⁄nh v L-liản tửc Lipschitz trản th… b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn VIP(F; ) cõ nghiằm duy nh§t.
Mºt trong cĂc thu“t toĂn l°p ỡn giÊn nhĐt ” giÊi t…m nghiằm b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn l thu“t toĂn chi‚u gradient — bữợc l°p thứ k thỹc hiằn t
‰nh x k+1 = P C (IF )x k vợi cù bữợc > 0 v PC l ph†p chi‚u mảtric lản t“p C, ữổc minh hồa nhữ H…nh 1.2.
H…nh 1.2: Minh hồa thu“t toĂn chi‚u gradient.
Sau õ, Korpelevich ữa ra phữỡng phĂp ⁄o h m tông cữớng v o nôm 1976,
2 R 4 : p dửng Thu“t toĂn 2.2.2 cho V‰ dử 3.1.2 vợi cĂc ƒu v o thọa mÂn i•u kiằn trong Thu“t to¡n 2.2.2.
Chồn cĂc tham sŁ thọa mÂn: Vợi k = p k 1 +2 , k = 1000, k = 0:6, k= 0:5, x 0 = ( 1; 3; 1; 2) > 2 R 4 , i•u kiằn dłng cıa dÂy l°p kx k x k err, chồn sai sŁ err = 10 5 ta thu ữổc BÊng 3.1. k x 1 k x 2 k x 3 k x 4 k kx k x k
BÊng 3.1: K‚t quÊ sŁ cho V‰ dử 3.1.1 vợi k = p 1 k+2
Sau thới gian thỹc thi l 0.0125s ta nh“n ữổc nghiằm xĐp x¿: x (190) = ( 0:000003; 0:000008; 0:000003; 0:000005) > :
BƠy giớ ta t‰nh toĂn vợi cĂc dÂy tham sŁ ƒu v o k khĂc nhau, i•u kiằn dłng dÂy l°p kx k+1 x k 10 5 K‚t quÊ trong bÊng dữợi Ơy ữổc t‰nh toĂn vợi c¡c x§p x¿ ban ƒu x 0 kh¡c nhau. x 0 = ( 1; 3; 1; 2) > x 0 = (11; 30; 15; 20) >
Thới gian (s) SŁ vặng l°p ( k ) Thới gian (s) SŁ vặng l°p ( k ) k = 1 0.030731 441 0.031486 644
BÊng 3.2: BÊng k‚t quÊ cho v‰ dử 3.1.1 vợi cĂc tham sŁ ƒu v o khĂc nhau.
H…nh 3.1: DĂng iằu cıa dÂy fx k g trong V‰ dử 3.1.1
V‰ dử 3.1.2 BƠy giớ, chúng ta x†t mºt v‰ dử trong khổng gian Hilbert vổ h⁄n chi•u X†t H1 = H2 = L 2 [0; 1] vợi t‰ch vổ hữợng hx; yi = R 0 1 x(t)y(t) dt v chu'n kxk = 1 2 (t) dt 1=2 2 [0; 1] Chóng ta x†t b i to¡n
0 x vợi mồi x; y 2 L L 2 [0; 1], Q L 2 [0; 1] v toĂn tò tuy‚n t‰nh bà c¡c t“p C
(SFP) trong â R ch°n A : L 2 [0; 1] ! L 2 [0; 1] ữổc ành nghắa nhữ sau:
X†t trữớng hổp °c biằt khi Ănh x⁄ co T l3 Ănh x⁄ khổng, do õ b i toĂn trð th nh b i toĂn t…m nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt cıa b i toĂn chĐp nh“n t¡ch (SFP) \ A x(t) = t 3 3 2 = C
Ta thĐy t“p nghiằm cıa b i toĂn (SFP):
1 Q l khĂc rỉng v… Trong v‰ dử n y ta x†t h m sai sŁ
Chồn cĂc tham sŁ ƒu v o:
1 k= k + 4 ; k = 0:5; k = 0:75; k = 1000 vợi mồi k 1 K‚t quÊ t‰nh toĂn cıa Thu“t toĂn 2.3.1 vợi i”m b›t ƒu x 1 (t) cos(20t) qua cĂc lƒn l°p ữổc th” hiằn trong bÊng dữợi Ơy:
5000 1:23259 10 9 0.07088 BÊng 3.3: BÊng k‚t quÊ cho v‰ dử 3.1.2 vợi cĂc lƒn l°p khĂc nhau.
