Bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức liên quan 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) 1.1.2 Không gian W2m (Ω) 1.1.3 Không gian W m,ℓ (QT ) Bất đẳng thức tích phân 1.2 Bài toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic 2.1 Phương trình truyền nhiệt 2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic 2.1.2 Dạng phương trình truyền nhiệt 2.1.3 ∆,1 Nghiệm suy rộng thuộc W2,0 (QT ) toán biên- giá trị ban đầu thứ 10 2.1.4 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) toán biêngiá trị ban đầu thứ 14 2.1.5 Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) toán biêngiá trị ban đầu thứ 16 2.2 Phương trình parabolic dạng tổng quát 20 2.2.1 Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn 20 ii 2.3 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 23 2.2.3 Tính nghiệm suy rộng 25 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 26 2.3.1 Phát biểu toán 27 2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba 27 2.3.3 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 27 Bất đẳng thức thứ hai 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình bậc đại học, bước đầu làm quen với mơn phương trình đạo hàm riêng Trong đó, ta biết vấn đề liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình elliptic, hypebolic parabolic Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩ thông thường đòi hỏi nhiều yếu tố khắt khe tính trơn phương trình, điều gây khó khăn xét tốn phương trình miền toán phương trình tổng quát Để khắc phục điều này, thay tìm nghiệm cổ điển, người ta tìm nghiệm suy rộng, tức nghiệm có độ khả vi khơng cao Sau nhờ cơng cụ giải thích hàm, người ta nghiên cứu tồn tại, tính độ trơn nghiệm suy rộng Chính vậy, phương trình đạo hàm riêng cịn vấn đề mẻ bí ẩn kích thích yêu thích sinh viên yêu thích Nhằm góp phần giúp bạn sinh viên độc giả u mơn phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu môn học tiếp tục tìm hiểu khám phá, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai” 2 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic cấp hai 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày hệ thống để giải vấn đề đặt luận văn 2.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn phương trình parabolic tuyến tính cấp hai Mục đích - nhiệm vụ đóng góp luận văn 3.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu sâu mơn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể phương trình parabolic cấp hai Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên tất quan tâm đến mơn phương trình đạo hàm riêng 3.2 Nhiệm vụ luận văn Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai Luận văn gồm hai chương: • Chương Một số kiến thức liên quan mô tả số không gian Sobolev thích hợp nghiệm phương trình parabolic • Chương Bài toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, đưa vào xét nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt Ngồi chương hai trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình parabolic tổng qt dạng bảo tồn, nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ hai thứ ba Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [1], trình bày loại nghiệm suy rộng phương trình parabolic Khi nghiệm suy rộng hàm trơn chúng nghiệm cổ điển phương trình mà nghiên cứu [2] 3.3 Những đóng góp luận văn Đóng góp bật luận văn cung cấp khái niệm kết chuyên sâu nghiệm suy rộng phương trình parabolic cấp hai dạng bảo tồn Đó khái niệm như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, không gian Sobolev Đặc biệt giúp ta có phương pháp nghiên cứu toán biên-giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai Chương Một số kiến