Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.

Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.Một số phương giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT HÀ NỘI - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT CHUN NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh GS TS Đặng Quang Á HÀ NỘI - 2022 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn Thầy tập thể hướng dẫn khoa học Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ Tác giả ii LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thiện Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình Tập thể thầy hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Trong suốt trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua giảng, hội nghị sinh hoạt học thuật, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu Thầy/Cô Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin trân trọng cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh/chị/em nhóm nghiên cứu phịng Lab "Tốn ứng dụng Tính tốn" Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Luận án quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với lịng biết ơn, u thương, trân trọng Tác giả iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x dãy {xk } hội tụ yếu tới x kxk chuẩn vectơ x hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y I ánh xạ đồng l.s.c nửa liên tục u.s.c nửa liên tục B tích Đề-Các hai tập hợp A B ρ(A, B ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp A B argmin{f (x) : x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C ∂f (x) vi phân f x δC (·) hàm C PC ( x ) hình chiếu x lên tập C ProxgC toán tử gần kề g C NC (x) nón pháp tuyến C x gphF đồ thị ánh xạ F domF miền hữu hiệu ánh xạ F rgeF miền ảnh ánh xạ F iv F −1 ánh xạ ngược ánh xạ F OP(C, F ) toán tối ưu CP(C, F ) toán bù MCP(C, F ) toán bù đa trị VI(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) VI(C, F, g ) toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) hỗn hợp DVI(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu MVI(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F, g ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị hỗn hợp DMVI(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị đối ngẫu Fix(F ) tập điểm bất động ánh xạ F Sd tập nghiệm toán DVI(C, F ) SM tập nghiệm toán MVI(C, F ) S(M,τ ) tập nghiệm toán MVI(C, Fτ ) d SM tập nghiệm toán DMVI(C, F ) O SM tập nghiệm toán OP(C, F ) S(M,g) tập nghiệm toán MVI(C, F, g ) O( k1 ) tốc độ hội tụ CP U − times thời gian thực thuật toán Start point điểm khởi tạo ban đầu T est toán chạy thực nghiệm Iter số bước lặp thuật toán k v Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iii Mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Một số khái niệm không gian Hilbert 1.1.2 Tính lồi hàm số 1.2 1.3 1.4 1.1.3 Phép chiếu toán tử gần kề 1.1.4 Tính đơn điệu ánh xạ đơn trị Ánh xạ đa trị 1.2.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.2.2 Tính đơn điệu ánh xạ đa trị Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 1.3.1 Bài toán 12 14 15 15 21 22 22 1.3.2 Điều kiện tồn nghiệm 1.3.3 Một số toán liên quan Một số bổ đề 22 23 25 Chương Phương pháp gần kề đạo hàm 2.1 Phương pháp gần kề đạo hàm 2.1.1 Thuật toán 2.1.2 Sự hội tụ 2.2 Phương pháp gần kề đạo hàm cải biên 2.2.1 Thuật toán 9 11 27 28 29 30 38 38 vi 2.2.2 Sự hội tụ 2.2.3 Tốc độ hội tụ Ví dụ minh họa 39 44 47 Chương Phương pháp chiếu-lặp Halpern 3.1 Phương pháp chiếu-lặp Halpern giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu 3.2 Phương pháp chiếu-lặp Halpern với toán tử gần kề 3.3 Ví dụ minh họa 60 2.3 3.3.1 3.3.2 60 71 80 Xây dựng ánh xạ đa trị Một số ví dụ tính tốn 80 87 Chương Phương pháp gần kề quán tính với độ dài bước tự thích nghi 4.1 Phương pháp gần kề quán tính 4.1.1 Thuật toán hội tụ 4.1.2 Trường hợp đặc biệt 4.1.3 Tốc độ hội tụ 4.2 Ví dụ minh họa 4.2.1 Mơ hình toán Nash-Cournot 4.2.2 94 94 94 105 107 110 111 Các kết tính tốn với ánh xạ đa trị 111 Kết luận 117 Hướng nghiên