K‚t quÊ t‰nh toĂn cıa Thu“t toĂn 2.3.1 vợi i”m b›t ƒu x 1 (t) = cos(20t), cĂc tham sŁ khĂc giœ nguyản v sai sŁ (k) < err cho trữợc ữổc th” hiằn trong bÊng dữợi Ơy: err (k) SŁ vặng l°p ( k ) Thới gian (s)
BÊng 3.4: BÊng k‚t quÊ cho v‰ dử 3.1.2 vợi sai sŁ khĂc nhau.
BƠy giớ ta xem sỹ hºi tử cıa Thu“t toĂn 2.3.1 vợi dÂy tham sŁ f k g khĂc nhau v sai sŁ cho trữợc (k) < 10 6 l i•u kiằn dłng: x 1 (t) = cos(20t) Thới gian (s) SŁ vặng l°p ( k ) k = 1 0.37197 5458
BÊng 3.5: BÊng k‚t quÊ cho v‰ dử 3.1.2 vợi cĂc dÂy tham sŁ k khĂc nhau.
H…nh 3.2: DĂng iằu cıa dÂy fx k g trong V‰ dử 3.1.2
Nh“n x†t 3.1.3 Tł V‰ dử 3.1.2 v cĂc BÊng t‰nh toĂn ta cõ th” thĐy r‹ng, vợi xĐp x¿ ban ƒu x 0 v cĂc dÂy k, k (0; 1) , k (0; 1) v k(0; K); K > 0 th… dÂy l°p x k+1 ữổc xĂc ành bði Thu“t toĂn 2.3.1 hºi tử m⁄nh ‚n nghiằm cõ chu'n nhọ nh§t cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch Khi ta thay Œi d¢y tham sŁ f k g s‡ £nh hữðng ‚n sŁ lƒn l°p ” ⁄t ữổc nghiằm xĐp x¿ cıa b i toĂn vợi sai sŁ cho trữợc.
p dửng giÊi b i toĂn i•u khi”n tŁi ữu tuy‚n t‰nh
Trong phƒn n y, tĂc giÊ Ăp dửng thu“t toĂn • xuĐt ” giÊi b i toĂn chĐp nh“n tĂch xuĐt phĂt tł b i toĂn i•u khi”n tŁi ữu ỗng thới, tĂc giÊ cụng thỹc hiằn mºt sŁ so sĂnh giœa Thu“t toĂn 2.3.1 vợi Thu“t toĂn 2.22 ữổc • xuĐt bði Ph⁄m
Cho Ai v Bi, i = 0; 1; : : : ; N 1, lƒn lữổt l cĂc ma tr“n thỹc k‰ch thữợc n n and n m X†t b i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u tuy‚n t‰nh ríi r⁄c câ d⁄ng
>> trong õ i m > 1; v n l cĂc t“p con lỗi õng lƒn
C R Q R lữổt mổ tÊ r ng buºc i•u khi”n v r ng buºc tr⁄ng thĂi.
