phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu 3 1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 5 1.1 Không gian W 1,0 2 (Q T ) và ˚ W 1,0 2 (Q T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Không gian W 1,0 2 (Q T ) và ˚ W 1,0 2 (Q T ) . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát . . . . . . 14 1.2.1 Phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu 26 2.1 Hàm lưới. Tỉ số sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Nội suy của hàm lưới. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Một số sơ đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Sơ đồ sai phân ẩn thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 2.3.3 Sơ đồ hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 2 Mở đầu Trong thực tế, nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý-toán. Một số ít trường hợp có thể tìm được ngay nghiệm của bài toán. Còn đại đa số trường hợp thì việc tìm nghiệm của bài toán là hết sức khó khăn. Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng. Với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trình bày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai về một bài toán đại số gồm nhiều phương trình đại số tuyến tính. Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu. Luận văn chủ yếu trình bày các kết quả đã được đưa ra ở các chương III, VI của [9]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1: Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về một số không gian: L 2 (Ω), W 1,0 2 (Q T ), ˚ W 1,0 2 (Q T ) và đạo hàm suy rộng. Đây là 3 các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát. Bài toán này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong W 1,0 2 (Q T ). Ngoài các kết quả của [9], luận văn đã sử dụng thêm các kết quả của [4] và [6]. Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, các hàm nội suy của hàm lưới và mối quan hệ giữa giữa hàm lưới và các nội suy của chúng. Xét hai sự thay thế cho đạo hàm ∂u/∂t là: u t và u t . Sự thay thế thứ nhất cho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ hai cho ta sơ đồ hiện. Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệm của các sơ đồ sai phân. Cả ba sơ đồ sai phân nhận được sẽ có duy nhất nghiệm và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ ẩn thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơ đồ ẩn thứ nhất. Các kết quả này dựa vào [9]. Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam). Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 4 Chương 1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 1.1 Không gian W 1,0 2 (Q T ) và ˚ W 1,0 2 (Q T ) 1.1.1 Không gian L 2 (Ω) Định nghĩa 1.1.1. [9] Một tập E các phần tử trừu tượng được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phức) nếu: 1. E là một không gian tuyến tính với phép nhân với các số thực (hoặc phức); 2. Với mọi phần tử u ∈ E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử và kí hiệu là u) thỏa mãn các tiên đề sau: (a) u ≥ 0, u = 0 chỉ với phần tử không; (b) u + v ≤ u + v, bất đẳng thức tam giác; (c) λu ≤ |λ| ·u. Ta đưa vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cách ρ(u, v) giữa hai phần tử u và v được xác định bởi ρ(u, v) = u −v. 5 Định nghĩa 1.1.2. [9] Dãy {u n } các phần tử của E gọi là hội tụ tới u ∈ E (hay, hội tụ mạnh trong E) nếu u n − u → 0 khi n → ∞, và kí hiệu là u n → u. Định nghĩa 1.1.3. [9] Tập E  ⊂ E được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu bất kì phần tử nào của E cũng là giới hạn theo chuẩn E của các phần tử của E  . Nếu E chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì E được gọi là tách được. Định nghĩa 1.1.4. [9] Dãy {u n } ∞ n=1 gọi là hội tụ (hay dãy Cauchy, dãy cơ bản) nếu u p − u q  → 0 khi p, q → ∞. Định nghĩa 1.1.5. [9] Nếu mọi dãy Cauchy {u n } ∞ n=1 có giới hạn là phần tử u ∈ E thì E gọi là không gian đủ (trong trường hợp này u n − u → 0 khi n → ∞). Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach, ta kí hiệu là B. Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật. Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các không gian Banach: không gian Hilbert, ta kí hiệu là H. Định nghĩa 1.1.6. [6] Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi u, v ∈ X xác định một số gọi là tích vô hướng của u và v) thỏa mãn các tiên đề sau: 1. (u, v) = (v, u); 2. (u 1 + u 2 , v) = (u 1 , v) + (u 2 , v); 3. (λu, v) = λ(u, v); 4. (u, u) ≥ 0, (u, u) = 0 chỉ với phần tử không u = 0. Định nghĩa 1.1.7. [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert. Chuẩn của phần tử u, kí hiệu u được xác định bởi: u =  (u, u). Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu 6 đầy đủ và trù mật. Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dụng không gian B và H thực. Với hai phần tử u, v bất kì trong H, ta có bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski, Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy): |(u, v)| ≤ u ·v. Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H, chúng ta cũng phải xem xét hội tụ yếu. Định nghĩa 1.1.8. [9] Dãy {u n } gọi là hội tụ yếu đến phần tử u trong H nếu (u n − u, v) → 0 khi n → ∞, với ∀v ∈ H. Kí hiệu: u n  u. Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của u n bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tụ yếu của {u n } đến u, ta chỉ cần chứng minh (u n − u, v) → 0 khi n → ∞ trên tập V nào đó trù mật khắp nơi trong H. Một dãy {u n } không thể hội tụ yếu đến hai phần tử của H. Nếu {u n } hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ yếu đến u. Điều ngược lại không đúng. Tuy vậy, nếu {u n } hội tụ yếu đến u và u n  → u thì {u n } hội tụ mạnh đến u. Định lý 1.1.1. [9] Nếu {u n } hội tụ yếu đến u trong H, thì u n  ≤ lim n→∞ u n  ≤ lim n→∞ u n , với vế phải của bất đẳng thức là hữu hạn. Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đối với sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.1.9. [9] Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiền compact (hay tiền compact trong B) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử của M có chứa một dãy con hội tụ. Nếu giới hạn của tất cả các dãy con thuộc về M, thì M được gọi là compact. 7 Định lý 1.1.2. [9] Tập M của H là tiền compact yếu khi và chỉ khi nó bị chặn. Định nghĩa 1.1.10. [9] Tập tất cả các hàm thực, đo được u(x) xác định trên miền Ω của không gian Euclidean R n với một tích phân hữu hạn: u L p (Ω) =   Ω |u(x)| p dx  1/p , trong đó p ≥ 1 là một số cố định bất kì, hình thành một không gian Banach tách được và có chuẩn được xác định như trên. Không gian này thường được gọi là L p (Ω). Một phần tử của L p (Ω) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu, mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên Ω (nghĩa là, những hàm số trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên Ω). Tuy nhiên, để ngắn gọn, chúng ta sẽ nói về các phần tử của L p (Ω) như các hàm xác định nghĩa trên Ω. Ta có thể lấy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong L p (Ω): • mọi hàm khả vi vô hạn, mọi đa thức, hoặc các đa thức với hệ số hữu tỉ; • tập ˙ C ∞ (Ω) các hàm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào Ω. Không gian L 2 (Ω) là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng: (u, v) =  Ω u(x)v(x)dx. Chúng ta đề cập đến một số các bất đẳng thức sẽ sử dụng thường xuyên. • Bất đẳng thức Cauchy:      n  i,j=1 a ij ξ i η j      ≤     n  i,j=1 a ij ξ i ξ j     n  i,j=1 a ij η i η j , với bất kì dạng bậc hai không âm a ij ξ i ξ j với a ij = a ji và các số thực tùy ý: ξ 1 , . . . , ξ n , η 1 , . . . , η n . 8 [...]