phương pháp thứ hai của lyapunov và ứng dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm và phương trình vi phân hàm có xung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CĨ XUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CĨ XUNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Một số định lý phương pháp thứ hai Lyapunov Rn 1.1 Hệ rút gọn 1.2 Các khái niệm ổn định 1.3 Các hàm xác định dấu 1.4 Định lý thứ Lyapunov ổn định 10 1.5 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 12 1.6 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 15 1.7 Sự ổn định mũ 17 Về phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm 2.1 20 Sự tồn nghiệm toán với giá trị ban đầu 20 2.1.1 2.1.2 2.2 Định nghĩa ký hiệu 20 Định lý tồn nghiệm 21 Các định lý phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm 23 2.2.1 Các khái niệm ổn định 23 2.2.2 Các định lý ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm 25 2.3 Định lý Razumikhin 33 Phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm có xung 38 3.1 Sự tồn nghiệm phương vi phân hàm có xung 38 3.2 Các định lý ổn định kiểu Lyapunov-Razumikhin hệ phương trình vi phân hàm có xung 41 3.3 Phương trình vi phân có chậm-Logistic với nhiễu xung 46 3.3.1 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu xung 46 3.3.2 Sự dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 3.3.3 Phương trình Logistic có chậm với nhiễu xung 51 Kết luận 50 55 Lời nói đầu Một người có cơng đầu việc nghiên cứu cách hệ thống hoàn thiện tốn nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân nhà tốn học người Nga A.Lyapunov Vào năm 1982, ông công bố kết nghiên cứu tính ổn định nghiệm luận văn tiến sĩ khoa học tiếng Trong luận văn ông đưa phương pháp khác để giải tốn tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Một phương pháp phương pháp hàm Lyapunov, nhờ phương pháp xác định tính ổn định nghiệm phương trình vi phân thơng qua tính chất tương ứng phiếm hàm kí hiệu V (t, x) mà khơng cần thiết phải biết rõ nghiệm tường minh phương trình vi phân xét Từ đến có nhiều cơng trình nghiên cứu khoa học phương pháp Ngoài việc mở rộng hoàn thiện phương pháp hàm Lyapunov người ta phát triển cho mơ hình nghiên cứu để ứng dụng toán thực tế đa dạng phức tạp Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống kết phương pháp hàm Lyapunov cho dạng phương trình vi phân thường Rn , phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm bị nhiễu có xung Ngồi việc trình bày định lý tính ổn định, tính ổn định tiệm cận Lyapunov cho dạng phương trình vi phân trên, giành quan tâm đặc biệt phương pháp hàm Lyapunov kiểu Razumikhin Phương pháp tạo nên ưu cho việc nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân hàm sau phương trình vi phân hàm bị nhiễu có xung Phần cuối luận văn trình bày minh họa cho mơ hình dân số dạng đơn giản (phương trình Logistis) Trong mơ hình chúng tơi khả ứng dụng lý thuyết định tính phương trình vi phân cho phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu có xung Tồn nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Một