F := [F0;F1;:::;FN 1]; trong â F i := A N A N 1 : : : A i+2 B i+1 ; i = 0; 1; : : : ; N 2; F N 1 = B N , v ành nghắa t“p C := C 0 C 1 C N 1 R m R m R m °t u := (u 0 ; u 1 ; : : : ; u N 1 ) l vector c¡c i•u khi”n ui; i = 0; 1; : : : ; N 1, v kuk 2 := N 1 2 Khi â, b i to¡n (3.1) trð th nh b i to¡n ch§p nh“n i=0 kuik t¡ch (S FP): P
Theo thu“t toĂn 2.3.1 v (2.22), chồn u 0 2 R N m tuý ỵ v giÊ sò t…m ữổc u k XĐp x¿ ti‚p theo cho b i toĂn (3.1) ữổc xĂc ành nhữ sau
: v u k+1 = (1 k)P C u k + k F > P Q Fu k trong â PCu = PC 0 u0; PC 1 u1; : : : ; PC N 1 uN 1 v Fu =
Ta x†t b i to¡n i•u khi”n tŁi ÷u sau:
P N 1 F i=0 i u i sinh (1) nghiằm cho b i toĂn n y, ta ti‚n h nh rới r⁄c hõa b i toĂn b‹ng cĂch chia o⁄n
(0,1) th nh N phƒn vợi cù lữợi h = 1=N, v xĐp x¿ x(ti) x i+1 x i , ta ữổc h b i toĂn (3.1), vợi Ai+1 = 1 + h; Bi+1 = h; Fi = h(1 + h) N i 1 ; Ci = [ 1; 1]; i = 0; 1; : : : ; N 1, v Q=[1 ; 1 + ], trong õ chồn = 10 6 T‰nh toĂn ch¿ ra r‹ng d¢y l°p fu k g sinh bði thu“t to¡n (3.2) l mºt x§p x¿ ı tŁt cho i•u khi”n tŁi ữu uopt(t) = sinh (1) e t t⁄i cĂc i”m lữợi ti = ih; i = 0; 1; : : : ; N 1. Th“t v“y, ành nghắa h m sai sŁ xĐp x¿ "(k) := ( i N =0 1 (u i k uopt(ti)) 2 ) 1=2 , chồn 1 ; v : : k ta thu ữổc k‚t quÊ sau k = k+1 k , k = 0 4 vợi mồi 0, P k = 4850 vặng l°p, sai sŁ "(k) = 0:00547 n‚u N = 10 3 v k= 10 12 vợi mồi k 0, cĂc k‚t quÊ n y phũ hổp vợi sai sŁ O(h).
B¥y gií, chóng ta so s¡nh Thu“t to¡n (3.2) cıa t¡c gi£ v Thu“t to¡n (3.3) cıa Ph⁄m Ký Anh v cºng sỹ vợi h = 10 3 , ta chồn cĂc tham sŁ nhữ sau:
• Thu“t toĂn (3.2): dÂy tham sŁ k = k+1 1 ; k = 0:9; k = 0:4; k = 10 12 vợi mồi k 0
• Thu“t toĂn (3.3): dÂy tham sŁ k = k+1 1 , k = 0.9, vợi mỉi vợi mồi k 0, v ta thu ữổc k‚t quÊ t‰nh ữổc tr…nh b y trong bÊng sau "(k) < 0:006
Thới gian (s) SŁ vặng l°p ( k ) Thới gian (s) SŁ vặng l°p ( k )
BÊng 3.6: BÊng k‚t quÊ cho v‰ dử 3.2.2 vợi cĂc tham sŁ ƒu v o khĂc nhau.
Nh“n x†t 3.2.1 Trong trữớng hổp n y, ta cõ th” thĐy r‹ng Thu“t toĂn (3.2) hiằu quÊ hỡn Thu“t toĂn (3.3) cıa Ph⁄m Ký Anh v cºng sỹ [5] cÊ v• m°t sŁ vặng l°p cụng nhữ thới gian t‰nh toĂn.
Lu“n vôn ⁄t ữổc mửc tiảu • ra
Nghiản cứu phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn trản t“p nghiằm cıa b i toĂn chĐp nh“n tĂch trong khổng gian Hilbert thỹc; ữa ra t
‰nh toĂn v‰ dử minh hồa v Ăp dửng giÊi b i toĂn i•u khi”n tŁi ữu tuy‚n t
Lu“n vôn tr…nh b y phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn trản t“p nghiằm cıa b i toĂn chĐp nh“n tĂch trong khổng gian Hilbert thỹc, cũng mºt sŁ Ăp dửng trong trữớng hổp °c biằt Cử th”:
1: Giợi thiằu v• b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn, b i toĂn chĐp nh“n tĂch trong khổng gian Hilbert, tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thức cỡ bÊn v• khổng gian Hilbert thỹc cũng mºt sŁ toĂn tò trong khổng gian n y.
