Luận văn thạc sĩ bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức liên quan 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) 1.1.2 Không gian W2m (Ω) 1.1.3 Không gian W m, (QT ) Bất đẳng thức tích phân 1.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic 2.1 Phương trình truyền nhiệt 2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic 2.1.2 Dạng phương trình truyền nhiệt 2.1.3 ∆,1 Nghiệm suy rộng thuộc W2,0 (QT ) toán biên- giá trị ban đầu thứ 10 2.1.4 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán biêngiá trị ban đầu thứ 14 2.1.5 Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) toán biêngiá trị ban đầu thứ 16 2.2 Phương trình parabolic dạng tổng quát 20 2.2.1 Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn 20 ii 2.3 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 23 2.2.3 Tính nghiệm suy rộng 25 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 26 2.3.1 Phát biểu toán 27 2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 27 2.3.3 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 27 Bất đẳng thức thứ hai 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình bậc đại học, bước đầu làm quen với mơn phương trình đạo hàm riêng Trong đó, ta biết vấn đề liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình elliptic, hypebolic parabolic Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩ thông thường đòi hỏi nhiều yếu tố khắt khe tính trơn phương trình, điều gây khó khăn xét tốn phương trình miền toán phương trình tổng quát Để khắc phục điều này, thay tìm nghiệm cổ điển, người ta tìm nghiệm suy rộng, tức nghiệm có độ khả vi khơng cao Sau nhờ cơng cụ giải thích hàm, người ta nghiên cứu tồn tại, tính độ trơn nghiệm suy rộng Chính vậy, phương trình đạo hàm riêng cịn vấn đề mẻ bí ẩn kích thích yêu thích sinh viên yêu thích Nhằm góp phần giúp bạn sinh viên độc giả u mơn phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu môn học tiếp tục tìm hiểu khám phá, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai” 2 2.1 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic cấp hai 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày hệ thống để giải vấn đề đặt luận văn 2.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn phương trình parabolic tuyến tính cấp hai 3.1 Mục đích - nhiệm vụ đóng góp luận văn Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu sâu mơn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể phương trình parabolic cấp hai Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên tất quan tâm đến mơn phương trình đạo hàm riêng 3.2 Nhiệm vụ luận văn Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai Luận văn gồm hai chương: • Chương Một số kiến thức liên quan mô tả số không gian Sobolev thích hợp nghiệm phương trình parabolic • Chương Bài toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, đưa vào xét nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt Ngồi chương hai trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic tổng qt dạng bảo tồn, nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [1], trình bày loại nghiệm suy rộng phương trình parabolic Khi nghiệm suy rộng hàm trơn chúng nghiệm cổ điển phương trình mà nghiên cứu [2] 3.3 Những đóng góp luận văn Đóng góp bật luận văn cung cấp khái niệm kết chuyên sâu nghiệm suy rộng phương trình parabolic cấp hai dạng bảo tồn Đó khái niệm như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, không gian Sobolev Đặc biệt giúp ta có phương pháp nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai Chương Một số kiến thức liên quan Các kiến thức sở chương lấy từ tài liệu [1] 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn Rn , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Ω với tích vơ hướng ( f (x), g(x))L2 (Ω) = f (x)g(x)dx Ω chuẩn tương ứng 1/2 f 1.1.2 L2 (Ω) | f (x)| dx = Ω Không gian W2m (Ω) Giả sử m số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) không gian Sobolev gồm tất hàm u(x) ∈ L2 (Ω), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m thuộc L2 (Ω) Không gian W2m (Ω) không gian Banach với chuẩn sau u W2m (Ω) = ∑ |Dα u|2 dx |α|≤m Ω α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn đa số; (1.1) Dα = Dα1 Dα2 Dαn , D = (D1 , D2 , , Dn ), Dj = ∂ ∂xj Khơng khó khăn kiểm tra W2m (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (u, v)W2m (Ω) = 1.1.3 ∑ Dα uDα vdx |α|≤m Ω Không gian W m, (QT ) Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên ∂ Ω T = const > Kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )} gọi miền trụ đáy Ω Giả sử m, số tự nhiên ta kí hiệu W m, (QT ) không gian Sobolev gồm tất hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m theo t đến cấp thuộc L2 (QT ) Không gian W m, (QT ) không gian Banach với chuẩn u W m, (QT ) = ∑ |α|≤m QT |Dα u|2 dxdt + ∑ k=1 QT ∂ ku dxdt ∂t k (1.2) Trường hợp = số hạng thứ hai vế phải (1.2) coi khơng có Khơng khó khăn kiểm tra W2m, (QT ) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (u, v)W m, (Q ) = T ∑ |α|≤m QT α α D uD vdxdt + ∑ k=1 QT ∂ ku ∂ kv dxdt ∂t k ∂t k 1.2 Bất đẳng thức tích phân Giả sử y(t) hàm khơng âm hồn tồn liên tục [0, T ] với hầu hết t [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức dy(t) ≤ c1 (t)y(t) + c2 (t), dt (1.3) ci (t) khả tích khơng âm [0, T ] Khi với t, ≤ t ≤ T ta có đánh giá sau y(t) t y(t) ≤ exp t ≤ exp t c1 (t)dt y(0) + c1 (t)dt y(0) + t Thật vậy, ta nhân (1.3) với exp − ξ c1 (ξ ) exp − c1 (t)dt dξ (1.4) c2 (t)dt t c1 (t)dt , ta viết kết dạng d y(t) exp − dt t t c1 (t)dt ≤ c2 (t) exp − c1 (t)dt (1.5) ta tích phân