2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình paraboli c
2.2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Bây giờ ta nghiên cứu tính duy nhất của nghiệmu(x,t). Để làm điều này chúng ta xét nó như một nghiệm suy rộng trong L2(QT) của (2.1)-(2.3) với f trong (2.36) thay thế bởi f −biuui−au≡ f và fi được thay thế bởi fi+ ai jux j+aiu−uxi≡ fi. Điều này có khả năng vì f ∈L2,1(QT), fi∈L2(QT)và (2.50) có thể chuyển thành dạng (2.21) vì η ∈W2δ,1,1(QT) và η ∈ (x,t) =0. Nhưng sau đó, theo Định lý 2.3 u(x,t) là một nghiệm suy rộng của (2.1)- (2.3) trong V21,0(QT), do đó nó thuộc V21,0(QT) và do đó (2.22) và (2.23) chứa nó, ở đó f phải được thay thế bởi f và fi bởi bfi.
Quan hệ (2.22) có thể được viết dưới dạng (2.41) và đồng nhất thức (2.23) dưới dạng: Z Ω u(x,t)η(x,t)dx− Z Ω ϕ η(x,0)dx+ Z QT −uηt+ai juxjuxi +aiuηxi+biuxiη+auη = Z QT (fη− fiηxi)dxdt (2.53) mà η là một phần tử bất kỳ của W21,0(QT) và t là số nào đó trong [0,T]. Chúng ta đã chứng minh rằng tất cả những nghiệm suy rộng W21,0(QT) của (2.36)-(2.37) là nghiệm suy rộng của (2.36)-(2.37) trongV21,0(QT). Những nghiệm như vậy của (2.36)-(2.37) được xác định là phần tử củaV21,0(QT)mà cho đồng nhất thức (2.54) và quan hệ năng lượng (2.41) tương ứng. Chúng
ta sẽ chỉ ra rằng (2.36)-(2.37) không thể có hai nghiệm khác nhau trong W21,0(QT). Nếu bài toán có hai nghiệmu0 và u00 như vậy thì hiệu của chúng u=u00−u00 sẽ là một nghiệm suy rộng của (2.36)-(2.37) trong không gian W21,0(QT)tương ứng với điều kiện ban đầu là0và số hạng tự do0. Với những gì đã chứng minh, u thực sự là một nghiệm suy rộng của bài toán này trong không gianV21,0(QT), do (2.41) với vế phải0, chứau. Nhưng từ điều này nó làm theo (2.49)với vế phải 0. Bởi vậyu(x,t) phải bằng 0mà đã được chứng minh u0 vàu00 trùng nhau.
Từ những lập luận này liên quan đến hai nghiệm suy rộng u0 và u00 của (2.36)-(2.37) trong V21,0(QT) với f, fi và ϕ riêng biệt, nó theo sau tử toán B chia {f, fi,ϕ}thành một nghiệm suy rộng trongV21,0(QT) là không gian véctơ và phương trình cân bằng năng lượng (2.41) là một dãy của (2.41) với giải định trên hệ số của µ và hàm f, fi,ϕ đã được chỉ ra ở Định lý 2.5. Vì vậy chúng ta đã chứng minh được định lý sau.
Định lí 2.5. Nếu các giả thuyết (2.36)-(2.38) được thỏa mãn thì bất cứ nghiệm suy rộng nào của (2.34)-(2.35) mà thuộcW21,0(QT) cũng là nghiệm suy rộng trongV21,0(QT) và nó là duy nhất trongW21,0(QT).