Toán tử khuyếch tán và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên

LỜI MỞ ĐẦU Trong năm gần tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cưú Đáng ý cơng trình nghiên cứu Xuerong Mao cộng ơng tính ổn định mũ bình phương trung bình hay ổn định mũ hầu chắc Đối với trạng thái cân hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có chuyển đổi Máccốp hay khơng có chuyển đổi Điều bắt nguồn từ tầm quan trọng tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên mơ hình tốn học phản ánh hoạt động hệ thống Luận văn đề cập đến việc trình bày khái niệm tốn tử khuyếch tán vai trị tốn tử việc nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong luận văn phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov có dạng: dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t-  ), t, r(t))dwt) (1.1) r(t) Xích Markov lấy giá trị tập S = {1,2,…,N} Phương trình coi kết N phương trình sau: dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, i )dt + g(x(t), x(t-  ), t, i )dω(t),  i  N (1.2) Trong trình thực luận văn, tác giả nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo, giáo, đồng nghiệp, bạn bè, người thân Với tình cảm chân thành trân trọng nhất, tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phan Đức Thành, người trực tiếp hướng dẫn tác giả thực hiên luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hòa, thầy cô giáo môn Xác suất thống kê ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại học – Trường Đại Học Vinh Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tận tình giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận văn Vinh, ngày tháng 01 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Duyên MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Ổn định hệ tuyến tính dừng .7 1.5 Ổn định hệ tuyến tính khơng dừng 1.6 Ổn định hệ phi tuyến .12 1.7 Tính ổn định với xác suất hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên .14 CHƢƠNG 2: TOÁN TỬ KHUYẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .21 2.1 Toán tử khuyếch tán .21 2.2.Ứng dụng toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov 25 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 CHƢƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN Chương trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định Liapunov hệ phương trình vi phân Nội dung chương trình bày theo chuyên khảo Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu Vũ Ngọc Phát Xem [1] [2] 1.1 Các khái niệm lý thuyết ổn định Xét hệ phương trình vi phân:  x(t ) = f(t,x), t  x(t ) = x (1.1) x(t)  R n trạng thái hệ, f: R   R n  R  hàm véc tơ cho trước f(t,x) liên tục theo t, có đạo hàm riêng cấp theo biến x1,…,xn liên tục 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi ổn định theo Lyapunov   0, t0  0,    ( , t0 ) cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn y0  x0   nghiệm bất đẳng thức y(t )  x(t )   , t  t0 1.