Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.Một số tính chất nghiệm của lớp phương trình chứa toán tử elliptic suy biến mạnh.ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– ——————— PHÙNG THỊ KIM YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH Ngành Toán Giải tích Mã số 9460102 TÓM T.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— PHÙNG THỊ KIM YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TỐN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 9460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUYÊN - 2023 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến xuất nhiều q trình vật lý, hố học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt, trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hố học, mơ hình quần thể sinh học, v.v Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Cho đến tận năm 20 kỷ thứ 20 nghiệm tốn phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng hiểu chung nghiệm cổ điển, nghiệm đòi hỏi khả vi theo nghĩa thông thường đến cấp phương trình, điều gây nhiều khó khăn cho việc chứng minh cho tính đặt tốn này, đặc biệt tính trơn nghiệm cịn phụ thuộc vào cấu trúc hình học miền xét Việc đưa khái niệm nghiệm suy rộng bước ngoặt trung tâm mặt phương pháp việc nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng toán biến phân chúng Một số tác giả nước đạt kết sâu sắc việc nghiên cứu phương trình, hệ phương trình elliptic suy biến phi tuyến, phương trình parabolic suy biến phương trình hyperbolic suy biến Các kết đạt là: tồn không tồn nghiệm toán biên cho phương trình elliptic suy biến, tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình parabolic suy biến, tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình hyperbolic suy biến Như biết, tốn tử elliptic nghiên cứu nhiều tốn tử Laplace khơng gian RN : ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + + + ∂x1 ∂x2 ∂xN Nghiên cứu tồn nghiệm hay không tồn nghiệm phương trình nửa tuyến tính chứa tốn tử Laplace nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu kỷ thứ hai mươi S I Pohozaev xét toán biên: ( ∆u + f (u) = Ω, u = ∂Ω, (1) với Ω miền giới nội RN (N ≥ 2), f (u) = λu + |u|t−1 u Ta thấy u = nghiệm tầm thường toán S I Pohozaev đưa đồng thức mà mang tên ông Đến tồn nghiệm không tầm thường, tồn nghiệm dương toán biên chứa toán tử elliptic đạt tương đối trọn vẹn Một cách tương tự, vấn đề lại đặt tốn có chứa tốn tử elliptic suy biến Vào năm 2012, tác giả P.T Thuỷ N M Trí xét tốn Dirichlet cho phương trình elliptic suy biến cấp hai sau ( −Pα,β u + f (u) = Ω, u = ∂Ω, (2) Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2t1 |y|2t2 ∆z u, với α, β ≥ 0, (3) Ω miền giới nội RN1 +N2 +N3 , x ∈ RN1 , y ∈ RN2 , z ∈ RN3 , biên ∂Ω trơn, f (u) = u|u|γ−1 Điều kiện không tồn nghiệm khơng tầm thường eα,β + N Bài tốn (2) trường hợp γ > Ω Pt1 ,t2 - hình eα,β − N eα,β = N1 + N2 + (1 + α + β)N3 sao, N Cũng năm này, tác giả A E Kogoj E Lanconelli, nghiên cứu phương trình elliptic suy biến cấp hai tổng quát chứa toán tử ∆γ , đưa đồng thức kiểu Pohozaev, chứng minh tồn nghiệm yếu tính trơn nghiệm yếu tốn sau phương pháp biến phân ( ∆γ u − ηu + f (X, u) = Ω, (4) u = ∂Ω, Ω tập mở bị chặn RN , η ≥ ∆γ u định nghĩa Chương I, Mục 1.1.1 Năm 2016 tác giả C T Anh, B K My nghiên cứu tồn nghiệm Bài toán (4) với η = điều kiện f : Ω × R → R hàm liên tục thỏa mãn điều kiện sau: f (X,ξ) 2∗ γ −1 |ξ| |ξ|→+∞ f (X, 0) = 0, lim F (X,ξ) |ξ|→+∞ |ξ| Ru lim = 0, 2∗γ = e 2N e −2 , N (2∗γ − = e +2 N e −2 ); N = với X ∈ Ω, F (X, u) = f (X, ξ)dξ; lim sup |ξ|→0 F (X,ξ) |ξ|2 < µ1 với X ∈ Ω, với µ1 giá trị riêng toán tử -∆γ miền Ω với điều kiện biên Dirichlet nhất; Tồn C∗ ≥ 0, θ > thỏa mãn: H(X, s) ≤ θH(X, t) + C∗ , ∀s, t ∈ R, < |s| < |t|, ∀X ∈ Ω, H(X, u) = 21 uf (X, u) − F (X, u) Khi Bài tốn (4) ln có nghiệm yếu khơng tầm thường Bên cạnh đó, từ năm 80 kỷ trước, nhiều tác giả nghiên cứu phương trình elliptic cấp bốn nửa tuyến tính chứa toán tử Laplace ∆ ( ∆2 u = f (x, u) = 0, x ∈ Ω ⊂ RN , u = ∂ν = 0, x ∈ ∂Ω, (5) f (x, 0) = Một số điều kiện đủ dáng điệu hàm f (X, u) theo biến u tác giả đưa để đảm bảo cho không tồn nghiệm khơng tầm thường Bài tốn (5) tồn nghiệm khơng tầm thường Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, chưa có nghiên cứu phương trình elliptic suy biến cấp bốn Năm 2005, Fall Djiby cách sử dụng phương pháp ước lượng đuôi nghiệm chứng minh tồn tập hút tồn cục khơng gian H (RN ) × L2 (RN ) tốn sau ( utt + βut + u = ∆u + f (X, u), X ∈ RN , t > 0, u(X, 0) = u0 (X), ut (X, 0) = u1 (X), β số dương, u0 (X) ∈ H (RN ), u1 (X) ∈ L2 (RN ) Hàm f (X, ξ) định nghĩa bởi: ξ − f (X, ξ) = ξ + h1 (ξ) − h2 (X), h2 (X) ∈ L2 (RN ), h1 ∈ C (R, R), h1 (0) = 0, h1 (ξ)ξ ≥ CF (ξ) ≥ 0, ∀ξ ∈ R, C Rξ số dương, F (ξ) = h1 (τ )dτ ≤ lim sup |ξ|→∞ h1 (ξ) 0, X ∈ ∂Ω, t > 0, (6) u(X, 0) = u0 (X), ut (X, 0) = u1 (X), Ω miền bị chặn có biên trơn RN , Pα,β tốn tử xác định (3), λ số dương f (ξ) thỏa mãn điều kiện: |f (ξ1 ) − f (ξ2 )| ≤ C|ξ1 − ξ2 |(1 + |ξ1 |ρ + |ξ2 |ρ ), với C > 0, ≤ ρ < lim sup |t|→+∞ f (t) t eα,β −2 , N (7) eα,β = N1 + N2 + (α + β + 1)N3 − 2; N < µ1 , (8) với µ1 giá trị riêng toán tử -Pα,β miền Ω với điều kiện biên Dirichlet Khi Bài tốn (6) có nghiệm tồn cục, có tập hút toàn cục Từ kết trên, ta thấy lớp phương trình elliptic suy biến, phương trình hyperbolic suy biến có số kết nhiên kết thu cịn cịn nhiều vấn đề mở cần nghiên cứu Những vấn đề mở mà quan tâm luận án bao