Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học Vinh * Hồ Ngọc Hân Tính ổn định p-moment ph-ơng TRình vi phân ngẫu nhiên với b-ớc Nhảy Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 200 Mục lục Trang Ch-ơng I Lời nói đầu Một số kiến thức lí thuyết ổn định 1.1 Các khái niệm 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 ổn định hệ tuyến tính không dừng 1.4 ổn định cđa c¸c hƯ tùa tun tÝnh 1.5 TÝnh ỉn định với xác suất hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên 1.6 Tính ổn định hệ với thời gian rời rạc Ch-ơng II 10 12 Tính ổn định p-moment ph-ơng trình vi phân 27 ngẫu nhiên với b-ớc nhảy 2.1 Các khái niệm 27 2.2 Bổ ®Ị 29 2.3 C¸c ®iỊu kiƯn ®đ cđa tÝnh ỉn định p-môment 31 Kết luận 42 tàI LIệU THAM KHảO 43 Lời nói đầu Bất kì hệ thống nào, dù hệ thống kĩ thuật, hệ sinh thái hay hÖ thèng kinh tÕ – x· héi,… bao giê tồn phát triển trạng thái ổn định Đó trạng thái mà có nhiễu bé kéo hệ khỏi trạng thái ban đầu hệ có xu h-ớng quay trở lại trạng thái cân vốn có Mọi hệ thống mô tả hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên Do đó, tính ổn định hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên Ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên đà đ-ợc phát triển rộng lớn ®ãng mét vai trß quan träng nhiỊu lÜnh vùc nh- dự đoán phát triển dân số Vì tầm quan trọng ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên rõ ràng Gần đây, tính ổn định ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên với b-ớc nhảy đà đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm Chẳng hạn Ji, Chizeek Mariton đà nghiên cứu tính ổn định ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên với b-ớc nhảy dạng: x(t ) A(r (t )) x(t ), đây, r(t) xích Markov nhận giá trị S ={1, 2, } Mao đà nghiên cứu tính ổn định mũ hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến với dx (t ) f ( x (t ), t , r (t ))dt g( x (t ), t , r (t ))dw t Hệ ph-ơng trình vi phân xem nh- kết hệ N ph-ơng trình sau đây: dx (t ) f ( x (t ), t, i)dt g( x (t ), t, i)dW , i n t Luận văn gồm ch-ơng: Ch-ơng I: trình bày tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân sai phân Ch-ơng đ-a khái niệm tính chất lí thuyết ổn định, xét tính ổn định hệ tuyến tính, hệ phi tuyến hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên Ch-ơng II: nghiên cứu tính ổn định p-moment hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyÕn d¹ng: dx (t ) a(t , x (t ))dt b(t , x (t ))dW , t t i x ( i ) Ii ( i , x ( i ), ), t i , i 1,2 i x (t ) x 0 đây, i dÃy ngẫu