Ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên trong toán tài chính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— LÊ TRUNG KHÁNH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2022 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ TRUNG KHÁNH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TRONG TỐN TÀI CHÍNH Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Dũng Đà Nẵng - Năm 2022 iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Xác suất biến cố 1.1.1 σ-đại số 1.1.2 Độ đo xác suất 1.2 Xác suất có điều kiện 1.3 Biến ngẫu nhiên 1.4 Kì vọng 1.5 Phương sai độ lệch chuẩn 1.5.1 Phân phối chuẩn 1.6 Quá trình ngẫu nhiên 1.7 Quá trình Weiner 1.8 Tích phân Wiener 10 1.9 Tích phân ngẫu nhiên Ito 14 1.10 Công thức Ito 19 Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng tốn tài 24 2.1 24 Phương trình vi phân ngẫu nhiên iv 2.2 Ứng dụng toán tài 30 2.2.1 Lãi suất 30 2.2.2 Định lí kinh doanh chênh lệch giá 31 2.2.3 Hợp đồng quyền chọn 33 2.2.4 Mơ hình Black-Scholes 36 2.3 Ước lượng tham số r σ 47 2.4 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 48 2.4.1 Tham số Θ 49 2.4.2 Tham số ∆ 50 2.4.3 Tham số Γ 51 2.4.4 Mối liên hệ Θ, ∆ Γ 51 Bảo hộ giá 51 2.5.1 51 2.5 Bảo hộ Delta Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Lý chọn đề tài: Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu kỷ XX Đầu tiên phải kể đến đời khái niệm toán học chuyển động Brown hay trình Wiener đưa Louis Bachelier (1900) Albert Einstein (1905) Đặc biệt sáng tạo tích phân ngẫu nhiên Itơ (1944) giúp giải nhiều toán ngẫu nhiên kinh tế, vật lý, mà giải tích tất định cổ điển khơng xử lí Giải tích ngẫu nhiên gồm ba phận chính: Lý thuyết q trình ngẫu nhiên; Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên; Phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong kỷ qua , nội dung phát triển mạnh mẽ công cụ thiếu nghiên cứu tài Lý thân giá chứng khoán giá tài sản tài biến động cách ngẫu nhiên nên xem chúng q trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên làm sở cho việc mơ hình hóa biến động giá thị trường tài Một số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu thị trường tài Các mơ hình định giá , chẳng hạn mơ hình Black– Scholes, dựa kiến thức Giải tích ngẫu nhiên Vì thế, luận văn này, chúng tơi muốn nghiên cứu tốn Phương trình vi phân ngẫu nhiên Từ phát triển phương pháp định giá loại tài sản dựa tảng lí thuyết Xác suất từ sâu vào nghiên cứu ứng dụng toán học vào lĩnh vực kinh tế Với lí trên, tơi chọn đề tài “Ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên tốn tài chính” để thực luận văn Phương pháp nghiên cứu: Với đề tài: “Phương trình vi phân ngẫu nhiên số ứng dụng” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Thu thập, phân tích tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu - Phân loại hệ thống hóa lý thuyết - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn nhóm nghiên cứu buổi seminar Phạm vi nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên, ứng dụng dự báo giá, định giá quyền chọn bảo hộ giá Mục tiêu nghiên cứu: Luận văn nhắm vào hệ thống lại kiến thức sở liên quan, nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên số ứng dụng, đặc biệt liên quan đến lĩnh vực kinh tế Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu nhằm vào vấn đề ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 vay ngân hàng 100 triệu đồng mua 500 cổ phiếu X danh mục đầu tư 100 triệu đồng tiền vay 500 cổ phiếu X Giả sử có n chứng khốn X1 , X2 , , Xn có giá thời điểm t S1 (t), S2 (t), , Sn (t) Một danh mục đầu tư thời điểm t cách chọn xk (t) chứng khoán Xk (k = 1, 2, , n) kí hiệu dạng vectơ x = (x1 (t), , xn (t)) Giá trị danh mục đầu tư thời điểm t V (t) = x1 (t)S1 (t) + x2 (t)S2 (t) + + xn (t)Sn (t) = n X xk (t)Sk (t) k=1 Các số xk (t) dương (ứng với bán sản phẩm Xk để thu tiền về) âm (bỏ tiền mua sản phẩm Xk ) Tại thời điểm t, danh mục đầu tư cân đối lại, tức điều chỉnh lại việc mua bán chứng khốn Điều có nghĩa thay đổi trọng số x1 (t), , xn (t) sang y1 (t), , yn (t) Nếu sau cân đối lại mà giá danh mục đầu tư khơng thay đổi, tức n X xk (t)Sk (t) = k=1 n X yk (t)Sk (t) k=1 ta gọi cân đối tự tài trợ Định nghĩa 2.1 Một danh mục đầu tư tự tài trợ gọi có hội chênh lệch giá thời điểm (t = 0) giá danh mục đầu tư (V (0) = 0) thời điểm t = T > tương lai V (T ) ≥ kì vọng E(V (T )) > Định nghĩa 2.2 Một thị trường khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá khơng tồn danh mục đầu tư tự tài trợ để có hội kinh doanh chênh lệch giá 33 Định lý 2.2 [5] Có hai khẳng định sau đúng: 1) Tồn chiến lược kinh doanh x = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) có hội kinh doanh chệnh lệch giá, tức V (0) = 0, V (T ) ≥ E(V (T )) > 2) Tồn phân bố xác suất trung hịa rủi ro khơng suy biến cho với phân bố xác suất E(V (T )) = với chiến lược kinh doanh x = (x1 (T ), x2 (T ), , xn (T )) Hệ 2.1 [5] Một thị trường khơng có hội kinh doanh chệnh lệch giá tồn phân bố xác suất trung hòa rủi ro không suy biến Q cho với phân bố xác suất EQ (V (T )) = V (0)erT với chiến lược kinh doanh x = (x1 (T ), x2 (T ), , xn (T )), r lãi kép liên tục không rủi ro 2.2.3 Hợp đồng quyền chọn Một quyền chọn (option) quyền mua hay bán chứng khốn đó, với điều kiện đặt trước Thị trường quyền chọn bắt đầu bùng nổ từ năm 1970, sau xuất cơng trình lý thuyết việc định giá quyền chọn Black, Scholes, Merton Scholes Merton giải thưởng Nobel năm 1997 cơng trình (lúc dó Black chết, giải Nobel trao cho người sống) Hai loại quyền chọn phổ biến quyền chọn kiểu Âu (European option) quyền chọn kiểu Mỹ (American option) Ngoài ra, thị trường cịn có nhiều loại quyền chọn khác phổ biến hơn, gọi chung quyền chọn lạ (exotic options), ví dụ quyền chọn có giới hạn (barrier option), quyền chọn kiểu Á (Asian option), v.v 34 Quyền chọn mua kiểu châu Âu: hợp đồng cho phép người sở hữu có quyền mua đơn vị hàng hóa hay tài sản với