Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN THỊ THANH TRẦM MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN THỊ THANH TRẦM MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thế Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các khái niệm xác suất 1.1 Không gian xác suất tính chất xác suất 1.3 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.2 Xác suất có điều kiện biến cố độc lập 1.4 Kỳ vọng 10 1.5 Kỳ vọng có điều kiện 12 1.6 Quá trình ngẫu nhiên 13 1.7 Tích phân ngẫu nhiên Itô 17 1.8 Công thức Itô 21 Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.2 Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên phát sinh nghiên cứu tốn vật lí kỹ thuật Chúng thường hai dạng sau: Dạng thứ nhất: hệ số giá trị ban đầu phương trình cổ điển bị nhiễu Chẳng hạn Xt = f (t, Xt , ηt ), Xt0 = c, với tham số ηt điều kiện ban đầu c ngẫu nhiên Khi nghiệm phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên hàm khả vi Nếu hàm ngẫu nhiên có tính chất qui đó, xét tính chất nghiệm phương pháp cổ điển lí thuyết phương trình vi phân thường theo quĩ đạo mà khơng cần đến cơng cụ giải tích ngẫu nhiên Dạng thứ hai: nhiễu trắng xuất hệ Khi dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng dXt = f (t, Xt )dt + G(t, Xt )dWt , Xt0 = c, Wt chuyển động Brown Phương trình hiểu theo nghĩa t Xt = c + t f (s, Xs )ds + t0 G(s, Xs )dWs t0 Do hàm mẫu chuyển động Brown Wt hầu có biến phân khơng bị chặn nên phương trình khơng xét theo cơng cụ lí thuyết cổ điển Lúc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên phải dựa vào cơng cụ giải tích ngẫu nhiên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn cao học, chọn đề tài nghiên cứu "Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên" Ở đọc hiểu chứng minh lại chi tiết kết có Nội dung luận văn chia thành hai chương Chương I Các khái niệm xác suất Chương II Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Thế Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn tận tình tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời biết ơn tới thầy cô: GS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng, khoa sư phạm Toán học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người thân quan tâm giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Và cuối tác giả xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo trường THPT Nam Đàn đồng nghiệp - nơi tác giả cơng tác, tạo điều kiện bố trí thời gian động viên tinh thần suốt trình tác giả tham gia khóa đào tạo sau đại học Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng song lực hạn chế nên luận văn khơng thể khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy giáo góp ý tận tình bạn đọc để luận văn