số định lý phương pháp thứ hai Lyapunov Rn Chương 2: Về phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm Chương 3: Phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm có xung Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa toán , đồng nghiệp tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu gia đình, bạn bè hướng dẫn tận tình động viên em trình làm luận văn Chương Một số định lý phương pháp thứ hai Lyapunov Rn 1.1 Hệ rút gọn Giả sử cho hệ vi phân phi tuyến thực: dy = Y (t, y) dx (1.1) (0,1) Trong Y ∈ Cty (Ω) Ω = {a < t < ∞, y ∈ G} (a số hay −∞, G tập mở không gian Euclide thực n chiều Rn ), điểm (t0 , y0 ) ∈ Ω thỏa y mãn định lý địa phương tồn nghiệm y = y(t, t0 , y0 ) hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y(t0 , y0 ) = y0 Trong chương ta giới hạn xét nghiệm thực Giả sử η = η(t) (t ≤ +∞, t > a) nghiệm hệ (1.1) (chuyển động khơng bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định nó, giả sử H lân cận nghiệm cho UH (η(t)) ⊆ G với t ∈ [t0 , ∞), UH (η(t)) = {(t, y) : t0 ≤ t < +∞ : ||y − η(t)|| < H ≤ ∞} Ta đặt: x = y − η(t), (1.2) Vì η ≡ Y (t, η(t)) ˙ nên ta nhận phương trình vi phân x dx = X(t, x), dt (1.3) (0,1) X(t, x) = [Y (t, x + η(t)) − Y (t, η(t))] ∈ Ctx (Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H}, rõ ràng X(t, 0) ≡ Do đó, hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x = ứng với nghiệm cho η = η(t) không gian Rn Hệ (1.3) gọi hệ rút gọn y (theo Lyapunov hệ phương trình chuyển động bị nhiễu) Như vậy, việc nghiên cứu ổn định nghiệm η = η(t) không gian Rn đưa nghiên cứu ổn định nghiệm tầm thường (vị trí cân bằng) x = Rn 1.2 Các khái niệm ổn định Xét hệ rút gọn (1.3) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ , thỏa mãn điều kiện tính tồn nghiệm Kí hiệu nghiệm x(t) = x(t, t0 , x0 ) nghiệm (1.3) Ta có khái niệm tính ổn nghiệm tầm thường sau: Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ hệ (1.3) gọi ổn định theo Lyapunov t → ∞ ∀ε > 0, ∃δ = δ(t0 , ε) > : ||x0 || < δ ⇒ ||x(t, t0 , x0 )|| < ε; ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình vi phân (1.3) gọi ổn định theo Lyapunov số δ định nghĩa (1.2.1) chọn khơng phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình vi phân (1.3) gọi ổn định tiệm cận t → ∞ (i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ ổn định (ii) Tồn = (t0 ) > cho với x0 ||x0 || < lim ||x(t, t0 , x0 )|| = t→∞ Định nghĩa 1.2.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình vi phân (1.3) gọi ổn định tiệm cận nếu: (i) Nghiệm x(t) ≡ ổn định (ii) Tồn ||x0 || < > (không phụ thuộc vào t0 ) cho với x0 thỏa mãn lim ||x(t, t0 , x0 )|| = t→∞ 1.3 Các hàm xác định dấu Xét hàm số V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), Z0 = {a < t < ∞, ||x|| < h} Chúng ta đưa số định nghĩa hàm khơng đổi dấu hàm có dấu xác định sau: Định nghĩa 1.3.1 Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) gọi không đổi dấu (có dấu dương hay có dấu âm) Z0 V (t, x) ≥ (hay V (t, x) ≤ 0)), với (t, x) ∈ Z0 Định nghĩa 1.3.2 Hàm V = V (t, x) gọi xác định dương Z0 tồn hàm W (x) ∈ C(||x|| < h) cho: V (t, x) ≥ W (x) > với ||x|| = Khi nghiệm tầm thường (3.1) ổn định tiệm cận Chứng minh Chọn ε > cho ε ≤ ρ1 chọn số η = η(ε) > thỏa mãn M w2 (η) ≤ w1 (ε) Lấy σ ≥ t0 , ϕ ∈ P C(η) x(t) = x(t, σ, ϕ) nghiệm (3.1) Đặt V (t) = V (t, x(t)), giả sử σ ∈ [tm−1 , tm ] với m ∈ N Ta cần chứng minh V (t) ≤ w2 (η), với σ ≤ t ≤ tm (3.4) ¯ ¯ Giả sử (3.4) khơng đúng, tồn t ∈ (σ, tm ) cho V (t) > w2 (η) ≥ ¯ V (σ), từ suy t∗ ∈ (σ, t) cho V (t∗ ) > V (t∗ +s) ≤ V (t∗ ) với −τ ≤ s ≤ Theo iii) ta có V (t∗ ) ≤ 0, điều mâu thuẫn, (3.4) Như ta có mệnh đề sau với ε > 0, tồn δ > cho ||ϕ|| < δ ta có |x(t, σ, ϕ)| < ε, ∀t ∈ [σ, tm ) Từ (3.4) ii) ta có V (tm ) = V (tm , Jm (x(t− ))) ≤ ψm (V (t− )) ≤ ψm (w2 (η)) m m ψk (s) hàm khơng giảm với s > Bằng cách chứng minh tương tự ta có V (t) ≤ ψm (w2 (η)), tm ≤ t < tm+1 , V (tm+1 ) ≤ ψm+1 (ψm (w2 (η))) quy nạp tốn học ta có V (t) ≤ ψm+i+1 (ψm+i ( (ψm (w2 (η))) )), tm+i ≤ t < tm+i+1 Từ điều kiện ii) ta có w1 (|x(t)|) ≤ V (t) ≤ M w2 (η) ≤ w1 (ε), t ≥ σ, nghiệm tầm thường (3.1) ổn định Bây ta chứng minh nghiệm tầm thường (3.1) ổn định tiệm cận Với ε = ρ1 > 0, ta chọn η > cho M w2 (η) = w1 (ρ1 ) chứng minh với ϕ ∈ P C(η) ta có |x(t, δ, ϕ)| ≤ ρ1 , V (t, x(t, σ, ϕ)) ≤ M w2 (η), 43 t≥σ−τ (3.5) Cho trước ε > 0(ε < ρ1 ) Khi tồn số d = d(ε) > cho P (s)−M s > d với M −1 w1 (ε) ≤ s ≤ M w2 (η) Lấy N = N (ε) > số nguyên dương nhỏ cho M w2 (η) ≤ M −1 [w1 (ε) + N d] Đặt ∞ G(a) = k=1 ψk (a) − ,a > a −1 γ = inf {H(s) : w2 (M −1 w1 (ε)) ≤ s ≤ ρ1 }, h = max M w2 (η)[1 + G(M w2 (η))] ,τ γ Chúng ta chứng minh V (t) ≤ w1 (ε) + (N − i)d, t ≥ δ + (2i + 1)h, i = 0, 1, , N (3.6) Thật vậy, (3.6) với i = Giả sử (3.6) với i, (0 ≤ i < N ) , ta chứng minh (3.6) với i + Cho Ii = [σ + 2(i + 1)h, σ + (2i + 3)h] tồn t∗ ∈ Ii cho V (t∗ ) ≤ M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d] (3.7) Giả sử ngược lại (3.7) không xảy tức với t ∈ Ii V (t) > M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d] ta mâu thuẫn Thật với t ∈ Ii , ta có M −1 w1 (ε) < V (t) ≤ M w2 (η) P (V (t)) > M V (t) + d > w1 (ε) + (N − i)d ≥ V (t + s), Từ iii) với t ∈ Ii , ta có D+ V (t) ≤ −H(|x(t)|) ≤ −γ, 44 −τ ≤ s ≤ với t > σ + 2(i + 1)h = si , t ∈ Ii , ta có [V (tk ) − V (t− )] k V (t) ≤ V (si ) − γ(t − si ) + si M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d] ≥ V (t∗ ) ∗ ˜ tìm t˜ ∈ (t∗ , t]) cho ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ V (t∗ ) > 0, V (t∗ ) ≥ M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d], V (u) ≤ V (t∗ ) với t∗ ≤ u ≤ t∗ ∗ Chú ý với t˜ − τ ≤ u ≤ t∗ , V (u) ≤ w1 (ε) + (N − i)d = M M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d] + d ˜ ≤ M V (t∗ ) + d ˜ < P (V (t∗ )) (3.9) 45 ∗ ∗ ∗ V (t˜ + s) < P (V (t˜ )) với −τ ≤ s ≤ Từ iii) ta có V (t˜ ) ≤ (mâu thuẫn) Vậy ta có (3.8) Từ ii) (3.8) ta có V (tq ) ≤ ψq (V (t− )) ≤ ψq (M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d]) q Đặt L = M −1 [w1 (ε) + (N − i − 1)d], chứng minh tương tự quy nạp ta có V (t) ≤ ψq+j+1 (ψq+j ( (ψq (L)) )), tq+j ≤ t ≤ tq+j+1 , j = 0, 1, kết hợp với ii) ta có V (t) ≤ M L = w1 (ε) + (N − i − 