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi không ổn định theo Lyapunov   t0  0,    ( , t0 ) cho   0, tồn nghiệm y(t) hệ thời điểm t1  t0 thỏa mãn y0  x0   y(t1 )  x(t1 )   1.1.3 Định nghĩa Nghiệm x(t) hệ gọi ổn định tiệm cận theo Lyapunov y(t )  x(t ) =0 ổn định   cho với y0  x0   lim t  1.1.4 Định nghĩa Dùng phép biến đổi z = x - y ta đưa hệ (1.1) hệ  z  g (t , x) (1.2) g(t,x) = f( t, y + z) – f( t, y) Rõ ràng g(t,0) = hệ cho hệ tầm thường z  Hệ gọi hệ quy đổi 1.1.5 Định nghĩa Nghiệm tầm thường( trạng thái cân bằng) x  gọi ổn định   0, t0  0,    ( , t0 ) cho nghiệm y(t) hệ thỏa mãn y(t )   nghiệm bất đẳng thức x(t )   , t  t0 1.1.6 Định nghĩa Nghiệm tầm thường x  hệ gọi tiệm cận theo Lyapunov ổn định   cho nghiệm y(t) thỏa mãn y(t0 )   lim y(t )  t  1.1.7 Định nghĩa Hệ (1.1) gọi ổn định mũ M  0,   cho nghiệm x(t) hệ với x(t0 )  x0 thỏa mãn x(t )  M e ( t t ) , t  t0 Khi nghiệm khơng hệ khơng ổn định tiệm cận mà nghiệm tiến tới nhanh với tốc độ hàm số mũ 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính  x(t )  A(t ) x  f (t ) (1.3) hệ vi phân tuyến tính  x(t )  A(t ) x (1.4) ma trận A(t) véc tơ f(t) liên tục khoảng (0,  ) 1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tất nghiệm ổn định 1.2.2 Nhận xét Các nghiệm hệ vi phân tuyến tính đồng thời ổn định đồng thời không ổn định 1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.3) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận 1.2.4 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định với số hạng tự f(t) nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.4) ổn định 1.2.5 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ tương ứng (1.4) ổn định tiệm cận 1.2.6 Hệ Hệ vi phân tuyến tính (1.3) với số hạng tự f(t) ổn định (ổn định tiệm cận) hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định (ổn định tiệm cận) 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3.1 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định theo Lyapunov nghiệm x(t) hệ bị chặn t0 ,   Chứng minh Điều kiện cần : Giả sử hệ (5) ổn định có nghiệm z(t) khơng bi chặn t0 , , z (t0 )  Ta nghiệm tầm thường hệ không ổn định Thật lấy   xét nghiệm y(t) = z (t )  z (t ) Rõ ràng y(t0 )  2  z(t) không bị chặn nên y(t) không bi chặn t ,   Do với  cố định, t1  t0 cho y(t1 )   Từ suy nghiệm tầm thường y  không ổn định Điều mâu thuẫn với giả thuyết hệ ổn định Như nghiệm y = y(t) hệ bị chặn t ,   Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm hệ bị chặn t0 ,   Khi ma trận chuẩn hóa  (t )  xik (t ) bao gồm hàm giới nội nên giới nội Do tồn M > để  (t )  M , t0 ,  Mặt khác với nghiệm x(t) hệ ta có y(t )   (t ).y(t0 ) Suy ra: y(t )   (t ).y(t0 )   (t ) y(t0 )  M y(t0 )   Khi y(t )   M =  , chọn  =  M Như nghiệm tầm thường y  ổn định Do hệ (1.4) ổn định 1.3.2 Hệ Nếu hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định nghiệm đồng thời giới nội đồng thời không giới nội 1.3.3 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến, từ tính giới nội nghiệm nói chung khơng suy tính ổn định 1.3.4 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn x(t )  định tiệm cận tất nghiệm thỏa mãn lim t  Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.4) ổn định tiệm cận Khi nghiệm tầm thường z0  ổn định tiệm cận Từ suy nghiệm z(t) mà có z (t )  Giả sử y(t) nghiệm hệ với điều kiện z (t0 )   lim t  ban đầu y (t0 ) = y , y(t0 )  Đặt z (t )  y(t)  nghiệm z(t) y(t ) z (t )  Do lim z (t )  lim