hồn thiện Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất để vận dụng vào chương sau Các nội dung trình bày dựa vào tài liệu [1] [4] 1.1 Khơng gian xác suất tính chất xác suất Giả sử Ω tập hợp khác rỗng Ký hiệu P(Ω) họ tất tập Ω Định nghĩa 1.1.1 Tập F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số nếu: (i) Ω ∈ F (hoặc ∅ ∈ F), (ii) Nếu A ∈ F A¯ ∈ F, (iii) Nếu {An , n = 1, 2, } ⊂ F ∞ n=1 An ∈ F (hoặc ∞ n=1 An Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F) không gian đo Ánh xạ P : F → R, gọi độ đo xác suất F (i) P (A) 0, với A ∈ F, (ii) P (Ω) = 1, ∈ F) (iii) Nếu {An , n = 1, 2, , } ⊂ F, Ai Aj = ∅, i = j ∞ P( ∞ An ) = n=1 P(An ) n=1 Khi đó, • Bộ ba (Ω, F, P) gọi khơng gian xác suất • Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp • σ- đại số F gọi σ-đại số biến cố • P gọi độ đo xác suất F • Mỗi A ∈ F gọi biến cố • Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn • Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố khơng thể • Biến cố A = Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A • Hai biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ gọi hai biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất biến cố Để đơn giản, từ sau, nói đến không gian xác suất( Ω, F, P), ta xem khơng gian xác suất đầy đủ Tính chất 1.1.3 Giả sử A, B, C biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau 1) P(∅) = 2) Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 3) P(A) = − P(A) 4) Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B) 5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) 6) P( n k=1 Ak ) = n k=1 P(Ak ) − 1≤k 0, ∀i = 1, 2, , n Khi đó, với biến cố A ta có (i) P(A) = n i=1 P(A/Hi )P(Hi ), (ii) Nếu P(A) > P(Hk /A) = P(A/Hk )P(Hk ) , n P (A/H ) P (H ) i i i=1 k = 1, 2, , n Công thức (i) gọi công thức xác suất đầy đủ cịn cơng thức (ii) gọi cơng thức Bayes Định nghĩa 1.2.5 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất Hai biến cố A B gọi độc lập P(AB) = P(A)P(B) Tính chất 1.2.6 Giả P(A) > 0, P(B) > 0, Khi đó: 1) A, B độc lập P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) 2) Hai biến cố A B độc lập điều kiện sau thỏa mãn (i) A, B độc lập 31 Rõ ràng giới hạn Xt Ft đo Từ (2.16), suy giới hạn Xt trình ngẫu nhiên L2 (Ω, [t0 , T ]) Bây ta chứng minh Xt nghiệm phương trình (2.1), tức t Xt − x = t f (s, Xs )ds + t ≥ 0, G(s, Xs )dWs , (2.17) (n) với t ∈ [t0 , T ] Do Xt0 = x0 với n ≥ nên hiễn nhiên (2.17) với t0 = Với t ∈ [t0 , T ], ta lấy giới hạn (2.11) Dựa vào điều kiện Lipschitz (2.5) hội tụ dãy Xtn , với xác suất 1, ta có t | t (n) f (s, Xs )ds − t f (s, X)s )ds| ≤ K t0 t0 t t (n) − Xs |ds → 0, (n) − Xs |2 ds → |Xs t0 | (n) G(s, Xs )ds − t G(s, X)s )ds| ≤ K t0 t0 |Xs t0 