1)d, t ≥ t∗ Vậy với i + ta có (3.6) Vậy ta có (3.6) với i = 0, 1, N , chọn i = N ta có w1 (|x(t)|) ≤ V (t) ≤ w1 (ε), t ≥ σ + (2N + 1)h Lấy T = T (ε) = (2N + 1)h |x(t)| ≤ ε với t ≥ σ + T Định lý chứng minh Hệ 3.2.1 Nếu điều kiện i), ii), iii) định lý (3.2.1) với ψk (s) = (1 + bk )s, bk ≥ 0, ∞ k=1 bk < ∞ M = ∞ k=1 (1 + bk ) Thì nghiệm tầm thường (3.1) ổn định tiệm cận 3.3 Phương trình vi phân có chậm-Logistic với nhiễu xung 3.3.1 Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu xung Xét phương trình vi phân có chậm với xung sau dx(t) + ax(t − τ ) = dt ∞ bj x(t− )δ(t − tj ), j j=1 46 t = tj (3.10) bj (j = 1, 2, ) số thực, a số thực dương, τ, tj (j = 1, 2, ) số thực thỏa mãn τ ≥ 0, < t1 < t2 < < tj → ∞ j → ∞ Chúng ta thấy bj = (j = 1, 2, 3, ) phương trình (3.10) có dạng dx(t) + ax(t − τ ) = nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận mũ dt < aτ < π/2 Thật vây, phương trình đặc trưng (3.10) bj = 0, j = 1, 2, 3, λ + ae−λτ = (3.11) < aτ < π/2, nghiệm (3.11) có phần thực âm max{Reλ/λ + ae−λτ = 0} = −α0 , (3.12) α0 số dương Với nghiệm (3.10) xét hàm x tương ứng với phần thực xác định khoảng [τ, ∞), hàm liên tục trái [τ, ∞) khả vi (0, t1 ), (tj , tj+1 )(j = 1, 2, 3, ) thoả mãn ∞ dx(t) + ax(t − τ ) = 0, dt t ∈ (0, t1 ) (tj , tj+1 ) (3.13) j=1 Định lý 3.3.1 Giả sử i) < aτ < π/2 ii) tj+1 − tj ≥ T > 0, j = 1, 2, 3, τ < T iii) + |bj | ≤ M, j = 1, 2, 3, iv) (1/T )lnM < α với α < α0 Khi nghiệm tầm thường (3.10) ổn định tiệm cận mũ toàn cục Chứng minh Xét nghiệm (3.10) với điều kiện ban đầu dạng x(t) = ϕ(t), t < 0; x(0+ ) = x0 , (3.14) ϕ ∈ C([−τ, 0), R) Dựa theo lý luận Corduneanu and Luca 47 trình bày [1] nghiệm cho t x(t) = U (t)x0 + y(t, ϕ) + U (t − s)h(s)ds (3.15) U , y(t, ϕ) , h(t) xác định phương trình dU (t) + aU (t − τ ) = dt (3.16) t ∈ [−τ, 0), U (0+ ) = U (t) = 0, y(t, ϕ) = −a U (t − τ − s)ϕ(s)ds, t>0 (3.17) −τ ∞ bi x(t− )δ(t − ti ), i h(t) = t>0 (3.18) j=1 Chú ý (do < aτ < π/2) từ tính ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường (3.10) trường hợp khơng có xung ta suy y(t, ϕ) → t → ∞ Trong biểu thức (3.15), khơng tính tổng quát giả sử ϕ(t) = [−τ, 0) (3.15) (3.18) có dạng sau: x(t) = U (t)x(0+ ), t ∈ [0, t1 ) x(t) = U (t)x(0+ ) + U (t − t1 )b1 x(t− ), (3.19) t ∈ [t1 , t2 ) (3.20) Theo (3.10) ta có x(t+ ) = (1 + bj )x(t− ), j j j = 1, 2, 3, (3.21) Từ (3.19), (3.20) ta có x(t) = U (t)(1 + b1 )x(0+ ), t ∈ [t1 , t2 ) (3.22) Tương tự x(t) = U (t)(1 + b1 )(1 + b2 )x(0+ ), Giả sử t ∈ [t2 , t3 ) k (1 + bj )x(0+ ), x(t) = U (t) j=1 48 t ∈ [tk , tk+1 ) (3.23) với t ∈ [tk+1 , tk+2 ) ta có bj x(t− )U (t − tj ) j x(t) = U (t)x(0+ ) + tk+1 < τ ≤ T (3.28) lim sup(1 + bi ) t→∞ ti ti +T lim sup(1 + bi )−1 t→∞ ti Khi nghiệm (3.26) dao động Chứng minh Giả sử khẳng định không đúng, tồn nghiệm khơng dao động x(t) (3.26) Ta giả sử x(t) > với t ≥ t∗ (nếu x(t) < xét −x(t)) Từ tính cuối dương nghiệm x(t) > 0, x(t) ≤ 0, ˙ với t đủ lớn, x(t) hàm không tăng khoảng (tj , tj+1 ), j = 1, 2, 3, Chúng ta chứng minh định lý trường hợp τ ≥ T Lấy tích phân phương trình đầu (3.26) (ti , ti + T ) ti +T x(ti + T ) − x(ti + 0) + p(s)x(s − τ )ds = ti +0 50 (3.29) Theo tính khơng tăng x, từ (3.29) ta có ti +T x(ti + T ) − x(ti + 0) + p(s)ds x(ti + T − τ ) ≤ ti +0 ti +T x(ti + T ) − x(ti + 0) + x(ti − 0) p(s)ds ≤ (3.30) ti +0 Sử dụng điều kiện (3.26) ta x(ti − ) = x(ti + ) 1+bi thay vào (3.30) ta có x(ti + T ) + x(ti + 0) ti +T 1 + bi p(s)ds − ≤ (3.31) ti Tuy nhiên (3.31) mâu thuẫn với tính dương x (3.27) Tương tự ta có mâu thuẫn trường hợp < τ T Vậy nghiệm x(t)) (3.26) dao động 3.3.3 Phương trình Logistic có chậm với nhiễu xung Xét phương trình ∞ dx(t) x(t − τ ) = rx(t) − dt K bi [x(t− ) − K]δ(t − ti ) i + (3.32) i=1 r, K, τ số dương, bi , ti số thực cho < t1 < t2 < < tj → ∞ j → ∞ Chúng ta chủ yếu quan tâm đến dáng điệu tiệm cận (3.32) đặc biệt trạng thái ổn định K với tương ứng nghiệm (3.32) với tốn gía trị ban đầu ϕ(s) ≥ [−τ, 0), ϕ(0) > ϕ ∈ C[−τ, 0] Nếu cho x(t) = K[1 + y(t)] (3.32) y cho dy(t) = −r[1 + y(t)]y(t − τ ) + dt ∞ bi y(t− )δ(t − ti ), i t = ti (3.33) i=1 điều kiện đủ để xét dáng điệu tiệm cận nghiệm tầm thường (3.33) Xét phương trình dz = −r[1 + z(t)]z(t − τ ) dt 51 (3.34) Nếu z(t) nghiệm (3.34) phương trình biến phân tương ứng với nghiệm z(t) (3.34) có dạng: du(t) = −rz(t − τ )u(t) − r[1 + z(t)]u(t − τ ) dt (3.35) Chúng ta biết kết ϕ "nhỏ" (3.36) < rτ < π/2 theo [13] [8] nghiệm z(t) (3.34) xấp xỉ mũ không t → ∞ Đối với z vậy, nghiệm tầm thường (3.34) ổn định tiệm cận (xem [3]) Tức tồn số dương M ≥ α > cho với (t0 , ϕ) ∈ [0, ∞)×C[−τ, 0] ϕ nhỏ ||u(t, t0 , ϕ) ≤ M ||ϕ||exp[−α(t − t0 )]||, t ≥ t0 (3.37) Chúng tơi có kết sau Định lý 3.3.3 Giả sử số dương r, τ thỏa mãn < rτ < π/2 Và α số dương (3.37) Cho N = sup1 + M |bi |, i = 1, 2, 3, ti+1 − ti ≥ T.i = 1, 2, 3, , ϕ "nhỏ" −α + [lnN/T ] < (3.38) Khi nghiệm (3.33) xấp xỉ mũ đến không t → ∞ Chứng minh Theo công thức biến thiên số (xem [10], [4]), từ (3.33) (3.34) ta có ∞ t y(t) = z(t) + bi y(s− )δ(s − ti )ds i T (t, s, ys )X0 i=1 n(t) T (t, tj , ytj )X0 bj y(t− ), j = z(t) + t > n(t) (3.39) j=1 T (t, tj , ytj )X0 nghiệm (3.35) với giá trị ban đầu thỏa mãn u(t) = [−τ, 0) u(0+ ) = Từ (3.39) ta có y(t) = z(t) (0, t1 ) 52 (3.40) y(t) = z(t) + T (t, t1 , yt1 )X0 b1 y(t− ) (t1 , t2 ) (3.41) |y(t)| ≤ M ||z0 ||e−αt + M |b1 |||z0 ||e−αt + M |b2 |e−α(t−t2 ) ||z0 ||M (1 + M |b1 |)e−αt1 ≤ M (1 + M |b1 |)(1 + M |b2 |)e−αt ||z0 ||, (t2 , t3 ) (3.42) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh n (1 + M |bi |)e−αt , (tn , tn+1 ) |y(t)| ≤ M ||z0 || (3.43) i=1 Nếu cho N = sup1 + M |bi |, i = 1, 2, 3, (3.43) trở thành |y(t)| ≤ M N n(t) e−αt ||z0 || (3.44) ti+1 − ti ≥ T n(t) ≤ t/T ta có |y(t)| ≤ M ||z0 ||exp[−αt + (tlnN )/T ] = M ||z0 ||exp[−{α − (lnN/T )}t] (3.45) Chúng ta có kết sau, mà chứng minh tương tự chứng minh định lý (3.3.2) (trang 48-49) Định lý 3.3.4 Xét hệ có chậm logistic với xung dạng dy(t) + p(t)[1 + y(t)]y(t − τ ) = 0, dt y(ti + 0) − y(ti − 0) = bi y(ti − 0), t = ti < t1 < t2 < < tj → ∞ j → ∞ (3.46) giả sử i) ti+1 − ti ≥ T, τ ≥ T, i = 1, 2, 3, 53 ii) p ∈ C(R+ , R+ ) iii) lim sup i→∞ 1 + bi ti +T p(s)ds > ti Khi nghiệm (3.46) dao động 54 