BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CẤP HAI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Phạm Minh Đăng BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CẤP HAI Chuyên ngành : Toán giải tí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Phạm Minh Đăng

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TRUNG HÒA CẤP HAI

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến Thầy

PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành

luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM và Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy trong suốt khóa học

Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy, Cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại Học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính trong suốt khóa học

Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục và Đào tạo Đồng Nai, Ban Giám Hiệu Trường THPT Điểu Cải, tổ Toán – Tin của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về mọi mặt để tôi yên tâm học tập và làm việc

Cảm ơn các bạn học viên cao học giải tích khóa 16 đã giúp đỡ và hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt khóa học

Xin cảm ơn gia đình đã là chỗ dựa tốt nhất cho tôi yên tâm học tập

Tp.Hồ Chí Minh tháng 6 năm 2008

Tác giả

Phạm Minh Đăng

hoặc

(0) 0, (1) ( )

u  u  u … Chính vì vậy, luận văn này sẽ trình bày một số kết quả của “Bài toán giá

trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai”.

2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng các định lý về điểm bất động để tìm lời giải cho bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai

3 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Với giả thiết thích hợp trên hàm f, chúng ta chứng minh tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm của bài toán

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Định lý về điểm bất động là công cụ mạnh đã được nhiều nhà toán học

sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân

Luận văn đã chỉ ra được các kết quả đẹp cho bài toán

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn sẽ được chia thành các chương như sau :

Mở đầu : Nêu lý do chọn đề tài

Chương 1 : Giới thiệu bài toán

Trong chương này sẽ giới thiệu bài toán và một số không gian hàm

Chương 2 : Một số định lý và bổ đề

Nội dung chương này trình bày một số định lý và bổ đề cần dùng để chứng minh các kết quả trong các chương kế tiếp Chương 3 : Các kết quả chính

Sử dụng các kết quả của chương hai để giải quyết một số bài toán đã giới thiệu trong chương một

Chương 4 : Ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị biên hỗn hợp

Sử dụng các kết quả trong chương hai và ba chúng ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên (E) – (BC2) Chương 5 : Ứng dụng kết quả chính vào bài toán giá trị đầu

Sử dụng các kết quả trong chương hai và ba chúng ta khảo sát sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào tham số cho nghiệm của bài toán giá trị đầu (E) – (IC3)

Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trên định lý điểm bất động

1.2 Bài toán và các không gian hàm

1.2.1 Các không gian hàm

Chúng tôi ký hiệu :

+ C[0,1] và C1[0,1], theo thứ tự là không gian Banach các hàm thực liên tục và hàm thực có đạo hàm liên tục trên [0,1] với chuẩn :

+ Với mỗi hàm liên tục :[ r,1]x   và với mọi t[0,1], chúng ta

ký hiệu x t là phần tử của C định bởi :

u o  , (1)u u( ) (BC1)

u o  , (1)u [ ( )u u(0)] (BC2) hoặc với điều kiện đầu sau :

u o  , (0) 0u  (IC3) trong đó C, (0,1), 

Nghĩa là, chúng tôi xét các bài toán : (E) – (BC1), (E) – (BC2) và (E) – (IC3)

Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VÀ BỔ ĐỀ

Trong phần chứng minh các định lý chính trong chương tiếp theo dựa trên các định lý và bổ đề sau :

2.1 Định lý 2.1 ( Nonlinear Alternative of Leray – Schauder)

Cho E là không gian Banach và  là tập mở bị chặn của E, 0

:

T   là một ánh xạ hoàn toàn liên tục E

Khi đó tồn tại x sao cho hoặc ( )T x x với mọi 1 hoặc tồn

tại một điểm bất động x

2.2 Định lý 2.2 (xem [6])

Cho E,  là không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn của E với 

biên D và bao đóng D, :T D là toán tử compăc, giả sử T thỏa các E

điều kiện sau :

i) T không có điểm bất động trên D và deg(I - T, D, 0) 0

ii) Với mỗi 0  , tồn tại ánh xạ compăc T sao cho với mọi

x D , T x( )T x( )  và với mỗi h, h  , phương trình  x T x ( ) có h

nhiều nhất một nghiệm trên D thì tập các điểm bất động của T là khác rỗng, compăc và liên thông

2.3 Định lý 2.3 (xem [4])

Cho E, F là không gian Banach, D là tập mở trong E và :f D là F

ánh xạ liên tục, khi đó với mỗi 0  , tồn tại :f D là ánh xạ lipsit địa F

phương sao cho : ( )f x  f x( )  ,   và x D f D( )cof D( ), với ( )

cof D là bao lồi của f(D)