thức liên quan Các kiến thức sở chương lấy từ tài liệu [1] 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn Rn , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Ω với tích vơ hướng ( f (x), g(x))L2 (Ω) = Ω f (x)g(x)dx chuẩn tương ứng 1/2 f L2 (Ω) = Ω | f (x)| dx 1.1.2 Không gian W2m (Ω) Giả sử m số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) không gian Sobolev gồm tất hàm u(x) ∈ L2 (Ω), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m thuộc L2 (Ω) Không gian W2m (Ω) không gian Banach với chuẩn sau u W2m (Ω) = α = ( α1 , α2 , , αn ) ∈ N n ∑ |α|≤m Ω |Dα u|2 dx đa số; (1.1) Dα = Dα1 Dα2 Dαn , D = (D1 , D2 , , Dn ), Dj = ∂ ∂xj Khơng khó khăn kiểm tra W2m (Ω) khơng gian Hilbert với tích vô hướng (u, v)W2m (Ω) = ∑ Dα uDα vdx |α|≤m Ω 1.1.3 Không gian W m,ℓ (QT ) Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên ∂ Ω T = const > Kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )} gọi miền trụ đáy Ω Giả sử m, ℓ số tự nhiên ta kí hiệu W m,ℓ (QT ) không gian Sobolev gồm tất hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), cho tất đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m theo t đến cấp ℓ thuộc L2 (QT ) Không gian W m,ℓ (QT ) không gian Banach với chuẩn u W m,ℓ (QT ) ℓ = ∑ |α|≤m QT |Dα u|2 dxdt + ∑ k=1 QT ∂ ku dxdt ∂ tk (1.2) Trường hợp ℓ = số hạng thứ hai vế phải (1.2) coi khơng có Khơng khó khăn kiểm tra W2m,ℓ (QT ) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (u, v)W m,ℓ (Q ) = T ∑ |α|≤m QT α α ℓ D uD vdxdt + ∑ k=1 QT ∂ ku ∂ kv dxdt ∂ tk ∂ tk 1.2 Bất đẳng thức tích phân Giả sử y(t) hàm khơng âm hoàn toàn liên tục [0, T ] với hầu hết t [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức dy(t) ≤ c1 (t)y(t) + c2 (t), dt (1.3) ci (t) khả tích khơng âm [0, T ] Khi với t, ≤ t ≤ T ta có đánh giá sau y(t) ≤ exp t ξ t t y(t) ≤ exp c1 (t)dt y(0) + c1 (t)dt y(0) + t Thật vậy, ta nhân (1.3) với exp − c1 (ξ ) exp − c1 (t)dt d ξ (1.4) c2 (t)dt t c1 (t)dt , ta viết kết dạng d y(t) exp − dt t t c1 (t)dt ≤ c2 (t) exp − c1 (t)dt (1.5) ta tích phân hai vế (1.5) từ đến t suy (1.4) Nếu c1 (t) = c1 = const > c2 (·) hàm số không giảm t từ (1.2) (1.4) ta có bất đẳng thức sau y′ (t) ≤ ec11t [c1 y(0) + c2 (t)] c1 t y(t) ≤ ec11t y(0) + c−1 c2 (t)[e − 1] (1.6) 21 = Ω ϕη (x, 0)dx + QT (2.39) ( f η − fi ηxi )dxdt tất η ∈ W21,0 (QT ) mà triệt tiêu t = T Đầu tiên chứng minh tốn có nghiệm suy rộng W21,0 (QT ) Điều làm vài cách Chúng ta sử dụng phương pháp Galerkin’s cho này, sau sử dụng Định lý 2.3 để chứng tỏ lời giải thức tế V21,0 (QT ) thỏa mãn phương trình cân lượng Cuối sử dụng sở lập luận để lấy từ định lý cho toán (2.34)-(2.35) tồn nghiệm suy rộng W21,0 (QT ) Phương trình cân lượng cho tốn (2.34) có dạng: u(·,t) 22,Ω + (ai j ux j uxi + uuxi + bi uxi u + au2 )dxdt QT ( f u + fi uxi )dxdt = u(·, 0) 22,Ω + QT (2.40) Phương trình suy từ đẳng thức tích phân QT Mu · udxdt = (f + QT ∂ fi )udxdt ∂ xi (2.41) sử dụng điều kiện giới hạn u|ST = Chúng ta nhận đánh giá cho |u|QT từ (2.41) nhiều cách tương tự đánh giá (2.28) nhận từ (2.22) Thật vậy, sở (2.36)-(2.37) ta suy u(·,t) 22,Ω + v ux 22,QT ≤ u(·, 0) 22,Ω + 2µ u + f ≤ 2,1,QT u(·, 0) 2,QT ux max u(·,t) 0≤t≤T 2,Ω + v ux 2 2,Qt + 2,QT 2,Ω + 2µ u v +µ u 2,QT F ux 2,QT 2,QT 2,QT +µ u 2,QT 22 + f 2,1,Qt max u(·,t) + F 0≤t≤T 2,Qt ux (2.42) 2,Qt Chúng ta kết hợp số hạng đồng hạng sau nhân hai vế với thay 2,QT u ty2 (t), y(t) ≡ max0≤t≤T u(·,t) y(t) u(·, 0) u(·,t) +v 2,Ω 2,Ω + v ux ux 2,Ω 2,Qt 2,Ω u(·, 0) 2,Ω Điều cho bất đẳng thức: ≤ y(t) u(·, 0) 2,Ω + cty (t) + 2y f 2,1,Qt ux 2,Qt (2.43) ≡ j(t) c = 2(2µ /v + µ ) Từ điều hai bất đẳng thức: (2.44) y2 (t) ≤ j(t), ux 2,Qt ≤ v−1 j(t) (2.45) bình phương