gồm: Nghiên cứu tồn nghiệm không tầm thường tốn Dirichlet phương trình elliptic suy biến cấp bốn chứa toán tử ∆2γ số trường hợp hàm phi tuyến Nghiên cứu tồn nghiệm tích phân tồn cục; dáng điệu thời gian lớn nghiệm (thông qua tập hút tồn cục) Bài tốn (6) chứa tốn tử elliptic suy biến Pα,β không gian chứng minh tồn tập hút toàn cục phương trình có thêm số hạng γ(X)u vế phải f (X, u) phụ thuộc thêm biến X Với lý nêu chọn đề tài nghiên cứu cho luận án “Một số tính chất nghiệm lớp phương trình chứa tốn tử elliptic suy biến mạnh” Mục đích nghiên cứu • Nội dung : Nghiên cứu tồn khơng tồn nghiệm tốn Dirichlet cho phương trình ∆2γ -Laplace nửa tuyến tính cấp bốn miền bị chặn với nội dung: không tồn nghiệm mạnh không tầm thường; tồn nghiệm yếu khơng tầm thường • Nội dung : Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận thời gian lớn phương trình hyperpolic nửa tuyến tính có chứa tốn tử elliptic suy biến mạnh Pα,β tồn khơng gian với nội dung sau: tồn tính nghiệm tích phân tồn cục; tồn tập hút toàn cục compact cấu trúc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án xét toán biên toán biên giá trị ban đầu có chứa tốn tử elliptic suy biến ∆γ , xác định N X ∂ ∂u γj , ∆γ u = ∂x ∂x j j j=1 γj hàm thỏa mãn số điều kiện phù hợp phát biểu sau Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn chúng tơi sử dụng phương pháp biến phân định lý tổng quát lý thuyết điểm tới hạn • Để nghiên cứu không tồn nghiệm mạnh thiết lập đồng thức kiểu Pohozaev phù hợp tốn tử ∆2γ khai thác cấu trúc hình học miền xét • Để nghiên cứu tồn nghiệm tích phân tồn cục, chúng tơi sử dụng phương pháp công cụ Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ Galerkin, dạng phù hợp bổ đề compact, bổ đề xử lý số hạng phi tuyến Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tồn tập hút tồn cục, chúng tơi sử dụng phương pháp lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều • Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, sử dụng công cụ phương pháp lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều Cụ thể phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án đạt kết sau • Đối với tốn Dirichlet miền bị chặn cho phương trình elliptic suy biến cấp bốn đưa điều kiện đủ để không tồn nghiệm mạnh không tầm thường; chứng minh tồn nghiệm yếu toán với số điều kiện độ tăng trưởng số hạng phi tuyến Đây nội dung Chương • Đối với phương trình hyperbolic tắt dần chứa tốn tử elliptic suy biến mạnh Pα,β RN : đưa điều kiện đủ để có tồn nghiệm tích phân tồn cục Chứng minh tồn tập hút toàn cục compact mơ tả cấu trúc Đây nội dung Chương Các kết luận án mới, có ý nghĩa khoa học góp phần hồn thiện việc nghiên cứu tồn nghiệm miền bị chặn toán biên cho phương trình