Chương 3 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH

Trong chương này chúng tôi khảo sát bài toán (E) – (BC 1 ) như trong

chương một đã giới thiệu

11 ( ) ( ) ( ) 1

ˆ( ) (1 ) ( ) s ( ) ( ) ( )

  1

0

ˆ( ) ( ) s ( ) ( ) ( )

Với mọi u C o, với mọi t 0,1 , chúng ta cũng có :

A



 ,  u C o : u 1m (3.9) thì  là tập mở, bị chặn trong C , 0 o  và  u C o : u 1m

(b) Kế tiếp, chúng ta chỉ ra rằng T( ) là tập compăc tương đối

Giả sử  Tu n là dãy bị chặn của ( )T  , tương ứng với  u n  , chúng

ta sẽ chỉ ra dãy  Tu n chứa một dãy con hội tụ trong C1 0,1 , đối với chuẩn

ở đây K1, K2 không phụ thuộc t t và n 1 2,

Dễ thấy  Tu , n   Tu  đẳng liên tục ( liên tục đồng bậc ) n

Áp dụng định lý Ascoli – Arzela, chúng ta có  Tu , n   Tu  n là tập compăc tương đối trong C 0,1

Từ đó, tồn tại dãy con  u n k  u n sao cho

C , đối với chuẩn  1

Vì vậy T hoàn toàn liên tục

(c) Cuối cùng giả sử rằng tồn tại *u  sao cho ( *)T u u* với 1

o

      , (3.10) Kết hợp (3.1) – (3.10), chúng ta có

A B



  là hằng số

nhưng , kết hợp (3.1), (3.4), (3.6) – (3.8), (3.10) và (3.11), chúng ta có

Bước 2 được chứng minh xong

Như vậy Định lý 3.1 được chứng minh

3.2 Định lý 3.2

Cho f :[0,1] C   liên tục, với t o[0,1] Giả sử tồn tại các hàm không âm p q r L, ,  1[0,1], các hằng số , k l[0,1] thỏa (H 2 ) và

Khi đó, bài toán giá trị biên (E) – (BC 1 )) có ít nhất một nghiệm

1 0

ˆ( ) (1 ) ( ) s k ( ) ( )l ( )

(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )1

Điều đó được chứng minh như sau

Giả sử rằng tồn tại *u  sao cho ( *)T u u* với 1 Chúng ta xét

1( *) o * ( *) o ( ) ( *) h o

o

        (3.17) Tới đây, chúng ta để ý rằng nếu 0,K  H 0, 0  là các hằng số  2thì tồn tại hằng số C > 0 sao cho

2

, 02

Hx

Kx  C   x (3.18)

Từ đó, với x ( *)u  o ,K  A2 B2 , 2 ,h H  , thế vào bất đẳng 1thức (3.18), chúng ta được

2 2( *)

1

o

C C u

2 21

C C M

A







2 2( *)

1

o

C C u

2 21

C C M

Thì S là không gian mêtric đầy đủ với hàm khoảng cách d Theo Bổ đề

2.4, với mỗi u S , bài toán

Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất u S sao cho ( )P u  Dễ u

thấy rằng u là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị biên (E) – (BC1)

Như vậy Định lý 3.3 được chứng minh xong

Nhận xét

Chúng ta nhận xét rằng Định lý 3.3 vẫn còn đúng nếu chúng ta xét bài toán giá trị biên

 , , ( ),  0 , [0,1]

, (1) ( )

t o

f t u v( , , , )1  f t u v( , , , )2 L 1 2 , (3.28) với L là hằng số dương và với mọi  1, 2

Định lý 3.4 được chứng minh xong

Chương 4 ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CHÍNH VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ

BIÊN HỖN HỢP

Bây giờ, chúng ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên (E) – (BC2) Dựa trên Bổ đề 2.5, cách chứng minh các định lý dưới đây cũng tương tự như chứng minh trong chương 3

Trước hết, chúng ta xét trường hợp (0) 0  và với không gian con C , o

hàm ˆu được định nghĩa như trong Định lý 3.1

Định nghĩa toán tử tích phân T C: o C1 0,1 định bởi :

t s f s u u s ds

   , t 0,1 (4.1)

Sử dụng (M , (3.2) và (4.1) chúng ta suy ra 1)