hai vế (1.5) từ đến t suy (1.4) Nếu c1 (t) = c1 = const > c2 (·) hàm số không giảm t từ (1.2) (1.4) ta có bất đẳng thức sau y (t) ≤ ec11t [c1 y(0) + c2 (t)] c1 t y(t) ≤ ec11t y(0) + c−1 c2 (t)[e − 1] (1.6) 21 = ϕη(x, 0)dx + QT Ω (2.39) ( f η − fi ηxi )dxdt tất η ∈ W21,0 (QT ) mà triệt tiêu t = T Đầu tiên chứng minh toán có nghiệm suy rộng W21,0 (QT ) Điều làm vài cách Chúng ta sử dụng phương pháp Galerkin’s cho này, sau sử dụng Định lý 2.3 để chứng tỏ lời giải thức tế V21,0 (QT ) thỏa mãn phương trình cân lượng Cuối sử dụng sở lập luận để lấy từ định lý cho toán (2.34)-(2.35) tồn nghiệm suy rộng W21,0 (QT ) Phương trình cân lượng cho tốn (2.34) có dạng: u(·,t) 22,Ω + (ai j ux j uxi + uuxi + bi uxi u + au2 )dxdt QT ( f u + fi uxi )dxdt = u(·, 0) 22,Ω + QT (2.40) Phương trình suy từ đẳng thức tích phân Mu · udxdt = QT (f + QT ∂ fi )udxdt ∂ xi (2.41) sử dụng điều kiện giới hạn u|ST = Chúng ta nhận đánh giá cho |u|QT từ (2.41) nhiều cách tương tự đánh giá (2.28) nhận từ (2.22) Thật vậy, sở (2.36)-(2.37) ta suy u(·,t) 22,Ω + v ux 22,QT ≤ u(·, 0) 22,Ω + 2µ u + f ≤ 2,1,QT u(·, 0) 2,QT ux max u(·,t) 0≤t≤T 2,Ω + v ux 2 2,Qt + 2,QT 2,Ω + 2µ u v +µ u 2,QT F ux 2,QT 2,QT 2,QT +µ u 2,QT 22 + f Qt max u(· t) + F 0≤t≤T Qt ux (2.42) Qt Chúng ta kết hợp số hạng đồng hạng sau nhân hai vế với thay 2 QT u ty2(t), y(t) ≡ max0≤t≤T u(· t) y(t) u(· 0) u(· t) 2 2 + v ux + v ux 2 Qt u(· 0) 2 Điều cho bất đẳng thức: ≤ y(t) u(· 0) + cty2(t) + 2y f 2 Qt ux 2 Qt (2.43) ≡ j(t) c = 2(2 v + ) Từ điều hai bất đẳng thức: y2(t) ≤ j(t) (2.44) ux 2 Qt ≤ v−1 j(t) (2.45) bình phương hai vế (2.45)-(2.46), thêm vào kết bất đẳng thức sau vế phải cách sau đây: |u|QT ≡ y(t) + u ≤ (1+ v−1 2) j1 2(t) √ ≤ (1+ v−1 2) ct|u|QT + (1+ v−1 2)|u|QT Qt × u(· 0) +2 f Qt cho t −1 t ≡c −2 (1+ v − 2) c=2 +2 F 2 v 2 Qt (2.46) + Chúng ta nhận đánh giá sau: √ |u|QT ≤ [1− (1+ v − 2) ct]−2(1+ v − 2)2 × [ u(· 0) +2 f Qt +2 F Qt ] Chúng ta chia nhỏ khoảng [0 T ] thành khoảng nhỏ 1= t1 2= t2 t1 n (2.47) 23 ∆n cuối chiều dài không vượt 12 t1 Đối với số chúng, có giới hạn dạng (2.47) Nếu tính đến u(·,t) 2,Ω ≤ |u|QT , có bất đẳng thức lượng: |u|QT ≤ c(t)[ u(·, 0) 2,Qt +2 f 2,Qt +2 F 2,Qt ] ≡ c(t)F(t), (2.48) mà chứa t [0, T ] Hàm số c(t) xác định t số v µ (2.38) (2.40) Bất đẳng thức (2.48) gọi bất đẳng thức thứ 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng Để chứng minh tồn nghiệm toán (2.34)-(2.35) W21,0 (QT ) chọn hệ sở {ϕk (x)} W21 (Ω) thừa nhận tiện lợi chuẩn hóa L2 (Ω) Chúng ta tìm nghiệm gần uN (x,t) N chuẩn uN (x,t) = ∑N k=1 ck (t)ϕk (x) từ hệ thống quan hệ: N N N (utN , ϕt ) + (ai j uN x j + u , ϕlxi ) + (bi uxi + au , ϕl ) = ( f , ϕi ) − ( f i , ϕixi ) (2.49) với l = 1, , N đẳng thức cN l = (ϕ, ϕl ) (2.50) Quan hệ (2.49) đơn giản hệ thống N phương trình tuyến