elliptic suy biến cấp bốn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic suy biến khơng gian Cấu trúc luận án Ngồi phần mở đầu, tổng quan, kết luận, kiến nghị, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chương - Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau Trong chương chúng tơi trình bày tốn tử ∆γ , số tính chất, ví dụ số kiến thức bổ trợ (một số không gian hàm số định lý nhúng); trình bày số kết điểm tới hạn; tập hút tồn cục tính chất - Chương 2: Trình bày tồn nghiệm khơng tồn nghiệm phương trình Laplace ∆2γ -nửa tuyến tính miền bị chặn Trong chương này, nghiên cứu tồn không tồn nghiệm cho tốn Dirichlet phương trình nửa tuyến tính cấp bốn chứa tốn tử ∆2γ : ∆2γ u = f (x, u) Ω, u = ∂γ u = ∂Ω, ν pháp tuyến đơn vị điểm biên Ω Chương gồm ba phần: phần thứ trình bày đồng thức Pohozaev toán tử ∆2γ Phần thứ hai đưa số kết không tồn nghiệm mạnh không tầm thường Phần thứ ba nói tồn nghiệm yếu khơng tầm thường - Chương 3: Trình bày dáng điệu thời gian lớn nghiệm phương trình hyperbolic suy biến mạnh không gian Trong chương này, nghiên cứu tồn tập hút tồn cục compact cho nửa nhóm tốn Cauchy với phương trình hyperbolic suy biến nửa tuyến tính Chương gồm hai phần Phần thứ nhất: Trình bày tồn nghiệm tích phân tồn cục Phần thứ hai trình bày điều kiện vế phải thành phần tuyến tính phương trình đưa phương trình phương hệ phương trình cấp một, sau chứng minh tồn tập hút tồn cục khơng gian S12 (RN ) × L2 (RN ) 13 Mệnh đề 2.2 Giả sử f (x, ξ) ≡ f (ξ) f (0) = Giả sử u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) nghiệm mạnh Bài tốn (2.1) Khi hàm u thỏa mãn đồng thức Z Z e −4 N e F (u) − N uf (u) dx = |∆γ u|2 ⟨T, ν⟩dS 2 Ω (2.4) ∂Ω Định lý 2.1 Giả sử f (x, ξ) ≡ f (ξ), f (0) = Ω δt -hình ứng với điểm gốc tọa độ thỏa mãn e e F (ξ) − N − ξf (ξ) < 0, N ∀ξ ̸= Khi Bài tốn (2.1) khơng có nghiệm không tầm thường u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) e > 4, Ω δt -hình ứng Định lý 2.2 Giả sử f (x, ξ) ≡ |ξ|p−1 ξ N với điểm gốc tọa độ e +4 N p> e −4 N Khi Bài tốn (2.1) khơng có nghiệm khơng tầm thường u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) Ví dụ 2.1 Giả sử B1 (0) ⊂ R3 hình cầu bán kính tâm gốc toạ độ Khi tốn ∂ + x4 ∂ + ∂ 2 u = |u|3 u B (0), ∂x2 ∂y ∂z u = ∂ = ∂B (0) ∂ν (2.5) khơng có nghiệm mạnh khơng tầm thường ta có γ1 = 1, γ2 = e = + 2(1 + 2) = 7, Ne +4 = 11 , B1 (0) δt -hình bậc γ3 = x2 , N e −4 N tăng trưởng vế phải lớn 11 14 2.2 Một số kết tồn nghiệm yếu phương trình elliptic suy biến cấp bốn e >4 Trong mục này, giả thiết thêm γj (x) ∈ C (RN ), N trình bày số kết tồn nghiệm tính nhiều nghiệm Bài tốn (2.1) với điều kiện thích hợp hàm phi tuyến f (x, ξ) 2,2 Định nghĩa 2.3 Hàm u ∈ Sγ,0 (Ω) gọi nghiệm