Tu o a u1 o b u1  o c1, u C o (4.2) với

1 1

1 2

1 2

t s f s u u s ds

Sử dụng (M , (3.2) và (4.1), chúng ta suy ra 1)

Tu o a u1 o k b u1  l o c3, u C o (4.5)

với

1 1

Do đó, kết hợp với giả thuyết (M và tính liên tục của hàm f, T có 2)điểm bất động u C o

Trong trường hợp (0) 0  , dùng phép biến đổi (0)v u  , chúng ta có thể viết lại bài toán giá trị biên (E) – (BC2) như sau

ở đây, chúng ta cũng xét không gian con C o và với v C o, chúng ta định nghĩa hàm vˆ :r,1 bởi

Chương 5 ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CHÍNH VÀO BÀI TOÁN

GIÁ TRỊ ĐẦU

Trước hết, theo như phương pháp trong chương 3, kết hợp Bổ đề 2.6, chúng ta cũng thiết lập các kết quả tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào tham số thực cho nghiệm của bài toán giá trị đầu (E) – (IC3)

Chúng ta chỉ xét trường hợp (0) 0  và không gian con C o, hàm ˆu

được định nghĩa như trong Định lý 3.1

Định nghĩa toán tử tích phân T C: o C1 0,1 định bởi :

AmaxA A1, 2B2A2 B2 (5.5) Theo (I2), chúng ta có A2 B2 1, vì vậy A1,

A



với Q( ) được định nghĩa như trong định lý 3.2

Khi đó, bài toán (E) – (IC 3 ) có ít nhất một nghiệm

Chứng minh

Chúng ta chỉ xét trường hợp (0) 0  và không gian con C o, hàm ˆu

được định nghĩa như trong Định lý 3.1

Định nghĩa toán tử tích phân T C: o C1 0,1 định bởi :

AmaxA A1, 2B2A2 B2 (5.11) Theo  I2 , chúng ta có A2  B2  , vì vậy 1 A1,

A



Chúng ta định nghĩa u S định bởi ( )u t x t( ) trên  0,1 và uo  Từ

Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất u S sao cho ( )P u u Dễ thấy rằng u là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị đầu (E) – (IC3)

Như vậy Định lý 5.3 được chứng minh xong

Bây giờ, chúng ta xét bài toán

 , , ( ),  0 , [0,1]

, (0) 0

t o

f t u v( , , , )1  f t u v( , , , )2 L 1 2 (5.22) với L là hằng số dương và với mọi  1, 2

Vậy, nghiệm của (5.19) phụ thuộc liên tục vào tham số 

Định lý 5.4 được chứng minh xong

Tiếp tục, chúng ta chỉ ra rằng tập nghiệm của (E) – (IC3) là khác rỗng, compăc và liên thông Chúng ta cần thêm một số kết quả sau

5.5 Mệnh đề 5.5

Cho f : 0,1    là hàm liên tục và lipsit địa phương đối với C

C  , nghĩa là với mỗi t u v0, ,0 0 0,1   , tồn tại các hằng số dương C

, ,

   và   thỏa mãn 0

f t u v( , , ) f t u v( , , )    u u   v v,

với mọi t 0,1 , ( , ), ( , )u v u v   C , với

t t  u u  u u  v v  v v 

Khi đó, bài toán giá trị đầu (E) – (IC 3 ) có nhiều nhất một nghiệm

Chứng minh

Giả sử rằng bài toán (E) – (IC3) có hai nghiệm u(t), v(t) trên r,1 Khi

đó, u(t) = v(t), với mọi t  r,0chúng ta sẽ chỉ ra rằng u(t) = v(t), với mọi

Theo định nghĩa khoảng cách d b, chúng ta có

 ,  max max ( ) ( ) , max ( ) ( )

Từ 2 1, chúng ta suy ra d u v b , 0 nghĩa là u v Từ đó

u(t) = v(t), với mọi t  r b, 

Điều này dẫn đến sự mâu thuẫn với định nghĩa của b ở (5.23)