tính ẩn số cl (t) ≡ cN l (t), t = 1, , N mà số hạng nguyên tắc dạng dc1 (t)/dt, hệ số ck (t) hàm số giới hạn t số hạng tự hàm số tổng (0, T ) Từ định lý tiếng, biết (2.49) (2.50) xác định hoàn toàn vào hàm số liên tục cN l (t) [0, T ] Chúng ta đặt giới hạn cho uN mà không phụ thuộc vào N Để làm điều này, nhân phương trình (2.49) với cN l thích hợp, cộng vào chúng từ đến N sau hợp với t từ đến t ≤ T , kết 24 đạt (2.49) u = uN trên, (2.49) ám (2.50) với F(t) = f Nhưng uN (·, 0) 2,Ω ≤ ϕ 2,1,Ql 2,Ω , +2 F 2,Qt + uN (·, 0) 2,Ω có giới hạn (2.51) |uN |QT ≤ c1 với c1 khơng đổi khơng phụ thuộc vào N (2.64) lựa chọn dãy phụ uNk , k = 1, 2, từ dãy uN , N = 1, 2, mà hội tụ 1,0 kk L2 (QT ) đạo hàm uN x , tới số phần tử u ∈ W2 (QT ) Phần tử u(x,t) nghiệm suy rộng lý tưởng toán (2.38)-(2.39) Rồi nhân (2.49) với hàm số liên tiếp dl (t) với ddl /dt ∈ L2 (0, T ), dl (T ) = cộng vào phương trình có từ đến N sau hợp kết từ đến T Nếu hợp số hạng phần với t, đạt đồng thức: M(uN , Φ) = uN Φ|t=0 dx + Ω QT (2.52) ( f Φ − fi Φxi )dxdt, quan hệ khơng khác ngồi đẳng thức: M uN − f − ∂ fi , ϕl ∂ xi = 0, l = 1, , N chuyển thành dạng tương ứng với lựa chọn khoảng ta Kết lý luận là, biết dãy uN hội tụ tới N u Trong (2.50) ta xét η = ∑t=1 d (t)ϕ (x) Tập hợp tất hàm số η với d (t) có đặc tính Tổng ∞ p=1 M p trù (Q ) W (Q ) bao gồm tất phần mật không gian W2,0 T T 2,0 (Q ) mà triệt tiêu t = T Đối với η ∈ M (2.54) tử W2,0 T p có giới hạn dãy phụ uNk chọn trên, bắt đầu với Nk ≥ p Kết có (2.50) u , với η ∈ M p Nhưng 25 (Q ) khơng khó để kiểm tra (2.50) chứa tất ∪∞p=1 M p trù mật W2,0 T (Q ); u(x,t) thực nghiệm suy rộng W (Q ) η ∈ W2,0 T T 2,0 (2.36)-(2.37) Như chứng minh Định lí 2.4 Nếu giả thiết (2.36)-(2.48) thỏa mãn, tốn (Q ) (2.34)-(2.35) có nghiệm suy rộng W2,0 T 2.2.3 Tính nghiệm suy rộng Bây ta nghiên cứu tính nghiệm u(x,t) Để làm điều xét nghiệm suy rộng L2 (QT ) (2.1)-(2.3) với f (2.36) thay f − bi uui − au ≡ f fi thay fi + j ux j + u − uxi ≡ fi Điều có khả f ∈ L2,1 (QT ), fi ∈ L2 (QT ) δ ,1 (QT ) η ∈ (x,t) = (2.50) chuyển thành dạng (2.21) η ∈ W2,1 Nhưng sau đó, theo Định lý 2.3 u(x,t) nghiệm suy rộng (2.1)(2.3) V21,0 (QT ), thuộc V21,0 (QT ) (2.22) (2.23) chứa nó, f phải thay f fi fi Quan hệ (2.22) viết dạng (2.41) đồng thức (2.23) dạng: u(x,t)η(x,t)dx − Ω ϕη(x, 0)dx + QT Ω + uηxi + bi uxi η + auη = QT − uηt + j ux j uxi ( fη − fi ηxi )dxdt (2.53) (Q ) t số [0, T ] mà η phần tử W2,0 T (Q ) Chúng ta chứng minh tất nghiệm suy rộng W2,0 T (2.36)-(2.37) nghiệm suy rộng (2.36)-(2.37) V21,0 (QT ) Những nghiệm (2.36)-(2.37) xác định phần tử V21,0 (QT ) mà cho đồng thức (2.54) quan hệ lượng (2.41) tương ứng Chúng 26 ta (2.36)-(2.37) khơng thể có hai nghiệm khác (Q ) Nếu tốn có hai nghiệm u u hiệu chúng W2,0 T u = u − u nghiệm suy rộng (2.36)-(2.37) không gian (Q )tương ứng với điều kiện ban đầu số hạng tự Với W2,0 T chứng minh, u thực nghiệm suy rộng tốn khơng gian V21,0 (QT ), (2.41) với vế phải 0, chứa u Nhưng từ điều làm theo (2.49)với vế phải Bởi u(x,t) phải mà chứng minh u u trùng Từ lập luận liên quan đến hai nghiệm suy rộng u u (2.36)-(2.37) V21,0 (QT ) với f , fi ϕ riêng biệt, theo sau tử tốn B chia { f , fi , ϕ} thành nghiệm suy rộng V21,0 (QT ) không gian véctơ phương trình cân lượng (2.41) dãy (2.41) với giải định hệ số µ hàm f , fi , ϕ Định lý 2.5 Vì chứng minh định lý sau Định lí 2.5 Nếu giả thuyết (2.36)-(2.38) thỏa mãn nghiệm suy rộng (2.34)-(2.35) mà thuộc W21,0 (QT ) nghiệm suy rộng V21,0 (QT ) W21,0 (QT ) 2.3 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba Ký hiệu Ω miền bị chặn Rn với biên ∂ Ω = S Ta xét phương trình parabolic dạng bảo toàn: Mu ≡ ut − ∂ (ai j (x,t + (x,t)u) + bi (x,t)uxi + a(x,t)u = f (x,t) (2.54) ∂ xi 27 2.3.1 Phát biểu toán a) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai: Tìm nghiệm u(x,t) (2.54) cho thỏa mãn điều kiện sau: u|t=0 = ϕ(x), ∂u |S = 0, ∂N T (2.55) ∂u ∂u = ∑ni, j=1 = j νi νi thành phần véc tơ pháp ∂N ∂xj tuyến đơn vị ν = (ν1 , ν2 , ν3 , , νn ) x ∈ S b) Bài tốn biên-giá trị ban đầu thứ ba: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình (2.54) cho thỏa mãn điều kiện sau ∂u |ST + δ (x,t)|uST = ∂N u|t=0 = ϕ(x), (2.56) Khi δ (x,t) ≡ 0,, tốn biên -giá trị ban đầu thứ ba toán thứ hai 2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba Nghiệm suy rộng toán (2.54)-(2.56) không gian W21,0 (QT ) định nghĩa hàm số u(x,t) ∈ W21,0 (QT ) thỏa mãn đồng thức sau: Mu(u, η) ≡ QT = (−uηt + j uxi ηxi + bi uxi η + auη)dxdt + ϕη(x, 0)dx + Ω f ηdxdt QT δ uηdsdt ST (2.57) với η ∈ W21 (QT ) với η(x,t) = 0, δ hàm số cho điều kiện (2.56) 2.3.3 Sự tồn nghiệm suy rộng Để chứng minh tồn nghiệm tốn (2.54)-(2.56) W21,0 (QT ) chứng minh định lý “đối nhau” nghiệm suy 28 rộng cách thực theo phương pháp thứ chứng minh định lý cho toán chuyển động Chúng ta giả thiết hàm j , bi bị chặn Để cho tốn (2.54)-(2.56)có nghiệm suy rộng u(x,t) ∈ W21,0 (QT ) thỏa mãn u|t=0 = (2.58) M(u, η) = với η ∈ W21 (QT ) η(x, T ) = Chúng ta xét hàm số   0, t ∈ [b, T ] η(x,t)   u(x,t)dt, t ∈ [0, b] b (2.59) b cố định [0, T ] Khơng khó để chứng minh hàm số thỏa mãn (2.58) thay (2.59) vào (2.58) viết kết dạng b (−ηt2 + j ηtx j ηxi + aηt n)dxdt + Ω Sb δ ηt ηdsdt = (2.60) u = ηt cho t ∈ (0, b) Chúng ta viết j ηtx j ηxi dạng 1 (∂ /∂t )(ai j ηx j ηxi − (∂ j /∂t )ηx j ηxi 2 δ ηt η dạng 1 (∂ /∂t )(δ η ) − (∂ δ /∂t )η 2 thực tìm số hạng thứ hai thứ ba tích phân (2.60) với dạng sau b −ηt2 − Ω ∂ j ∂ bi ηx j ηxi − bi ηxi ηt − ηx η + aηt η dxdt ∂t ∂t i 29 + Ω j ηx j ηxi dx|t=b t=0 + − Sb ∂δ η dsdt + ∂t S δ η ds|t=b t=0 = (2.61) Bây sử dụng giả