nghiệm hệ thỏa mãn lim t  t  t  y (t0 )  z (t ) =0 y(t )  Suy với Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm y(t) hệ thỏa mãn lim t  T đủ lớn (T> t ) nghiệm y(t) bị chặn (T,  ) Mặt khác hàm véc tơ y(t) liên tục t , T  nên bị chặn đoạn Như nghiệm y(t) bị chặn t ,  Do hệ ổn định Suy nghiệm tầm thường z  ổn định y(t )  ta suy nghiệm tầm thường z  ổn Kết hợp với giả thiết lim t  định tiệm cận Do hệ cho ổn định tiệm cận 1.3.5 Chú ý Đối với hệ vi phân phi tuyến điều kiện tất nghiệm dần tới không t   nói chung khơng phải điều kiện đủ để nghiệm ổn định tiệm cận 1.4 Ổn định hệ tuyến tính dừng Xét hệ vi phân tuyến tính nhất:  x(t )  A(t ) x , t  (1.5) A  a jk n ma trận 1.4.1 Định lý Hệ vi phân (1.5) ổn định tất nghiệm đặc trưng  j ma trận A có phần thực khơng dương nghiệm đặc trưng có phần thực khơng có ước đơn 1.4.2 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm cận tất nghiệm  j phương trình đặc trưng ma trận A có phần thực âm 1.4.3 Định lý Hệ (1.5) ổn định mũ phần thực tất giá trị riêng ma trận A âm 1.4.4 Chú ý Đối với hệ vi phân tuyến tính dừng mệnh đề sau tương đương: i) Hệ ổn định mũ, ii) Hệ ổn định tiệm cận, iii) Mọi giá trị riêng ma trận A có phần thực âm 1.4.5 Ví dụ Xét tính ổn định hệ  x   x    x  2x2  1 Ta thấy A   0 0    Các giá trị riêng ma trận A  (A) = -1,-2 có Re  (A) n 1.5 Ổn định hệ tuyến tính khơng dừng Xét hệ vi phân tuyến tính  x(t )  A(t ) x(t ) , t  (1.6) 1.5.1 Định lý Xét hệ (1.6), A(t) = A + C(t) Giả sử A ma trận ổn định, C(t) khả tích R  C (t )  a, a  Khi hệ ổn định mũ với a>0 đủ nhỏ Chứng minh Với A(t) = A + C(t) hệ phương trình (1.6) có dạng  x(t )  Ax(t )  C (t ) x(t ), t  Do nghiệm hệ với x(t0 ) = x0 cho bởi: t x(t )  e  Ads t0 t t ( x0   C ( s) x( s)e  -Adt t0 t t ds)  e A( t t ) ( x0   C ( s) x( s)e t0  -A(s-t ) t0 ds) t0 t  x0 e A( t t )   C ( s) x( s)e A( t s ) ds t0  Vì ma trận A ổn định nên hệ x(t )  Ax(t ),t  ổn định mũ, theo định nghĩa   0,   cho e At  et , t  Ta có x(t )  x0 e A ( t t0 ) t  e A( t s ) C ( s) x( s) ds  x0 e  ( t t0 ) t0 t   e  ( t s ) a x( s) ds t0 t  e (t t ) x(t )   x0   a x( s) e ( s t ) ds 0 t0 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân t t “Nếu u(t )  C   a( s)u ( s)ds u (t )  Ce t0 Với  ( t  t 0) x ( t ) u(t )  e , C   x0 , a(s)  a Ta 10  a ( s ) ds t0 ”  xT H00 x = xT diag ( 1, 2, 3… n ) x Do H00 xác định dương nên suy j  0, j = 1, n (**) Từ (*) (**) suy j < 1, j =1,n Từ theo bổ đề H00 – E xác định âm Vậy hệ (1.14) ổn định tiệm cận với xác suất 21 CHƢƠNG TOÁN TỬ KHUYẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Khi nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên tốn tử khuyếch tán có vai trị đặc biệt quan trọng Bởi thơng tin toán tử Lyapunov toán tử khuyếch tán cho ta khả phán đốn có hiệu tính ổn định khơng ổn định nghiệm hệ vi phân 2.1 Toán tử khuyếch tán 2.1.1 Công thức vi phân Itô Cho ( , F, P ) không gian xác suất đủ trang bị lọc (Ft)t  B(t) = (B1(t), B2(t), …., Bn(t))T, t  trình Winner n – chiều xác định khơng gian 2.1.1.1 Định nghĩa Q trình Itơ n-chiều q trình liên tục Rn giá trị x(t) = (x1(t),…,x1(t))T, (t  ) có dạng x(t) = x(0) + t  t f ( s)ds   g ( s)dB( s) Trong f = (f1,…,fn )T  L1(R+,,Rn) g = ( gij )nm  L2 ( R , R nm ) Ở  Lp ( R , R n ) họ trình ngẫu nhiên f(t), t  R cho f (t ) dt   p R Ta nói x(t) có vi phân ngẫu nhiên dx(t) t  vi phân dx(t) có dạng: dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t) Gọi C2,1( Rn  R+ ; R ) họ tất hàm thực V(x,t) xác định 22 Rn  R+ cho khả vi liên tục lần theo x lần theo t Giả sử V  C2,1( Rn  R+ ; R ) ta đặt Vt = V , t Vx = ( V V , …, ) x1 xn ,  2V    2V   x1xn   2V  x1x1 Vxx= ( )n  n =  xi  x V  2V     x  x  x  x  n n n  j  2V V Dĩ nhiên V  C ( R  R+ ; R ) ta có Vx = , Vxx= x x 2,1 2.1.1.2 Định lý (công thức Itô) Giả sử x(t ) trình Itơ n-chiều t  với vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f(t)dt + g(t)dB(t) f  L1(R+,,Rn) , g  L2 ( R , R nm ) Giả sử V  C2,1( Rn  R+ ; R ) Khi V(x(t),t) q trình Itơ có vi phân ngẫu nhiên cho dV(x(t),t)=   V ( x ( t ), t )  V ( x ( t ), t ) f ( t )  trave g T (t )Vxx ( x(t ), t ) g (t )   Vx ( x(t ), t ) g (t )dB(t ) t x   Cơng Itơ viết sau: dV(x(t),t) = Vt ( x(t ), t )dt + Vx ( x(t ), t )dx(t ) + T dx (t )Vxx ( x(t ), t )dx(t ) Toán tử khuyếch tán LV: Cho V  C2,1( Rn  R+ ; R ) Ta định nghĩa toán tử LV: R n  R  R sau LV(x,t) = Vt ( x, t )  Vx ( x, t ) f (t )  trave ( g T (t )Vxx ( x(t ), t ) g (t ) ) 23 LV gọi tốn tử khuyếch tán q trình Itơ liên quan đến hàm V Nhờ tốn tử khuyếch tán, cơng thức Itơ có dạng dV(x(t),t) = LV(x(t),t)dt + Vx ( x(t ), t ) g (t )dB(t ) 2.1.2 Tính ổn định theo xác suất Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên d chiều dx(t) = f(x(t),t)dt + g(x(t),t)dB(t) (t  t ) Với điều kiện ban đầu x(t0 )  x0  R d giả sử f(0,t) = 0, g(0,t) = t  t0 Khi phương trình cho có nghiệm x(t)  tương ứng với giá trị ban đầu x(t0 ) = 2.1.2.1 Định nghĩa (i) Nghiệm tầm thường x  phương trình (2.1) gọi ổn định ngẫu nhiên hay ổn định theo xác suất nếu:   (0,1) r >  =  ( , r , t0 )  x0   P x(t , t0 , x0 )  r , t  t0     (ii) Nghiệm tầm thường gọi ổn định tiệm cận ngẫu nhiên ổn định ngẫu nhiên   (0,1) ,  =  ( , t0 )  ,   x0   x(t, t , x ) =    P lim t  Bây ta mở rộng Định lý Lyapunov cho trường hợp hệ vi phân ngẫu nhiên 2.1.2.2 Định lý Nếu tồn hàm xác định dương V(x,t) C 2,1 (Sh  t0 , , R ) cho LV(x,t)  ( x, t )  Sh  t0 ,  Thì nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định ngẫu nhiên 2.1.2.3 Định lý Nếu tồn hàm xác định dương vô bé bậc cao V(x,t) C 2,1 (Sh  t0 , , R ) cho LV(x,t) < nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên 24 Các hàm V(x,t) định lý gọi hàm Liapunov ngẫu nhiên việc áp dụng định lý phụ thuộc vào cấu trúc hàm V Chẳng hạn với hàm tồn phương V(x,t) = x T Qx Trong Q = Q T  ta có LV(x,t) = xT Qf ( x, t ) + trace g T ( x, t )Qg ( x, t ) 2.1.3 Tính ổn định mũ hầu chắn 2.1.3.1 Định nghĩa Nghiệm tầm thường phương trình (2.1) gọi ổn định mũ hầu chắn lim sup log x(t , t0 , x0 )  t  t h.c.c Đối với x0  R d 2.1.3.2 Bổ đề Đối với x0  thuộc R d : Px(t , t0 , x0 )  t  t0 = Điều có nghĩa hầu hết tất quỹ đạo mẫu nghiệm phương trình (2.1) xuất phát từ trạng thái không không trở gốc 2.1.3.3 Định lý Giả sử tồn hàm V  C 2,1 ( R d  t0 , , R ) số p > 0, c1  , c2  R , c3  cho x  t  t0 (i) c1 x  V(x, t) , p (ii) LV(x,t)  c V(x, t ) , (iii) Vx (x, t)g(x, t)  c3V (x, t) Khi ta có: c  2c lim sup log x(t, t , x )   t  t 2p 25 h.c.c Đối với x0  R d Đặc biệt c3  2c2 nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định mũ hầu chắn 2.1.3.4 Hệ Giả sử tồn hàm V  C 2,1 ( R d  t , , R ) số p,  ,  cho x  0, t  t  x  U ( x, t ) LV(x,t)  V ( x, t ) p  sup log x(t , t0 , x0 )   Khi đó: lim t  t p h.c.c 2.2 Ứng dụng toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov 2.2.1 Mở đầu Xét phương trình vi phân có trễ ngẫu nhiên với chuyển đổi Markov có dạng: dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t-  ), t, r(t))dwt) (1.1) r(t) Xích Markov lấy giá trị tập S = {1,2,…,N} Phương trình coi kết N phương trình sau: dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, i )dt + g(x(t), x(t-  ), t, i )dω(t),  i  N (1.2) N phương trình chuyển đổi từ sang phương trình cịn lại tuỳ thuộc vào di chuyển Xích Markov Cho (  ,F,{Ft}t  0,P) không gian xác suất đủ với lọc {Ft}t  thoả mãn điều kiện thơng thường (như lọc có tính liên tục bên phải F0 bao hàm tất tập P rỗng) Đặt w(t) = (w1(t),…wm(t))T chuyển động m chiều Brown xác định không gian xác suất Giả sử  >0 C([ ,0];R ) ký hiệu tập hàm  liên tục từ [-  ,0] đến R với chuẩn  = n n 26 supГ≤θ≤0  ( ) chuẩn chuẩn Euclide Rn Nếu A vecto ma trận chuyển vị ký hiệu AT Nếu A ma trận chuẩn vết A ký hiệu A  trace(AT , A) chuẩn toán tử ký hiệu A  supAx : x  1} (để tránh nhầm lẫn với  ) Nếu A ma trận đối xứng tương ứng λ max (A) λ (A) ký hiệu giá trị riêng lớn nhỏ A Ký hiệu C Fb ([,0]; R n ) tập biến ngẫu nhiên tập chặn gồm tập Fo tính tốn tập C([-  ,0];Rn) định giá trị Nếu x(t) q trình ngẫu nhiên Rn định giá trị liên tục t  [-  ,  ] , ta đặt xt = {x(t+  ):-     } với t>=0 trình ngẫu nhiên định giá trị C([-  ,0];Rn) Giả sử r(t) với t  Xích Markov liên tục phải không gian xác suất lấy giá trị không gian trạng thái hữu hạn S = {1,2,…N} với hàm   ( ij ) N N định nghĩa  ij   o() nêu i  j P{r(t+  )= j r(t)  i } =  1  ij   o() nêu i  j Trong  >0 Ở  ij  hệ số chuyển đổi từ i sang j i  j và:  ij     ij j i Ta giả sử Xích Markov r(.) độc lập với chuyển động Brown w(.) Chúng ta biết hầu hết quỹ đạo r(t) hàm liên tục phải với số hữu hạn bước nhảy đơn giản R+ (:=[0,  )) 2.2.2 Toán tử khuyếch tán LV phƣơng trình có chuyển đổi Markov Ta xét phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ với chuyển đổi Markov có dạng sau 27 dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t-  ), t, r(t))dw(t) (2.1) với t  với giá trị ban đầu x0 =   CFb ([,0]; R n ) f : Rn  Rn  R+  S  Rn g : Rn  Rn  R+  S  R nm Ta đưa giả thiết (H1) Cả 02 hàm f g thoả mãn điều kiện Lipschitz địa phương điều kiện tăng tuyến tính Có nghĩa là, với k = 1,2,…, có hk > thoả mãn       f ( x, y, t , i)  f ( x, y, t , i) + g ( x, y, t , i)  g ( x, y, t , i)  hk ( x  x  y  y )     với t  0, i  S x, y, x , y  R với x  y  x  y  k n có h > thoả mãn f ( x, y, t , i)  g ( x, y, t , i)  h(1 x  y ) với x, y  Rn, t  i  S 2.2.2.1 Định lý Với giả thiết (H1), phương trình (2.1) có nghiệm liên tục x(t) với t    Ngoài ra, với p > ta có  sup x( s) p    với t  st  (2.2) Ký hiệu C2,1( Rn  R+  S; R+ ) họ hàm không âm V(x,t,i) không gian Rn  R+  S có tính chất hai lần khả vi liên tục x khả vi lần t Nếu V 2,1 