giá K cố định hợp đồng thời điểm T tương lai cố định Quyền chọn bán kiểu châu Âu: hợp đồng cho phép người sở hữu có quyền bán đơn vị hàng hóa hay tài sản với giá K cố định hợp đồng thời điểm T tương lai cố định Quyền chọn mua kiểu Mỹ: hợp đồng cho phép người sở hữu có quyền mua đơn vị hàng hóa hay tài sản với giá K cố định hợp đồng thời điểm thời điểm đáo hạn T tương lai Quyền chọn bán kiểu Mỹ: hợp đồng cho phép người sở hữu có quyền bán đơn vị hàng hóa hay tài sản với giá K cố định hợp đồng thời điểm thời điểm đáo hạn T tương lai Với t ∈ [0; T ], kí hiệu Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu thời điểm t: Ce = Ce (t) Giá quyền chọn bán kiểu châu Âu thời điểm t: Pe = Pe (t) Giá quyền chọn mua kiểu Mỹ thời điểm t: Ca = Ca (t) Giá quyền chọn bán kiểu Mỹ thời điểm t: Pa = Pa (t) Giá tài sản kí kết hợp đồng quyền chọn thời điểm t: S(t) Giá thực thi quyền chọn: K Định lý 2.3 [5] Kí hiệu S(t) thời điểm t Nếu quyền chọn có giá thực thi K thời điểm đáo hạn T ta có Ce (T ) = Ca (T ) = (S(T ) − K)+ = max{S(T ) − K, 0} 35 Pe (T ) = Pa (T ) = (K − S(T ))+ = max{K − S(T ), 0} Chứng minh Ở thời điểm đáo hạn Ce Ca có giá trị nhau, tương tự Pe Pa có giá trị Do ta xét Ce (T ) Pe (T ) Nếu S(T ) ≤ K hiển nhiên Ce (T ) = khơng nhà đầu tư lại bỏ tiền mua quyền chọn mua với giá Ce (T ) > để mua cổ phiếu với giá cao giá thị trường Cịn S(T ) > K nhà đầu tư mua quyền chọn mua với giá Ce (T ) để mua cổ phiếu với giá K bán với giá S(T ) để hưởng khoản tiền chênh lệch S(T ) − K Với giả thiết thị trường khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá ta phải có S(T ) − K = Ce (T ) Vì Ce (T ) =    0 S(T ) ≤ K   S(T ) − K S(T ) > K = max{S(T ) − K, 0} Chứng minh tương tự Pe (T ) Định lý 2.4 [5] Pe (t) − Ce (t) + S(t) = Ke−r(T −t) , r lãi kép liên tục Chứng minh Xét rổ tài sản thiết lập vào thời điểm t gồm có: +1 cổ phiếu S, +1 Put kiểu Âu, −1 Call kiểu Âu, −Xe−r(T −t) đơn vị tiền Đến thời điểm T lượng −Xe−r(T −t) tiền từ thời điểm t trở thành −X tiền, giá trị +1 Put kiểu Au trở thành (X − S(T ))+ , giá trị −1 Call kiểu Âu 36 trở thành (S(T ) − X)+ , giá trị toàn rổ tài sản thời điểm T là: S(T ) + (X − S(T ))+ − (S(T ) − X)+ − X Nếu X ≤ S(T ) (X − S(T ))+ = (S(T ) − X)+ = S(T ) − X, cịn X > S(T ) (X − S(T ))+ = X − S(T ) (S(T ) − X)+ = Dễ thấy rằng, hai trường hợp, rổ tài sản có giá trị thời điểm T Theo nguyên lý no-arbitrage, rổ tài sản phải có giá thời điểm t, tức S(t) + P E (t) − C E (t) − Xe−(T −t)r = 0, từ suy điều phải chứng minh 2.2.4 Mơ hình Black-Scholes Kí hiệu St giá cổ phiếu X thời điểm t ∈ [0; T ] Mơ hình Black - Scholes mơ tả phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dSt = µSt dt + σSt dWt , µ σ số, Wt q trình Wiener µ gọi hệ số trượt (drift), σ gọi độ biến động (volability) Chú ý σ lớn tác động ngẫu nhiên lệ giá cổ phiếu lớn Ta chứng minh σ2 σWt +(µ− )t , St = S0 e (2.9) S0 giá cổ phiếu quan sát thời điểm t = Ví dụ 2.4 Giá cổ phiếu St chứng khốn