Phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa cấu trúc

1 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân đa cấu trúc ĐẶNG HỒNG LINH Linh.DH211307M@sis.hust.edu.vn Ngành Toán Tin Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Viện: Toán ứng dụng Tin học HÀ NỘI, 04/2023 Chữ kí GVHD Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2023 Học viên Đặng Hồng Linh Xác nhận Xác nhận Viện nghiên cứu người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Lời cảm ơn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, giảng viên Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội Cô người hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp người hướng dẫn luận văn cho Trong suốt chặng đường qua, cô dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn giúp đỡ suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy viện Tốn ứng dụng Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội, gia đình, bạn bè đồng hành tơi để tơi hồn thành tốt luận văn Đặc biệt, tơi muốn gửi lời cảm ơn tới TS Trịnh Ngọc Hải Thầy ln tận tình hướng dẫn, bảo nghiêm khắc dành nhiều thời gian giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn HỌC VIÊN Đặng Hồng Linh Tóm tắt nội dung luận văn Trình bày số kiến thức khơng gian Hilbert thực số tốn tử khơng gian này; giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số toán liên quan Đề xuất phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn; chứng minh hội tụ phương pháp; đưa ví dụ số minh họa khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều Đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu; chứng minh hội tụ phương pháp; đưa ví dụ số minh họa không gian Hilbert thực hữu hạn chiều áp dụng giải tốn cân mạng giao thơng đô thị Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Tóm tắt nội dung luận văn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu 10 Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 14 1.1 Một số tốn tử khơng gian Hilbert 14 1.1.1 Sự hội tụ yếu hội tụ mạnh 15 1.1.2 Tốn tử tuyến tính 16 1.1.3 Toán tử liên tục Lipschitz toán tử chiếu 16 1.1.4 Toán tử đơn điệu 19 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 20 1.2.1 Sự tồn nghiệm 20 1.2.2 Một số toán liên quan 21 Chương Phương pháp tự thích nghi giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn25 2.1 2.2 Bài tốn phương pháp 26 2.1.1 Bài toán 26 2.1.2 Phương pháp 26 Sự hội tụ 27 2.2.1 Định lý hội tụ mạnh 27 2.2.2 Ví dụ số 31 Chương Phương pháp đạo hàm tăng cường cải tiến giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 34 3.1 Phương pháp đạo hàm tăng cường 36 3.1.1 Phương pháp 36 3.1.2 Sự hội tụ 37 Ví dụ minh họa 45 3.2 Kết luận 52 Danh mục cơng trình khoa học liên quan tới luận văn 53 Tài liệu tham khảo 54 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực RN không gian Euclid N chiều H không gian Hilbert thực x∈C x thuộc tập C ▽f (x) gradient hàm f điểm x ∀x với x ⟨x, y⟩ tích vơ hướng x y ∥x∥ chuẩn x NC z nón chuẩn tắc C điểm z PC phép chiếu mêtric lên C xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn ⇀ x dãy {xn } hội tụ yếu tới x diam(D) đường kính tập D Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S VI(F, C) toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F tập ràng buộc C Danh sách bảng 2.1 Bảng so sánh thuật tốn Ví dụ 2.2.3 32 3.1 Hệ số hàm chi phí 47 3.2 So sánh thuật tốn Ví dụ 3.2.1 48 3.3 Bảng so sánh thuật toán Ví dụ 3.2.2 50 Danh sách hình vẽ 2.1 Dáng điệu thuật tốn Ví dụ 2.2.3 33 3.1 Mạng giao thông với nút 48 3.2 Dáng điệu thuật tốn Ví dụ 3.2.1 49 3.3 Dáng điệu thuật tốn Ví dụ 3.2.2 51 10 Mở đầu Lý chọn đề tài Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ⟨., ⟩ chuẩn ∥.