Thông tin tài liệu
❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉✛ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇■➊◆ ❈❍❖ ▼❐❚ ❱⑨■ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❈➶ ❈❍Ù❆ ❚❖⑩◆ ❚Û ❊▲▲■P❚■❈ ❙❯❨ ❇■➌◆ ▼❸◆❍ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ♥❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉✛ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇■➊◆ ❈❍❖ ▼❐❚ ❱⑨■ ▲❰P P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❈➶ ❈❍Ù❆ ❚❖⑩◆ ❚Û ❊▲▲■P❚■❈ ❙❯❨ ❇■➌◆ ▼❸◆❍ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ▼➣ sè✿ ✻✷ ✹✻ ✵✶ ✵✷ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ữớ ữợ P ❚❤→✐ ♥❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tỉ✐✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈✐➳t ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ t→❝ ❣✐↔ ữủ sỹ t tr ỗ t ❦❤✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ợ ữ tứ ữủ ổ ố tr ❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ P❤↕♠ t❤à ❚❤õ② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✐ http://www.lrc-tnu.edu.vn ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ t❤✉ë❝ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ữợ sỹ ữợ t t ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❚r➼✳ ❚❤➛② ✤➣ tr✉②➲♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❦✐➳♥ t❤ù❝✱ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❱ỵ✐ t➜♠ ❧á♥❣ tr✐ ➙♥ s➙✉ s➢❝✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤è✐ ✈ỵ✐ t❤➛②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ❝ò♥❣ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤✱ ❝❛♦ ❤å❝ tr♦♥❣ s❡♠✐♥❛r ❇ë ♠ỉ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✈➔ P❤á♥❣ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✲ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ tr♦♥❣ ❝✉ë❝ sè♥❣✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ✤è❝ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❝→❝ P❤á♥❣ ❇❛♥ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣✱ P❤á♥❣ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ tr♦♥❣ ❦❤♦❛✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ tê ●✐↔✐ t➼❝❤ ✤➣ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tỵ✐ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ →♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ P❤↕♠ t❤à ❚❤õ② Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✐✐ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✐✐✐ ▼Ư❈ ▲Ư❈ ❚r❛♥❣ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ử ởt số ỵ tr ❧✉➟♥ →♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✐✈ ▼ð ✤➛✉ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ t tữớ t ố ợ ữỡ tr ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✶ ✶✳✶ ❙ü ổ tỗ t ổ t tữớ ỵ ú ỹ tỗ t ✹✺ ✶✳✹ ❱➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻✽ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❉→♥❣ ✤✐➺✉ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ t✐➳♥ r❛ ✈ỉ ❝ị♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ ✼✹ ✷✳✶ ❍➺ ❣r❛❞✐❡♥t✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✼✺ ✷✳✷ ❍➺ ❦❤æ♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✽✻ ✶✻ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✾✼ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✾✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶✵✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ởt số ỵ tr ❧✉➟♥ →♥ RN ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì t❤ü❝ N ❝❤✐➲✉✳ C k (Ω) ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tư❝ ✤➳♥ ❝➜♣ k tr➯♥ ♠✐➲♥ Ω✳ Lp (Ω) ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧ô② t❤ø❛ ❜➟❝ p ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥ ♠✐➲♥ Ω✳ x y z ∆x ∆y ∆z ∂ ∂ , , ❝➜♣ ✶ t❤❡♦ x✳ ∂x1 ∂xN1 ∂ ∂ ✈❡❝tì ❝→❝ t♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ y = , , ❝➜♣ t❤❡♦ y ✳ ∂y1 ∂yN2 ∂ ∂ , , ❝➜♣ ✶ t❤❡♦ z ✳ ✈❡❝tì ❝→❝ t♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ z = ∂z1 ∂zN3 N1 ∂ ❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ t❤❡♦ ❜✐➳♥ x : ∆x = 2✳ i=1 ∂xi N2 ∂ ❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ t❤❡♦ ❜✐➳♥ y : ∆y = 2✳ j=1 ∂yj N3 ∂ ❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ t❤❡♦ ❜✐➳♥ z : ∆z = 2✳ l=1 ∂zl ✈❡❝tì ❝→❝ t♦→♥ tû ✤↕♦ ❤➔♠ x = (., ) ổ ữợ tr ổ L2 () P, Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u✱ ✈ỵ✐ α, β ≥ 0✱ α + β > 0, |x|2α = N1 α x2i , |y|2β = i=1 N2 β yj2 , j=1 dx = dx1 dx2 dxN1 , dy = dy1 dy2 dyN2 , dz = dz1 dz2 dzN3 ✳ C(X, Y ) ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ tø X ✈➔♦ Y C (X, Y ) ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ❧✐➯♥ tư❝ tø X ✈➔♦ Y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ỵ t➔✐ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❧✉æ♥ ❧➔ ❝❤õ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❝❤✉②➯♥ ❣✐❛ q✉❛♥ t➙♠ ❜ð✐ ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ư♥❣ rở r õ tr t ỵ õ ❤å❝ ✈➔ s✐♥❤ ❤å❝✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tỗ t ổ tỗ t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❝â ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ❧➔ ❦❤â✱ ♣❤ù❝ t↕♣✳ ❉♦ ✈➟② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤↕t ữủ tr q trồ tr t tr ỵ tt t ợ ỵ tr ú tæ✐ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ ❧✉➟♥ →♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ❧➔ ✧❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❝❤♦ ♠ët ✈➔✐ ❧ỵ♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤✧✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ →♥ ✷✳✶ ▼ö❝ ✤➼❝❤ q✉❛♥ trå♥❣ t❤ù ♥❤➜t ▼ö❝ ✤➼❝❤ q✉❛♥ trå♥❣ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝❤➾ r❛ ✤÷đ❝ sè ♠ơ tợ ỵ ú ổ ❝â trå♥❣ ❧✐➯♥ ❦➳t ✈ỵ✐ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤✳ ❚ø ❦➳t q✉↔ ✤â ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ sỹ tỗ t t õ ❝❤ù❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✷✳✷ ▼ư❝ ✤➼❝❤ q✉❛♥ trå♥❣ t❤ù ✷ ▲➔ ✤÷❛ r❛ ữủ ỗ t tự P tứ õ ú tổ ự ữủ sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ t ố ợ ữỡ tr t s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✷✳✸ ▼ö❝ ✤➼❝❤ q✉❛♥ trå♥❣ t❤ù ✸ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ sü tỗ t sỹ tỗ t t sỹ tỗ t t út t t ❜❛♥ ✤➛✉ ❝â ❝❤ù❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✶ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ sè ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝â ✤ë t➠♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✤ë t➠♥❣ tỵ✐ ❤↕♥ ✈➔ số t õ t tý ỵ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ❝â ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u, ✈ỵ✐ α, β ≥ 0, α + β > ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ t❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤đ♣✱ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ tỵ✐ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ▲✉➟♥ →♥ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ ữỡ ự tr ỵ t❤✉②➳t ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ s✉② ❜✐➳♥ ♣❤✐ t✉②➳♥ ✈ỵ✐ sü ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ♣❤ị ❤đ♣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ t♦→♥ tû Pα,β ✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❝á♥ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ t ự sỹ tỗ t t tỗ t t út t ỷ õ S(t) s ữỡ tr r ợ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤➼❝❤ ❤đ♣ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➺ ❣r❛❞✐❡♥t ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛❧❡r❦✐♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➺ ❦❤ỉ♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t✳ ✺✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ →♥ ❚ø ❜✉ê✐ ỵ tt ữỡ tr r ữớ t❛ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠ tỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à♥❤ t➼♥❤ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤❛② ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â ✤ë trì♥ ✈➔ t➼♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ✣ë trì♥ ữủ ổ t tr ợ t tỷ ❡❧❧✐♣t✐❝✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ❧➔ t♦→♥ tû ●r✉s❤✐♥ Gk u = ∆x u + |x|2k ∆y u ✈ỵ✐ (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 +N2 , N1 , N2 ≥ 1, k ∈ Z+ , tr♦♥❣ ❬✷✼❪ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❣÷í✐ ◆❣❛ ●r✉s❤✐♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤→♥❣ ❦➸✳ • ◆➳✉ k = t❤➻ G0 ❧➔ ❡❧❧✐♣t✐❝ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ Ω • ◆➳✉ k > t❤➻ Gk ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ❡❧❧✐♣t✐❝ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ Ω ⊂ RN1 +N2 ❝â ❣✐❛♦ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈ỵ✐ ♠➦t x = 0✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ◆❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ●r✉s❤✐♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ♥➳✉ Gk u ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈æ ❤↕♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ Ω t❤➻ ✉ ❝ơ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ ✈ỉ ❤↕♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ Ω ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ Gk ✤÷đ❝ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→ ✤➛② ✤õ tr♦♥❣ ❬✷✼❪✳ ◆❤÷ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤✐➲✉ ✤â ❧➔ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + x21 x22 x2n ự sỹ tỗ t ổ tỗ t t ❜✐➯♥ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➢t ✤➛✉ tø ♥û❛ t❤➳ ❦✛ t❤ù ❤❛✐ ♠÷ì✐✳ ❚r♦♥❣ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❬✸✺❪ ✭✶✾✻✺✮✱ ❙✳ P♦❤♦③❛❡✈ ✤➣ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ∆u + f (u) = tr♦♥❣ Ω, (1) u = tr➯♥ ∂Ω, ✈ỵ✐ Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ Rn (n ≥ 2), f (u) = λu + |u|p−1 u ❑➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❧➔ • ◆➳✉ n = 2✱ < p < ∞, t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ổ t tữớ ã n = 0✱ p ≥ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣✳ n+2 ✈➔ Ω ❧➔ ❤➻♥❤ s❛♦✱ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ n−2 n+2 , t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣✳ n−2 n+2 ❇ð✐ ✈➟② ❦❤✐ n ≥ ❣✐→ trà p0 = ❧➔ ❣✐→ trà r➜t ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ●✐→ trà n−2 2n ❧✐➯♥ q✉❛♥ p0 + = ❧➔ ❣✐→ trà tỵ✐ ❤↕♥ t õ ỵ ú n2 p0 ữủ ❣å✐ ❧➔ sè ♠ơ ❙♦❜♦❧❡✈ tỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ❝❤♦ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡✳ • ◆➳✉ n ≥ 3✱ λ = 0✱ < p < Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✹ ✣➳♥ ♥➠♠ ✶✾✽✸✱ ❤❛✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❍✳ ❇r❡③✐s rr ổ ố t q tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ n+2 −∆u = λu + u n−2 tr♦♥❣ Ω, (2) u = tr➯♥ ∂Ω, ✈ỵ✐ Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝â ❜✐➯♥ trì♥ tr♦♥❣ Rn , n ≥ ✳ ❑➳t q✉↔ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ • ❑❤✐ n ≥ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞÷ì♥❣ ♥➳✉ < λ < λ1 ✱ ✈ỵ✐ λ1 ❧➔ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ t♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ ù♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t✳ ã n = tỗ t ❧➔ < λ∗ < λ < λ1 ❦❤✐ Ω ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉✱ λ∗ = λ1 ✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t✐➯♥ ♣❤♦♥❣ ♥➔② ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ ✤➣ t❤ó❝ ✤➞② ❤➔♥❣ tr➠♠ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ✤â ✭①❡♠ ❬✻✱ ✼✱ ✶✶✱ ✶✼✱ ✸✾❪ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ t ữ sỹ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ữỡ t ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ ✤↕t ✤÷đ❝ t÷ì♥❣ ✤è✐ trå♥ ✈➭♥✳ ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥✳ ❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✾✽ tr♦♥❣ ❬✹✷✱ ✹✸❪✱ ◆✳ ▼✳ ❚r➼ ✤➣ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ −Lk u + f (u) = tr♦♥❣ Ω, (3) u = tr➯♥ ∂Ω, ∂ 2u 2k ∂ u tr♦♥❣ ✤â Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ R ✱ Lk u = +x ✱ (k ≥ 1)✱ ∂x2 ∂y f (u) = u|u|γ−1 ✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷đ❝ ð ✤➙② ❧➔ ✈➔ Ω ❧➔ Lk ✲ ❤➻♥❤ s❛♦ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✮ ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ổ k t tữớ ã ã < < ❜➔✐ t♦→♥ ✭✸✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣✳ ❇ð✐ ✈➟② ❝♦✐ k 4+k ❣✐→ trà ❧➔ sè ♠ô ❙♦❜♦❧❡✈ tỵ✐ ❤↕♥ ❝❤♦ t♦→♥ tû Lk ✳ k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✵ a+b ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ p ≤ ap + bp ✱ t❛ ❝â T ||f (x, y, z, un (t))||pLp (Q T) ≤ C2p (1p + |un (t)|(p−1)p )dxdydzdt Ω T T = C2q |un (t)|p dxdydzdt = C |un (t)|p dxdydzdt < +∞ Ω Ω ❱➻ |un (t)|p ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Lp (ΩT ) ♥➯♥ ❞➣② f (x, y, z, un (t)) ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Lp (ΩT )✳ dun } ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ dt Lp ((0, T ); S0−1 (Ω) + Lp (ΩT ) ❚❤➟t ✈➟②✱ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ { dun (t) = Pα,β un (t) − f (x, y, z, un (t)), dt dun } ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ L2 ((0, T ); S −1 (Ω) + Lp (ΩT )), ♠➔ dt L2 ((0, T ); S −1 (Ω)) ✈➔ Lp (ΩT ) ❧➔ ♥❤ó♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔♦ Lp ((0, T ); S −1 (Ω) + dun } ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Lp ((0, T ); S −1 (Ω))✳ ❉♦ ♠å✐ Lp (ΩT )✳ ❉♦ ✈➟② ❞➣② { dt ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✤➲✉ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ dunk du ❤ë✐ tö ②➳✉✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ✈➔ ❣✐↔ sû → tr♦♥❣ dt dt L2 ((0, T ); S −1 (Ω))✳ ❚ø ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ❝→❝ ❤➔♠ u, v t❤ä❛ ♠➣♥ u ∈ L2 ((0, T ); S01 (Ω)) ∩ Lp (ΩT ); du ∈ Lp ((0, T ); S −1 (Ω) + Lp (Ω)), v ∈ Lp (ΩT ), dt ✈➔ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ nk s❛♦ ❝❤♦ s✉② r❛ { unk u tr♦♥❣ L2 ((0, T ); S01 (Ω)), unk u tr♦♥❣ Lp (ΩT ), f (x, y, z, unk ) v tr♦♥❣ Lp (ΩT ), dunk du tr♦♥❣ L2 ((0, T ); S −1 (Ω)), dt dt ❦❤✐ nk → ∞✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ ✤↕t ✤÷đ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧➔ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✶ • un u tr♦♥❣ L2 ((0, T ), S01 (Ω)); • un u tr♦♥❣ Lp (ΩT ); • f (un ) dun dt ❱➻ ✈➟② • v tr♦♥❣ Lp (ΩT ); du tr♦♥❣ L2 ((0, T ), S0−1 (Ω)) dt u ∈ L2 ((0, T ); S01 (Ω)) ∩ Lp (ΩT ) ✈➔ dun ∈ L2 ((0, T ); S −1 (Ω) + Lp (ΩT )) dt ❱➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω))✳ P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ v = f (x, y, z, u) ✈➔ u(0) = u0 ✳ dun ❚ø ❞➣② {un (t)} ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ L2 ((0, T ); S01 (Ω)) ✈➔ ❞➣② { } ❧➔ ❜à dt ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Lp ((0, T ); S −1 (Ω)) +Lp (ΩT ) ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ ❇ê ✤➲ ✶✸ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ un → u ∈ L2 ((0, T ); L2 (Ω)) ❱➻ ✈➟②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ❞➣② ❝♦♥ unk s❛♦ ❝❤♦ unk → u ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr♦♥❣ ΩT ✳ ❚ø t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f t❛ ❝â f (x, y, z, unk ) → f (x, y, z, u) ✈ỵ✐ ♠å✐ (x, y, z, t) ∈ ΩT ❉♦ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ {f (unk )} tr♦♥❣ Lp (ΩT ) ♥➯♥ f (x, y, z, unk ) f (u) tr♦♥❣ Lp (ΩT ) ❦❤✐ nk → ∞✳ ❚ø t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ②➳✉ t❤➻ v = f (x, y, z, u)✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ u0 = u(0)✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ❤➔♠ t❤û ϕ ∈ C ([0, T ]; S01 (Ω) ∩ Lp (Ω)) ✈ỵ✐ ϕ(T ) = 0✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ϕ ∈ Lp (ΩT ) ∩ L2 ((0, T ); S01 (Ω))✳ ▲➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ tø♥❣ ♣❤➛♥ t❤❡♦ ❜✐➳♥ t T T −(u, ϕ )dt + |x|2α |y|2β x u zu zϕ xϕ + y u yϕ Ω + f (x, y, z, u)ϕ dxdydzdt = (u(0), ϕ(0)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✷ ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â T T −(un , ϕ )dt + x un |x|2α |y|2β z un zϕ xϕ + y un yϕ Ω + f (x, y, z, un )ϕ dxdydzdt = (un (0), ϕ(0)) ❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ n → +∞ t❛ ✤÷đ❝ T T −(u, ϕ )dt + 2α { 2β +|x| |y| zu zϕ x u xϕ + y u yϕ Ω + f (x, y, z, u)ϕ}dxdydzdt = (u(0), ϕ(0)) ❑❤✐ n → +∞, t❤➻ un (0) → u0 s✉② r❛ u(0) = u0 ✳ ❉♦ T ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ u0 ♥➯♥ ♥❣❤✐➺♠ u(t) ❝â t❤➸ t❤→❝ tr✐➸♥ ♥❤÷ ♥❣❤✐➺♠ t♦➔♥ ❝ư❝ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ [0, ∞)✳ ✷✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ✤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✈➔ t➼♥❤ ♣❤ö t❤✉ë❝ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔♦ ❣✐ú ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉✳ ●✐↔ sû u, v ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✮✲✭✷✳✸✮ ✈ỵ✐ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ❧➔ u0 = u0 (x, y, z), v0 = v0 (x, y, z)✳ ✣➦t w = u − v ✳ ❚❤➻ w t❤ä❛ ♠➣♥ ∂w − Pα,β w + f (x, y, z, u) − f (x, y, z, v) = 0, tr♦♥❣ Ω, t > 0, ∂t ✭✷✳✶✸✮ w(x, y, z, t) = 0, ✈ỵ✐ (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, w(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z) − v0 (x, y, z), ✈ỵ✐ (x, y, z) ∈ Ω ◆❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ✭✷✳✶✸✮ ✈ỵ✐ 2w✱ s❛✉ ✤â ❧➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ Ω t❛ ✤÷đ❝ 0= d||w||2L2 (Ω) dt +2||w||2S01 (Ω) +2 (u−v) f (x, y, z, u)−f (x, y, z, v) dxdydz Ω ❙û ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â (u − v)2 dxdydz (u − v)(f (x, y, z, u) − f (x, y, z, v))dxdydz ≥ −C Ω Ω = −C||w||2L2 (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✸ ❉♦ ✈➟② 0= d||w||2L2 (Ω) dt +2||w||2S01 (Ω) +2 (u−v)(f (x, y, z, u)−f (x, y, z, v))dxdydz Ω ≥ d||w||2L2 (Ω) dt + 2||w||2S01 (Ω) − 2C||w||2L2 (Ω) ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ●r♦♥✇❛❧❧ t❛ ✤÷đ❝ ||w(t)||2L2 (Ω) ≤ ||w(0)||2L2 (Ω) e2Ct r ỵ ữủ ự ỵ ✷✳✷✳✷ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✮✲✭✷✳✸✮ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ỷ õ S(t) tử tr L2 () ỵ ✷✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✵✮✲✭✷✳✶✶✮✳ ❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✮✲✭✷✳✸✮ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ♥û❛ ♥❤â♠ ❧✐➯♥ tö❝ S(t) : L2(Ω) → L2 (Ω) ❝â ♠ët t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ L2 (Ω)✳ ự ứ s tỗ t ởt số R ữỡ s ợ ộ u0 L2 () t❛ ❝â sè t0 (||u0 ||L2 (Ω) ) s❛♦ ❝❤♦ ||un (t)||L2 (Ω) ≤ R ✈ỵ✐ ♠å✐ n, t ≥ t0 ◆❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ✭✷✳✶✮ ✈ỵ✐ u u ∂u − uPα,β u + u.f (x, y, z, u) = t rỗ sỷ 1d ||u(t)||2 + ||u(t)||2S01 (Ω) + C dt |u(t)|p dxdydz − vol(Ω) ≤ Ω ▲➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤❡♦ ❜✐➳♥ t tứ s tợ s + ú t t ữủ s+1 s+1 ||un (t)||2S01 (Ω) + C||un (t)||pLp (Ω) dt ≤ s (−||u(t)||2S01 (Ω) + vol(Ω))dt s ≤ vol(Ω) + R2 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✹ ✈ỵ✐ ♠å✐ n s t0 ú ỵ r C(|u|p − 1) ≤ F (x, y, z, u) ≤ C(|u|p + 1), ♥➯♥ s+1 F (x, y, z, un )dxdydz dt ≤ C, ∀n ✈➔ s ≥ t0 ||un (t)||2S01 (Ω) + s Ω ✭✷✳✶✹✮ ❇➯♥ ❝↕♥❤ ✤â✱ tø un (t) ∈ S01 (Ω) ∩ Lp (Ω) ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â d ||un (t)||2S01 (Ω) + dt F (x, y, z, un )dxdydz = − dun dt L2 (Ω) ≤ Ω ✭✷✳✶✺✮ ❚ø ✭✷✳✶✹✮✲✭✷✳✶✺✮ ❝❤ó♥❣ t❛ s✉② r❛ ||un (t)||2S (Ω) + ❙✉② r❛ F (x, y, z, un )dxdydz ≤ C, ✈ỵ✐ ∀n ✈➔ s ≥ t0 + Ω ||un (t)||2S (Ω) + ||un (t)||pLp (Ω) ≤ C, ✈ỵ✐ ∀n ✈➔ s ≥ t0 + ❑❤✐ n → +∞ t❤➻ ||u(t)||2S01 (Ω) + ||u(t)||Lp (Ω) ≤ C, ∀t ≥ t0 + ứ ữợ ữủ tr t õ BC (0) ❧➔ t➟♣ ❤ót tr♦♥❣ S01 (Ω) ∩ Lp (Ω) ố ợ ỷ õ S(t) ỹ tỗ t t út t♦➔♥ ❝ư❝ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣✱ ❝♦♠♣❛❝t A ❧➔ ❦➳t q✉↔ tø ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ S01 (Ω) ✈➔♦ L2 (Ω)✱ L2 () tổ (A = w(BC (0))) ỵ ữủ ự t sỹ tỗ t t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ s❛✉ ∂u ∂t + Pα,β u + u = 0, ✈ỵ✐ (x, y, z) ∈ Ω, t > 0, u(x, y, z, t) = 0, ✈ỵ✐ (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), ✈ỵ✐ (x, y, z) ∈ Ω, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✺ tr♦♥❣ ✤â Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❣✐ỵ✐ ♥ë✐ tr♦♥❣ RN1 +N2 +N3 ✱ ∂Ω ❧➔ ❜✐➯♥ trì♥ ❝õ❛ ♠✐➲♥ Ω✱ (x, y, z) = (x1 , , xN1 , y1 , , yN2 , z1 , , zN3 ) ∈ Ω ⊂ RN1 +N2 +N3 , Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u ❈❤ó♥❣ t❛ ✤✐ ❦✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✵✮✲✭✷✳✶✶✮ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ f (x, y, z, u) = u3 tr trữớ ủ p = 4, = ❚❛ ❝â f (x, y, z, u)u = u4 , ❦❤✐ ✤â (|u|4 − 1) ≤ u4 ≤ |u|4 + ❱➟② ❤➔♠ f (x, y, z, u) = u3 t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✵✮✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ (u − v)(f (u) − f (v)) = (u − v)(u3 − v ) = (u − v)2 (u2 + uv + v ) u2 v 2 (u + v) + + ≥ −(u − v)2 ≥ (u − v) 2 ❉♦ ✤â ❤➔♠ f (x, y, z, u) = u3 t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✶✮✳ ❱➟② ❤➔♠ ❢ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✶✵✮✲✭✷✳✶✶✮✱ →♣ ỵ t tỗ t ởt t út t♦➔♥ ❝ư❝ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ L2 (Ω) ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥û❛ ♥❤â♠ S(t) s✐♥❤ ❜ð✐ ❜➔✐ t♦→♥✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤➣ ✤↕t ữủ ự ữủ sỹ tỗ t t tỗ t t t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ t✐➳♥ r❛ ✈ỉ ũ tổ q sỹ tỗ t t út t ❝õ❛ ♥û❛ ♥❤â♠ ❧✐➯♥ tö❝ S(t) s✐♥❤ ❜ð✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ❝❤ù❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❝â t tỷ P, tr trữớ ủ ã ố ♣❤✐ t✉②➳♥ ❝â ✤ë t➠♥❣ ♥❤ä ❤ì♥ ✤ë t➠♥❣ tỵ✐ ❤↕♥ ✭tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➺ ❣r❛❞✐❡♥t✮✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✻ • ❙è ❤↕♥❣ ♣❤✐ t✉②➳♥ t➠♥❣ tr÷ð♥❣ ✈➔ t✐➯✉ ❤❛♦ ❦✐➸✉ tự trữớ ủ ổ rt ã ữ r ✤÷đ❝ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➺ ❣r❛❞✐❡♥t ✈➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❤➺ ❦❤ỉ♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❧➔ sü ♠ð rë♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ ự trữợ õ ố ợ ữỡ tr r ỷ t t➼♥❤ ❝❤ù❛ t♦→♥ tû ●r✉s❤✐♥ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❈✉♥❣ ❚❤➳ ❆♥❤✱ P❤↕♠ ◗✉è❝ ❍÷♥❣✱ ❚r➛♥ ✣➻♥❤ ❑➳✱ ❚rà♥❤ ❚✉➜♥ P❤♦♥❣ ❬✾❪ ✈➔ ❈✉♥❣ ❚❤➳ ❆♥❤✱ ❚r➛♥ ✣➻♥❤ ❑➳ ❬✶✵❪✳ ợ ữỡ ự tữỡ tỹ ữủ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ❝❤♦ ♣❤ị ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❧ỵ♣ t♦→♥ tû Pα,β ✤÷đ❝ ①➨t tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✹❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ▲✉➟♥ →♥ ự tỗ t ổ tỗ t ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❝â ❝❤ù❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❜à õ trỡ sỹ tỗ t t♦➔♥ ❝ư❝✱ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ tr ố ợ ữỡ tr r õ t♦→♥ tû ❡❧❧✐♣t✐❝ s✉② ❜✐➳♥ ♠↕♥❤✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥✿ ✶✳ ◆❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ P♦❤♦③❛❡✈ s✉② rë♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❝❤ù❛ Pα,β ✱ tø ✤â ✤÷❛ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ổ tỗ t ổ t tữớ tr P, s r ữủ số ụ tợ ❤↕♥✱ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝â trå♥❣ t÷ì♥❣ t ợ t tỷ P, tt ữủ ỵ ú tữỡ ự ự ữủ sỹ tỗ t ổ t tữớ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❝❤ù❛ Pα,β ✳ ự sỹ tỗ t ổ số ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❝â ❝❤ù❛ ❤➔♠ ❧➫✱ ♣❤✐ t✉②➳♥✳ ✺✳ ✣÷❛ r❛ ✤÷đ❝ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❜➔✐ t sỹ ổ tỗ t ổ t tữớ tỗ t ự ữủ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❣✐→ tr ố ợ ữỡ tr r ỷ t t õ P, tỗ t ✤✐➺✉ ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ t❤í✐ ❣✐❛♥ t✐➳♥ r❛ ✈ỉ ❝ị♥❣ ✈➔ ❝â ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✾✼ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✾✽ ✲ ❍➺ ❣r❛❞✐❡♥t ✲ ❍➺ ❦❤ỉ♥❣ ❣r❛❞✐❡♥t ◆❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ t✐➳♣ tư❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ tỗ t t ❜✐➯♥ ♥â✐ tr➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ✷✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ❤ót t♦➔♥ ❝ư❝ ♥❤÷✿ ❝❤✐➲✉✱ sü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔♦ ❝→❝ t❤❛♠ sè✱ t➼♥❤ trì♥✱✳✳✳✳ ✸✳ ❈→❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t➳✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❈ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✶✳ ❚❤✉② P✳ ❚✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ♥♦♥✲ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ♥♦♥tr✐✈✐❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❛ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ R3 ✧✱ ❏✳ ❙❝✐✳ ❚❡❝❤♥♦❧✳ ❚❤❛✐ ◆❣✉②❡♥ ❯♥✐✈✱ ✭✹✹✽✮✱ ♣♣✳ ✾✷✲✾✻✳ ✷✳ ❚❤✉② P✳ ❚✳✱ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❚❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥ts ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❞✐❢❢❡r✲ ❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✧✱ ■♥✿ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ▼♦s❝♦✇ ✳ ✸✳ ❚❤✉② P✳ ❚✳✱ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ✧◆♦♥tr✐✈✐❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r s❡♠✐❧✐♥❡❛r str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✧✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✳ ❆♣♣❧✱ ✭✶✾✮✱ ♣♣✳ ✷✼✾✲✷✾✽✳ ✹✳ ❚❤✉② P✳ ❚✳✱ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✧▲♦♥❣ t✐♠❡ ❜❡❤❛✈♦r ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ str♦♥❣❧② ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✳ ❆♣♣❧✱ ✭✷✵✮✱ ♣♣✳ ✶✷✶✸✲✶✷✷✹✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✾✾ http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❈❤÷ì♥❣✱ ❍➔ ❚✐➳♥ ◆❣♦↕♥✱ ◆❣✉②➵♥ ▼✐♥❤ ❚r➼✱ ▲➯ ◗✉❛♥❣ ❚r✉♥❣ ✭✷✵✵✵✮✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ö❝✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ❚❤ø❛ ❍đ♣ ✭✶✾✽✺✮✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✱ t➟♣ ✶✱✷✱ ◆❳❇ ●✐→♦ ❞ư❝✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✸❪ ◆❣✉②➵♥ ▼↕♥❤ ❍ị♥❣ ✭✷✵✵✻✮✱ ■■✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ✳ ❬✹❪ ❍♦➔♥❣ ❚ư② ✭✷✵✵✸✮✱ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✱ ♣❤➛♥ ■✱ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ r ự ỵ tt ữỡ tr ✈✐ ♣❤➙♥ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ q✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✻❪ ❆❞✐♠✉rt❤✐✱ P❛❝❡❧❧❛ ❋✳✱❨❛❞❛✈❛✳ ✭✶✾✾✺✮✱ ✧❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ L∞ ✲❡st✐♠❛t❡s ❢♦r s✉❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❛ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ♥❡✉♠❛♥♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❝r✐t✐❝❛❧ ❙♦❜♦❧❡✈ ❡①♣♦♥❡♥t✧✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ■♥t❡❣r❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ✽✭✶✮✱ ♣♣✳ ✹✶✲✻✽ ✳ ❬✼❪ ❆❞✐♠✉rt❤✐✱ ❨❛❞❛✈❛✳ ✭✶✾✾✺✮✱ ✧❈r✐t✐❝❛❧ ❙♦❜♦❧❡✈ ❡①♣♦♥❡♥t ♣r♦❜❧❡♠ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ P❉❊ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❣❡♦♠❡tr②✱ ✷✶ ❆✉❣✉st ✲ ✶ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✾✾✺✱ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❝❡♥t❡r ❋♦r ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s✱ ❚r✐❡st❡✱ ■t❛❧②✳ ✇✐t❤ ♥❡✉♠❛♥♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✧✱ ❬✽❪ ❆♠❜r♦s❡tt✐ ❆✳✱ ❘❛❜✐♥♦✇✐t③ P✳ ✭✶✾✼✸✮✱ ✧❉✉❛❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t t❤❡♦r② ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✱ ♣♣✳ ✸✹✾✲✸✽✶✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✶✵✵ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✭✶✹✮✱ ✶✵✶ ❬✾❪ ❆♥❤ ❈✳ ❚✳✱ ❍✉♥❣ P✳ ◗✳✱ ❑❡ ❚✳ ❉✳✱ P❤♦♥❣ ❚✳ ❚✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧●❧♦❜❛❧ ❛ttr❛❝t♦r ❢♦r ❛ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ●r✉s❤✐♥ ♦♣❡r❛t♦r✧✱ ❊❧❡❝tr♦♥✐❝ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ✭✸✷✮✱ ♣♣✳ ✶✲✶✶✳ ❬✶✵❪ ❆♥❤ ❈✳ ❚✳✱ ❑❡ ❚✳ ❉✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ❣❧♦❜❛❧ ❛ttr❛❝t♦rs ❢♦r ❛ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✧✱ ❊❧❡❝tr♦♥✐❝ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ✭✻✶✮✱ ♣♣✳ ✶✲✶✸✳ ❬✶✶❪ ❆t❦✐♥s♦♥ ❋✳ ❱✳✱ ❇r❡③✐s ❍✳✱ P❡❧❡t✐❡r ▲✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧❙♦❧✉t✐♦♥s d, ❡q✉❛t✐♦♥s ❊❧❧✐♣t✐q✉❡s ❛✈❡❝ ❡①♣♦s❛♥t ❞❡ ❙♦❜♦❧❡✈ ❝r✐t✐q✉❡ q✉✐ ❝❤❛♥❣❡♥t ❞❡ s✐❣♥❡✧✱ ❈✳ ❘✳ ❆ ❝❛❞✳ ❙❝✐ P❛r✐s✱ t✳ ✸✵✻✱ ❙❡r✐❡ ■✱ ♣♣✳ ✼✶✶✲✼✶✹✳ ❬✶✷❪ ❇✐❛❣✐♥✐ ❙✳ ✭✶✾✾✺✮✱ ✧P♦③✐t✐✈❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣ ❣r♦✉♣✧✱ ❇♦❧❧✳ ❯♥✳ ▼❛t✳ ■t❛❧✳ ❇✱ ✭✾✮✱ ♣♣✳ ✽✻✸ ✲✾✵✵✳ ❬✶✸❪ ❇✐❡s❦❡ ❚✳ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧❱✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ♦♥ ●r✉s❤✐♥ t②♣❡ ♣❧❛♥❡s✧✱ ■■■✳ ❏✳ ▼❛t❤✱ ✭✹✻✮✱ ♣♣✳ ✽✾✸ ✲✾✶✶✳ ❬✶✹❪ ❇✐❡s❦❡ ❚✳ ✭✷✵✵✻✮✱ ✧❚❤❡ p✲ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ●r✉s❤✐♥ t②♣❡ s♣❛❝❡s✧✱ Pr♦❝✳ ❆♠✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✱ ✶✸✹ ✭✶✷✮✱ ♣♣✳ ✸✺✽✺✲✸✺✾✹✳ ❬✶✺❪ ❇✐r✐♥❞❡❧❧✐ ■✳✱ ❈❛♣✉③③♦ ❉♦❧❝❡tt❛ ■✳✱ ❈✉tr✐ ❆✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧■♥❞❡❢✐♥✐t❡ s❡♠✐✲❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣ ❣r♦✉♣✿ ❛ ♣r✐♦r✐ ❜♦✉♥❞s ❛♥❞ ❡①✐st❡♥❝❡✧✱ ❈♦♠♠✉♥✳ P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✳✱ ✭✷✸✮✱ ♣♣✳ ✶✶✷✸✲✶✶✺✼✳ ❬✶✻❪ ❇r❡③✐s ❍✳✱ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ▲✳ ✭✶✾✽✸✮✱ ✧P♦s✐t✐✈❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥ ✲ ❧✐❡❛r ❊❧❧✐♣t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❝r✐t✐❝❛❧ ❙♦❜♦❧❡✈ ❡①♣♦♥❡♥ts✧✱ ❈♦♠♠✉♥✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✸✻✮✱ ♣♣✳ ✹✸✼✲✹✼✼✳ ❬✶✼❪ ❇✉❞❞ ❈✳✱ ❑♥❛❛♣ ▼✳ ❈✳✱ P❡❧rt✐❡r ▲✳ ❆✳ ✭✶✾✾✶✮✱ ✧❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❊❧❧✐♣t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥ts ❛♥❞ ♥❡✉✲ ♠❛♥♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✧✱ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣ ✐♥❜✉r❣❤✱ ✶✶✼❆✱ ♣♣✳ ✷✷✺✲✷✺✵✳ ♦❢ t❤❡ ❘♦②❛❧ ❙♦❝✐❡t② ♦❢ ❊❞✲ ❬✶✽❪ ❈❛♣♦❣♥❛ ▲✳✱ ❉❛♥✐❡❧❧✐ ❉✳✱ ●❛r♦❢❛❧♦ ◆✳ ✭✶✾✾✷✮✱ ✧❆♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r❡♠ ❛♥❞ t❤❡ ❍❛r♥❛❝❦ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❢♦r ♥♦♥❧✐♥❡❛r s✉❜❡❧❧✐♣t✐❝ ❡q✉❛✲ t✐♦♥s✧✱ ❈♦♠♠✉♥✳ P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✳✱ ✭✶✽✮✱ ♣♣✳ ✶✾✻✺✲✶✼✾✹✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶✵✷ ❬✶✾❪ ❈❤✉♦♥❣ ◆✳ ▼✳✱ ❑❡ ❚✳ ❉✳✱ ❚❤❛♥❤ ◆✳ ❱✳✱ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✶✾✾✾✮✱ ✧◆♦♥ ✲ ❡①✐st❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r s♦♠❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❢❡r✲ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡❧❧✐♣❧✐❝ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❡♥❝❡ ♦♥ P❉❊s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❍❛ ♥♦✐ ❉❡❝✱ ♣♣✳ ✶✽✺ ✲ ✶✾✵✳ ❬✷✵❪ ❈❤✉♦♥❣ ◆✳ ▼✳✱ ❑❡ ❚✳ ❉✳ ✭✷✵✵✹✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ♥♦♥✲ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ s②st❡♠✧✱ ❊❧❡❝tr♦♥✳ ❏✳ ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✱ ✭✾✸✮✱ ♣♣✳ ✶✲✶✺✳ ❬✷✶❪ ❈❤✉♦♥❣ ◆✳ ▼✳✱ ❑❡ ❚✳ ❉✳ ✭✷✵✵✺✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ r❡s✉❧ts ❢♦r ❛ s❡♠✐❧✐♥✲ ❡❛r ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ●r✉s❤✐♥ t②♣❡ ♦♣❡r❛t♦r✧✱ ❊❧❡❝tr♦♥✳ ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✱ ✭✾✹✮✱ ♣♣✳ ✶✲✶✷ ✳ ❏✳ ❬✷✷❪ ❈❤✉❡s❤♦✈ ■✳ ❉✳ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ✐♥❢✐♥✐t❡✲ ❞✐✲ ♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ s②st❡♠s✧✱ ❆❈❚❆ ❑❤❛r❦♦✈✱ ❯❦r❛✐♥❡✳ ❙❝✐❡♥t✐❢✐❝ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ❍♦✉s❡✱ ❬✷✸❪ ❈✐tt✐ ●✳ ✭✶✾✾✺✮✱ ✧❙❡♠✐❧✐♥❡❛r ❉✐r✐❝❤❧❡t ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①✲ ♣♦♥❡♥t ❢♦r t❤❡ ❑♦❤♥✲ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥✧✱ ❆♥♥✳ ❙❝✐✱ ❙❝✉♦❧❛ ◆♦r♠✳ ❙✉♣✳ P✐s❛ ❈❧✳ ✭✶✻✾✮✱ ♣♣✳ ✸✼✺ ✲✸✾✷✳ ❬✷✹❪ ❋r❛♥❝❤✐ ❇✳✱ ▲❛♥❝♦♥❡❧❧✐ ❊✳ ✭✶✾✽✹✮✱ ✧❆♥ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ t❤❡♦r❡♠s ❢♦r ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ ♥♦♥s♠♦♦t❤ ✈❡❝t♦r ❢✐❡❧❞s ❛♥❞ ❍❛r♥❛❝❦ ✐♥✲ ❡q✉❛❧✐t②✧✱ ❈♦♠♠✉♥✳ P❛rt✐❛❧ ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✱ ✭✾✮✱ ♣♣✳ ✶✷✸✼✲✶✷✻✹✳ ❬✷✺❪ ●❛❣❧✐❛r❞♦ ❊✳ ✭✶✾✺✾✮✱ ✧❯❧t❡r✐♦r✐ ♣r♦♣r✐❡t❛s ❞✐ ❛❧❝✉♥❡ ❝❧❛ss✐ ❞✐ ❢✉♥③✐♦♥✐ ✐♥ ♣✐✉ ✈❛r✐❛❜✐❧✐✧✱ ❘✐❝✳ ▼❛t✱ ✭✽✮✱ ♣♣✳ ✷✹✲✺✶✳ ❬✷✻❪ ●❛r♦❢❛❧♦ ◆✳✱ ▲❛♥❝♦♥❡❧❧✐ ❊✳ ✭✶✾✾✷✮✱ ✧❊①✐stt❡♥❝❡ ❛♥❞ ♥♦♥❡①✐st❡♥❝❡ r❡✲ s✉❧ts ❢♦r s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣ ❣r♦✉♣✧✱ ❯♥✐✈✳ ▼❛t❤✳ ❏✱ ✭✹✶✮✱ ♣♣✳ ✼✶✲✾✽✳ ■♥❞✐❛♥❛ ❬✷✼❪ ●r✉s❤✐♥ ❱✳ ❱✳ ✭✶✾✼✶✮✱ ✧❆ ❝❡rt❛✐♥ ❝❧❛ss ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♣s❡✉❞♦ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs t❤❛t ❛r❡ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡❞ ♦♥ ❛ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞✧✱ ▼❛t✳ ❙❜✱ ✈♦❧✳ ✽✹✭✶✷✻✮✱ ♣♣✳ ✶✻✸✲✶✾✺❀ ❊♥❣❧✐s❤ tr❛♥s❧✳ ✐♥✿ ▼❛t❤✳ ❯❙❙❘ s❜♦r♥✐❦ ✭✶✸✮✱ ♣♣✳ ✶✺✺✲✶✽✸✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶✵✸ ❬✷✽❪ ❍❛❧❡ ❏✳ ❑✳ ✭✶✾✽✽✮✱ ✧❆s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈♦r ♦❢ ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ s②st❡♠s✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙✉r✈❡②s ❛♥❞ ♠♦♥♦❣r❛♣❤s✧✱ ❆♠❡r✳ ✐❞❡♥❝❡✱ ❱♦❧✳ ✭✷✺✮✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ Pr♦✈✲ ❬✷✾❪ ❍❡♥r② ❉✳✭✶✾✽✶✮✱ ✧●❡♦♠❡tr✐❝ t❤❡♦r② ♦❢ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛✲ t✐♦♥s✧✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ▼❛t❤✱ ❱♦❧✳ ✭✽✹✵✮✳ ❬✸✵❪ ❏❡r✐s♦♥ ❉✳ ❙✳✱ ▲❡❡ ❏✳▼✳ ✭✶✾✽✼✮✱ ✧❚❤❡ ❨❛♠❛❜❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦♥ ❈❘ ♠❛♥✲ ✐❢♦❧❞s✧✱ ❏✳ ❉✐❢❢❡r✳ ●❡♦♠✱ ✭✷✺✮✱ ♣♣✳ ✶✻✼✲✶✾✼✳ ❬✸✶❪ ▲✐♦♥s ❏✳ ▲✳✱ ▼❛❣❡♥❡s ❇✳ ✭✶✾✼✷✮✱ ✧◆♦♥✲ ❤♦♠♦❣❡♥✉♦s ❧✐♠✐t ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✧✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❱♦❧✳ ✭✶✮✳ ❬✸✷❪ ▲♦✐✉❞✐❝❡✱ ❆✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✧❙❡♠✐❧✐♥❡❛r s✉❜❡❧❧✐♣t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❝r✐t✐❝❛❧ ❣r♦✇t❤ ♦♥ ❈❛r♥♦t ❣r♦✉♣s✧✱ ▼❛♥✉s❝r✳ ▼❛t❤✱ ✭✷✹✮✱ ♣♣✳ ✷✹✼✲✷✺✾✳ ❬✸✸❪ ▲✉♣♦ ❉✳✱ P❛②♥❡ ❑✳ ✭✷✵✵✸✮✱ ✧❈r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥ts ❢♦r s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡q✉❛✲ t✐♦♥s ♦❢ ♠✐①❡❞ ❡❧❧✐♣t✐❝✲ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ❛♥❞ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ t②♣❡✧✱ ❈♦♠♠✉♥✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✱ ▲❱■✱ ♣♣✳ ✹✵✸✲✹✷✹✳ ❬✸✹❪ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ▲✳ ✭✶✾✺✾✮✱ ✧❊❧❧✐♣t✐❝ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✧✱ ❆♥♥✳ ❙❝✳ ◆♦r♠✱ P✐s❛✱ ✭✶✸✮✱ ♣♣✳ ✶✶✺✲✶✻✷✳ ❬✸✺❪ P♦❤♦③❛❡✈ ❙✳ ■✳ ✭✶✾✻✺✮✱ ∆u + λf (u) = 0✧✱ ♣♣✳ ✸✸✲✸✻✳ ✧❊✐❣❡♥❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❘✉ss✐❛♥ ❉♦❦❧✳ ❆❦❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❘✱ ✭✶✻✺✮✱ ❬✸✻❪ ❘❛✉❣❡❧ ●✳✭✷✵✵✷✮✱ ✧●❧♦❜❛❧ ❛ttr❛❝t♦rs ✐♥ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ■♥ ❤❛♥❞❜♦♦❦ ♦❢ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ s②st❡♠s✧✱ ◆♦rt❤✲ ❍♦❧❧❛♥❞✱ ❆♠st❡r❞❛♠✱ ❱♦❧✳ ✭✷✮✱ ♣♣✳ ✽✽✺✲✽✾✷✳ ❬✸✼❪ ❘♦t❤s❝❤✐❧❞ ▲✳ P✳✱ ❙t❡✐♥ ❊✳ ▼✳ ✭✶✾✼✻✮✱ ✧❍②♣♦❡❧❧✐♣t✐❝ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣✲ ❡r❛t♦rs ❛♥❞ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣s✧✱ ❆❝t❛ ♠❛t❤✱ ✭✶✸✼✮✱ ♣♣✳ ✷✹✼✲✸✷✵✳ ❬✸✽❪ ❘♦❜✐♥s♦♥ ❏✳ ❈✳ ✭✷✵✵✶✮✱ ✧■♥❢✐♥✐t❡ ✲ ❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ sỵts r rst Prss S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✶✵✹ ❬✸✾❪ ❙t❛✈r❛❦❛❦✐s ◆✳ ▼✳✱ ❩♦❣r❛♣❤♦♣♦✉❧♦s ◆✳ ❇✳ ✭✶✾✾✾✮✱ ✧❊①✐stt❡♥❝❡ r❡✲ s✉❧ts ❢♦r q✉❛s✐❧✐♥❡❛r ❊❧❧✐♣t✐❝ s②st❡♠s ✐♥ Rn ✧✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ✭✸✮✱ ♣♣✳ ✶✲✶✺✳ ❊❧❡❝tr♦♥✐❝ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❬✹✵❪ ❚❡♠❛♠ ❘✳✭✶✾✾✺✮✱ ✧◆❛✈✐❡r✲ ❙t♦❝❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s✧✱ ❙❡❝♦♥❞ ❡❞✐t✐♦♥✳ ❈❇▼❙✲ ◆❙❋ ❘❡❣✐♦♥❛❧ ❈♦♥✲ ❢❡r❡♥❝❡ ❙❡r✐❡s ✐♥ ❆♣♣❧✐❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ✭✻✻✮✳ ❙♦❝✐❡t② ❢♦r ■♥❞✉st✐❛❧ ❛♥❤ ❆♣♣❧✐❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ✭❙■❆▼✮✱ P❤✐❧❛❞❡❧♣❤✐❛✳ P❆✱ ①✐✈ ✰✶✹✶ ♣♣✳ ❬✹✶❪ ❚❤✉② ◆✳ ❚✳ ❈✳✱ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✷✵✵✷✮✱ ✧❙♦♠❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ♥♦♥✲❡①✐st❡♥❝❡ r❡s✉❧ts ❢♦r ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❇❱P✮ ❢♦r s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❘✉ss✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✱ ✭✾✮✱ ♣♣✳ ✸✻✻✲✸✼✶✳ ❬✹✷❪ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧❈r✐t✐❝❛❧ ❙♦❜♦❧❡✈ ❡①♣♦♥❡♥t ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♦♣❡r❛t♦rs✧✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳ ❱✐❡t♥❛♠✱ ✭✷✸✮✱ ♣♣✳ ✽✸✲✾✹✳ ❬✹✸❪ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✶✾✾✽✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ●r✉s❤✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥✧✱ ▼❛t❤✳ ◆♦t❡s ✭✻✸✮✱ ♣♣✳ ✽✹✲✾✸✳ ❬✹✹❪ ❚r✐ ◆✳ ▼✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❘❡❝❡♥t r❡s✉❧ts ✐♥ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❞✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✧✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤ ✱ ✭✸✼✮✳ ♣♣✳ ✸✽✼✲ ✸✾✼✳ ❬✹✺❪ ❚r✐ ◆✳ ▼✳✭✷✵✶✵✮✱ ✧❙❡♠✐❧✐♥❡❛r ❉❡❣❡♥❡r❛t❡ ❊❧❧✐♣t✐❝ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s✳ ▲♦❝❛❧ ❛♥❞ ●❧♦❜❛❧ ❚❤❡♦r✐❡s✧✱ ✐t ▲❛♠❜❡rt ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤✐♥❣ ✳ ❬✹✻❪ ❯❣✉③③♦♥✐ ❋✳ ✭✶✾✾✾✮✱ ✧❆ ♥♦♥❡①✐st❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❛ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❉✐r✐❝❤❧❡t ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❝r✐t✐❝❛❧ ❡①♣♦♥❡♥t ♦♥ ❤❛❧❢ s♣❛❝❡s ♦❢ t❤❡ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣ ❣r♦✉♣✧✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❉✐❢❢❡r✳ ❊q✉✳ ❆♣♣❧✱ ✭✻✮✱ ♣♣✳ ✶✾✶✲✷✵✻✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... t✉②➳♥✮ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ X ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳ ▼ët ♥û❛ ♥❤â♠ S(t) ❧✐➯♥ tư❝ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➺ ❣r❛❞✐❡♥t ❧✐➯♥ tử tỗ t C (X, R) s❛♦ ❝❤♦ Φ(S(t)u) ≤ Φ(u) ✈ỵ✐ ♠å✐ t ≥ 0, ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ X ✈➔ Φ(S(t)u) = Φ(u) ✈ỵ✐
Ngày đăng: 24/03/2021, 17:41
Xem thêm:
