BÀI TOÁN BIÊN DẠNG TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT TUYẾN TÍNH

TH B GIO DC V O TO VIN TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH V Hng Ton BI TON BIấN DNG TUN HON CHO PHNG TRèNH VI PHN HM BC NHT TUYN TNH Chuyờn ngnh : Mó s : Toỏn Gii tớch 60.46.01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS NGUYN ANH TUN Thnh ph H Chớ Minh - 2011 LI CM N u tiờn tụi xin by t lũng bit n sõu sc nht n PGS.TS Nguyn Anh Tun, ngi ó tn tõm hng dn v to mi iu kin tt nht cú th giỳp tụi hon thnh lun ny Tụi xin gi li cm n n Quý Thy Cụ Hi ng chm lun ó dnh thi gian c, chnh sa v úng gúp ý kin giỳp cho tụi hon thnh lun ny mt cỏch hon chnh Tụi xin cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng KHCN Sau i hc cựng ton th thy cụ khoa Toỏn Tin hc trng i hc S Phm TP H Chớ Minh ó ging dy v to mi iu kin tt nht cho tụi sut thi gian nghiờn cu ti Tụi cng chõn thnh cm n gia ỡnh, cỏc anh ch v cỏc bn ng nghip ó ng viờn, giỳp tụi hon thnh lun ny Cui cựng, quỏ trỡnh vit lun ny khú trỏnh nhng thiu sút, rt mong nhn c s gúp ý ca Quý Thy Cụ v bn c nhm b sung v hon thin ti hn Xin chõn thnh cm n Tp H Chớ Minh thỏng nm 2011 DANH MC CC K HIU Ơ Tp hp s t nhiờn R Tp hp s thc R+ = [0, +) Tp hp s thc khụng õm R = ( , 0] Tp hp s thc khụng dng A Bao úng ca A C ( [ a, b ] ; R ) Khụng gian Banach cỏc hm liờn tc v : [ a, b ] R vi chun v C = max { v (t ) : a t b} C ([ a, b ] ; D ) Khụng gian cỏc hm liờn tc v : [ a, b ] D , D R Cà ([ a, b ]; D ) Khụng gian cỏc hm liờn tc v : [ a, b ] D tha iu kin v( a) + v(b) = ([ a, b ] ; D ) C Tp cỏc hm liờn tc tuyt i v : [ a, b ] D i Bà c ( [ a, b ] ; R ) Tp cỏc hm v C ([ a, b ] ; R ) tho iu kin v ( a ) + v ( b ) sgn ( ( i ) v ( a ) + ( i 1) v ( b ) ) c ú , , c R v i {1, 2} L ( [ a, b ] ; R ) Khụng gian Banach cỏc hm kh tớch Lebesgue p : [ a, b ] R vi chun b p L = p ( s ) ds a L ( [ a, b ] ; D ) Khụng gian cỏc hm p : [ a, b ] D kh tớch Lebesgue, D l ca R M ab Tp cỏc hm o c : [ a, b ] [ a, b ]; Lab Tp cỏc toỏn t l : C ([ a, b ] ; R ) L ([ a, b ] ; R ) tuyn tớnh b chn cho vi mi l tn ti L ([ a, b ] ; R+ ) tho bt ng thc l ( v )( t ) ( t ) v C t [ a, b ] , v C ([ a, b ] ; R ) Khi ú l c gi l toỏn t tuyn tớnh b chn mnh Pab Tp cỏc toỏn t l : C ([ a, b ] ; R+ ) L ([ a, b ] ; R+ ) cho l tuyn tớnh v l Lab K ab Tp cỏc toỏn t F : C ([ a, b ] ; R ) L ([ a, b ]; R ) liờn tc tho iu kin Carathốodory, ngha l vi mi r > tn ti qr L ([ a, b ]; R+ ) cho F ( v )( t ) qr ( t ) , t [ a, b ] , v K ([ a, b ] ì A; B ) C r Tp cỏc hm f : [ a, b ] ì A B , ( A R n , B R, n Ơ ) tho iu kin Carathốodory, ngha l : + Hm f ( , x ) : [ a, b ] B o c vi mi x A + Hm f ( t , ) : A B liờn tc vi mi t [ a, b ] + Vi mi r > tn ti qr L ([ a, b ] ; R+ ) cho f ( t , x ) qr ( t ) t [ a, b ] , x r Toỏn t t0 -Volterra ( t0 [ a, b ]) Tp cỏc toỏn t l