∥ tương ứng, C tập lồi, đóng, khác rỗng H ánh xạ A : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân (Varitional Inequality Problem) xác định ánh xạ giá A tập ràng buộc C, viết tắt VI(A, C), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho ⟨A(x∗ ), x − x∗ ⟩ ≥ ∀x ∈ C (VI(A, C)) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Ý Stampacchia đưa lần vào năm đầu thập niên 60 kỷ XX Hiện nay, toán thu hút nhiều quan tâm từ nhà tốn học mơ hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực toán học ứng dụng tối ưu hóa, tốn bù, tốn điểm bất động, lý thuyết trị chơi v.v Trong năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân mở rộng theo nhiều hướng Một số cách tiếp cận tốn từ góc nhìn tốn hai cấp Trong hai báo [15] [16], tác giả xét tốn điều khiển cơng suất cho mạng viễn thơng CDMA (Code Division Multiple Access) Mơ hình dẫn đến toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc C cho dạng tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn T : Tìm x∗ ∈ Fix(T ) cho ⟨A(x∗ ), x − x∗ ⟩ ≥ ∀x ∈ Fix(T ) (VIF) 42 Cho x∗ ∈ Sol(A, C), với k ≥ 0, ta có ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − ∥xk+1 − y k+1 ∥2 − ∥y k+1 − xk ∥2 + 2λk A(y k+1 ), x∗ − y k+1 + 2λk A(xk ) − A(y k+1 ), xk+1 − y k+1 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − ∥xk+1 − y k+1 ∥2 − ∥y k+1 − xk ∥2 + 2λk A(xk ) − A(y k+1 ), xk+1 − y k+1 (3.14) Dãy {αk } dãy không tăng Ta xét hai trường hợp: Trường hợp Dãy {αk } khơng tiến tới Khi tồn p > thỏa mãn αk+1 = αk λk ∥A(xk ) − A(y k+1 )∥ ≤ ρ∥xk − y k+1 ∥ ∀k ≥ p Từ (3.14), với k ≥ p, ta có ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − ∥xk+1 − y k+1 ∥2 − ∥y k+1 − xk ∥2 + 2ρ∥xk − y k+1 ∥∥xk+1 − y k+1 ∥ ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − (1 − ρ)∥xk+1 ∥2 − (1 − ρ)∥y k+1 − xk ∥2 (3.15)  Dãy ∥xk − x∗ ∥ k≥p dãy khơng tăng Do đó, hội tụ Hơn nữa, ta có lim ∥y k+1 − xk ∥ = lim ∥y k − xk ∥ = k→∞ k→∞ (3.16)  Dãy xk bị chặn, đó, tồn dãy {xki } ⊂ {xk } cho xki → x¯ ∈ C
Vì y k+1 = PC xk − λk A(xk ) , ta có k+1 y − z, y k+1 − xk + λk A(xk ) ≤ ∀z ∈ C (3.17) Do đó, − ∥y kt +1 −z∥∥y kt +1 −xk ∥− A(xkt ), xkt − y kt +1 ≤ A(xkt ), z − xkt ∀z ∈ C λk t  Dãy A(xkt ) bị chặn, αk+1 = αk với k ≥ p, {λkt } không tiến tới  Cho j → ∞, sử dụng tính chất bị chặn y k , tính chất liên tục 43 ánh xạ A (3.16), ta có ⟨A¯ x, z − x¯⟩ ≥ ∀z ∈ C Suy x¯ ∈ Sol(A, C) Do đó, lim ∥xk − x¯∥ = lim ∥xki − x¯∥ = x→∞ i→∞ Trường hợp Dãy {αk } tiến tới Khi đó, tồn dãy {λki } ⊂ {λk } cho λki ∥A(xki ) − A(y ki +1 )∥ > ρ∥xki − y ki +1 ∥ ∀i ≥ (3.18) Trong (3.17), cho z = xk , ta có ∥y k+1 − xk ∥2 ≤ λk A(xk ), xk − y k+1 Do đó, ∥y k+1 − xk ∥ ≤ λk ∥A(xk )∥ = αk ∥A(xk )∥ ≤ αk → k max {1; ∥A(x )∥} Từ định nghĩa xk+1 , ta có k+1 x − xk , xk+1 − z ≤ λk A(y k+1 ), z − xk+1 ∀z ∈ C (3.19) (3.20) Từ (3.19) cho z = xk (3.20), suy ∥xk+1 − xk ∥ ≤ λk ∥A(y k+1 )∥ ≤ λk ∥A(xk )∥ + λk ∥A(y k+1 ) − A(xk )∥ ≤ αk + λk ∥A(y k+1 ) − A(xk )∥ Vì ∥xk − y k+1 ∥ → điều kiện (B3), suy tồn số M > cho ∥A(xk ) − A(y k+1 )∥ ≤ M với k Do đó, ∥xk+1 − xk ∥ ≤ αk + M λk ≤ (M + 1)αk ∀k ≥ Ký hiệu  P := k ∈ N : λk ∥A(xk ) − A(y k+1 )∥ > ρ∥xk − y k+1 ∥ = {ki }∞ i=1 Cố định k ∈ N, xét hai trường hợp: 44 •k∈ / P , từ (3.15), ta có ∥xk+1 − x∗ ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 − (1 − ρ)∥xk+1 − y k+1 ∥2 − (1 − ρ)∥y k+1 − xk ∥2 ≤ ∥xk − x∗ ∥2 (3.21) • k ∈ P , tồn i ∈ N cho k = ki Dễ thấy αk = α−1 δ i−1 Suy ∥xk+1 − x∗ ∥ ≤ ∥xk − x∗ ∥ + ∥xk+1 − xk ∥ ≤ ∥xk − x∗ ∥ + (M + 1)αk = ∥xk − x∗ ∥ + (M + 1)α−1 δ i−1 (3.22) Từ (3.1.2) (3.22), ta có ∥xk+1 − x∗ ∥ ≤ ∥xk − x∗ ∥ + ξk , với  0 k ∈ / P, ξk = (M + 1)α δ i−1 k = k ∈ P −1 i P∞ i P∞ ξk = (M + 1)α−1 i=0 δ < ∞, sử dụng Bổ đề 3.1.4, suy dãy Vì  k k=0 ∗ ∥x − x ∥ hội tụ Hơn nữa, từ (3.17) (3.19), với z ∈ C, i ∈ N, ta có A(xki ), z − y ki +1 ≥ − ∥y ki +1 − xki ∥∥y ki +1 − z∥ λki ≥ − ∥A(xki ) − A(y ki +1 )∥∥y ki +1 − z∥ (3.23) ρ n o  k  ∗ Vì ∥x − x ∥ bị chặn, tồn dãy xkij ⊂ xki thỏa mãn xkij → xˆ Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 3.1.5 ∥xk − y k+1 ∥ → 0, suy lim ∥A(xki ) − A(y ki +1 )∥ = i→∞ Trong (3.23), đặt ki = kij j → ∞, ta có ⟨A(ˆ x), z − xˆ⟩ ≥ ∀z ∈ C 45 Từ suy xˆ ∈ Sol(A, C), lim ∥xk − xˆ∥ = lim ∥xkij − xˆ∥ = j→∞ k→∞ □ 3.2 Ví dụ minh họa Trong phần này, để minh họa cho hội tụ Thuật tốn 3.1.1 3.1.2, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa giải tốn mạng giao thơng thị toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Euclid Chúng tơi thực lập trình phần mềm MATLAB R2021a máy tính Dell, Core(TM) i5-5200, RAM 6GB Xét mạng giao thông cho luồng mạng hữu hạn (xem [18]) Ký hiệu a, b, c, nút giao thông kết nối cạnh có hướng q ∈ L Gọi W tập cặp điểm xuất phát/điểm đến (viết tắt, O/D), với cặp điểm O/D thuộc W ký hiệu w Gọi {p1 , p2 , , pn } tất cạnh mạng giao thông Ký hiệu dw số lượng xe cộ cần cặp w xi lưu lượng giao thông đường pi Khi đó, nhu cầu xe cộ cặp điểm O/D tổng số lượng xe cộ tất đường cặp điểm O/D đó, nghĩa dw = X xp , ∀w ∈ W, p∈Pw với Pw tập đường cặp điểm w Cho fq lưu lượng giao thơng cạnh q Khi ta có fq = X p xp δqp , 46 với δqp  1 = 0 q thuộc p, ngược lại, nghĩa là, lưu lượng giao thông cạnh tổng lưu lượng giao thông tất đường chứa cạnh Gọi cq chi phí cạnh q Khi chi phí cq phụ thuộc vào lưu lượng giao thông cạnh q theo công thức sau  λ f + τ q q q cq = λ v + β (f − v ) + τ q q q q q ≤ fq ≤ vq , q (3.24) fq > vq Trong (3.24), λq hệ số chi phí cạnh q Gọi vq số lượng xe cộ tối đa mà cạnh q chứa Khi lưu lượng giao thơng cq vượt qua ngưỡng tối đa, chi phí tăng nhanh với hệ số lớn ký hiệu βq Ta có tổng chi phí Gp đường p thỏa mãn Gp = X cq δqp , nghĩa là, chi phí đường p tổng chi phí cạnh thuộc đường Khi x∗ điểm cân cân thiết lập, khơng có người muốn thay đổi lộ trình mình, hay đường có chi phí thấp Nghĩa là, với cặp điểm O/D w bất kỳ, đường r ∈ Pw : x∗r > ⇒ Gr (x∗ ) = Gp (x∗ ) p∈Pw (3.25) Bài tốn tìm x∗ thỏa mãn (3.25) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân VI(G, C) (xem [18]), với G(x) = (G1 (x), G2 (x), , Gn (x)) tập C định nghĩa sau:     X n C = x ∈ R+ : xp = tw ∀w ∈ W ,   p∈Pw 47 tw tổng lượng xe cộ cần cặp điểm O/D w Hàm chi phí theo cơng thức (3.24) hàm tăng, ánh xạ G đơn điệu Hơn nữa, dễ thấy hàm chi phí liên tục Lipschitz với hệ số Lipschitz L = max { |λq |, |βq |}, với q ∈ L, G ánh xạ liên tục Lipschitz Ta sử dụng Thuật toán 3.1.1, thuật toán đạo hàm tăng cường tự thích nghi T N Hai (Thuật tốn [12]) thuật toán đạo hàm tăng cường Popov (xem [21]) Ví dụ 3.2.1 Xét mạng giao thông (xem [13]) gồm cạnh q1 , q2 , , q8 biểu diễn Hình 3.1 Cho W = {(1 → 5)} (1 → 5) = 1000 Từ nút tới nút có đường đi: p1 = q1 + q6 , p2 = q3 + q8 , p3 = q2 + q7 , p4 = q2 + q5 + q8 , p5 = q2 + q4 + q6 Các hệ số hàm chi phí cho Bảng 3.1 q λq τq vq βq q1 100 100 10 q2 1.1 120 120 11 q3 0.9 80 80 q4 0.1 150 150 q5 0.1 70 70 11 q6 0.7 140 210 12 q7 1.2 150 150 13 q8 0.6 160 250 14 Bảng 3.1: Hệ số hàm chi phí Trong Thuật tốn 3.1.1, chọn x0 = (200, 200, 200, 200, 200)⊤ , ρ = 0.3, δ = 0.6, λ0 = 0.5; y −1 and y sinh ngẫu nhiên Vì khơng biết nghiệm toán, ta sử dụng điều kiện dừng: ∥y k − PC [y k − G(y k )]∥ ≤ 10−4 Chú ý x∗ nghiệm toán x∗ − PC [x∗ − G(x∗ )] = Sau 176 vịng lặp, Thuật tốn 3.1.1 tìm nghiệm xấp xỉ: x(176) = (338.9350, 342.2450, 283.7173, 28.1335, 6.9692)⊤ 48 Hình 3.1: Mạng giao thơng với nút Bảng 3.2: So sánh thuật toán Ví dụ 3.2.1 Thuật tốn 3.1.1 Thời Vịng lặp Thuật tốn Hai Thời Vịng lặp Thuật tốn Popov Thời gian gian gian (giây) (giây) (giây) Vòng lặp x0 = (200, 200, 200, 200, 200)⊤ 2.8976 172 7.6020 458 5.2889 308 x0 = (100, 150, 200, 250, 300)⊤ 3.0530 173 7.5469 454 6.4374 372 ⊤ 3.1133 173 7.5530 458 6.1208 349 3.0997 177 7.6034 454 5.8759 349 x = (300, 300, 200, 100, 100) x0 = (500, 0, 0, 0, 500)⊤ Kết tính tốn trình bày Bảng 3.2 Hình 3.2 Ta sử dụng điều kiện dừng điểm khởi đầu tương tự Thuật toán 3.1.1 Các tham số lựa chọn phương pháp tìm kiếm lưới với cỡ lưới 0.1 sau: • Trong thuật toán Popov, chọn λ = 0.3 L ; • Trong thuật tốn T N Hai, chọn ρ = 0.9, δ = 0.7, λ−1 = 0.6 Dễ thấy Thuật tốn 3.1.1 có kết tốt thời gian tính tốn Ví dụ 3.2.2 (xem [12]) Trong ví dụ này, ta so sánh Thuật tốn 3.1.2 với thuật tốn đạo hàm tăng cường tự thích nghi T N Hai (Thuật tốn 49 Hình 3.2: Dáng điệu thuật tốn Ví dụ 3.2.1 [12]) thuật toán đạo hàm tăng cường Korpelevich (xem [20]) Xét toán VI(A, C) với C = {x ∈ Rn : −5 ≤ xi ≤ ∀i = 1, , 100} , A : C → Rn , A(x) = Dx ∀x ∈ C, với D = (dij )n×n ,  4 i = j dij = 1 i = ̸ j Ta sử dụng điều kiện dừng ∥xk − x∗ ∥ ≤ 10−4 , với x∗ = (0, , 0)⊤ nghiệm toán Trong Thuật toán 3.1.2 thuật toán Korpelevich, tham số lựa chọn phương pháp tìm kiếm lưới với cỡ lưới 0.1 {ρ, δ, λ} cỡ lưới {λ−1 , α−1 } sau: 50 • Trong Thuật tốn 3.1.2, chọn ρ = 0.5, λ−1 = 100, α−1 = 4, δ = 0.6; x−1 y sinh ngẫu nhiên; • Trong thuật toán Korpelevich, chọn λ = 0.9 L ; • Trong thuật tốn T N Hai, ta chọn giá trị tham số giống với tham số [12], ρ = 0.7, λ−1 = 1, α−1 = 1000, δ = 0.7; x−1 y sinh ngẫu nhiên Các kết trình bày Bảng 3.3 Hình 3.3 Dễ thấy thuật tốn cải tiến cho kết tốt thời gian tính toán Bảng 3.3: Bảng so sánh thuật toán Ví dụ 3.2.2 Thuật tốn 3.1.2 Thời gian Vịng lặp (giây) Thuật tốn Hai Thời gian Vịng lặp (giây) Thuật tốn Korpelevich Thời gian Vịng lặp (giây) n = 50 0.0124 40 0.0179 52 0.0213 256 n = 100 0.0185 44 0.0179 58 0.0297 502 n = 200 0.0276 45 0.0461 114 0.1189 1009 n = 500 0.0498 49 0.1243 269 0.6068 2569 51 Hình 3.3: Dáng điệu thuật tốn Ví dụ 3.2.2 52 Kết luận Bài toán bất đẳng thức biến phân toán tổng quát tiếp cận nhiều hướng khác Luận văn trình bày phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân đa cấu trúc Nội dung trình bày luận văn bao gồm: Nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert phép chiếu, hội tụ mạnh (yếu), toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Đề xuất thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn, chứng minh hội tụ thuật tốn; đưa ví dụ số minh họa khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều Cải tiến hai phương pháp tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu với ánh xạ liên tục Lipschitz khơng liên tục Lipschitz; đưa ví dụ số minh họa không gian Hilbert thực hữu hạn chiều áp dụng giải toán cân giao thơng thị 53 Danh mục cơng trình khoa học liên quan tới luận văn [DL] N.T Dinh, D.H Linh, "Low computational cost algorithms for solving variational inequalities over the fixed point set", Journal of Science and Technology Technical Universities, 32(1), 102-110, 2022 [LT] D.H Linh, N.T Thang, "A new iterative method for solving pseudomonotone variational inequalities", TNU Journal of Science and Technology, chấp nhận đăng ngày 28 tháng 03 năm 2023 54 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2003) [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Tối ưu phi tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2021 Tiếng Anh [3] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu, Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer, 2009 [4] P.K Anh, T.N Hai, "Splitting extragradient-like algorithms for strongly pseudomonotone equilibrium problems", Numer Algorithms, (76), 67–91, 2017 [5] Anh, Long, VA, "A projection method for bilevel variational inequalities", Journal of Inequalities and Applications, 2014 [6] P.K Anh, T.V Anh, L.D Muu, "On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications", Acta Math Vietnam., 42(3), 413–429, 2017 [7] A.S Antipin, "Gradient approach of computing fixed points of equilibrium problems", J Global Optim., (24), 285–309, 2002 55 [8] H.H Bauschke, J.M Borwein, "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Rev., (38), 367–426, 1996 [9] H H Bauschke, P L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, Canada, 2011 [10] K Eriksson, D Estep, C Johnson, Applied Mathematics: Body and Soul, Springer, Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 2004 [11] K Goebel, W A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1990 [12] T.N Hai, "Two modified extragradient algorithms for solving variational inequalities", J Global Optim., (78), 91-106, 2020 [13] T.N Hai, "Linesearch-free algorithms for solving psedomonotone varitional inequalities", Pac J Optim., (17), 269-288, 2021 [14] D.V Hieu, D.V Thong, "New extragradient-like algorithms for strongly pseudomonotone variational inequalities", J Global Optim., (70), 385–399, 2018 [15] H Iiduka, "Fixed point optimization algorithm and its application to power control in CDMA data networks", Mathematical Programming, (133), 227-242, 2012 [16] H Iiduka, I Yamada, "An ergodic algorithm for the power-control games for CDMA data networks", J Math Model Algorithms, 8(1), 1-18, 2009 [17] D Kinderlehrer, G Stampacchia, "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", Society for Industrial and Applied Math, 1987 [18] I.V Konnov, "Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities", Springer, Berlin, 2000 56 [19] I.V Konnov, E Laitinen, "Theory and applications of variational inequalities", Preprint, Department of Mathematical Sciences Faculty of Science University of Oulu, 2002 [20] G.M Korpelevich, "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonom i Mat Metody, (12), 747–756, 1976 [21] L.D Popov, "A modification of the Arrow-Hurwicz method for searching of saddle points", Mat Zametki, (28), 777–784, 1980