Kết luận Nội dung luận văn gồm: Trình bày cách hệ thống lại phương pháp hàm lyapunov để nghiên cứu dạng phương trình vi phân sau: hệ phương trình vi phân Rn , phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm với nhiễu có xung Trình bày kết cải tiến phương pháp hàm Lyapunov việc nghiên cứu tính ổn định phương pháp hàm hàm Lyapunov-Razumikhin Thơng qua ví dụ cụ thể trình bày khả ứng dụng phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov mơ hình dân số Logistic bị nhiễu với xung Trên sở phát triển phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov tiếp tục nghiên cứu mơ hình ứng dụng phương trình vi phân tuyến tính có xung (Do thời gian có hạn chúng tơi xin phép tiếp tục nghiên cứu tốn sau hồn thành việc bảo vệ luận văn) 55 Tài liệu tham khảo [1] C.Corduneanu and N.Nuca, (1975), "The stability of some feedback systems with delay", J.Math Anal Appl 51, 377 [2] W A Coppel, (1965), Stability and asymptotic behavior differential equation, D C Heath and company Boston [3] R D Driver, (1977), "Ordinary and delay differential equations", App Math Sci Vol 20, Springer-Verlag, New York [4] S P Hastings, (1986), Variation of parameters for nonlinear differentialdifference equations, Proc Amer Math Soc 19 , 1211-1216 [5] V B Kolmanovskii and V R Nosov, (1986), Stability of Functional Differential equations, Academic Press, London [6] Jack K.Hale, Sjoerd M.Verluyn Lunel, (1999), Introduction to Functional Differential Equation, Springer-Verlag, Newwork [7] A K Gopalasamy and B G Zhang, (1989), "On delay differetial equations with impulse", Journal of mathematical analysis and application 139, 110122 [8] K Gopalasamy, (1986), "On the global attractivity in a generalised deleylogistic differential equations", Math Proc Cambridge Philos Soc 100, 183-192 56 [9] A Ivanka Stamova, (2000), Stability analysis of impulsive functional differential equations, Walter de Gruyter [10] G A Shanholt, (1972), "A nonlinear variation of constants formula for functional differential equations", Math Systems Theory 6, 343-352 [11] Jianhua Shen and Jurang Yan, (1998), "Razumikhin type stability theorems for impulsive functional differential equations", Nonlinear Analysis 33, 519531 [12] A Yang Kuang, (1993), Delay differential equations with application in population dynamics, Academic press, Inc [13] B G Zhang and K Gopalasamy, "Global attractivity in the delay logistic equation with variable parameter", Math Proc Cambridege Philos Sc., submitted 57 ... HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VI? ??C NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CĨ XUNG Chun ngành: TỐN GIẢI... phương pháp hàm Lyapunov cho dạng phương trình vi phân thường Rn , phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm bị nhiễu có xung Ngồi vi? ??c trình bày định lý tính ổn định, tính ổn định tiệm... tiếng Trong luận văn ơng đưa phương pháp khác để giải tốn tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Một phương pháp phương pháp hàm Lyapunov, nhờ phương pháp xác định tính ổn định nghiệm phương trình