nhiên {i} dÃy số Luận văn đ-ợc thực tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn trực tiếp T.S Phan Lê Na giúp đỡ PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô quan tâm nhiệt tình mà Thầy Cô đà dành cho tác giả trình học tập nghiên cứu tr-ờng Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, thầy cô giáo môn xác suất thống kê ứng dụng, Khoa toán, Khoa sau đại học tr-ờng Đại học Vinh Vinh, tháng 10 năm 2009 Tác giả Hồ Ngọc Hân CHƯƠNG i Một số kiến thức lí thuyết ổn định Một hệ thống đ-ợc gọi ổn định trạng thái cân đó, nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống không làm thay đổi hệ thống nhiều so với trạng thái ban đầu (xem [1]) 1.1 Các khái niệm Xét hệ thống mô tả ph-ơng trình vi phân o x(t) f (t, x) , t x(t0 ) x0 x(t) n (11 ) hàm véctơ cho tr-ớc Giả thiết f(t,x) hàm thoả mÃn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ (1.1) víi x(t0) = x0 , t0 lu«n có nghiệm Khi đó, dạng tích phân nghiệm đ-ợc cho bëi c«ng thøc: t x x f ( s, x ( s))ds t0 NÕu gi¶ thiÕt thêm f(t,0) = x = nghiệm tầm th-ờng hay trạng thái cân hệ Trong tr-ờng hợp đó, ta nói hệ (1.1) ổn định thay cho nghiƯm x = cđa hƯ lµ ỉn định Bây ta xét hệ với f(t,0) = 0, t R+ Ta có định nghĩa sau: 1.1.1 Định nghĩa Hệ (1.1) đ-ợc gọi ổn định > 0, t0 R+, (phơ thc vµo , t0) cho bÊt k× nghiƯm x(t): x(t0) = x0 thoả mÃn x0 < x(t) < , t t0 1.1.2 Định nghĩa Hệ (1.1) đ-ợc gọi ổn định tiệm cận hệ ổn định vµ > cho: nÕu x0 < th× lim x (t ) t NÕu số định nghĩa không phụ thuộc vào t0, tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đ-ợc gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) 1.1.3 Định nghĩa Hệ (1.1) ổn định mũ M > 0, > cho nghiƯm cđa hƯ (1) víi x(t0) = tho¶ m·n: x(t ) M e (t t ) , t t0 Tøc nghiệm không hệ ổn định tiệm cËn mµ mäi nghiƯm cđa nã tiÕn tíi nhanh với tốc độ theo hàm số mũ Thí dụ: Xét ph-ơng trình vi phân (t ) a (t ) x , t x ®ã a(t): R+R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 cho bởi: x(t ) x e t a( )d t 0 t - Hệ ổn định a( )dη Μ μ(t ) t0 - Hệ ổn định (t0) không phụ thuộc t0 t - Hệ ổn định tiệm cận a( η )dη - t0 1.2 TÝnh ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hÖ tuyÕn tÝnh: (t ) Ax (t ), t x (1.2) đó: A (nxn) ma trận Nghiệm (1.2) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t0) cho bởi: x(t ) x e A(t t ) 0 , t t0 1.2.1 Định lý (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov) Hệ (1.3) ổn định mũ phần thực tất giá trị riêng A âm, tức là: Re < 0, (A) Thí dụ: Xét tính ổn định hÖ: x1 x1 x 2 x2 Ta thÊy A 1 0 