Do đó, t lim n→∞ t (n) f (s, Xs )ds t = f (s, X)s )ds, t0 hầu chắn t lim n→∞ t (n) G(s, Xs )dWs t = G(s, X)s )dWs , t0 theo xác suất (n) Như Xt thỏa mãn phương trình (2.17) Định lí chứng minh với điều kiện ban đầu có moment bậc hai hữu hạn Bằng cách định nghĩa x0N = x0 |x0 | ≤ N, ngược lại, lấy giới hạn N → ∞, định lí chứng minh 32 2.2 Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dXt = f (Xt , t)dt + G(Xt , t)dWt , Xt0 = x0 , (2.18) đoạn [t0 , T ] Giả sử định lý tồn nghiệm thỏa mãn cho phương trình (Định lí 2.1.6) Ký hiệu Xt (x0 ) nghiệm (2.18) Nếu giá trị ban đầu x0 rõ ta viết Xt Trong mục ta nghiên cứu moment E|Xt |k nghiệm (2.18) Nói chung moment không tồn Tuy nhiên tồn moment giá trị ban đầu lại dẫn đến tồn moment tất Xt Cụ thể ta có định lý sau Định lý 2.2.1 Giả sử định lý tồn nghiệm thỏa mãn cho phương trình (2.18) E|x0 |2n < ∞, với n số nguyên dương Khi nghiệm Xt (2.18) đoạn [t0 , T ], (T < ∞) thỏa mãn E|Xt |2n ≤ (1 + E|x0 |2n )eC(t−t0 ) , (2.19) E|Xt − x0 |2n ≤ D(1 + E|x0 |2n )(t − t0 )n eC(t−t0 ) , (2.20) đó, C = 2n(2n + 1)K D số dương phụ thuộc vào n, K T − t0 Để chứng minh định lí ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 (Bất đẳng thức Gronwall) Cho L > α, β : [t0 , T ] −→ R hàm khả tích thỏa mãn t ≤ α(t) ≤ β(t) + L α(s)ds, với t ∈ [t0 , T ] t0 Khi đó, t eL(t−s) β(s)ds, với t ∈ [t0 , T ] α(t) ≤ β(t) + L t0 33 Bổ 2.2.3 (Bt ng thc Hăolder) b b p f (x)g(x)dx ≤ f (x) a b p f q (x) q , a a hàm f, g hàm xác định [a, b] cho tích phân có nghĩa p, q > số thực thỏa mãn p + q = Bổ đề 2.2.4 Với hàm h(s, ω) mà h(s, ω)n ∈ L2 ([0, T ], Ω), n ∈ N t t 2n n−1 h(s, ω)dWs | E | ≤ (t − t0 ) E(|h(s, ω)|2n )ds, n [n(2n − 1)] t0 t0 Chứng minh Định lí 2.2.1 Theo cơng thức Itơ, ta có t 2n |Xt | 2n = |x | 2n|Xs |2n−2 Xs f (s, Xs )ds+ + t0 t n(2n − 1)|Xs |2n−2 G2 (s, Xs )ds + (2.21) t0 t 2n|Xs |2n−2 Xs G(s, Xs )dWs + t0 Do E|x0 |2n < ∞ nên tương tự chứng minh phần sau định lý tồn nghiệm ta có E|Xt |2n < ∞ với t Vì hàm f xác định f (t, ω) = ≤ t < t0 f (t, ω) = 2n|Xt |2n−2 Xt (ω)G(t, Xt (ω)) t0 ≤ t ≤ T (2.22) thuộc L2 ([0, T ], Ω) Do theo tính chất tích phân Ito, ta có t 2n|Xs |2n−2 Xs (ω)G(t, Xs (ω))dWs ) = 0, với t0 ≤ t ≤ T E( t0 Lấy kỳ vọng hai vế (2.21) kết hợp với điều kiện hạn chế tăng 34 trưởng (2.6), ta có t 2n E|Xt | 2n = E|x | E(|Xs |2n−2 Xs f (s, Xs ))ds+ + 2n t0 t E(|Xs |2n−2 G2 (s, Xs ))ds + n(2n − 1) t0 t 2n ≤ E|x | + n(2n + 1)K E(|Xs |2n−2 (1 + |Xs |2 ))ds t0 Khi đó, sử dụng bất đẳng thức (1 + a2 )a2n−2 ≤ + 2a2n , ta có E|Xt |2n ≤ E|x0 |2n + n(2n + 1)K (t − t0 )+ t 2n(2n + 1)K E(|Xs |2n−2 )ds t0 Ký hiệu α(t) = E|Xt |2n , β(t) = E|x0 |2n + n(2n + 1)K (t − t0 ) Khi theo bất đẳng thức Gronwall (Bổ đề 2.2.2), ta có t 2n E|Xt | ≤ β(t) + 2n(2n + 1)K e2n(2n+1)K (t−s) β(s)ds, t0 Tính tích phân ta bất đẳng thức (2.19) Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức (2.20) Sử dụng bất đẳng thức (a + b)2n ≤ 22n−1 (a2n + b2n ), ta có t 2n E|Xt − Xt0 | =E | t G(s, Xs )dWs |2n f (s, Xs )ds + t0 t0 35 t t 2n−1 ≤2 E | f (s, Xs )ds| 2n G(s, Xs )dWs |2n +E | t0 t0 t E(|f (s, Xs )|2n )ds+ ≤ 22n−1 (t − t0 )2n−1 t0 t 2n−1 + n−1 (t − t0 ) n E(|G(s, Xs )|2n )ds [n(2n − 1)] t0 Ở bất đẳng thức cuối có từ bất đẳng thức Hăolder (B 2.2.3) v B 2.2.4 Tip tc dùng bất đẳng thức (1 + a2 )n ≤ 22n−1 (1 + a2n ) điều kiện (2.6) bất đẳng thức (2.19) chứng minh, ta có E|Xt − Xt0 |2n ≤ 22n−1 K 2n (T − t0 )n + [n(2n − 1)]n (t − t0 )n−1 t E (1 + |Xs )|2 )n ) ds × t0 ≤ D(t − t0 )n−1 ≤ D(t − t0 )n−1 t E + |Xs )|2n ds t0 t t0 + |Xt2n )eC(s−t0 ) ds, D = 22(2n−1) K 2n {(T − t0 )n + [n(2n − 1)]n } Cuối cùng, tích phân dùng bất đẳng thức (ex − 1)/x ≤ ex , ( x > 0), ta thu eC(t−t0 ) − 1 E|Xt − Xt0 |2n ≤ D(t − t0 )n + D(t − t0 )n + E(|Xt0 |2n ) 2 C(t − t0 ) 1 ≤ D(t − t0 )n + D(t − t0 )n + E(|Xt0 |2n ) eC(t−t0 ) 2 2n ≤ D(1 + E(|Xt0 | ))(t − t0 )n eC(t−t0 ) Chú ý 2.2.5 Ta biết Xt nghiệm (2.18) đoạn [s, T ], (t0 ≤ s), với giá trị ban đầu thời điểm s Xs = Xs (x0 ) Do (2.19) thay x0 Xs t0 s từ (2.20) ta có E|Xt − Xs |2n ≤ C1 |t − s|n , t, s ∈ [t0 , T ], 36 C1 phụ thuộc vào n, K, T − t0 E|x0 |2n Đặc biệt, với n = E|x0 |2 < ∞ lim E|Xt − Xs |2 = t→s Có nghĩa nghiệm liên tục bình phương trung bình điểm đoạn [t0 , T ] (nhưng khơng kéo theo khả vi trung bình bình phương) Bây ta nghiên cứu tính chất hàm mẫu nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên hàm theo biến t (nhận giá trị Rn ) Ta viết lại phương trình dạng tích phân t Xt = x + t G(s, Xs )dWs , t ∈ [t0 , T ] f (s, Xs )ds + t0 (2.23) t0 (i) Từ sau ta ký hiệu, Xt thành phần thứ i véc tơ Xt G(jp) thành phần thứ jp ma trận n × m chiều G Bổ đề 2.2.6 ([8]) Giả sử (Xt ) trình ngẫu nhiên thỏa mãn (2.23) Khi ta có hầu chắn ta có (i) (i) (j) (j) (Xs − Xt )(Xs − Xt ) s = t (i) (i) (j) (j) {[Xτ − Xt ]fj (τ ) + [Xτ − Xt ]fi (τ )}dτ m s r=1 m (i) (j) (i) (j) (r) {[Xτ − Xt ]G(jr) (τ ) + [Xτ − Xt ]G(ir) (τ )}dWτ + t s G(ir) (τ )G(jr) (τ )dτ, + r=1 t với t0 ≤ t ≤ s ≤ T Định lý 2.2.7 Giả sử Xt nghiệm phương trình (2.23) τ : t0 < t1 < · · · < tN = T phân hoạch đoạn [t0 , T ] Khi δN = max1≤k≤N (tk − tk−1 ) → 0, N → ∞, ta có N T P (Xtk − Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 ) −→ k=1 G(s, Xs )G(s, Xs ) ds, N → ∞ t0 (2.24) 37 và, đặc biệt N T |G(s, Xs )|2 ds, N → ∞ P |Xtk − Xtk−1 | −→ (2.25) t0 k=1 Ở đây, ký hiệu P YN −→ Y, N → ∞ hội tụ theo xác suất, tức với ε > lim |YN − Y | > ε) = N →∞ ký hiệu X chuyển vị véc tơ X Chứng minh Do |G(s, Xs )|2 