thỏa mãn phương trình dSt = 0, 05St dt + 0, 4St dWt , 37 giá cổ phiếu S0 = 100$ Một phương án đầu tư vào cổ phiếu sau: bỏ 10$, sau năm S1 < 95$ nhà đầu tư nhận 5$, S1 > 110$ nhà đầu tư nhận x$ nhà đầu từ nhận 0$ cho trường hợp cịn lại b) Tính xác suất S1 < 100 b) Biết lãi kép liên tục không rủi ro r = 0, 05 Xác định giá trị x điều kiện khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá Giải a)P (S1 < 100) = P (100e0,4W1 −0,03 < 100) = P (W1 < 0, 75) = Φ(0.75) ≈ 0, 77 b) Gọi T số tiền thu phương án đầu tư, T có bảng phân phối xác suất y x p(y) P (S1 < 95) P (S1 > 110) − P (S1 < 95) − P (S1 > 110) Với điều kiện khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá ta có E(T ) = 10er Đẳng thức tương đương với 5P (S1 < 95) + xP (S1 > 110) = 10e0,05 ⇔ 5P (100e0,4W1 −0,03 < 95) + xP (100e0,4W1 −0,03 > 110) = 10e0,05 ⇔ 5P (W1 < −0, 05) + xP (W1 > 0, 31) ≈ 1, 05 ⇔ x ≈ 21, 4$ Ví dụ 2.5 Giá cổ phiếu St chứng khoán thỏa mãn phương trình dSt = 0, 06St dt + 0, 4St dWt , 38 giá cổ phiếu S0 = 40$ Một nhà mơi giới chứng khốn đề xuất phương án đầu tư sau: nhà đầu tư bỏ khoản tiền C, sau năm nhà đầu tư nhận khoản tiền 100$ sau tháng giá chứng khoán lớn 42$ sau năm giá chứng khoán tăng 5% so với giá lúc tháng (S0,5 ≥ 42$ S1 ≥ 1, 05.S0,5 ) a) Tìm xác suất phương án đầu tư có lợi nhuận b) Giả sử phương án đầu tư hội kinh doanh chênh lệch giá lãi kép liên tục không rủi ro r = 0, 06 Tính C Giải a)Xác suất phương án đầu tư có lợi nhuận là: p = P ({S0,5 ≥ 42} ∪ {S1 ≥ 1.05S0,5 }) = − P ({S0,5 < 42} ∩ {S1 < 1.05S0,5 }) = − P (W0,5 < 0, 15)P (W1 − W0,5 > 0, 15)) p p = − Φ(0, 15/ 0, 5)(1 − Φ(0, 15/ 0, 5)) ≈ 0, 46 b) Gọi T số tiền thu phương án đầu tư, T có bảng phân phối xác suất y 100 p(y) P ({S0,5 < 42} ∩ {S1 < 1.05S0,5 }) P ({S0,5 ≥ 42} ∪ {S1 ≥ 1.05S0,5 }) Với điều kiện khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá ta có E(T ) = Cer 39 Đẳng thức tương đương với 100(1 − P ({S0,5 < 42} ∩ {S1 < 1, 05S0,5 })) = Ce0,06 ⇔ 100(1 − P (W0,5 < 0, 15)P (W1 − W0,5 > 0, 15)) = Ce0,06 ⇔ C ≈ 43, Ví dụ 2.6 Giá cổ phiếu St chứng khốn thỏa mãn phương trình dSt = 0, 04St dt + 0, 2St dWt giá cổ phiếu S0 = 40$ Nhà mơi giới chứng khốn đề xuất phương án đầu tư sau: nhà đầu tư bỏ 10$, sau năm giá chứng khốn S1 > (1 + x)40$ nhà đầu tư thu 100$ ,ngược lại không thu đồng a) Giả sử phương án đầu tư khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá lãi kép liên tục không rủi ro r = 0, 02 Tính x b) Tìm xác suất phương án đầu tư có lợi nhuận Giải a) Gọi T số tiền thu phương án đầu tư, T có bảng phân phối xác suất y 100 p(y) P (S1 ≤ 40(1 + x)) P (S1 > 40(1 + x)) Với điều kiện khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá ta có E(T ) = 10er 40 Đẳng thức tương đương với 100P (S1 > 40(1 + x)) = 10e0,02 ⇔ 100P (40e0,2W1 +(0,04−0,2 /2) > 40(1 + x)) = 10e0,02 ⇔ P (W1 > (ln(1 + x) − 0, 02)/0, 2) ≈ 0, ⇔ − Φ((ln(1 + x) − 0, 02)/0, 2) ≈ 0, ⇔ Φ((ln(1 + x) − 0, 02)/0, 2) ≈ 0, ⇔ (ln(1 + x) ≈ 0, 2Φ−1 (0, 