cứu 118 Danh mục cơng trình khoa học cơng bố 119 Tài liệu tham khảo 120 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Trải qua nửa kỷ hình thành phát triển, lý thuyết bất đẳng thức biến phân dần khẳng định vai trò phát triển tốn lý thuyết ứng dụng Theo Carl [1], từ năm 1960, toán bất đẳng thức biến phân Fichera Stampacchia nghiên cứu giới thiệu Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân gắn liền với việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu, tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Vào năm 1980, toán biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách “An introduction to variational inequalities and their applications” Kinderlehrer Stampacchia [3] sách “Variational and quasivarational inequalities: Application to free boundary problems” Baiocchi Capelo [4] Từ đó, tốn bất đẳng thức biến phân phát triển nhanh chóng trở thành cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu giải mơ hình cân kinh tế, vận tải, lý thuyết trò chơi nhiều mơ hình tốn học ứng dụng khác Với C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H ánh xạ F : C → 2H (F gọi ánh xạ giá) Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F ) phát biểu dạng: Tìm (x∗ , w∗ ) ∈ C × F (x∗ ) cho hw∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C Bài toán MVI(C, F ) dạng toán bất đẳng thức biến phân với hàm giá ánh xạ đa trị, giới thiệu Browder (1965) [5] nghiên cứu tính liên tục ánh xạ đơn điệu cực đại ánh xạ đối ngẫu khơng gian Banach Bài toán biết đến dạng tổng quát lớp toán bù đa trị [6], tốn tìm điểm bất động Kakutani [7] số toán toán tối ưu khác [8, 9] Trong giải tích đa trị, tốn MVI(C, F ) đối tượng quan trọng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu xem xét mơ hình tốn học hữu ích chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực toán học thực tiễn [1, 10] Chẳng hạn: Các tốn tối ưu hóa, bù đa trị, lý thuyết trị chơi, mơ hình cân kinh tế Nash, cân điện, cân mạng giao thông mơ hình tốn khác Ngồi hướng nghiên cứu định tính định lý tồn nghiệm, tính chất tập nghiệm [1, 9], [10-14], việc nghiên cứu, đề xuất thuật giải ứng dụng chúng vào mơ hình thực tiễn hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F ) Tính đến có số thuật tốn hữu hiệu giải toán MVI(C, F ) như: Thuật toán kiểu chiếu với ánh xạ giả đơn điệu không liên tục Lipschitz [16], thuật toán chiếu song song sử dụng toán tử gần kề [18], thuật toán đạo hàm tăng cường [17], nguyên lý toán phụ [19], thuật toán xấp xỉ trong-ngồi [20, 21], thuật tốn chiếu cải biên [22], thuật toán chiếu điểm gần kề [9], [22-25] thuật toán ergodic [27], số thuật toán khác [27-31], [33] Trên thực tế, trường hợp ánh xạ F đơn trị, toán MVI(C, F ) viết dạng toán bất đẳng thức biến phân đơn trị cổ điển quen thuộc, nên số thuật toán giải tốn MVI(C, F ) xây dựng dựa ý tưởng phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân đơn trị Tuy nhiên, thuật toán hội tụ với giả thiết quen thuộc đặt lên ánh xạ giá giải toán bất đẳng thức biến phân đơn trị liên tục Lipschitz, bị chặn, đơn điệu không dễ dàng mở rộng ánh xạ giá đa trị Chẳng hạn với L số Lipschitz, {xk } dãy lặp sinh thuật thuật toán, giả thiết liên tục Lipschitz ánh xạ đơn trị F kF (xk ) − F (xk+1 )k ≤ Lkxk − xk+1 k Với ánh xạ đa trị, xét tính chất liên tục Lipschitz kiểu Hausdorff, việc chọn wk ∈ F (xk ) ... bất đẳng thức biến phân đối ngẫu MVI(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F, g ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị hỗn hợp DMVI(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân đa trị đối ngẫu... Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị Chương Phương pháp gần kề đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Chương Phương pháp chiếu-lặp Halpern giải toán bất đẳng thức biến phân đa. .. thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị (ii) Nghiên cứu hội tụ mạnh, yếu thuật toán không gian Hilbert thực 6 (iii) Nghiên cứu thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị chứa