Bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

6 2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic 7 2.1 Phương trình truyền nhiệt.. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩ thôngthường đòi hỏi khá nhiều yếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Không gian Sobolev 41.1.1 Không gian L2(Ω) 41.1.2 Không gian Wm

2 (Ω) 41.1.3 Không gian Wm,`(QT) 51.2 Bất đẳng thức tích phân 6

2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic 7

2.1 Phương trình truyền nhiệt 72.1.1 Khái niệm phương trình parabolic 72.1.2 Dạng của phương trình truyền nhiệt 92.1.3 Nghiệm suy rộng thuộc W∆,1

2,0 (QT)của bài toán giá trị ban đầu thứ nhất 102.1.4 Nghiệm suy rộng thuộc L2(QT) của bài toán biên-

biên-giá trị ban đầu thứ nhất 142.1.5 Nghiệm suy rộng thuộc V1,0

2 (QT)của bài toán giá trị ban đầu thứ nhất 162.2 Phương trình parabolic dạng tổng quát 202.2.1 Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn 20

biên-2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 23

2.2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 25

2.3 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba 26

2.3.1 Phát biểu bài toán 27

2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba 27

2.3.3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 27

2.4 Bất đẳng thức cơ bản thứ hai 31

và parabolic Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩ thôngthường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn của phương trình,điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với phương trình trên nhữngmiền bất kỳ hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn.

Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệmsuy rộng, tức là nghiệm có độ khả vi không cao Sau đó nhờ các công cụ củagiải thích hàm, người ta nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và độ trơn củanghiệm suy rộng Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đềrất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự yêu thích của những sinh viên yêu thích

nó Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu mônphương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâuhơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu

đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình parabolic cấp hai”.

2 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối vớiphương trình parabolic cấp hai

2.2 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệutrên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày một hệ thống

để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn

3.2 Nhiệm vụ của luận văn

Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu vềbài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai Luậnvăn gồm hai chương:

• Chương 1 Một số kiến thức liên quanmô tả một số không gian Sobolevthích hợp đối với nghiệm của phương trình parabolic.

• Chương 2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic

trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung và phương trìnhtruyền nhiệt nói riêng, phát biểu bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất,đưa vào xét nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhấtđối với phương trình truyền nhiệt Ngoài ra chương hai trình bày cácđịnh lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng bài toán biên-giátrị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tổng quát dạng bảotoàn, nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứba

Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [1], trong đó trình bày cácloại nghiệm suy rộng của phương trình parabolic Khi các nghiệm suy rộng

là các hàm trơn thì chúng là nghiệm cổ điển của các phương trình này màđược nghiên cứu trong [2]

3.3 Những đóng góp của luận văn

Đóng góp nổi bật của luận văn là cung cấp được các khái niệm và kết quảchuyên sâu về nghiệm suy rộng của phương trình parabolic cấp hai dạng bảotoàn Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, cáckhông gian Sobolev Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiêncứu bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai

Chương 1

Một số kiến thức liên quan

Các kiến thức cơ sở trong chương này đều được lấy từ tài liệu [1]

1.1 Không gian Sobolev

Giả sử m là các số tự nhiên ta kí hiệu Wm

2 (Ω)là không gian Sobolev gồmtất cả các hàm u(x) ∈ L2(Ω), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đếncấp m thuộc L2(Ω) Không gian Wm

2 (Ω)là không gian Banach với chuẩn saukukW2 m

Không khó khăn khi có thể kiểm tra Wm

2 (Ω) là một không gian Hilbert vớitích vô hướng

và được gọi là miền trụ đáy Ω

Giả sử m, ` là các số tự nhiên ta kí hiệu Wm,`(QT)là không gian Sobolevgồm tất cả các hàm u(x,t) ∈ L2(QT), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộngtheo x đến cấp m và theo t đến cấp ` thuộc L2(QT) Không gian Wm,`(QT)

là không gian Banach với chuẩn

∂ku

∂ tk

 y(0) +

Z t 0

c1(ξ ) exp



−

Z ξ 0

c1(t)dt

dξ



≤ exp

Z t 0

c1(t)dt

 y(0) +

Z t 0

c2(t)dt



Thật vậy, nếu ta nhân (1.3) với exp−R t

0c1(t)dt , ta có thể viết kết quả dướidạng

c1(t)dt

 (1.5)

và nếu ta tích phân hai vế của (1.5) từ 0 đến t thì sẽ suy ra (1.4)