9) + 0, 02 ⇔ x ≈ 0, b) Xác suất phương án đầu tư có lợi nhuận là: p = P (S1 > 40(1 + 0, 2)) = − Φ((ln(1 + 0, 2) − 0, 02)/0, 2) ≈ 0, Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực thi thời điểm T K xác định công thức tiếng sau gọi công thức Black - Scholes Định lý 2.5 [5] Nếu µ = r lãi kép liên tục khơng rủi ro √ Ce (t) = St Φ(d) − Ke−r(T −t) Φ(d − σ T − t),   St σ2 d= √ ln( ) + (r + )(T − t) K σ T −t Đặc biệt, giá quyền chọn mua kiểu châu Âu thời điểm (t = 0) √ Ce (0) = C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ), 41 r lãi kép liên tục,  d= √ σ T S0 σ2 ln( ) + (r + )T K  Chứng minh Kí hiệu C giá quyền chọn kiểu châu Âu thời điểm t = Với giả thiết thị trường khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá, ta phải có C = e−rT EQ (Ce (T )) = e−rT EQ [(ST − K)+ ], r lãi kép liên tục Q độ đo xác suất trung hịa rủi ro Từ (2.9) ta có ST = S0 e σWT +(r− σ2 )T Vì WT ∼ N (0; T ) nên ta viết WT dạng WT = √ T Z với Z ∼ N (0; 1) Vì σ2 √ σ T Z+(r− )T − K)+ ] C = e−rT EQ [(S0 e +  x2 σ √ Z ∞ −rT )T − σ T x+(r− e  − K =√  e dx S0 e 2π −∞ Ta có S0 e σ √ σ2 T x+(r− )T −K ≥0 tương đương với K σ2 ln( ) − (r − )T S0 √ x≥ = a σ T 42 Khi  e−rT C=√ 2π  x2 σ √ Z ∞  σ T x+(r− )T  − − K  e dx S0 e a x2 σ Z ∞ x2 − T − 1 2 dx − e−rT K √ = S0 √ e e dx 2π a 2π a 2 x σ Z ∞ √ − T σ T x− 2 dx − e−rT KΦ(−a) = S0 √ e 2π a Z ∞ σ √T x− =S0 I − e−rT KΦ(−a), I=√ 2π Z ∞ σ √T x− e x2 σ T − 2 dx a Đổi biến số √ t=x−σ T ta I=√ 2π Z +∞ √ a−σ T e−t /2 √ √ dt = − Φ(a − σ T ) = Φ(σ T − a) Do √ C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ), với ln( d= S0 σ2 ) + (r + )T K √ σ T Đối với thời điểm t ∈ [0, T ], đổi t làm thời điểm ban đầu ta √ Ce (t) = S0 Φ(d) − Ke−r(T −t) Φ(d − σ T − t), với ln( d= S0 σ2 ) + (r + )(T − t) K √ σ T −t 43 Ví dụ 2.7 Giả sử giá cổ phiếu St công ty ABC thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên dSt = 0, 12St dt + 0, 24St dWt Giá cổ phiếu S0 = 40$, giá thực thi quyền chọn thời điểm đáo hạn T = 1/3 (năm) K = 42$ Hãy định giá quyền chọn mua bán kiểu châu Âu thời điểm (t=0) Giải r = 0, 12, σ = 0, 24 Ta tính d theo công thức ln( d= S0 σ2 0, 242 40 ) + (r + )T )3 ln( ) + (0, 08 + K √ 42 p = −0, 09 = σ T σ 1/3 Áp dụng công thức Black-Scholes với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu √ C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ) = 1, 815 Ta áp dụng công thức liên hệ quyền chọn mua bán Pe (t) − Ce (t) + S(t) = Ke−r(T −t) Suy Pe (t) = Ke−r(T −t) − S(0) + Ce (t) = 2, 71 Ví dụ 2.8 Giả sử bạn phải trả 10 USD để mua giá quyền chọn mua chứng khoán X với giá thực thi K = 100 USD thời điểm đáo hạn T = tháng Lãi suất không rủi ro r = 6%/ năm Tìm giá trị lợi tức phương án đầu tư đến thời điểm đáo hạn giá kì vọng chứng khốn a) S0,5 = 110 USD b) S0,5 = 98 USD 44 Giải r = 0, 06, σ = Ta tính d theo cơng thức S( 0, 5) σ2 110 02 ln( ) + (r + )T ln( ) + (0, 06 + ) K √ 10 p = 0, 536 d= = σ T 0, 1/4 Áp dụng công thức Black-Scholes