... biến đổi về một phương trình của dạng (1.1.4), và ngược lại, bằng việc tính đạo hàm bij , (1.1.4) có thể được viết dưới dạng (1.1.5) Ta có các bài toán cơ bản cho phương trình (1.1.5) : (1) Bài toán Cauchy: Tìm một hàm u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) với x ∈ Rn và t > 0, và thỏa mãn điều kiện ban đầu khi t = 0 u |t=0 = ϕ(x) (1.1.7) (2) Bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất: Giả sử (1.1.5) được cho với giả thiết... tỉ sai phân uxi1 xik xji xjl của bậc bất kì Nếu các đạo hàm trong một phương trình vi phân được thay thế bằng các tỉ sai phân tương ứng theo các quy tắc đã được mô tả, thì ta nói phương trình sai phân nhận được xấp xỉ với phương trình đã cho Các hệ số của phương trình cũng có thể được thay thế bằng các hàm số nhất định hội tụ tới chúng khi hi → 0, i = 1, , n 27 Tính chất 2.1.2 [9] Công thức tỉ sai. .. Xét các toán tử sai phân: 1 [u(x + hi ei ) − u(x)] , hi 1 uxi (x) = [u(x) − u(x − hi ei )] , hi uxi (x) = (2.1.1) với ei là véc tơ đơn vị dọc theo trục xi (Đối với các hàm lưới uh ta sử dụng các ký hiệu uxi và uxi thay vì uhxi và uhxi ) Định nghĩa 2.1.3 [9] Toán tử sai phân đầu tiên ta gọi là tỉ số sai phân tiến (hay tỉ số sai phân phải; tỉ sai phân tiến) của u tại nút xi Toán tử sai phân thứ hai gọi... không bị chặn tương tự nhau Ta cũng sẽ sử dụng quy ước nếu trong biểu thức có hai chỉ số giống nhau ta hiểu đó là tổng: ví dụ khi viết ai xi ta hiểu đó là 1.2.2 i = 1n ai xi Nghiệm suy rộng của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát Trong mục này ta sẽ nghiên cứu bài toán: ∂ aij (x, t)uxj + ai (x, t)u ∂xi ∂fi , + bi (x, t)uxi + a(x, t)u = f... tích phân từ 0 đến t, từ bất đẳng thức thu được ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Nếu c1 (t) = c1 = const > 0 và c(·) là một hàm không giảm theo t thì từ hai bất đẳng thức trên, ta có các bất đẳng thức sau: y (t) ≤ ec1 t [c1 y(0) + c2 (t)], y(t) ≤ ec1 t y(0) + c−1 c2 (t)[ec1 t − 1] 1 1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai. .. B gán ˚ {f ; fi ; ϕ} một nghiệm suy rộng trong V21,0 (QT ) là tuyến tính, và phương trình cân bằng năng lượng (1.2.6) là một hệ quả của (1.2.20) với giả thiết các hệ số của M, các hàm số f, fi và ϕ như đã nói ở Định lý 1.2.1 25 Chương 2 Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên- giá trị ban đầu 2.1 Hàm lưới Tỉ số sai phân Trong chương này, các đạo hàm riêng của hàm số u(x) xác định trên miền... kiện ban đầu: u |t=0 = ϕ(x), x ∈ Ω, (1.1.8) và, ∀t ∈ [0, T ], u thỏa mãn điều kiện biên: u |x∈∂Ω = ψ(s, t) (1.1.9) Trong Rn+1 miền QT là một hình trụ, ST = S × [0, T ] là mặt xung quanh và tập {(x, t) : x ∈ Ω, t = 0} là mặt đáy (3) Bài toán biên- giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba: Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) trong QT , với điều kiện ban đầu (1.1.7) và điều kiện (1.1.9) được thay bằng điều kiện biên. .. (1.1.9) được thay bằng điều kiện biên thứ hai: ∂u ∂N ST ≡ aij uxj cos(n, xi )|ST = χ(s, t), 16 hoặc điều kiện biên thứ ba: ∂u + σu ∂N = χ(s, t), ST Ta sẽ xem xét chi tiết các bài toán biên giá trị ban đầu trong một miền bị chặn Ω Bài toán thứ hai và thứ ba có thể được xét một cách tương tự Để thuận tiện ta giả thiết Ω bị chặn Dễ dàng để bỏ giả thiết này, các kết quả cho các miền bị chặn và không bị chặn... (1.2.16) và các điều kiện ban đầu: cN (0) = (ϕ, ϕl ) l (1.2.17) (1.2.16) là một hệ gồm N phương trình vi phân thường tuyến tính với các ẩn cl (t) ≡ cN (t), (t = 1, , N ), số hạng chính của nó có dạng dcl (t)/dt, các hệ số l của ck (t) là các hàm số bị chặn theo t và số hạng tự do là các hàm số khả tổng 22 trên (0, T ) Do vây, từ kết quả của hệ phương trình vi phân thường tuyến tính ta thấy (1.2.16)... Định nghĩa 1.2.7 [9] Ta gọi phương trình có dạng: 1 u(·, t) 2 2 L2 (Ω) = (aij uxj uxi + ai uuxi + bi uxi u + au2 )dxdt + Qt 1 u(·, 0) 2 2 L2 (Ω) (f u − fi uxi )dxdt + (1.2.6) Qt là phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) Phương trình này có thể thu được bằng cách tích phân từng phần đẳng thức: Mu · udxdt = f+ Qt Qt ∂fi ∂xi udxdt và sử dụng điều kiện biên u |ST = 0 Kí hiệu L2,1 . phương trình parabolic tuyến tính cấp hai& quot;, luận văn trình bày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên- giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai về một bài toán đại. THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ -BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI. của bài toán là hết sức khó khăn. Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng. Với đề tài " ;Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên- giá trị ban đầu cho phương