giá trị riêng A = -1, -2 Vậy hệ ổn định tiệm cận 1.2.2 Định lý Giả sử đa thức đặc tr-ng mà ph-ơng trình vi phân (1.2) đà cho là: f(z) = zn + a1zn-1 + + an-1z + an Khi đó, định thức tất ma trận D k, k =1, 2, , n d-ơng phần thực tất nghiệm f(z) âm, tức hệ đà cho ổn định tiƯm cËn, ®ã: det D1= a1 a1 det Dk det a1 1 det Dk det 0 a3 a2 a3 a2 a5 a4 a1 a k 1 a2 k 2 , k =1, 2, , n a k 3 ak vµ ar= r > n Xét ph-ơng trình Lyapunov dạng AX+XA = -Y (LE) X,Y ma trận (nxn) chiều gọi cặp nghiệm (LE) Xét hệ (1.2), ta nói ma trận A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm (1.2) ổn định tiệm cận 1.2.3 Định lý Ma trận A ổn định ma trận Y đối xứng, xác định d-ơng, ph-ơng trình (LE) có nghiệm ma trận đối xứng, xác định d-ơng X 1.3 ổn định hệ tuyến tính kh«ng dõng (t ) A(t ) x (t ), t x (1.3) HÖ (1.3) cã nghiÖm: x(t) = (t,t0)x (t,s) ma trận nghiệm Nếu A(.) số (t , s ) e A ( t s ) 1.3.1 Định lý Xét hệ (1.3) A(t) =A+c(t) Giả sử A ma trận ổn định giả sử c(t) khả tích R+ và: c(t ) a , a > Khi đó, hệ ổn định tiƯm cËn víi a > ®đ nhá ThÝ dơ: Xét hệ ph-ơng trình vi phân: x x 1 x1 cos2 t 1 x1 x sin t 2 Ta cã: A 0 1 , 1 cos t c(t ) sin t 4 V× (A) =-1/3, -1/2 < nên A ma trận ổn định M =1, =1/2 c (t ) 1 a nên hệ ổn định tiệm cận 1.3.2 Định lý Xét hệ (1.3), A(t) ma trận liên tục theo t Giả sử M > 0, > 0, k > cho: i) e A( s )t k e t , t, s 0; ii) Sup A(t ) M ; tR hệ ổn định tiƯm cËn nÕu M 2k 1.4 ỉn định hệ tựa tuyến tính Xét hệ (t ) f (t , x(t )) , t x (1.4) f(t,x) : R+xRn Rn hµm phi tuyÕn f(t,x) = 0, t R+ cã nghiƯm tho¶ m·n x(t0) = x0, t ≥ Tr-êng hợp f(t,x) khả vi liên tục x = theo khai triển Taylor bậc x = Ta cã: f(x) = Ax + g(x) ®ã: A f (0 ) , g ( x ) ( x ) x 1.4.1 Định lí Xét hệ (1.4) f(t,x) = Ax + g(x) Giả sử A ma trận ổn định g ( x) 0( x ) hệ ổn định tiệm cËn NhËn xÐt: Thay ®iỊu kiƯn g ( x) 0( x ) b»ng ®iỊu kiƯn: L > 0: g ( x) L x , x X khẳng định với L > tho¶ m·n: L k ThÝ dơ: xét tính ổn định hệ: x x sin t x 1 21 x 2 x x sin2 t 2 Ta cã: x sin t 1 0 , g (t , x) 12 A x2 sin t 2 2 A ma trận ổn định g( t , x ) 4 sin t x1 x x 2 g (t , x) 0( x ) VËy hƯ lµ ổn định tiệm cận 1.4.2.Định lí Xét hệ phi tuyến A( t )x( t ) g( t, x( t )), t x (1.5) gi¶ sư: i) (t s) k > 0, > 0: ( x) ke , t ≥ s ≥ ii) g (t , x) L(t ) x , t ≥ 0, xRn iii) Sup L(t ) M tR k ®ã hƯ ổn định tiệm cận 1.5 TíNH ổn định VớI XáC SUấT CủA Hệ PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN NGẫU NHIÊN 10 đây: a( , ) : R x Rn Rn víi a(t,0) = cho mäi t , b( , ) : R x Rn Rn x k víi b(t,0) = cho mäi t , dwt trình wiener thứ k 2.2 Bổ đề Cho hệ ph-ơng trình (2.2), c1, c2 số xác định, V C1,2(R x Rn, R+) cho: i) c1y p V(t,y) c2y p; ii) > vµ : Rs R cho Ey(t) p , ta cã: E(LV(t,y(t))) (t) E(V(t,y(t)); t to ; iii) (t)dt ë ®©y: +(t) = max { (t),0} t (t ) dt th× víi bÊt k× T R vµ c c e t o vµ y0 p < , ta cã: t (s)ds t E(v(t,y(t))) V(t0,y0) e o , t [ t0 , T ] Chøng minh: t (t )dt Cho c1 c2 e t o , dÔ thÊy < < Giả sử y0p < E(V(t,y(t))) < c1 , t0 t T (*) Tõ y0p < giả thiết (i), ta có: 30 t (s)ds V(t0,y0) c1 e t c , to t t1 o Nếu (*) không t1 [ t0 , T ] cho: E(V(t1,y(t1))) = c1 vµ E(V(t,y(t))) < c1 , to t < t1, lóc ®ã, Ey(t)p , t [t0 , t1] Tõ gi¶ thiÕt (ii), ta cã bÊt k× t [t0 , t1], sÏ cã : L E(LV(t,y(t))) (t) E(V(t,y(t)) Nhê c«ng thøc It«, ta cã: t t V (s, y (s)) E(V(t, y(t)) EV(t , y0 ) E LV (s, y (s)ds E ( a(s, y (s)))dws x t t o 0 t EV (t , y ) (s) E ( V (s, y (s)))ds o o t o Nhờ bất đẳng thức Gronwall, ta có: t (s)ds t E(v(t,y(t)) V(t0,y0) e o < c1, t [ t0 , t1] Suy E(v(t,y(t))) < c1 ( mâu thuẫn ) Vì (3) Do đó, với t [ t0 , T ] cã: Ey(t)p yop Ngoài ra, với yop từ giả thiết ii), ta có, t [ t0 , T ] th× : E(LV(t,y(t))) (t) E(V(t,y(t)) Nhê c«ng thøc It«, ta cã: t t V ( s, y ( s)) E(V(t,y(t) ) EV(t ,y0 ) E LV(s,y(s)ds E ( a( s, y ( s)))dw s x t t o o 31 t EV (t , y ) (s) E ( V(s, y(s)))ds o o to Theo bất đẳng thức Gronwall ta cã: t (s)ds t E(v(t,y(t)) V(t0,y0) e o , t [ t0 , t1] Chứng minh định lí hoàn thành 2.3 Các điều kiện đủ tính ổn định p-môment 2.3.1 Định lí Cho c1, c2 số xác định, V C1,2(R x Rn, R+) cho: i) c1y p V(t,y) c2y p; ii) 1 > 1: R R thoả mÃn M > cho : i 1 (t )dt M víi i = 0, 1, 2, i với Ex(t) p 1, ta cã: E(LV(t,x(t))) 1(t) E(V(t,x(t)) víi t [ t0 , + )\ ; iii) 2 > vµ 2: R+ cho: với Ex((i-) p 2, ta có: E(V(i,x(i))) 2(i) E(V(i,x(i-)) víi i [ t0, + ); iv) i 0 ( i ) víi +(i) = max { (i), } vµ 32 (i) = ln (2(i)) + i 1 (s)ds víi i = 0,1,2,… i Khi nghiệm tầm th-ờng hệ (2.1) ổn định p-moment Chứng minh: Đặt = {1, 2} th× víi mäi < , phơ thc vµo t0, dƠ thÊy c1 e c2 ( ( M ( i )) i0 kh«ng c1 c2 Với t0 R, l cho: t0 [ l -1, l ) i Khi xo < , râ rµng xo p p c c e M c c e t 1 (s)ds o theo bỉ ®Ị 2.2, ta cã: t E (V (t , x(t ))) c c (t )dt t e o V (t , x ) o o i 1 ( s)d ( s ) t o e V (t , x ) o o c1e ( ( )) i i 0 ( ( )) i c1 e i 33 t [ t0, i ) Sau đây, ta sÏ chøng tá cho mäi i = l , l +1, l +2, … ( ( )) i i 1 E (V (t , x(t ))) c1e víi t [ ti, i+l ) (*) Cho i = l, ta cã: E (V ( , x( ))) ( ) E (V ( , x( ))) ( ( )) i ( )c e c1e c e i ( (s)ds ( )) i i 1 1 (s)ds l 1 ( s)ds p V× E x( ) c e i l nên theo