n n n  C ( R  R+  S; R+ ) ta gọi LV toán tử từ R  R  R+  S tới R với LV(x,y,t,i) = Vt(x,t,i) + Vx(x,t,i)f(x,y,t,i) (2.5) Trong Vt(x,t,i) = V ( x, t , i ) V ( x, t , i ) V ( x, t , i) , Vx(x,t,i) = ( , …, ) x n t x1 28 Vxx(x,t,i) = (  2V ( x, t , i) )n  n xi  x j Về sau sử dụng công thức Itô tổng quát sau Nếu V  C2,1( Rn  R+  S; R+ ) với thời điểm dừng  1     2 EV(x(  ),  ,r(  )) = EV(x( 1 ), 1 ,r( 1 )) +E  LV(x(s), x(s -  ), s, r(s))ds (2.6) 1 miễn kỳ vọng tích phân tồn 2.2.3 Tính ổn định mũ momen phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có trễ Trước hết bắt đầu xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có trễ với chuyển đổi Markov m dx(t)=[A(r(t))x(t)+B(r(t))x(t-Г)+  C k (r(t)) x(t )  Dk (r(t))x(t -   dwk (t ) (3.1) k 1 Trong t  với giá trị ban đầu x0 =   CFb ([,0]; R n ) Để đơn giản ta đặt A(i) = Ai, B(i) = Bi, Ck(i) = Cki, Dk(i) = Dki Là ma trận cỡ nxn Theo Định lý 2.2.2.1, phương trình (3.1) có nghiệm chung ký hiệu x( t,  ) Rõ ràng, phương trình (3.1) có nghiệm tầm thường x(t;0)  2.2.3.1 Định lý Giả sử tồn ma trận đối xứng xác định dương Qi,  i  N cho ma trận cỡ 2n x 2n có dạng Q A  AT Q  I  m C T Q C  N  Q   ki i ki ii j  i i i i k 1 j 1 Hi =  m  BiT Qi   DkiT QiCki  k 1 29 Qi Dki   k 1  0 nghiệm phương trình  (Q  T ) = H  [1 (H  )] với Q  max max (Qi ) 1 i  N (3.4) H  max [max ( H i )] 1 i  N (3.5) Nói cách khác, nghiệm tầm thường phương trình (3.1) ổn định mũ bình phương trung bình số mũ Lyapunov momen cấp không lớn -  Chứng minh Lưu ý -1  max ( H i ) < < H  Dễ dàng nhận thấy phương trình (3.4) có nghiệm  > Đặt   C Fb ([,0]; R n ) x(t;  ) Ta định nghĩa V(x, t, i)  C2,1( Rn  R+  S; R+ ) bởi: t  T  V(x, t, i) =   x Qi x   E x( s) ds  t   t (3.6) Theo công thức Itô ta có: t EV(x(t), t, r(t) ) = EV(x(0), 0, r(0) ) + E  LV(x(s), x(s -  ), s, r(s))ds s  T  x( s )  T T  =EV(x(0),0,r(0))+E   x ( s)Qi x( s)    x( ) d  ( x ( s ), x ( s  )) H r ( s )   x ( s  )   s  t s   ds  (3.7)  Q   E   (Q  H ) E   x( s) ds  E   t s t 0 s s  s  t x( ) dds  H E  s x( s  ) ds (3.8) 30 Chú ý t  t   (   ) t s  2  (    )   s    d  x( )   x (  ) d  ds  x (  )  ds d       x ( s ) ds 0 s              0    t s s t 2 (3.9) Và t  t   H E  s x( s  ) ds =  H  E  s x( s) ds   1 (H   )E  s x( s) ds t 2    1 (H  )E   x( s) ds + E  s x( s) ds  t s t 2 (3.10) t Thay (3.9) (3.10) vào (3.8) sử dụng (3.4) ta có EV(x(t),t, r(t) )  Q   (1  )E  t  E  s x( s) ds (3.11) t  Mặt khác t EV(x(t), t, r(t) )   q E x(t )  E  s x( s) ds t 2 (3.12) t Trong Q  min (Qi ) Kết hợp (3.11) với (3.12) sử dụng (3.6) ta có: 1 i N t q E x(t )  Q  (1  )E  2 Và khẳng định yêu cầu (3.3) Việc chứng minh hoàn thành 2.2.4 Ổn định mũ momen phƣơng trình phi tuyến tính có trễ Bây ta trở lại với phương trình có trễ tổng qt (2.1), dx(t) = f(x(t), x(t-  ), t, r(t))dt + g(x(t), x(t-  ), t, r(t))dw(t) (4.1) Trong t  với giá trị ban đầu x0    CFb ([,0]; R n ) Nghiệm phương trình ký hiệu x(t;  ) Khơng tính tổng quát, ta giả sử 31 f(0, 0, t, i)  g(0, 0, t, i)  ) Như phương trình (4.1) có nghiệm tầm thường x(t;0)  2.2.4.1 Định lý Giả sử giả thuyết (H1) Đặt p, c1 , c số dương 1  2  Giả sử tồn hàm V(x,t,i) C2,1( Rn  R+  S; R+ ) cho: c1 x  V(x,t,i)  c2 