Lab cho vi hai s tựy ý a1 [ a, t0 ] , b1 [t0 , b ] cho a1 b1 v vi mi hm v C ([ a, b ] ; R ) tho iu kin : v ( t ) = 0, t [ a1 , b1 ] ta cú l ( v )( t ) = hu khp ni trờn [ a1 , b1 ] [ x ]+ = ( x + x ) = x ( sgn x + 1) [ x ] = ( x x ) = Toỏn t l Lab c gi l khụng tm thng, nu l (1) x ( sgn x 1) PHN M U Lý thuyt bi toỏn biờn tun hon cho phng trỡnh vi phõn thng v phng trỡnh vi phõn hm i t th k 18, song n c nhiu ngi quan tõm nh cỏc ng dng ca nú cỏc lnh vc vt lý, c hc, kinh t, nụng nghip, c bit, bi toỏn biờn dng tun hon cho phng trỡnh vi phõn hm bc nht t c nhiu kt qu bt u t nm 2000, nh cỏc kt qu ca cỏc tỏc gi nh I Kiguradze, R.Hakl, A.Lomtatidze, cho h phng trỡnh vi phõn hm tng quỏt Trong lun ny tụi nghiờn cu bi toỏn biờn dng tun hon cho phng trỡnh vi phõn hm bc nht tuyn tớnh Bi toỏn nh sau: Xột s tn ti v nht nghim ca phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh: u(t ) = l (u )(t ) + q (t ) vi iu kin biờn u ( a ) + u (b ) = c Trong ú l Lab , q L ([ a , b ]; Ă ), , , c Ă , + ([a, b]; Ă) tho phng trỡnh u(t ) = l (u )(t ) + q (t ) hu Nghim ca bi toỏn l hm u C khp ni trờn [a,b] v tha iu kin biờn u ( a ) + u (b ) = c Lun gm ba chng : Chng I Chỳng ta xõy dng iu kin cn v mt toỏn t tuyn tớnh v b chn mnh l thuc vo lp Vab+ ( , ) Chng II Xõy dng cỏc iu kin bi toỏn biờn dng tun hon cho phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh cú nghim nht Chng III p dng cỏc kt qu ca chng II xõy dng cỏc iu kin cho vic tn ti v nht nghim ca bi toỏn biờn dng tun hon cho phng trỡnh vi phõn i s lch Lun l ti liu tham kho cho nhng ngi quan tõm n lý thuyt bi toỏn biờn tun hon cho phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh v phi tuyn bc cao CHNG I MT S BT PHNG TRèNH VI PHN Trong chng ny ta gi s rng + v Trng hp = ta cn thờm iu kin toỏn t l Lab khụng tm thng, ngha l l(1) 1.Equation Section 1.1 Gii thiu bi toỏn Xột bi toỏn biờn dng tun hon cho phng trỡnh vi phõn hm tuyn tớnh bc nht sau: u(t ) = l(u )(t ) + q (t ) (1.1) u ( a ) + u (b ) = c (1.2) vi iu kin biờn: Trong ú l Lab , q L ([ a , b ]; Ă ), , , c Ă , + ([a, b]; Ă) tho phng trỡnh (1.1)hu khp Nghim ca phng trỡnh (1.1) l hm u C ni trờn [a,b] Cựng vi bi toỏn (1.1), (1.2) ta xột bi toỏn thun nht tng ng: u(t ) = l(u )(t ) (1.10 ) u (a ) + àu (b) = (1.20 ) Trng hp riờng ca phng trỡnh(1.1)l: m u(t ) = [ pk (t )u ( k (t )) gk (t )u (k (t ))] + q(t ) (1.1) k =1 Trongú: pk , g k L([ a, b]; Ă + ), q L ([ a, b], Ă ), k , k Mab ( k = 1,2, , m), m Ơ T cỏc kt qu ca I Kiguradze v B Puza [2], ta cú kt qu sau 1.1.1 nh lớ Bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht v ch bi toỏn thun nht tng ng (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng 1.1.2 Chỳ ý Theo nh lý Riesz-Schauder thỡ nu bi toỏn (1.10), (1.20) cú nghim tm thng thỡ tn ti q L([a, b]; Ă), c Ă cho bi toỏn (1.1), (1.2) khụng cú nghim 1.2 Tp Vab+ ( , ) 1.2.1 nh ngha Ta núi toỏn t l Lab thuc Vab+ ( , ) nutho cỏc iu kin sau i Bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng ii Vi mi q L ([ a, b]; Ă + ) v c Ă tha (sgn sgn )c thỡbi toỏn (1.1),(1.2)cú nghim khụng õm 1.2.2 Chỳ ý Theo nh lớ 1.1.1, rừ rng nu l Vab+ ( , ) thỡ bi toỏn (1.1), (1.2)cú nghim nht vi mi q L ([a, b]; Ă ) v c Ă Hn na, nu l Pab v l Vab+ ( , ) thỡ < Tht vy Do l Vab+ ( , ) nờn bi toỏn (1.1),(1.2) cú nghim nht u(t)vi mi q L ([ a, b]; Ă + ), c Ă tha (sgn sgn )c v u ( t ) C ([ a, b] ; Ă + ) Vỡ l Pab nờn l ( u )( t ) L ([ a, b ]; Ă + ) Do ú ta cú u(t ) = l(u )(t ) + q (t ) hay u (t ) l hm tngtrờn [ a , b ] hay u ( b ) > u ( a ) Hn na, t cỏc iu kin : u ( a ) + u ( b ) = c (sgn sgn )c Nờn ta cú (sgn sgn )c = (sgn sgn ) u ( a ) + àu ( b ) sgn = sgn Do ú u ( a ) u (b ) Hay u ( a ) u (b ) (1.3) Nu u ( a ) = vỡ u ( b ) > nờn ta xột hai trng hp v = v Trng hp = vỡ theo gi thit + nờn ỉ > Do ú < ỳng ỉ Trng hp ú (1.3) cú dng u ( b ) > vụ lớ Nu u ( a ) > ú, t (1.3) ta cú v u (b ) >à u (a) Suy < ỳng Vy nu l Pab v l Vab+ ( , ) thỡ < n 1.2.3 Chỳ ý ([a, b]; Ă ) tho cỏc bt ng Theo nh ngha1.2.1, l Vab+ ( , ) nu v ch nu u, v C thc u(t ) l(u )(t ) + q (t ), v(t ) l (v)(t ) + q (t ), t [ a, b] t [ a, b] (1.4) u ( a ) u (b) v ( a ) v (b ) Thỡ u (t ) v (t ) vi t [a , b] Tht vy t h (t ) = v (t ) u ( t ) Theo (1.4) ta cú h ( t ) l ( h )( t ) , t [ a, b] , h(a) h(b) D thy h l nghim ca phng trỡnh sau: h(t ) = l( h)(t ) + q(t ), h(a ) + h(b) = c vi Mt khỏc vỡ q ( t ) = h ( t ) l ( h )( t ) 0, c = h ( a ) + h ( b ) (1.5) c ( sgn sgn ) = 2c.sgn = 2[ h(a) + h(b) ]sgn = h(a) h(b) nờn theo nh ngha 1.2.1 ta cú bi toỏn (1.5)cú nghim nht h ( t ) T ú suy u (t ) v (t ) vi mi t [a , b] n 1.2.4 Mnh Cho < v l Pab Khi ú l Vab+ ( , ) nu v ch nu bi toỏn u(t ) l(u )(t ), u (a) + àu (b) = (1.6) Khụng cú nghimkhụng õm khỏc tm thng Chng minh v iu kin cn Gi s l Vab+ ( , ) , ta chng minh bi toỏn (1.6) khụng cú nghim khụng õm khỏc tm thng Tht vy, gi sul nghim ca bi toỏn (1.6) v u (t ) t [ a, b] Vỡ v u ( a ) + u (b) = nờn ta cú u ( a ) u (b ) = p dng chỳ ý 1.2.3vi v ( t ) 0, q ( t ) ta cú u (t ) t [ a , b ] Suy u (t ) t [ a, b] Do ú, bi toỏn (1.6) khụng cú nghim khụng õm khỏc tm thng v iu kin Gi s bi toỏn (1.6) khụng cú nghim khụng õm khỏc tm thng Ta chng minh l Vab+ ( , ) theonh ngha 1.2.1 ỉ Bc Chng minh bi toỏn thun nht (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng Gi s u0 l nghim ca bi toỏn thun nht (1.10), (1.20) Ta cú: u0 ( t ) = u0 ( t ) sgn ( u0 ( t ) ) = u0 ( t ) sgn u0 ( t ) = l ( u0 ) ( t ) sgn u0 ( t ) (1.7) Mt khỏc, t u0 (t ) u0 (t ) u0 (t ) u0 (t ) l Pab ta cú l ( u0 ) ( t ) l ( u0 ) ( t ) l ( u0 ) ( t ) l ( u0 ) ( t ) nờn l ( u0 ) ( t ) l ( u0 ) ( t ) = l ( u0 ) ( t ) sgn u0 ( t ) (1.8) Do nờn t iu kin biờn (1.20) ta cú u0 ( a ) + u0 ( b ) = Do ú ta cú: u0 ( t ) = l ( u0 ) ( t ) sgn u0 ( t ) l ( u0 )(t ), t [ a, b ] u0 ( a ) + u0 ( b ) = Vỡ vy, u l nghim ca bi toỏn (1.6) Nh vy, u ngha l bi toỏn thun nht (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng ỉ Bc Chng minh vi mi q L ([ a, b]; Ă + ) v c Ă cho ( sgn sgn ) c ú bi toỏn (1.1), (1.2)cú nghim khụng õm Tht vy, gi su l nghim ca bi toỏn (1.1), (1.2)vi q L ([ a, b]; Ă + ) v c Ă cho ( sgn sgn ) c , ta cú c sgn t v(t ) = u (t ) c sgn , t [ a, b] (1.9) Ta cú v ( t ) = u ( t ) = l ( u )( t ) + q ( t ) l ( u )( t ) c sgn l ( v )( t ) = l u c sgn ( t ) = l ( u )( t ) l Suy v ( t ) l ( v )( t ) Do l Pab kt hp vi(1.7) v (1.8) ta cú v(t ) l ( v ) ( t ) ( t ) l ( u )( t ) chng minh bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht,theo nh lớ 1.1.1 ta cn chng minh bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng ỉ Gi s (2.1) v (2.2) tho Tht vy, gi s bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim khụng tm thngu T gi thit (2.1) v (2.2) ta cú l (1) L < l (1) L < l1 (1) l (1) L L p dngb 1.2.9, ta cú u l hm i du Do u liờn tc trờn [a, b] nờn tn ti tM , tm [ a, b] cho M = max {u (t ) : t [a, b]} = u (tM ), (2.14) m = {u (t ) : t [a, b]} = u (tm ) Do u l hm i du nờn M > 0, m < Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s tm < t M T (2.14) v gi thit l , l Pab kt hp vi Tớch phõn (1.10) t a n tm v l = l l1 ta cú tm tm a a u ( tm ) u ( a ) = l (u )( s ) ds l1 (u )( s ) ds Do M = u ( t M ) , m = u ( tm ) nờn tm tm u ( a ) m M l (1)( s ) ds m l (1)( s) ds a (2.15) a Tớch phõn (1.10) t tm n tM , ta cú tM tM M m M l (1)( s)ds m l1 (1)( s)ds tm (2.16) tm Tớch phõn (1.10) t tM n b, ta cú b b M u (b) M l1 (1)( s)ds m l (1)( s )ds tM Nhõn hai v ca (2.17) vi (2.17) tM , vỡ kt hp vi (2.14)vgi thit (0,1], tacú: b à b M + u (b ) M l (1)( s ) ds m l (1)( s ) ds t t M M b b tM tM M l (1)( s ) ds m l (1)( s ) ds hay b b à M + u (b) M l1 (1)( s )ds m l (1)( s )ds t t M (2.18) M Cng theo v bt ng thc (2.15)v (2.18), kt hp vi (1.20), ta cú: b b à u(a) m + M + u(b) M l1(1)(s)ds + l1(1)(s)ds m l0 (1)(s)ds + l0 (1)(s)ds hay t t a a tm tm M M b b M m M l1 (1)(s)ds + l1 (1)( s)ds m l (1)( s)ds + l (1)(s)ds (2.19) t t a a tm tm M M t tm b a tM tm b a tM tM A = l (1)( s )ds + l (1)( s) ds, B = l1 (1)( s) ds tm (2.20) tM C = l (1)( s) ds + l (1)( s) ds , D = l (1)( s) ds tm T (2.16), ta cú: tM tM tm tm M m M l (1)( s )ds m l1 (1)( s )ds hay M m M D m.B ú M (1 D ) m(1 B ) (2.21) T (2.19), ta cú: b b M m M l (1)( s)ds + l (1)(s ) ds m l (1)( s) ds + l (1)( s) ds a a t t tm tm M hay M m M A m.C M ú m(C 1) M A (2.22) Do l (1) L < , nờn tm b b a tM a C = l (1)( s) ds + l (1)( s) ds l (1)( s) ds = l (1) L < tM b tm a D = l (1)( s ) ds l (1)( s) ds = l (1) L < M m < v M > nờn t(2.21) v (2.22)suy A > ,B >1 Nhõn v theo v (2.21) vi (2.22) ta cú < (1 C )(1 D ) A ( B 1) (2.23) (1 C )(1 D) (C + D) = l (1) L > (2.24) Mt khỏc, ta cú p dng bt ng thc 4XY ( X + Y ) , ta cú 2 A ( B 1) A + B = l (1) L (2.25) Kt hp (2.23), (2.24) v (2.25), ta c < (1 l (1) L ) l1 (1) L + hay l (1) L l1 (1) L + ú l (1) L +1+ l1 (1) L iu ny mõu thun vi bt ng thc (2.2).Vy bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng.Vy bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht ỉ Gi s (2.3) v (2.4) tho Gi s bi toỏn (1.10), (1.20) cú nghim khụng tm thng u T gi thit (2.3) v (2.4)ta cú l1 (1) L < l (1) l (1) L L p dngb 2.1.2, ta cú u l hm i du Do u liờn tc trờn [a, b] nờn tn ti tM , tm [ a, b] cho M = max {u (t ) : t [a, b]} = u (tM ), (2.26) m = {u (t ) : t [a, b]} = u (tm ) D thy M > 0, m < Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s tm < t M Chng minh tng t nh trờn, ta cng cú (2.15) - (2.19) tho T (2.16), ta cú tM tM tm tm M m M l (1)( s )ds m l1 (1)( s )ds hay M m M D m.B ú m ( B 1) M ( D 1) (2.27) T (2.19), ta cú b b M m M l (1)( s)ds + l (1)(s ) ds m l (1)( s) ds + l (1)( s) ds t t a a tm tm M M hay M m M A m.C ú M A m(1 C ) Mt khỏc, gi thit l1 (1) L < (theo (2.3)), (2.20), ta cú (2.28) tm b b a tM a A = l1 (1)( s )ds + l1 (1)( s)ds l1 (1)( s )ds = l1 (1) L < Suy A < Do ú, t (2.27) v (2.28) suy A (1 B ) ( C 1)( D 1) (2.29) à A (1 B ) ( A + B ) = l1 (1) L > (2.30) 4(C 1)( D 1) (C + D 2)2 = ( l1 (1) L ) (2.31) Mt khỏc, ta cú Kt hp (2.29), (2.30), (2.31) , ta c < l1 (1) L ( l (1) L ) hay l1 (1) l (1) 2+2 L iu ny mõu thun vi bt ng thc (2.4) Vy bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng Ngha l bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht n 2.1.3 nh lớ Gi s = , v l = l l vi l , l Pab ng thi tho cỏc iu kin sau: l (1) L < l (1) L < + l (1) (2.32) L (2.33) Khi ú bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht Chng minh chng minh bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht, theo nh lớ 1.1.1 ta cn chng minh bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng Tht vy, gi s bi toỏn (1.10), (1.20) cú nghim khụng tm thng u p dngb 1.2.9, ta cú u l hm i du Do u liờn tc trờn [a, b] nờn tn ti tM , tm [ a, b] cho u (tM ) = max {u (t ) : t [a, b]} := M , u (tm ) = {u (t ) : t [ a, b]} := m (2.34) D dng suy M > 0, m < Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s tm < t M T (2.14) v gi thit l , l Pab kt hp vi Tớch phõn (1.10) t a n tm , ta cú tm tm a a u ( tm ) u ( a ) = l (u )( s ) ds l1 (u )( s ) ds hay tm tm u ( a ) m M l (1)( s ) ds m l (1)( s) ds a (2.35) a Tớch phõn (1.10) t tm n tM , ta cú tM tM M m M l (1)( s)ds m l1 (1)( s)ds tm (2.36) tm Tớch phõn (1.10) t tM n b, ta cú b b M u (b) M l1 (1)( s)ds m l (1)( s )ds tM (2.37) tM Cng v theo v bt ng thc (2.35) vi (2.37), ta cú b b tm tm M m M l (1)( s) ds + l (1)( s) ds m l (1)( s ) ds + l (1)( s) ds (2.38) tM tM a a t tm b a tM tm b a tM tM A = l (1)( s )ds + l (1)( s) ds, B = l1 (1)( s) ds tm tM C = l (1)( s) ds + l (1)( s) ds , D = l (1)( s) ds tm T (2.36), ta cú: tM tM tm tm M m M l (1)( s )ds m l1 (1)( s )ds hay (2.39) M m M D m.B ú M (1 D ) m(1 B ) (2.40) T (2.38), ta cú: b b tm tm M m M l (1)( s) ds + l (1)( s) ds m l (1)( s ) ds + l (1)( s) ds a a tM tM hay M m M A mC ú m (C 1) M ( A 1) (2.41) Do l (1) L < , nờn t (2.39), ta cú C < 1, D < kt hp vi(2.40) v (2.41) suy A > 1, B > T(2.40) v(2.41) ta suy < (1 C )(1 D ) ( A 1) ( B 1) (2.42) (1 C )(1 D) (C + D) = l (1) L > (2.43) Mt khỏc, ta cú ( A 1) ( B 1) [ A + B 2] = l1 (1) L 2 (2.44) Kt hp (2.42), (2.43) v (2.44), ta c < (1 l (1) L ) l (1) L Suy + l (1) L l (1) L + l (1) L < l (1) L hay iu ny mõu thun vi bt ng thc l (1) L < + l (1) L ca (2.33) Vy bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng Hay bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht n 2.1.4 nh lớ Gi s < , l = l l vi l , l Pab v tn ti hm s C% ([a, b];(0, +) ) tho món: (t ) l ( )(t ) + l (1)(t ) t [ a , b ] (2.45) ( a ) > (b ) (b) ( a ) < + (2.46) (2.47) Khi ú bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht Chng minh chng minh bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim nht, theo nh lớ 1.1.1 ta cn chng minh bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng Tht vy, gi s bi toỏn (1.10), (1.20) cú nghim khụng tm thng u T cỏc gi thit (2.45), (2.46), theo nh lớ 1.2.5,v l , l Pab , rừ rng l Vab+ ( , ) Theo nh ngha 1.2.1v gi thit l , l Pab , ta cúul hm i du Do u liờn tc trờn [a, b] nờn tn ti tM , tm [ a, b] cho M = max {u (t ) : t [a, b]} = u (tM ), m = {u (t ) : t [a, b]} = u (tm ) (2.48) D thy M > 0, m > Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s tM < tm T (2.45) v M > ta cú (t ) l ( )(t ) + l (1)(t ) t [ a , b ] hay M (t ) l ( M )(t ) + l ( M )(t ) t [ a , b ] (2.49) u(t ) = l(u )(t ) = l (u )(t ) l (u )(t ) (2.50) T (1.10) ta cú T(2.49) v (2.50) ta cú ( M (t ) + u (t ) ) l ( M + u ) (t ) + l1 ( M u )(t ) l ( M + u )(t ) t [ a, b] T (1.20) v gi thit (2.46)v M > , ta cú (a) > (b) u(a) + àu(b) = ú (2.51) M (a ) M (b) > u (a ) u (b) = hay ( M ( a ) + u ( a ) ) ( M (b ) + u (b ) ) (2.52) Tng t, ta cng cú ( m (t ) u (t ) ) l ( m u ) (t ) + l1 (m + u )(t ) l ( m u )(t ) t [ a, b ] ( m ( a ) u ( a ) ) ( m (b ) u (b ) ) (2.53) (2.54) Do ú, theo iu kin l Pab , l Vab+ ( , ) v chỳ ý 1.2ta cú M (t ) + u (t ) hay ( M (t ) + u (t ) ) (2.55) v m (t ) u (t ) t [a, b] ú ( m (t ) u (t ) ) t [a, b] (2.56) Ly tớch phõn bt ng thc (2.55) t tM n tm , kt hp vi(2.48) v M > 0, m > , ta cú M (tm ) m M (tM ) M Suy (tm ) (tM ) + m M (2.57) Tng t, ly tớch phõn bt ng thc (2.56) t