tổng phần tử đường chéo ma trận G(s, Xs )G(s, Xs ) nên (2.25) hệ (2.24) Để chứng minh (2.24), ta với i, j = 1, , n N m (i) (i) (j) (j) (Xtk −Xtk−1 )(Xtk −Xtk−1 ) T G(ip) (s, Xs )G(jp) (s, Xs )ds, N → ∞ P −→ p=1 k=1 t0 (2.26) Theo cơng thức Itơ, ta có (i) (i) (j) (j) (Xtk − Xtk−1 )(Xtk − Xtk−1 ) tk = tk−1 m tk + r=1 m tk−1 tk + r=1 (i) (i) (j) ]fj (s) + [Xs τ (s) − Xλ (j) ]fi (s)}ds τ (s) (i) (j) ]G(jr) (s) + [Xs (s) τ − Xλ {[Xs − Xλ (i) {[Xs − Xλ (j) (r) ]G(ir) (s)}dWs (s) τ G(ir) (s)G(jr) (s)ds, tk−1 đó, λτ (s) = max{tj , tj < s} Lấy tổng từ k = tới k = N , ta N m (i) (Xtk k=1 (i) (j) − Xtk−1 )(Xtk (j) − Xtk−1 ) − T G(ir) (s)G(jr) (s)ds r=1 t0 38 T = t0 (i) (i) (j) ]fj (s) + [Xs τ (s) {[Xs − Xλ m T (i) (i) (j) (j) (r) ]G(ir) (s)}dWs τ (s) {[Xs − Xπτ (s) )]G(jr) (s) + [Xs − Xλ + r=1 (j) ]fi (s)}ds τ (s) − Xλ t0 Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có, T (i) (i) ]fj (s)|2 τ (s) [Xs − Xλ | t0 T ≤ (i) |Xs t0 Ta có số hạng T t0 T (i) − Xλ (s) |2 ds τ fj2 (s)ds t0 fj2 (s)ds bị chặn hầu chắn theo định lí hội tụ T t0 bị chặn (Định lí 1.4.3) số hạng (i) (i) | ds hội tụ không τ (s) (i) Xs liên tục bị chặn |Xs − Xλ đường kính phân hoạch τ dần khơng [t0 , T ] Vì vậy, với xác suất 1, ta có T lim N →∞ t0 (i) (i) (j) ]fj (s) + [Xs τ (s) {[Xs − Xλ (j) ]fi (s)}ds τ (s) − Xλ = Ký hiệu, (i) (i) V (τ, r, s) := (Xs − Xπτ (s) ))G(jr) (s) Ta chứng minh T t0 (r) V (τ, r, s)dWs → theo xác suất N → ∞ Do hàm mẫu X (i) liên tục nên V (τ, r, s) → với xác suất N → ∞ Ký hiệu (i) M1 (t) := max{Xs : ≤ s ≤ t} Do với xác suất 1, hàm mẫu X (i) liên tục R+ nên M1 (t) liên tục đơn điệu tăng R+ với xác suất Hơn với t M1 (t) biến ngẫu nhiên X (i) trình tách Từ theo định lí Doob [6, trang 60], M1 (t) hàm đo R+ × Ω Mặt khác, M1 (t) hàm {X (i) (s), ≤ s ≤ t} nên tương thích với Ft Ký hiệu, (ir) M (t) := M1 (t)Gt 39 Khi M (t) đo R+ × Ω Ft tương thích Hơn nữa, với b > t0 b b M (t)dt = t0 t0 (ir) M12 (t)|Gt |2 dt b ≤ M12 (b) t0 (ir) |Gt |2 dt < ∞, với xác suất Theo định nghĩa M (t), t ∈ [t0 , T ] |V (τ, r, s)| ≤ |M (t)|, với xác suất Cuối cùng, áp dụng định lí miền hội tụ bị chặn (Định lí 1.4.3), ta có điều phải chứng minh Hệ 2.2.8 Nếu tồn p ∈ {1, 2, n} cho với xác suất 1, m |Gpi (t, Xt )|2 > 0, i=1 (p) với t ∈ [t0 , T ] thành phần thứ p Xt (ký hiệu Xtk ) hầu chắn biến phân không bị chặn đoạn t ∈ [t0 , T ] Tức N (p) τ (p) |Xtk − Xtk−1 | sup i=1 không bị chặn hầu chắn, sup lấy theo phân hoạch τ : t0 < t1 < t2 < · · · < tN = T Chứng minh Giả sử τ : t0 < t1 < t2 < · · · < tN = T, phân hoạch đoạn [t0 , T ] Khi N (p) (p) (p) (p) (p) |Xtk − Xtk−1 |2 ≤ max |Xtk − Xtk−1 | k=1 k (p) |Xtk − Xtk−1 | k=1 (2.27) 40 (p) (p) Dựa vào tính liên tục Xt maxk |Xtk − Xtk−1 | dần tới đường