hai vế (2.45)-(2.46), thêm vào kết bất đẳng thức sau vế phải cách sau đây: |u|QT ≡ y(t) + u 2,Qt ≤ (1 + v−1/2 ) j1/2 (t) √ 1/2 ≤ (1 + v−1/2 ) ct|u|QT + (1 + v−1/2 )|u|QT × 2,Ω + u(·, 0) cho −1 t 0, |bi |, |a| ≤ µ1 (2.72) |δ | ≤ µ1 Bài tốn (2.54)-(2.55) có nghiệm suy rộng W21,0 (QT ) q ∈ L2 (Ω) f ∈ L2,1 (QT ) 2.4 Bất đẳng thức thứ hai Xét toán tử parabolic M viết dạng bảo toàn: Mu ≡ ut − ∂ ∂ fi (ai j (x,t)ux j + (x,t)u) + bi (x,t)uxi + a(x,t)u = f + ∂ xi ∂ xi Chúng ta nghiên cứu bất đẳng thức thứ hai Nếu trị tuyệt đối S Ω hệ số M có độ trơn Thêm vào n ∑ a2i , 1=1 ϕ ∈ L2 (Ω), n (2.73) ∑ b2i , |a| ≤ µ i=1 f ∈ L2,1 (QT ), fi ∈ L2 (QT ) (2.74) 32 điều kiện parabol không thay đổi v|ξ |2 ≤ j (x,t)ξi ξ j ≤ µ |ξ |2 , v, µ = const > 0, (2.75) hệ số M thỏa mãn điều kiện: ∂ j , ∂ xk ∂ j ≤ µ1 ∂t (2.76) |∂ /∂ xi | ≤ µ1 với bất đẳng thức cuối này, Mu viết dạng rút gọn: Mu = ut − ∂ (ai j (x,t)ux j + (x,t)uxi + a(x,t) ≡ ut − Lu, ∂ xi |ai , a| ≤ µ1 Chúng ta xét tích phân QT (Mu) dxdt hàm số u(x,t) triệt tiêu S biến đổi sau (Mu)2 dxdt = QT QT [ut2 − 2ut Lu + (Lu)2 ]dxdt QT [ut2 − 2ai j utxi ux j + 2ut (auxi + au) + (Lu)2 ]dxdt = = Ω j uxi ux j dx|t=t t=0 + − QT ut2 + (Lu)2 ∂ j ux ux + 2ut (auxi + au) dxdt ∂t i j (2.77) Do đó, với giả thiết hệ số L ta nhận Ω ≤ j uxi ux j dx|t=t + Ω QT [ut2 + (Lu)2 ]dxdt j uxi ux j dx|t=0 + c2 [u2x + ε ut2 + (u2x + u2 )]dxdt + ε QT (Mu)2 dxdt QT (2.78) cho tất ε > Chúng ta thay QT (Lu) dxdt Ω j uxi ux j dx|t=t số nhỏ sau lựa chọn số hạng tương tự, lấy ε = 1/(2c2 ) v Ω u2x (x,t)dx + ( ut2 + c−1 u2xx )dxdt QT 33 ≤µ ≤µ Ω Ω u2x (x, 0)dx + c3 QT u2x (x, 0)dx + c4 QT (u2x + u2 )dxdt + u2x dxdt + (Mu)2 dxdt QT (Mu)2 dxdt (2.79) (Mu)2 dxdt (2.80) QT Chúng ta có đánh giá: Ω u2x (x,t)dx ≤ c5 (t) µ Ω u2x (x, 0)dx + QT mà c5 (t) = v−1 Nếu thay giới hạn vào (2.61), có bất đẳng thức: v Ω u2x (x,t)dx + ≤ c6 (t) µ c6 (t) = + c4 v Ω c5 (t)dt u2x (x,t)dx + ≤ c7 (t) µ Ω Ω QT ( ut2 + c−1 u2xx )dxdt QT u2x (x, 0)dx + (2.81) (2.82) (Mu)2 dxdt QT Từ suy ut + c−1 (u2xx + u2x + u2 ) dxdt u2x (x, 0)dx + (2.83) (2.84) (Mu)2 dxdt , QT mà c7 (t) có độ tăng tương tự t c6 (t) Chúng ta gọi bất đẳng thức (2.84) bất đẳng thức thứ hai 2,1 Bất đẳng thức tất u ∈ W2,0 (QT ) Với trợ giúp bất đẳng thức thứ hai chứng minh nghiệm toán 2,1 (QT ) S ∈ c2 , ϕ ∈ biên-giá trị ban đầu thứ thuộc không gian W2,0 W21 (Ω), F ≡ f + ∂ fi /∂ xi ∈ L2 (QT ), j thỏa mãn điều kiện µ1 ∂ j ∂ xk , ∂ j ∂t ≤ 34 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: – Mô tả số không gian Sobolev thích hợp nghiệm phương trình parabolic – Trình bày khái niệm dạng phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng Phát biểu toán biên-giá trị ban đầu thứ – Đưa vào xét số loại nghiệm toán biên-giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt – Trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, thứ hai thứ ba phương trình parabolic tổng quát dạng bảo tồn – Trình bày bất đẳng thức thứ hai phương trình parabolic 35 Tài liệu tham khảo [1] Ladyzhenskaya O A (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Tokyo [2] Friedman A (1964), Partial Diferential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ ... • Chương Bài tốn biên- giá trị ban đầu phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất,... biên- giá trị ban đầu thứ – Đưa vào xét số loại nghiệm toán biên- giá trị ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt – Trình bày định lý tồn nghiệm suy rộng toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất, thứ hai. .. tài: ? ?Bài toán biên giá trị ban đầu phương trình parabolic cấp hai? ?? 2 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán biên- giá trị ban đầu thứ phương