với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu √ C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ) = 5, 057$ Ví dụ 2.9 Giá cổ phiếu S0 = 52$ Định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu thời điểm với giá thực thi K = 50$; thời gian đáo hạn T = tháng; lãi kép liên tục r = 12%/ năm; độ dao động thị trường cổ phiếu σ = 30%/ năm Giải r = 0, 12, σ = 0, Ta tính d theo cơng thức ln( d= σ2 52 0, 32 S0 ) + (r + )T ln( ) + (0, 12 + )4 K √ 50 p = = 0, 536 σ T 0, 1/4 Áp dụng công thức Black-Scholes với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu √ C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ) = 5, 057$ Ví dụ 2.10 Giá cổ phiếu St chứng khoán thỏa mãn phương trình dSt = 0, 06St dt + 0, 3St dWt a) Tính xác suất tháng tới cổ phiếu có giá thấp 90% giá ngày hơm b) Giả sử có phương án đầu tư: nhà đầu tư bỏ A$ ngày hôm nay, 45 sau tháng cổ phiếu có giá thấp 90% giá ngày hơm nhà đầu tư nhận 100$, ngược lại, nhà đầu tư khoản tiền A Giả sử khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá Tìm khoản tiền A Giải a) r = 0, 06, σ = 0, Ta tính d theo cơng thức 0, 32 S0 S0 σ2 ) + (0, 06 + ) ln( ln( ) + (r + )T 0, 9.S0 2 K √ p d= = 0, 744 = σ T 0, 1/2 Ta suy ϕ(d) = 0, 771 = 77, 1% Ví dụ 2.11 Giá cổ phiếu St chứng khoán thỏa mãn phương trình dSt = 0, 05St dt + 0, 3St dWt Giá chứng khoán S0 = 95 a) Tìm giá quyền chọn mua kiểu châu Âu cổ phiếu thời điểm đáo hạn T = tháng giá thực thi K = 100 b) Tìm xác suất quyền chọn mua (a) khơng có giá trị thời điểm đáo hạn c) Giả sử có phương án đầu tư cổ phiếu sau: nhà đầu tư nhận 50$ vào cuối năm sau tháng kể từ thời điểm đầu tư giá cổ phiếu cao 105$ giá cổ phiếu sau năm kể từ đầu tư cao giá cổ phiếu sau tháng kể từ đầu tư Tìm khoản tiền đầu tư ban đầu với điều kiện khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá Giải a) r = 0, 04, σ = 0, Ta tính d theo cơng thức S0 σ2 95 0, 32 ln( ) + (r + )T ln( ) + (0, 04 + ) K √ 100 = −0, p d= = σ T 0, 1/4 46 Áp dụng công thức Black-Scholes với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu √ C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ) = 4, 015$ b) Quyền chọn mua (a) khơng có giá trị thời điểm đáo hạn S( 0, 25) ≤ K, ta tính d sau S0 0, 32 S0 σ2 ln( ) + (0, 04 + ) ln( ) + (r + )T S0 K √ p = d= = 0, 136 σ T 0, 1/4 Ta suy ϕ(d) = 0, 554 = 55, 4% Ví dụ 2.12 Một quyền chọn nhị phân kiểu châu Âu quyền chọn mà người sở hữu nhận khoản tiền F thời điểm đáo hạn T giá cổ phiếu cao giá thực thi K vô giá trị ngược lại Định giá quyền chọn F = 100; giá thực thi K = 40; thời điểm đáo hạn T = tháng; độ biến động cổ phiếu σ = 0, 32; giá cổ phiếu S0 = 38; lãi kép liên tục r = 6% / năm Giải r = 0, 06, σ = 0, 32, F = S0 = 100$ Ta tính d theo công thức ln( d= S0 σ2 100 0, 322 ) + (r + )T ln( ) + (0, 06 + )2 K √ 40 p = = 4, 295 σ T 0, 32 1/2 Áp dụng công thức Black-Scholes với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu √ C = S0 Φ(d) − Ke−rT Φ(d − σ T ) = 61, 182$