Nếu c1(t) = c1 = const > 0và c2(·)là một hàm số không giảm trên t thì

Chương 2

Bài toán biên-giá trị ban đầu của

phương trình parabolic

2.1 Phương trình truyền nhiệt

2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn+1, x = (x1, x2, , xn, xn+ 1) ∈ Ω.Như chúng ta đã biết, phương trình

Nếu µk(x0) < 0, k = 1, ,n) thì (2.3) được gọi là parabolic dạng chuẩn;nếu µk(x0) > 0, thì bằng cách đổi hướng của yn+1 và nhân (2.3) với (−1) talại được một phương trình parabolic dạng chuẩn Nếu (2.1) là parabolic ở tất

cả các điểm x ∈ Ω, thì ta nói rằng nó là parabolic trong miền này Nếu các

hệ số của M là hàm số trơn và nếu (2.1) là parabolic thì trong một miền (nóichung là một miền nhỏ) của một điểm bất kỳ của một điểm có thể đưa vềdạng

i, j=1bi jξiξj là xác định dương Biến số yn+1 đóng vai trò ngoại

lệ trong miêu tả hiện tượng truyền nhiệt (và một số trường hợp khác) biến

số này không là cái gì khác ngoài thời gian: theo đó chúng ta sẽ kí hiệu nóbởi t, những biến số còn lại y1, , yn miêu tả vị trí của điểm trong một miềntrong bài toán vật lý Chúng ta sẽ xét phương trình parabolic mà được đưa vềthành (2.4)

Trong luận văn ta xét phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toànsau

2.1.2 Dạng của phương trình truyền nhiệt

Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên S = ∂ Ω Với T > 0 ta đặt

trong đó ai j = δi j với δi j là kí hiệu Kronecker, ai = 0, bi = 0, a = 0, fi= 0,

nó miêu tả quá trình truyền nhiệt trong một miền Ω trong Rn Các bài toánsau đây là cơ bản đối với phương trình (2.5):

(1) Bài toán Cauchy: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn (2.5) với x ∈ Rn và

t > 0và thỏa mãn khi t = 0 điều kiện ban đầu

Miền QT được gọi một cách tự nhiên là hình trụ, mặt xung quanh của

nó ST = S × [0, T ]và đáy dưới của nó là tập hợp {(x,t) : x ∈ Ω, t = 0}

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất bao gồm xác định nghiệm của(2.5) trong hình trụ QT và sao cho trùng với các hàm số đã cho ϕ và

ψ trên đáy dưới của QT và trên mặt bên ST

trị ban đầu thứ nhất

Với kí hiệu ∆u ≡ ∑n

j=1uxjxi, ta xét phương trình truyền nhiệt

Bài toán biên-giá trị ban đầu bao gồm tìm nghiệm u(x,t) trong miền bị chặn

QT = Ω × (0, T ) thỏa mãn điều kiện ban đầu

2,0 (QT) khi chúng được xác địnhđối với tất cả t ∈ [0,T ], thì sẽ thuộc L2(QT)(và thậm chí cũng thuộc W1

2(QT)chúng ta sẽ xem xét dưới đây) và liên tục cùng với t trong chuẩn của L2(Ω)(và thậm chí trong chuẩn của W1

2(QT))

Chúng ta phát biểu lại bài toán (2.11)-(2.13) với f +∂ fi

∂ xi

≡ F khi xét bàitoán tìm nghiệm của phương trình toán tử

R t

0X(x,t)dt, ở đó ψ ∈ D(∆), X(·,t) ∈ D(∆) đối với hầu hết tất cả t trong[0, T ]và ∆X ∈ L2(QT) Ở đây, bởi D(∆) ta muốn nói tập hợp các nghiệm suy

rộng trong W1

2(Ω) của bài toán

Nếu f (x) = ˆf(x,t), ˆf ∈ L2(QT), thì nghiệm ˆu(x,t) của (2.19) là ở trong

L2(QT) đi cùng với ˆux, đạo hàm ˆuxx tồn tại và là bình phương khả tích trên

Q0T = Q0.(0, T )đối với tất cả Ω0⊂ Ω, đối với ˆu và tất cả v ∈ W1,0

0Xxdt là các phần tử của khônggian C([0,T ],L2(Ω)), và vxt ∈ L2(QT) Toán tử A trên v(x,t) có thể được viếtlà:

Rất dễ để thấy rằng tập D(A) trù mật trong L2(QT)

Ta sẽ chứng minh A là mở rộng được Đối với điều này ta phải chỉ ra rằng

nó được thực hiện từ một định lý có sẵn trong lý thuyết toán tử không bị chặn

và toán tử mở rộng A∗ của A được xác định trên tập hợp trù mật, hoặc kiểmtra trực tiếp khẳng định sau: Nếu vm≡ D(A), m = 1,2, Nếu vm→ 0trongchuẩn của L2(QT) và nếu Avm ≡ { fm, ϕm} → { f , ϕ}trong chuẩn của W , thì

f ≡ ϕ ≡ 0 Ta sẽ chứng minh lời khẳng định đó Đối với điều này, ta lấy hàm

số phẳng đầy đủ của bất kỳ η(x,t) mà bằng 0 trên ST, với η(x,t) = 0, và xéttích phân tương ứngR

đó toán tử A được mở rộng thành A Để miêu tả miền xác định D(A) và đểtính A trên các phần tử của D(A) ta sẽ chứng minh đối với M0 đẳng thức:

∂ t

dxdt

2,0 (QT) và phụ thuộc liên tục vào t trong chuẩncủaW◦12(Ω)

Định lí 2.1 Giả sử Ω là miền bị chặn Khi đó bài toán (2.11)-(2.13) có duy

nhất nghiệm u(x,t) trong W2,0∆,1(QT) nếu F = f + ∂ fi

∂ x ∈ L2(QT) và ϕ(x) ∈

t=T t=t1 = 0 (2.24)Khi ∆v|t=t1= 0và t1bất kỳ, vxt = 0trong QT Vì vậy đồng nhất thức có dạng

Ví dụ 2.1 Giả sử Ω là hình cầu đơn vị Để thỏa mãn các điều kiện của Định

Định nghĩa 2.1 Nghiệm suy rộng thuộc L2(QT) của bài toán (2.11)-(2.13)

Ở đấy u đóng vai trò của w và η của v, ở đó tập hợp của η trong (2.21) thậmchí lớn hơn số của v trong (2.25) Trên quan điểm này và kết hợp từ (2.25),

mà w triệt tiêu nó cho phép u ≡ 0 nếu ϕ, f và fi bằng 0 trong (2.26) Vì vậychúng ta đã chứng minh được

Định lí 2.2 Bài toán (2.11)-(2.13) không thể có hơn một nghiệm suy rộng

trong L2(QT).

Nhận xét 2.1 Mọi phần tử u của W∆,1

2,0 (QT) với mọi t đều thuộc về W1

2(Ω).Hơn nữa, u(x,t) là một hàm liên tục tuyệt đối theo t trong chuẩn của W1

2(QT),đồng thời ta có

kux(·,t)k22,Ω = kux(·, 0)k22,Ω− 2

Z ∗ 0

của M trong không gian Banach.

Z

Ω

(u2t + (∆u)2)dxdt

#1/2

Các chuẩn này tương đương trên M với chuẩn k · k(∆,1)2,QT khi đối với tất cả

u∈ M và đối với bất kỳ hàm số trơn nào trên ζ (t)

kux(·,t)ζ (t)k22,Ω− kux(·,t)ζ (t1)k22,Ω

... 2

Bài tốn biên- giá trị ban đầu của

phương trình parabolic< /b>

2.1 Phương trình truyền nhiệt

2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic< /b>... data-page="24">

2.2 Phương trình parabolic dạng tổng quát

2.2.1 Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn

Trong phần nghiên cứu tốn biên giá trị ban đầu chophương trình. .. class="page_container" data-page="14">

Bài toán biên- giá trị ban đầu thứ bao gồm xác định nghiệm của(2.5) hình trụ QT cho trùng với hàm số cho ϕ và

ψ đáy QT