2: Tr…nh b y phữỡng phĂp l°p hiằn xĐp x¿ nghiằm cho b i toĂn bĐt flng thức bi‚n phƠn trản t“p nghiằm cıa b i toĂn chĐp nh“n tĂch v sỹ hºi tử m⁄nh cıa phữỡng phĂp • xuĐt mºt phữỡng phĂp l°p t…m nghiằm cõ chu'n nhọ nhĐt cıa b i toĂn chĐp nh“n tĂch trong khổng gian Hilbert thüc.
3: ữa ra v‰ dử minh hồa cho sỹ hºi tử cıa phữỡng phĂp giÊi b i toĂn v Ăp dửng giÊi b i toĂn i•u khi”n tŁi ữu tuy‚n t‰nh.
[1] Ph⁄m Ký Anh, Trƒn ức Long, H m thỹc v GiÊi t‰ch h m, Nh xuĐt bÊn ⁄i hồc QuŁc gia H Nºi, 2001.
[2] Nguy„n Thà B⁄ch Kim, Gi¡o tr…nh C¡c ph÷ìng ph¡p tŁi ÷u, Nh xu§t bÊn ⁄i hồc BĂch khoa H Nºi, 2008.
[3] Trƒn Vụ Thiằu, Nguy„n Thà Thu Thıy, GiĂo tr…nh TŁi ữu phi tuy‚n,
Nh xuĐt bÊn ⁄i hồc QuŁc gia H Nºi, 2011.
[4] Ho ng Tửy, H m thỹc v GiÊi t‰ch h m, Nh xuĐt bÊn ⁄i hồc QuŁc gia H Nºi, 2018.
[5] P K Anh, T V Anh, L D Muu, On bilevel split pseudomonotone vari-ational inequality problems with applications , Acta Mathematica Viet-namica, (42), pp 413 429, 2017.
[6] C Byrne, "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, (18)(2), pp 441 453, 2002.
[7] C Byrne, "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Problems, (18), pp.
[8] C Baiocchi, A Capelo, Variational and Quasivariational Inequalities, Applications to Free Boundary Problems, J Wiley, New York, 1984.
[9] Biao Qu, Binghua Liu (2018), The Split Feasibility Problem and Its So-lution Algorithm, Mathematical Problems in Engineering, 2018.
[10] Y Censor, T Elfving, N Kopf, T Bortfeld, "The multiple-sets split feasibility problem and its application", Inverse Problems, (21), pp.
[11] Y Censor, T Bortfeld, B Martin, A Trofimov, "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys. Med Biol., (51), pp 2353 2365, 2006.
[12] Y Censor, A Gibali, S Reich, "The Subgradient Extragradient Method for Solving Variational Inequalities in Hilbert Space",Numer. Algorithms, (148), pp 318 335, 2011.
[13] Y Censor, T Elfving, "A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms, (8)(2-4), pp 221
[14] Y Censor, A Gibali, S Reich, "Algorithms for the split variational in- equality problem", Numer Algorithms, (59), pp 301 323, 2012.
[15] S Dafermos, "Traffic equilibrium and variational inequalities", Trans- portation Science, (14), pp 42 54, 1980.
[16] K Goebel, W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math 28 Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
[17] B.T.T Hue, A New Iterative Method for Solving the Variational
Inequality Problem in Hilbert Spaces, Manuscript, 2023.
[18] D Kinderlehrer, G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequal- ities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980.
[19] R Kraikaew, Satit Saejung "The Subgradient Extragradient Method for Solving Variational Inequalities in Hilbert Space", Journal of Optimiza-tion Theory and Applications, 163, pp 399 412, 2014.
[20] I.V Konnov, E Laitinen, Theory and Applications of Variational In- equalities, Preprint, Department of Mathematical Sciences, 2002.
[21] J.L Lions, G Stampacchia, "Variational inequalities", Comm Pure Appl Math., (20), pp 493 519, 1967.
[22] P.E Maing†, "Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization", Set-Valued Anal, (16), pp 899 912, 2008.
[23] A Nagurney, Network Economics: A Variational Inequality Approach, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1993.
[24] M Pappalardo, M Passacantando, "Stability for equilibrium problems from variational inequalities to dynamical systems", J Optim Theory Appl., (113), pp 567 582, 2002.
[25] G Stampacchia, "Formes bilin†aires coercitives sur les ensembles con-vexes", C R Acad Sci Paris, (258), pp 4413 4416, 1964.