yếu Bài toán (2.1) thỏa mãn đồng thức Z Z ∆γ u∆γ φdx − f (x, u(x)) φdx = Ω Ω 2,2 với φ ∈ Sγ,0 (Ω) Để tìm nghiệm yếu Bài tốn (2.1), ta tìm điểm tới hạn phiếm hàm Φ sau: Φ(u) = Z |∆γ u| dx − Ω Z F (x, u)dx (2.6) Ω Bổ đề 2.1 Giả sử f : Ω × R → R hàm Carathéodory, tức tồn p ∈ (2, 2γ∗ ), f1 (x) ∈ Lp1 (Ω), f2 (x) ∈ Lp2 (Ω), p1 /(p1 − 1) < γ 2∗ p2 2γ∗ , pp2 /(p2 − 1) ≤ 2γ∗ , p1 > max{1, p2 (p−1)+2 γ }, p2 > thỏa mãn ∗ |f (x, ξ)| ≤ f1 (x) + f2 (x) |ξ|p−1 với (x, ξ) ∈ Ω × R hầu khắp nơi 2,2 Khi Φ1 (u) ∈ C (Sγ,0 (Ω), R) Φ′1 (u)(v) Z = f (x, u)vdx Ω 2,2 với v ∈ Sγ,0 (Ω), Zξ Z Φ1 (u) = F (x, u) dx, F (x, ξ) = Ω f (x, τ )dτ 15 Ta giả sử f : Ω × R → R hàm Carathéodory thỏa mãn: (A1) Tồn p ∈ (2, 2γ∗ ), f1 (x) ∈ Lp1 (Ω), f2 (x) ∈ Lp2 (Ω), p1 /(p1 − γ 2∗ p2 1) < 2γ∗ , pp2 /(p2 − 1) < 2γ∗ , p1 > max{1, p2 (p−1)+2 γ }, p2 > 1, cho ∗ |f (x, ξ)| ≤ f1 (x) + f2 (x) |ξ|p−1 hầu khắp nơi (x, ξ) ∈ Ω × R; (A2) lim f (x,ξ) = 0, với x ∈ Ω ξ ξ→0 |F (x,ξ)| ξ2 |ξ|→∞ (A3) lim = ∞, với x ∈ Ω, F (x, ξ) ≥ với (x, ξ) ∈ Ω × R; (A4) Tồn số µ > r1 > cho µF (x, ξ) ≤ ξf (x, ξ) với (x, ξ) ∈ Ω × R, |ξ| ≥ r1 ; (A’4) Tồn số C0 , r2 > κ > max{1, N2 } cho e |F (x, ξ)|κ ≤ C0 |ξ|2κ F(x, ξ), ∀(x, ξ) ∈ Ω × R, |ξ| ≥ r2 , F(x, ξ) = f (x, ξ)ξ − F (x, ξ); (A5) f (x, ξ) hàm lẻ với ξ Từ Bổ đề 2.1 f thỏa mãn điều kiện (A1), phiếm hàm Φ xác định 2,2 2,2 Sγ,0 (Ω) Hơn nữa, Φ ∈ C (Sγ,0 (Ω), R) Z Z ′ Φ (u)(v) = ∆γ u∆γ vdx − f (x, u) vdx Ω Ω 2,2 với v ∈ Sγ,0 (Ω) Từ định nghĩa nghiệm yếu đạo hàm Φ, điểm tới hạn Φ nghiệm yếu Bài toán (2.1) Kết mục hai định lý sau 16 Định lý 2.3 Giả sử f thỏa mãn (A1)-(A3) (A4) Bài tốn (2.1) có nghiệm yếu khơng tầm thường Hơn nữa, điều kiện (A5) thỏa mãn, Bài tốn (2.1) có vơ số nghiệm yếu khơng tầm thường Định lý 2.4 Giả sử f thỏa mãn (A1)-(A3) (A’4) Bài tốn (2.1) có nghiệm yếu khơng tầm thường Hơn nữa, điều kiện (A5) thỏa mãn, Bài tốn (2.1) có vơ số nghiệm yếu khơng tầm thường Bổ đề 2.2 Giả sử f thỏa mãn (A1), (A3) (A4) Phiếm hàm Φ thỏa 2,2 mãn điều kiện (C)c với c ∈ R Sγ,0 (Ω) Bổ đề 2.3 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (A1), (A3) (A’4) Khi 2,2 Φ thỏa mãn điều kiện (C)c với c ∈ R Sγ,0 (Ω) Bổ đề 2.4 Giả sử (A1) (A2) thỏa mãn Khi tồn α, ρ > thỏa mãn Φ(u) ≥ α, 2,2 2,2 ∀u ∈ Sγ,0 (Ω), ∥u∥Sγ,0 (Ω) = ρ Bổ đề 2.5 Giả sử (A1) (A3) thỏa mãn Khi đó, với không gian b ⊂ S 2,2 (Ω), tồn R = R(X b ) > thỏa mãn hữu hạn chiều X γ,0 Φ(u) ≤ 0, Ví dụ 2.2 Bài toán ∂ + x4 ∂ + ∂x2 u = ∂y ∂ ∂ν ∂2 ∂z 2 b , ∥u∥ 2,2 ≥ R ∀u ∈ X Sγ,0 (Ω) u = |u|2 u miền giới nội Ω ⊂ RN , = ∂Ω (2.7) có vơ số nghiệm yếu khơng tầm thường Cũng Ví dụ 2.1 ta có e = 7, Ne +4 = 11 bậc tăng trưởng vế phải γ1 = 1, γ2 = γ3 = x2 , N e −4 N nhỏ 11 3 Chương Dáng điệu thời gian lớn nghiệm phương trình hyperbolic