kính phân hoạch dần hầu chắn Theo định lí 2.2.7 tồn phân hoạch để vế trái (2.27) khác không hầu chắn Do (p) Xtk có biến phân bị chặn hầu chắn dẫn đến mâu thuẫn Từ ta có điều phải chứng minh Như vậy, ta có nghiệm Xt (ω) khơng khả vi t G(t, Xt (ω)) = Tính trơn xẩy trường hợp G(t, Xt ) = Ta có kết sau Định lý 2.2.9 Nếu Xt nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (2.23) với hệ số f, G liên tục theo t ∈ [t0 , T ] giá trị ban đầu x0 hầu chắn trường hợp G(t, x0 ) = 0, với xác suất 1, ta có X t − x0 lim = f (t0 , x0 ) t→t0 t Tiếp theo ta xét phụ thuộc nghiệm vào tham số giá trị ban đầu Xét họ phương trình vi phân ngẫu nhiên phụ thuộc tham số λ dXt (λ) = f (Xt (λ), t, λ)dt + G(Xt (λ), t, λ)dWt , Xt0 = x0 (λ), (2.28) đoạn [t0 , T ] E|x0 (λ)|2 < ∞ với tham số thực λ Dạng tích phân (2.28) t Xt (λ) = Xt0 (λ) + f (Xs (λ), s, λ)ds+ t0 t (2.29) G(Xs (λ), s, λ)dWs , t ∈ [t0 , T ] + t0 Định lý 2.2.10 Giả sử với λ hệ số f (x, t, λ) G(x, t, λ) phương trình (2.28) thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm Giả sử thêm điều kiện sau thỏa mãn (i) L2 x0 (λ) −→ x0 (λ0 ), λ → λ0 , (2.30) 41 tức lim E |x0 (λ0 ) − x0 (λ)|2 = 0, λ→λ0 (ii) với N > t ∈ [t0 , T ], lim sup (|f (x, t, λ) − f (x, t, λ0 )| + |G(x, t, λ) − G(x, t, λ0 )| = 0, (2.31) λ→λ0 |x|≤N Khi lim sup E |Xt (λ) − Xt (λ0 )|2 = λ→λ0 t∈[t0 ,T ] Chứng minh Theo Định lí 2.2.1, ta có nghiệm (2.28) thỏa mãn E|Xt (λ)|2 < ∞ với t ∈ [t0 , T ] Từ (2.32), ta có t Xt (λ) − Xt (λ0 ) = Xt0 (λ) − Xt0 (λ0 ) + [f (Xs (λ), s, λ) − f (Xs (λ), s, λ0 )]ds t0 t [G(Xs (λ), s, λ) − G(Xs (λ), s, λ0 )]dWs + t0 (2.32) Bình phương hai vế, lấy kỳ vọng dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ), ta thu E |Xt (λ) − Xt (λ0 )|2 ≤ 3E |Xt0 (λ) − Xt0 (λ0 )|2 + t [f (Xs (λ), s, λ) − f (Xs (λ0 ), s, λ0 )]ds|2 +3E | t0 t [G(Xs (λ), s, λ) − G(Xs (λ0 ), s, λ0 )]dWs |2 +3E | t0 ≤ 3E |Xt0 (λ) − Xt0 (λ0 )|2 + t E |f (Xs (λ), s, λ) − f (Xs (λ0 ), s, λ0 )|2 ds +3(T − t0 ) t0 t E |G(Xs (λ), s, λ) − G(Xs (λ0 ), s, λ0 )|2 ds +3 t0 42 Mặt khác theo điều kiện (2.5), ta có |f (Xs (λ), s, λ) − f (Xs (λ0 ), s, λ0 )|2 = |(f (Xt (λ), t, λ) − f (Xt (λ0 ), t, λ)) + (f (Xt (λ0 ), t, λ) − f (Xt (λ0 ), t, λ0 ))|2 ≤ 2|(f (Xt (λ), t, λ) − f (Xt (λ0 ), t, λ)|2 + 2|f (Xt (λ0 ), t, λ) − f (Xt (λ0 ), t, λ0 )|2 ≤ 2K |Xt (λ) − Xt (λ0 )|2 + 2|f (Xt (λ0 ), t, λ) − f (Xt (λ0 ), t, λ0 )|2 Tương tự |G(Xt (λ), t, λ) − G(Xt (λ0 ), t, λ0 )|2 ≤ 2K |Xt (λ) − Xt (λ0 )|2 + 2|G(Xt (λ0 ), t, λ) − G(Xt (λ0 ), t, λ0 )|2 Do đó, E |Xt (λ) − Xt (λ0 )|2 ≤ 3E |Xt0 (λ) − Xt0 (λ0 )|2 + t E [f (Xs (λ0 ), s, λ) − f (Xs (λ0 ), s, λ0 )]|2 ds +6(T − t0 ) t0 t E |G(Xs (λ0 ), s, λ) − G(Xs (λ0 ), s, λ0 )|2 ds +6 t0 t E |Xs (λ) − Xs (λ0 )|2 ds +6K (T − t0 + 1) t0 