a n tM , kt hp vi (2.48), ta cú m (t M ) M m ( a ) + u ( a ) 0, (2.58) V ly tớch phõn bt ng thc (2.56) t tm n b, kt hp vi (2.48), ta cú m (b) u (b) m (tm ) m (2.59) Mt khỏc, t (1.20) v (2.48), ta cú u (b) u (a ) = u (b) m (2.60) Cng theo v hai bt ng thc (2.58) vi (2.59) kt hp vi (2.60)v M > 0, m > ta cú (tM ) (tm ) + (b) (a) M + m (2.61) T (2.57) v (2.61), ta cú (b) ( a ) + m M + + 3+ M m iu ny mõu thun vi bt ng thc (2.47), t ú suy bi toỏn (1.10), (1.20) cú nghim n tm thng u Hay u l nghim nht ca bi toỏn (1.1), (1.2) 2.1.5 Chỳ ý Khụng th xy du bng bt ng thc (b) (a) < + canh lớ 2.1.4 2.1.6 Vớ d Cho < , a = 0, b = 4, v cho cỏc toỏn t l Lab c nh ngha nh sau: l0 l1 (v)(t ) = g (t )v ( (t ) ) t [ a, b ] Vi + g (t ) = , t [0,1) , t [ 0,1) (t ) = , t [1,3) , t [3,4] , t [1,3) , , t [3,4] t t (t ) = + g ( s) ds , t [ a, b ] a Vi > à b g ( s )ds a ( [ a, b]; ( 0, +) ) , iu kin (2.45), (2.46) tho v Rừ rng C (b) (a) = + + Mt khỏc, bi toỏn u(t ) = g (t )u ( (t ) ) , u ( a ) + u (b ) = cú nghim khụng tm thng ( + )t u (t ) = ( t ) , t [ 0,1) , t [1,3 ) , t [3, ] Do ú, theo chỳ ý 1.1.2tn ti q L([a, b]; Ă ), c Ă cho bi toỏn (1.1), (1.2)vi l = l l vụ nghim CHNG III BI TON BIấN DNG TUN HON CHO PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH BC NHT I S LCH Equation Section (Next) Trong chng ny, ta s ỏp dng cỏc kt qu ca chng II thit lp mt s kt qu chớnh cho trng hp c bit ca phng trỡnh(1.1) cú dng m u(t ) = [ pk (t )u ( k (t )) g k (t )u (k (t ))] + q(t ) (3.1) k =1 V kớ hiu m m p0 (t ) = p j (t ), g (t ) = g j (t ) j =1 t [ a, b] j =1 õy ta gi s bt ng thc c tho Trng hp nu = thỡ ta cn thờm iu kin p0 g0 3.1.1 nh lớ Cho , pk , g k L ([ a , b ]; Ă + ) ( k = 1, , m ) v cho p0 p0 L p0 L L < g0 < 1, L [...]... (b) (1.19) Cng v theo v (1.17) vi (1.18) kt hp vi (1.19) ta cú b à à M + u (a) u (b) M M l(1)( s)ds + M l(1)( s )ds a t t0 0 hay à 1 à à M 1 + + u (b) u (b) M l(1)( s ) ds a b do ú à 1 M 1 + M l (1)( s ) ds a b b Suy ra M ( à ) + 1 M l (1)( s ) ds a T (1.20) kt hp vi gi thit (1.20) b l (1)( s ) ds = à a Ta gp mõu thun Do ú, u (t ) 0 vi mi t [ a , b ] Mt khỏc t... , b ] Mt khỏc t (1.10) v l Pab , ta cú u(t ) 0 vi mi t [ a , b ] Hn na, do 0 v à 0 t phng trỡnh (1.13) ta cú u ( a ) à u (b ) = 1 hay u ( a ) = 1 + à u (b ) do ú u ( a ) à u (b ) Vỡ u (b) > 0 suy ra u ( a ) > 0 t [a, b] Vỡ vy u (t ) > 0 vi mi t [ a , b ] nờn theo nh lớ 1.2.5ta cú l Vab+ ( , à ) n 1.2.8 nh lớ Cho 0 < à v l = l 0 l 1 vi l 0 , l 1 Pab Nu ta cú i) l 0 (1) L < 1 (1.21)... Pab sao cho l (1)( s ) ds = à ii a thỡ ta cng cú l Vab+ ( , à ) Tht vy, gi s à < , l Pab sao cho b l (1)( s ) ds = à a v bi toỏn (1.10), (1.20) ch cú nghim tm thng u Theo nh lớ 1.1.1ta cú u l nghim duy nht ca bi toỏn u(t ) = l(u )(t ) u (a) + àu(b) = sgn Nh vy, theo nh ngha 1.2.1 chng minh l