Việc chứng minh đã hoàn thành

Từ Định lý 5.1, 5.2 và Mệnh đề 5.5, chúng ta có hệ quả sau

5.6 Hệ quả 5.6

Cho f :[0,1] C   liên tục và lipsit địa phương đối với C 

Giả sử tồn tại các hàm không âm p q r L, ,  1[0,1] và các hằng số thực

với Q( ) được định nghĩa như trong Định lý 3.2

Khi đó, bài toán (E) – (IC 3 ) có duy nhất một nghiệm

Theo các kết quả trên và áp dụng các Định lý 2.2, 2.3, chúng ta có Định

lý sau

5.7 Định lý 5.7

Cho f :[0,1] C   liên tục và thỏa mãn điều kiện (I1) – (I2) hoặc

( 1) ( 2)I  I Khi đó tập nghiệm của bài toán (E) – (IC 3 ) khác rỗng, compăc và

với   u C o : u 1m ,

1

B m

2 1

Tu  Am C ,

2

B C m

Rõ ràng, T không có điểm bất động trên 

Kế tiếp, hàm :[0,1] Cf    liên tục, theo Định lý 2.3, với mỗi 0

  , tồn tại ánh xạ :[0,1] Cf    lipsit địa phương đối với C , thỏa mãn

Bước 1 được chứng minh

Bước 2 : Trường hợp (0) 0  Bằng phép biến đổi (0)v u  , bài toán giá trị đầu (E) – (IC3) được viết lại như sau :

 , (0), ( ) 0 , 0 1

(0) , (0) 0

t o

Trong chứng minh này, khi f thỏa mãn điều kiện ( 1) ( 2)I  I , bất đẳng thức (3.18) lại được sử dụng Vì vậy, tập nghiệm của bài toán (E) – (IC3) khác rỗng, compăc và liên thông

Định lý 5.7 được chứng minh

KẾT LUẬN

Trong luận văn này với giả thiết thích hợp trên hàm f và sử dụng định lí điểm bất động, luận văn chứng minh sự tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục cho nghiệm của bài toán giá trị biên ba điểm cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai

u f t u u t( , , ( )) 0 ,t   t[0,1] (E)

, (1) ( )

o

u  u u trong đó  C C([ r,0], ) , (0,1) , f C[0,1] C  , 

Ngoài ra luận văn cũng đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho phương trình (E) với hỗn hợp các điều kiện biên

Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học một cách có hệ thống hơn Tác giả cũng học tập được phương pháp chứng minh một vấn đề cũng như sự mở rộng vấn đề theo nhiều góc độ khác nhau Tuy nhiên, với sự hiểu biết hạn chế của mình, tác giả rất mong sự đóng góp chỉ bảo của Quý Thầy, Cô trong Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1 Lê Hoàn Hóa (2005), Tài liệu Giải tích phi tuyến I dành cho học viên cao

học Giải tích

2 Lê Thị Phương Ngọc (2007), “Một chú thích về nghiệm dương của một

bài toán ba điểm biên”, Tạp chí khoa học tự nhiên, Phòng khoa học

công nghệ - Sau đại học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, số 12,

trang 29-41

Tiếng Anh

3 Hoan Hoa Le, Thi Phuong Ngoc Le (2006), “Boundary and initial value

problems for second-order neutral functional differential equations”,

Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2006 (2006),

No 62, pp 1–19

4 K Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork

5 J Henderson (1995), Boundary Value Problems for Functional

Differential Equations, World Scientific, Publishing

6 M A Krasnosel’skii, P P Zabreiko (1984), Geometrical Methods of

Nonlinear Analysis, Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York

Tokyo

7 R Ma, “Positive solutions of a nonlinear three-point boundary-value

problem”, Electronic J Differential Equations, Vol 1998 (1998), No

34, 1-8

8 S K Ntouyas (1995), Boundary value problems for neutral functional

differential equations, Editor, Johnny Henderson, World Scientific,

239 - 249

9 Donal O’Regan (1994), Theory of singular boundary problems, World

Scientific Publishing

10 Yong-Ping Sun (2004), “Nontrivial solution for a three-point

boundary-value problem”, Electronic J Differential Equations, Vol 2004

(2004), No 111, 1-10

11 Eberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications,

Springer-Verlag New, York Berlin Heidelberg Tokyo, Part I

12 Bo Zhang (1995), Boundary value problems of second order functional

differential equations, Editor, Johnny Henderson, World Scientific,

301- 306

Trong đó , (0,1) và hàm số f cho trước thỏa một số điều kiện thích hợp

Xét không gian Banach C 0,1 với chuẩn

Banach C2 0,1 với chuẩn x max x x,  , x

1 Chúng ta thành lập các giả thiết sau đây

Bổ đề 2.1 Giả sử (H đúng Khi đó : 1)

(i) Với mỗi h C  0,1 , bài toán (2.1) – (2.2) có nghiệm duy nhất

1 0

(iii) T C:  0,1 C 0,1 là toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục

(iv) Với mỗi h C  0,1 , nếu h t( ) 0,  t  0,1 thì