bổ đề 2.2, 34 t E ( V(t, x (t ))) E ( V( i , x ( i )))e 1 ( s ) ds i t 1 ( s ) ds E ( V( i , x ( i )))e i ( i ) c1e i 1 , t [ , 1 ) MƯnh ®Ị ®óng víi i = k, k l, (*) ®óng tøc lµ: E (V (t , x(t ))) c1e ( ( )) i k 1 , t [ k , k+1 ) th×: E( V( k , x ( k ))) ( k ) E( V( k , x ( k ))) ( k ) c1 e ( ( i )) ik1 k ( ( s)ds c e k ik2 ( )) i k ( s)ds c e k 1 V× Ex(k+1)p e k 1 (s)ds k , theo Bỉ ®Ị 2.2, ta cã: 35 ηt E ( V(t, x (t ))) E ( V( ηk 1, x( ηk 1)))e λ (s)ds ηk 1 ηk λ (s)ds V( η k 1, x( η k 1))e c1εe ηk λ ( η )) i k 1 i t [ k+1, k+2 ) Bằng quy nạp toán học, ta có (*) với i = l , l +1,… Tõ (*), ta cã: E(v(t,y(t))) < c1 , t t0 Tõ gi¶ thiÕt (i), ta cã: Ex(t)p , t t0. 2.3.2 Hệ Cho c1, c2 hai số xác định, V C1,2(R x Rn, R+) cho: i) c1x p V(t,x) c2x p ; ii) > vµ : R R cho với Ex(i-)p , ta cã: E(LV(t,x(t))) (t) E(V(t,x(t)) víi t [ t0 , + ); iii) (s)ds víi +(s) = max { 1(s), } Khi đó, nghiệm tầm th-ờng hệ (2.1) ổn định p-moment 2.3.3 Định lí Cho c1, c2 hai số xác định, V C1,2(R x Rn, R+) cho: 36 i) c1x p V(t,x) c2x p ; ii) 1 > : R R thoả mÃn M > cho : i 1 1 (t )dt M víi i = 0, 1, 2, với Ex(t) p 1, ta i cã: E(LV(t,x(t))) 1(t) E(V(t,x(t)) víi t [ t0 , +) \ ; iii) 2 > vµ 2: R+ cho: với Ex(-i) p 2, ta có: E(V(i, x(i))) 2(i) E(V(i, x(i-)) víi i [ t0, + ) iv) v) ( i ) i 0 i 0 (i ) víi -(i) = - min{ (i), } vµ (i) = ln (2(i)) + i1 (s)ds víi i = 0,1,2 i Khi đó, nghiệm tầm th-ờng hệ (2.1) ổn định p-moment ổn định pmoment tiệm cận Chứng minh: Theo định lí 2.3.1, ta có nghiệm tầm th-ờng hệ (2.1) ổn định pmoment Đặt = {1, 2} th× víi mäi < , để () trở thành ổn định pmoment Đặt = () , với t0 R vµ xop < , ta cã: Ex(t)p , t t0 Lóc ®ã: E(v(t,y(t))) < c2 , t t0 (*) Nhê gi¶ thiÕt (iv), N0 = N0() cho: 37 n2 ( i ) n2 n1 N0 (**) i n1 Theo gi¶ thiÕt (v), N1 > cho: N0 N1 c2 i N0 c1 ( ) ( i ) M ln( ) (* * *) Ta cã thĨ chØ víi xop < , t [ N0 , N0 N1 ] cho: ^ ^ E( V( t , x ( t ))) c1 ( ) Giả sử điều không c1() E(v(t,x(t))) < c2 , t [ N0 , N0 N1 ] Theo công thức Itô, qui nạp toán học, bổ đề 2.2 (*), (**), (***), ta cã: E ( V ( N N , x ( ))) N0 N1 i (s)ds N N 1 N0 N1 i E ( V ( N , x ( ))) 2 ( i ) e N 0 i N0 i N0 i 1 (s)ds N N N0 N1 i E ( V ( N , x ( N ))) 2 ( i ) e eM 0 i N0 i N0 N N M E ( V( N , x ( N )))e i [ln(2 ( i )) (s)ds ) ] iN i 0 N N M E ( V( N , x ( N )))e i i 1 [ln( ( )) (s)ds (s)ds ] i iN i i 0 38 N N M E ( V( N , x ( N ))e N N M E ( V( N , x ( N [ ( i ) ( i )] iN ))e N N ( i ) ( i ) i N0 i N0 Điều mâu thuẫn t [ N0 , N0 N1 ] cho: ^ ^ E( V( t , x ( t ))) c1 ( ) ^ p Do ®ã: E ( x ( t ) ( ) Theo