x p p (4.2) Đối với (x,t,i)  Rn  R+  S LV(x,y,t,i)   1 x  2 y p p (4.3) với (x,y,t,i) Rn  Rn  R+  S Khi đó: p lim sup log( E x(t; ) )    t  t (4.4) với   CFb ([,0]; R n )   nghiệm phương trình sau:  (c2  2 )  1  2 (4.5) Nói cách khác, nghiệm tầm thường phương trình (4.1) ổn định mũ momen bậc p số mũ Lyapunov momen bậc p không lớn -  Chứng minh Ta cố định   CFb ([,0]; R n ) x(t;  ) = x(t) Và định nghĩa U(x,t,i)  C2,1(Rn  R+  S; R+ ) sau: t   p U(x,t,i) =  V ( x, t , i )  2  E x( s) ds  t    t (4.6) Theo công thức Itô, ta có: t EU(x(t),t,r(t)) = EU(x(0),0,r(0)) + E  LU ((x(s), x(s - ), s, r(s))ds =EU(x(0),0,r(0)) s   p p p +E   V ( x(s), s, r (s))  2  x( ) d  2 ( x(s)  x(s  ) )  LV (x(s), x(s - ), s, r(s)) ds s    t s 32 t t  (c2  2 ) E   (c2  2  1 ) E  s x( s) ds  2 E  s p p 0 s  x( ) dds p (4.7) s  Ta lại có:  (  )ts  E    x( ) dds = E  x( )    ds d  s    0  t s s p t p (4.8) Thay vào (4.7) sử dụng (4.5) ta thu được: EU(x(t),t,r(t))  c2  2 (1  )E  p Nhưng EU(x(t),t,r(t))  c1t E x(t ) p Do E x(t )  p c2  2 (1  )t c1 Và khẳng định yêu cầu (4.4) Việc chứng minh hoàn thành 33 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: Trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định Lyapunov với nội dung: 1.1 Các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ hệ vi phân 1.2 Tính ổn định, ổn định tiệm cận hệ vi phân tuyến tính, tuyến tính dừng, phi tuyến 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận 1.4 Ổn định tính tiệm cận với xác suất hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Đã đưa ứng dụng tốn tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định cuả hệ vi phân ngẫu nhiên với nội dung: 2.1 Trình bày cơng thức vi phân Itơ khái niệm tốn tử khuyếch tán liên quan đến cơng thức Itơ 2.2 Nêu lên định nghĩa ổn định ngãu nhiên ổn định tiệm cận ngẫu nhiên hệ vi phân ngẫu nhiên 2.3 Phát biểu định lý Lyapunov mở rộng tính ổn định ổn định tiệm cận ngẫu nhiên nhờ thơng tin tốn tử khuyếch tán 2.4 Nêu lên ứng dụng tốn tử khuyếch tan để nghiên cứu tính ổn định mũ mơmen hệ vi phân ngẫu nhiên có chuyển đổi Markov trễ 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định.NXB giáo dục Hà Nội 2003 Vũ Ngọc Phát Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học.NXB Đại Học Quốc Gia 2001 X.Mao.Asymptotic stabiliti for stochastic differential equations with Markov switching.WSEAS transactions on CircuitsV.1.1.2002 Mao X, Matasov M, Piunovski Stochastic differential delay equations with Markov switching Bernoulli 6.1.2000 X.Mao, C.Yuan Stochastic differential Equations with switching Imperial College Press.2006.= 35 Markov ... VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .21 2.1 Toán tử khuyếch tán .21 2.2 .Ứng dụng toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định phương. .. ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Khi nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên tốn tử khuyếch tán có vai trị đặc biệt quan trọng Bởi thơng tin toán. .. xác suất hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Đã đưa ứng dụng toán tử khuyếch tán để nghiên cứu tính ổn định cuả hệ vi phân ngẫu nhiên với nội dung: 2.1 Trình bày cơng thức vi phân Itơ