thiết hệ số M δ , sở lập luận tích phân Ω · · · dx (2.63) triệt tiêu t = b hàm số η (2.59), sau rút gọn (2.61), sau đổi dấu bất đẳng thức: v ηx2 (x, 0)dx + Ω Qb ηt2 dxdt ≤ c 1 ηx2 + + η dxdt ε1 ε1 Qb + c (ε2 ηx2 (x, 0) + η (x, 0))dx ε2 Ω ε1 ηt2 + + η dsdt + c +c Sb η (S, 0)ds S (2.62) εi số dương với số c xác định hệ số M, δ đạo hàm chúng t Chúng ta xét tích phân Sb S sau S η (s, 0)ds ≤ c1 Sb η (x, 0) + ε3 ηx2 (x, 0) dx, ε3 1+ + ε3 ηx2 dxdt ε3 1+ Ω η (s,t)dsdt ≤ c1 Qb (2.63) (2.64) Hơn (2.59) tương tự biểu diễn t η(x,t) = b ηt (x,t)dt, t ∈ [0, b] có bất đẳng thức: t η (x,t) ≤ b b ηt (x,t)dt; η (x, 0)dx ≤ b Qb Ω η dxdt ≤ b2 Qb Qb ηt2 dxdt; ηt2 dxdt (2.65) 30 thay (2.63) (2.64) vào (2.62) sau kết hợp số hạng tương tự đặt ηx2 (x, 0) ηt2 lên vế trái; sau chọn εi nhỏ đến độ hệ số ηx2 (x, 0) η với v/4 cách tách biệt Sau sử dụng bất phương trình (2.65) để sử số dạng η (x, 0) η từ vế phải bất đẳng thức thu Kết có: v ηx2 (x, 0)dx + Ω Qb ηt2 dxdt ≤ c2 Qb (ηx2 + bηt2 )dxdt (2.66) cho b nhỏ đến mức c2 b ≤ , (2.67) v ηx2 (x, 0)dx + Ω Qb ηt2 dxdt ≤ c3 Qb ηx2 dxdt (2.68) Bây sử dụng sở lập luận b chọn thể hàm số η(x,t)mà chọn phụ thuộc vào b Đối với điều giới thiệu khái niệm t u(x,t)dt = y(x,t) η(x,t) y(x,t) − y(x, b) cho t ∈ [0,t] Chúng ta thay biểu thức cho η vào (2.68) sau nhân vế phải bất đẳng thức sau: y2 (x, b)dx ≤ c3 Ω Qb ≤ 2c3 [yx (x,t) − yx (x, b)]2 dxdt Qb [y2x (x,t) + y2x (x, b)]dxdt y2x (x, b)dx + 2c3 = 2c3 b Ω Qb y2x dxdt (2.69) Vì b≤ 4c3 (2.70) 31 thu (2.69) bất đẳng thức: y2x (x, b)dx ≤ 4c3 Ω Qb y2x (x,t)dxdt (2.71) mà chứa b ∈ [0, b1 ], b1 = {1/(4c2 ); 1/(4c3 )} y(x, 0) = yx (x, 0) = theo (2.71) mà yx (x, b) ≡ b ∈ [0, b1 ] Nhưng sau đó, ηx (x,t) = yx (x,t) − yx (x, b) ≡ t ∈ [0, b1 ] có kết luận (2.68) ηt (x,t) = u(x,t) ≡ t ∈ [0, b1 ] Vì chứng minh hai nghiệm u’ u” trùng Trong hình trụ Qb1 = Ω × [0, b1 ] Nếu chứng minh cho hình trụ Ω × [b1 , 2b1 ], Ω × [2b1 , 3b1 ] Chúng ta sử dụng toàn hình trụ QT để chứng minh định lí Định lí 2.6 Giả sử hệ số (2.54) thỏa mãn điều kiện v|ξ |2 ≤ j (x,t)ξi ξ j ≤ µ|ξ |2 , v = const > 0, |bi |, |a| ≤ µ1 (2.72) |δ | ≤ µ1 Bài tốn (2.54)-(2.55) có nghiệm suy rộng W21,0 (QT ) q ∈ L2 (Ω) f ∈ L2,1 (QT ) 2.4 Bất đẳng thức thứ hai Xét toán tử parabolic M viết dạng bảo toàn: Mu ≡ ut − ∂ fi ∂ (ai j (x,t)ux j + (x,t)u) + bi (x,t)uxi + a(x,t)u = f + ∂ xi ∂ xi Chúng ta nghiên cứu bất đẳng thức thứ hai Nếu trị tuyệt đối S Ω hệ số M có độ trơn Thêm vào n ∑ a2i , 1=1 ϕ ∈ L2 (Ω), n (2.73) ∑ b2i , |a| ≤ µ i=1 f ∈ L2,1 (QT ), fi ∈ L2 (QT ) (2.74) 32 điều kiện parabol không thay đổi v|ξ |2 ≤ j (x,t)ξi ξ j ≤ µ|ξ |2 , v, µ = const > 0, (2.75) hệ số M thỏa mãn điều kiện: ∂ j , ∂ xk ∂ j ≤ µ1 ∂t (2.76) |∂ /∂ xi | ≤ µ1 với bất đẳng thức cuối này, Mu viết dạng rút gọn: Mu = ut − ∂ (ai j (x,t)ux j + (x,t)uxi + a(x,t) ≡ ut − Lu, ∂ xi |ai , a| ≤ µ1 Chúng ta xét tích phân QT (Mu) dxdt hàm số u(x,t) triệt tiêu S biến đổi sau (Mu)2 dxdt = QT QT = QT = Ω [ut2 − 2ut Lu + (Lu)2 ]dxdt [ut2 − 2ai j utxi ux j + 2ut (auxi + au) + (Lu)2 ]dxdt j uxi ux j dx|t=t t=0 + − QT ut2 + (Lu)2 ∂ j ux ux + 2ut (auxi + au) dxdt ∂t i j (2.77) Do đó, với giả thiết hệ số L ta nhận j uxi ux j dx|t=t + Ω ≤ QT [ut2 + (Lu)2 ]dxdt j uxi ux j dx|t=0 + c2 Ω [u2x + εut2 + (u2x + u2 )]dxdt + ε QT (Mu)2 dxdt QT (2.78) cho tất ε > Chúng ta thay QT (Lu) dxdt Ω j uxi ux j dx|t=t số nhỏ sau lựa chọn số hạng tương tự, lấy ε = 1/(2c2 ) u2x (x,t)dx + v Ω ( ut2 + c−1 u2xx )dxdt QT 33 u2x (x, 0)dx + c3 ≤µ QT Ω u2x (x, 0)dx + c4 ≤µ QT Ω (u2x + u2 )dxdt + u2x dxdt + (Mu)2 dxdt QT (Mu)2 dxdt (2.79) (Mu)2 dxdt (2.80) QT Chúng ta có đánh giá: u2x (x,t)dx ≤ c5 (t) µ Ω u2x (x, 0)dx + Ω QT mà c5 (t) = v−1 Nếu thay giới hạn vào (2.61), có bất đẳng thức: u2x (x,t)dx + v Ω ( ut2 + c−1 u2xx )dxdt QT u2x (x, 0)dx + ≤ c6 (t) µ Ω c6 (t) = + c4 c5 (t)dt u2x (x,t)dx + v Ω QT Ω (Mu)2 dxdt (2.82) QT Từ suy ut + c−1 (u2xx + u2x + u2 ) dxdt u2x (x, 0)dx + ≤ c7 (t) µ (2.81) (2.83) (Mu)2 dxdt , (2.84) QT mà c7 (t) có độ tăng tương tự t c6 (t) Chúng ta gọi bất đẳng thức (2.84) bất đẳng thức thứ hai 2,1 Bất đẳng thức tất u ∈ W2,0 (QT ) Với trợ giúp bất đẳng thức thứ hai chứng minh nghiệm toán 2,1 biên-giá trị ban đầu thứ thuộc không gian W2,0 (QT ) S ∈ c2 , ϕ ∈ W21 (Ω), F ≡ f +∂ fi /∂ xi ∈ L2 (QT ), j thỏa mãn điều kiện µ1 ∂ j ∂ xk , ∂ j ∂t ≤ 34 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: – Mô tả số không gian Sobolev thích hợp nghiệm phương trình parabolic – Trình bày khái niệm dạng phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng Phát biểu toán biên-giá trị ban đầu thứ – Đưa vào xét số loại nghiệm toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt – Trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, thứ hai thứ ba phương trình parabolic tổng quát dạng bảo tồn – Trình bày bất đẳng thức thứ hai phương trình parabolic 35 Tài liệu tham khảo [1] Ladyzhenskaya O A (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Tokyo [2] Friedman A (1964), Partial Diferential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ ... Phát biểu toán biên- giá trị ban đầu thứ – Đưa vào xét số loại nghiệm toán biên- giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt – Trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên- giá trị ban đầu thứ... tài: ? ?Bài toán biên giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai? ?? 2 2.1 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán biên- giá trị ban đầu thứ phương. .. nghiệm phương trình parabolic • Chương Bài tốn biên- giá trị ban đầu phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu toán biên- giá