định lí 1, ta có: ^ Ex(t) , t t1= t p Đặt T = N0 N1 th× Ex(t)p , t t0 + T 2.3.4 HÖ Cho c1, c2 hai số xác định, V C1,2(R x Rn, R+) cho: i) c1x p V(t,x) c2x p ; ii) > vµ : R R cho Ex(t) p , ta có: E(LV(t,x(t))) (t) E(V(t,x(t)) víi t [ t0 , + ); iii) (s)ds víi +(s) = max { (s), }; iv) (s)ds víi -(i) = - min{ (s), } 39 Khi đó, nghiệm tầm th-ờng hệ (2.2) ổn định p-moment ổn định 2.3.5 Định lí Cho c1, c2 hai số xác định, V C1,2(R x Rn, R+) cho: i) c1x p V(t,x) c2x p ; ii) 1 > vµ 1 : R R tho¶ m·n M > cho : i 1 p 1 (t )dt M víi i = 0, 1, 2, … vµ với Ex(t) 1, ta có: i E(LV(t,x(t))) 1(t) E(V(t,x(t))) víi t [ t0 , + ) \ ; iii) 2 > vµ 2: R+ cho: với Ex(-i) p 2, ta cã: E(V(i,x(i))) 2(i) E(V(i,x(i-)) víi i [ t0, + ); iv) i 0 ( i ) ; v) Víi l > 0, N(l) N cho: n N ( l ) in (i ) , n ; vi) L > cho i+1 - i L; i = 0, 1, 2, Khi đó, nghiệm tầm th-ờng hệ (2.1) ổn định p-moment ổn định pmoment Chứng minh: ~ Chứng minh t-ơng tự định lí 2.3.2 ngoại trừ T (*) không phụ thuộc vào t0 2.3.6 Hệ Cho c1, c2 hai số xác định, nÕu V C1,2(R x Rn, R+) cho: i) c1x p V(t,x) c2x p; ii) > vµ : R R cho Ex(t) p , ta có: E(LV(t,x(t))) (t) E(V(t,x(t)) víi t [ t0 , + ); 40 iii) (s)ds víi +(s) = max { (s), }; iv) Víi l > 0, T(l) R cho: t T ( l ) (s)ds ; t t víi -(s) = - min{- (s), } t Khi đó, nghiệm tầm th-ờng hệ (2.2) ổn định p-moment tiệm cận 2.3.7 Ví dụ Xét ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên: dx1 dx dx3 dx4 ( x1 sin t x2 x3 x4 )dt x1 cos tdwt ( x2 sin t x1 x3 x4 )dt x2 cos tdwt ( x3 sin t x1 x2 x4 )dt x3 cos tdwt ( x4 sin t x1 x2 x3 )dt x4 cos tdwt t0 đây, wt trình Wiener Đặt V(t,x) = x1 x2 x3 x4 2 2 Theo c«ng thøc Itô thì: 2 E(LV(t,x(t))) = E[ 2x1(x1sint + x2x3x4) + x1 cos t + 2x2(x2sint – x1x3x4) + x22 cos t + 2x3(x3sint + x1x2x4) + x32 cos t + 2x4(x4sint – x1x2x3) + x42 cos t ] = ( 2sint + cos2t) E(V(t,x)) t t0 DÔ thÊy: E (V (t , x(t ))) V (t , x )e 2 (t t ) 2(cos t cos t ) 0 (sin 2t sin 2t ) t t0 V× vËy, x0 có: 41 lim E( V(t, x (t ))) t NÕu nghiÖm hệ ổn định bình ph-ơng trung bình > cho: x02 < ta cã: x(t)2 < 1; t t0 Lóc ®ã, E(V(t,x(t)) < Điều mâu thuẫn Vì nghiệm hệ không ổn định bình ph-ơng trung bình V× thÕ ta cã nhËn xÐt sau: NhËn xÐt: Trong định lí 2.3.1; 2.3.2; 2.3.3, điều kiện: i) E(LV(t,x(t))) 1(t) E(V(t,x(t)) víi t [ t0 , + ) \ ; ii) E(V(i,x(i))) 2(i) E(V(i,x(i-)) víi i [ t0, + ) Thay điều kiện t-ơng ứng: i) E(LV(t,x(t))) 1(t) E x(t)p , t [ t0 , + ) \ ; ii)’ E(V(i,x(i))) 2(i) Ex(-i)p víi i [ t0, + ) Th× ta nhận đ-ợc kết t-ơng tự kết luận Luận văn đà thu đ-ợc kết sau đây: Đà trình bày có hệ thống khái niệm lí thuyết ổn định Lyapunov với nội dung: - Hệ ph-ơng trình vi phân ổn định - Hệ ph-ơng trình vi phân ổn định tiệm cận - Hệ ph-ơng trình vi phân ổn định Nghiên cứu tính ổn định p moment ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên với b-ớc nhảy bao gồm nội dung: - Đ-a định nghĩa tính ổn định p moment, ổn định p moment đều, ổn định p moment tiệm cận, không ổn định p moment, không ổn định p – moment tiƯm cËn 42 - To¸n tư Lapunov vđa hệ ph-ơng trình vi phân có b-ớc nhảy bổ đề có liên quan - Thiết lập điều kiện ®đ cđa tÝnh ỉn ®Þnh p – moment ®Ịu ( định lí 2.3.1, hệ 2.3.2, định lí 2.3.3, hệ 2.3.4, định lí 2.3.5, hệ 2.3.6 ) - §-a mét sè vÝ dơ vËn dơng kÕt qu¶ H-ớng phát triển: Trong luận văn dừng lại tìm điều kiện đủ để ph-ơng trinh vi phân ngẫu nhiên với b-ớc nhảy ổn định p moment, h-ớng tác giả đặt tìm điều kiện cần để ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên với b-ớc nhảy ổn định p moment Trong thời gian phạm vi làm luận văn, tác giả ch-a nghiên cứu đ-ợc, mong có dịp nghiên cứu trao đổi thầy cô bạn TàI LIệU THAM KHảO [1] Nguyễn hoàn, Phạm phu, (2003), Cơ sở ph-ơng trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục [2] Vũ ngọc Phát, (2001) Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] B.ksendal (1995), Stochastic Differential Equations fourth ed, Spinger Verlag, New York 43 [4] G.K Basak, A, Bisi, M.K.Ghosh (1996), Stability of a random diffusion with linear drift, J Math Anal Appl 202, 604 622 [5] Y Ji H.J Chizeek (1990), Controllability, Stability and continuos – time Markovian jumb linear quadratie control, IEEE Trans, Automat, Control 35, 777-778 [6] M.Mariton (1990), Jumb Linear Systems in Automatic, Marcel Dekker, New York [7] X Mao (1999), Stability of stochastic differential euqatuons with Markovian switching, Stoc Proc Appl 79 (1), 45- 67 44 ... thuyết ổn định Lyapunov với nội dung: - Hệ ph-ơng trình vi phân ổn định - Hệ ph-ơng trình vi phân ổn định tiệm cận - Hệ ph-ơng trình vi phân ổn định Nghiên cứu tính ổn định p moment ph-ơng trình vi. .. mô tả hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên Do đó, tính ổn định hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định hệ ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên Ph-ơng trình vi phân ngẫu nhiên đà đ-ợc phát triển... trình vi phân ngẫu nhiên với b-ớc nhảy bao gồm nội dung: - Đ-a định nghĩa tính ổn định p moment, ổn định p moment đều, ổn định p moment tiệm cận, không ổn định p moment, không ổn định p moment