t E |Xs (λ) − Xs (λ0 )|2 ds =:β(t, λ) + L t0 Từ theo bất đẳng thức Gronwall (Bổ đề 2.2.2), ta có t E |Xt (λ) − Xt (λ0 )| eL(t−s) β(s, λ)ds, ≤ β(t, λ) + L t0 với t ∈ [t0 , T ] Bây dựa vào giả thiết (2.30) (2.31), ta có β(t, λ) → λ → λ0 Từ suy điều cần chứng minh Hệ 2.2.11 Nếu hệ số của phương trình (2.28) độc lập với λ định lý 2.2.10 kéo theo phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên vào điều kiện ban đầu Sau ta xét số ví dụ minh họa 43 Ví dụ 2.2.12 Xét nghiệm Xt (λ) phương trình vi phân ngẫu nhiên dXt (λ) = λf (Xt (λ), t)dt + dWt , với điều kiện ban đầu X0 (λ) = x0 với λ ≥ Rõ ràng λ = nghiệm Xt (0) = x0 + Wt , t ≥ Ta thấy điều kiện Định lí 2.2.10 thỏa mãn Do lim E |Xt (λ) − x0 − Wt |2 = λ→0 Ví dụ sau liên quan tới nhiễu nhỏ phương trình vi phân thường Ví dụ 2.2.13 Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dXt (λ) = f (Xt (λ), t)dt + λdWt , với điều kiện ban đầu X0 (λ) = x0 với λ ≥ Phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiễu vi phân thường dXt (λ) = f (Xt (λ), t)dt Rõ ràng điều kiện Định lí 2.2.10 thỏa mãn Do lim E |Xt (λ) − Xt (0)|2 = λ→0 44 KẾT LUẬN I Kết đạt Luận văn trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Cụ thể + Trình bày mối liên hệ moment nghiệm với moment giá trị ban đầu + Trình bày số tính chất giải tích nghiệm tính trơn phụ thuộc liên tục theo bình phương trung bình nghiệm vào tham số giá trị ban đầu Đưa ví dụ minh họa II Hướng phát triển luận văn Tiếp tục nghiên cứu tính chất khác nghiệm, chẳng hạn phụ thuộc liên tục vào tham số theo xác suất hay khả vi theo trung bình 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [2] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [5] L Arnold (1974), Stochastic Differential Equations, Wiley, New York [6] J.L Doob (1953), Stochastic processes, Wiley, New York [7] K Ito, Stochastic integral (1944), Proc Imp Acad Tokyo, 20, pp 519-524 [8] K.Itô (1951), On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya Math J.3, 55-65 [9] X Mao (1997), Stochastic differential equations and their Applications, Horwood [10] I I Gihman and A V Skorohod (1972), Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York ... phân ngẫu nhiên 23 2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 23 2.2 Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân với nhiễu ngẫu nhiên phát... (t)− W (t)− 2t Quá trình e , t > gọi trình mũ 23 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Sự đời tích phân ngẫu nhiên Itơ đem lại... q trình ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên Itơ hàm L2 ([a, b], Ω) có đầy đủ tính chất tích phân thường, tính tuyến tính, tính cộng tính, ngồi cịn có tính chất sau: Mệnh đề 1.7.7 Tích phân ngẫu nhiên