suy biến mạnh Nội dung chương dựa Bài báo [1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 3.1 3.1.1 Sự tồn nghiệm tích phân Đặt tốn khơng gian hàm Trong chương nghiên cứu toán sau: utt + λut + γ(X)u = Pα,β u + f (X, u), t > 0, (3.1) X = (x, y, z) ∈ RN1 × RN2 × RN3 := RN , u(X, 0) = u0 (X), ut (X, 0) = u1 (X), λ số dương, u0 (X) ∈ S21 (RN ), u1 (X) ∈ L2 (RN ) Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|α |y|β ∆z u, 17 (3.2) 18 N2 N3 N1 X X X ∂2 ∂2 ∂u ∂ 2u ∂2 ∆x := , ∆y := , ∆z := , ut := ∂t , utt := ∂t2 , ∂x ∂y ∂z i j l j=1 i=1 l=1 β !α N1 N2 X X |x|2α := x2i , |y|2β := yj2 , α ≥ 0, β ≥ i=1 j=1 eα,β := N1 + N2 + (1 + α + β)N3 > N Giả sử f (X, ξ) : RN × R −→ R thỏa mãn điều kiện i) γ : RN −→ R hàm thỏa mãn tính chất sau: (i1 ) Với θ ∈ (0, ∞) có số Cθ ∈ (0, ∞) cho với u ∈ S21 (RN ), Z |γ(X)||u(X)|2 dX ≤ θ ∥u∥2S21 (RN ) + Cθ ∥u∥2L2 (RN ) (3.3) RN (i2 ) Có số λ0 > thỏa mãn với u ∈ S21 (RN ), Z ∥∇α,β u∥L2 (RN ) + γ(X)|u(X)|2 dX ≥ λ0 ∥u∥2L2 (RN ) (3.4) RN ii) f : RN × R → R (X, ξ) 7→ f (X, ξ) hàm thỏa mãn điều kiện Carathéodory, tức với ξ ∈ R ánh xạ X 7→ f (X, ξ) đo Lebesgue với hầu khắp X ∈ RN , ánh xạ ξ 7→ f (X, ξ) liên tục Nguyên hàm f theo biến u định nghĩa Zξ F (X, ξ) = f (X, τ )dτ, 19 f thỏa mãn tính chất sau: (f1 ) f (X, 0) = h(X) ∈ L2 (RN ); (f2 ) Với X ∈ RN ξ1 , ξ2 ∈ R thỏa mãn |f (X, ξ1 ) − f (X, ξ2 )| ≤ C1 |ξ1 − ξ2 | (g(X) + |ξ1 |ρ + |ξ2 |ρ ) với < ρ ≤ eα,β −2 N (3.5) g : RN → R hàm đo thỏa mãn với u ∈ S21 (RN ) Z |g(X)|2 |u(X)|2 dX ≤ C2 ∥u∥2S21 (RN ) , (3.6) RN C1 , C2 số dương (f3 ) Tồn hàm đo g1 , g2 : RN → R, g1 , g2 ∈ L1 (RN ) thỏa mãn f (X, u)u ≤ g1 (X) với hầu khắp X ∈ RN , u ∈ R, (3.7) F (X, u) ≤ g2 (X) với hầu khắp X ∈ RN , u ∈ R (3.8) Ký hiệu Lpν (RN ) tập tất hàm đo u : RN → R thỏa mãn ! p1 Z |u(X)|p dX ∥u∥Lpν (RN ) := sup Y ∈RN < ∞, B(Y ) Y ∈ RN B(Y ) = {X ∈ RN : Y < X < Y + 1e , 1e = (1, 1, , 1)}, p ≥ Bổ đề sau điều kiện đủ hàm γ để thỏa mãn điều kiện (i1 ) Bổ đề 3.1 Giả sử p > ϕ ∈ Lpν (RN ) eα,β N (i) Nếu p ≥ có số C ∈ (0, ∞) thỏa mãn Z |ϕ(X)||u(X)|2 dX ≤ C ∥u∥2S21 (RN ) với u ∈ S21 (RN ) RN ... phương trình, hệ phương trình elliptic suy biến phi tuyến, phương trình parabolic suy biến phương trình hyperbolic suy biến Các kết đạt là: tồn không tồn nghiệm tốn biên cho phương trình elliptic suy. .. cục phương trình có thêm số hạng γ(X)u vế phải f (X, u) phụ thuộc thêm biến X Với lý nêu chọn đề tài nghiên cứu cho luận án ? ?Một số tính chất nghiệm lớp phương trình chứa tốn tử elliptic suy biến. .. elliptic suy biến, tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình parabolic suy biến, tồn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình hyperbolic suy biến Như biết, toán tử elliptic nghiên