Vab+ ( , à ) ta ch cn chng minh u (t ) 0, t [ a, b] Tht vy, gi s trỏi li u (t ) < 0 vi mi t... ta cú i) l 0 (1) L < 1 (1.21) ii) l 0 (1) L 1 l 0 (1) L à à < l 1 (1) L à thỡ l Vab+ ( , à ) chng minh nh lý 1.2.8trc ht ta chng minh B 1.2.9 1.2.9 B Cho 0 < à , q L ( [ a, b ] ; Ă ) c Ă sao cho c sgn 0 toỏn t l = l 0 l 1 vi l 0 , l 1 Pab V nu (1.22) l 0 (1) L < 1 , l 0 (1) L 1 l 0 (1) L à < l1 (1) à (1.23) L thỡ bi toỏn (1.1), (1.2)khụng cú nghim khụng tm thng tho món u (t... thun vi bt ng thc à à L L l 0 (1) L 1 l 0 (1) L à < l 1 (1) L ca (1.23)n à Chng minh nh lớ 1.2.8 Ta s chng minh l Vab+ ( , à ) theo nh ngha 1.2.1 v Bc 1 Gi su l nghim khụng tm thng ca bi toỏn (1.1), (1.2) vi q L ([ a , b ]; Ă + ) , c Ă tho (sgn sgn à )c 0 món Ta s chng minh rng u (t ) 0, t [ a, b] Tht vy, gi s ul hm i du Do u liờn tc trờn [a, b] nờn tn ti tM , tm [ a, b] sao cho u... DNG TUN HON CHO PHNG TRèNH VI PHN HM TUYN TNH BC NHT Equation Section (Next) Trong chng ny chỳng ta s trỡnh by mt s kt qu v iu kin tn ti v duy nht nghim ca bi toỏn biờn dng tun hon(1.1), (1.2) Trong chng ny ta vn gi s rng + à 0 v à 0 Trng hp = à ta cn thờm iu kin toỏn t l Lab khụng tm thng, ngha l l(1) 1 2.1 nh lớ v s tn ti v duy nht nghim 2.1.1 nh lớ Gi s 0 < à v l = l 0 l 1 vi l 0 , l 1... a, b ] ; Ă + ) c Ă sao cho c sgn 0 (2.4) toỏn t l = l 0 l 1 vi l 0 , l 1 Pab v nu l1 (1) L < à l 1 (1) à , (2.5) 1 < l 0 (1) (2.6) L L thỡ bi toỏn (1.1), (1.2) khụng cú nghim khụng tm thng khụng õm Chng minh Gi s ngc li bi toỏn (1.1), (1.2) cú nghim khụng tm thng u tho món u (t ) 0 t [ a , b ] Vỡ u ( t ) liờn tc trờn [ a , b ] nờn tn ti tM , tm [ a, b] sao cho M = max {u (t ) : t [a,... l 0 (1) L M l1 (1) L + 1 (2.13) Nhõn hai v bt ng thc (2.11) vi l 0 (1) L ta cú à M l1 (1) l 0 (1) L m l 0 (1) L L T (2.13) kt hp vi bt ng thc cui, ta cú à à l 1 l 1 l 1 + 1 ( ) ( ) ( ) 1 L 1 L 0 L hay l 0 (1) L l1 (1) L + 1 à l1 (1) à = L 1 à l1 (1) 1 L do ú l 0 (1) L (à l1 (1) L ) 1 iu nymõu thun vi gi thit (2.6) Vy bi toỏn (1.1), (1.2) khụng cú nghim khụng tm... m l 0 (1)( s )ds tM Nhõn hai v ca (2.17) vi à (2.17) tM , vỡ à 0 kt hp vi (2.14)vgi thit à (0,1], tacú: b à à b à M + u (b ) M l (1)( s ) ds m l (1)( s ) ds 1 0 t t M M b b tM tM M l 1 (1)( s ) ds m l 0 (1)( s ) ds hay b b à à M + u (b) M l1 (1)( s )ds m l 0 (1)( s )ds t t M (2.18) M Cng theo v bt ng thc (2.15)v (2.18), kt hp vi (1.20), ta cú: b b à à u(a) m + M +... kt hp vi (1.24) v gi thit q L ([ a , b ]; Ă ) , ta cú b u (b) u ( a ) = [ l 0 (u )( s ) l 1 (u )( s ) + q ( s ) ] ds M l 0 (1) L m l 1 (1) L a u(b) u (a) M l 0 (1) L m l1 (1) L (1.27) Do c sgn 0 v à 0 nờn t (1.2) ta cú u ( a ) + à u (b ) = c do ú u (b) = c c sgn u (a) + = u (a) à à à à hay u (b ) = c sgn u (a) à à Mt khỏcdo gi thit 0 < à suy ra (1.27)ta cú à (1.28) 1kt hp vi( 1.24),