Trong bài tiểu luận này, ta sẽ xem xét một số phương pháp để tìm nghiệm xấp xỉ của phươngtrình vi phân thường thỏa điều kiện ban đầu có dạng như sau:dydt = f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α.Các phương pháp số sẽ được chia làm hai loại chính, đó là các phương pháp một bước nhưphương pháp Euler, Taylor bậc cao, phương pháp trung điểm, Euler hiệu chỉnh, Heun, RungeKutta,RungeKuttaFehlberg và các phương pháp đa bước như phương pháp hiện AdamsBashforth,phương pháp ẩn AdamsMoulton, phương pháp dự đoán sửa lỗi, phương phápngoại suy.Trước khi tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu, ta cần xem xét một số định lý cơsở về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, sự hội tụ về nghiệm chính xác của dãy nghiệmxấp xỉ..., tất cả sẽ được trình bày ở phần đầu của bài viết. Tiếp theo là nội dung về các phươngpháp xấp xỉ, mỗi phương pháp được trình bày trong bài viết sẽ gồm có cơ sơ lý luận, cách xâydựng thuật toán, ví dụ minh họa, thuật toán, kết quả thu được trên Matlab và hiệu chỉnh saisố (nếu có). Phần cuối bài viết sẽ bàn về sự ổn định, một vài nhận xét, đánh giá sự hiệu quảcủa các phương pháp số.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM
KHOA TOÁN - TIN HỌC
——————– *** ———————
TIỂU LUẬN CUỐI KỲ MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
ĐỀ TÀI:
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
Giảng viên hướng dẫn : ThS Đào Huy Cường
Sinh viên thực hiện: Lê Thị Anh Thư
Mã số sinh viên: 41.01.101.115
Thành phố Hồ Chí MinhNgày 20 tháng 6 năm 2018
Trang 2Mục lục
3.1 Cơ sở của phương pháp Euler 7
3.2 Thuật toán 9
3.3 Ước lượng sai số 11
3.4 Hiệu chỉnh sai số 13
4 Phương pháp Taylor bậc cao 15 4.1 Sai số chặt cụt 15
4.2 Phương pháp Taylor bậc n 17
5 Phương pháp Runge-Kutta 21 5.1 Phương pháp Runge-Kutta bậc hai 22
5.2 Phương pháp trung điểm 23
5.3 Phương pháp Euler hiệu chỉnh 23
5.4 Phương pháp Heun 26
5.5 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 29
5.6 So sánh tính toán 32
5.7 Kiểm soát sai số và phương pháp Runge-Kutta-Fehlberg 34
6 Phương pháp đa bước 41 6.1 Phương pháp hiện Adams-Bashforth 46
6.2 Phương pháp ẩn Adams-Moulton 50
6.3 Phương pháp dự đoán - sửa lỗi 52
6.4 Kiểm soát sai số và phương pháp biến nhảy đa bước 57
6.5 Phương pháp ngoại suy 63
7 Sự ổn định của các phương pháp 70 7.1 Các phương pháp một bước 70
7.2 Các phương pháp đa bước 74
Trang 3với L là độ dài con lắc, g là hằng số hấp dẫn Tại thời điểm bắt đầu t0, vị trị con lắc là θ(t0) = θ0
và vận tốc là θ0(t0) = θ00 Ta gọi đây là bài toán có giá trị ban đầu
Với giá trị θ nhỏ, ta có xấp xỉ θ ≈ sinθ, khi đó phương trình (1.1) trở thành:
Trong bài tiểu luận này, ta sẽ xem xét một số phương pháp để tìm nghiệm xấp xỉ của phươngtrình vi phân thường thỏa điều kiện ban đầu có dạng như sau:
dy
dt = f (t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α.
Các phương pháp số sẽ được chia làm hai loại chính, đó là các phương pháp một bước nhưphương pháp Euler, Taylor bậc cao, phương pháp trung điểm, Euler hiệu chỉnh, Heun, Runge-Kutta, Runge-Kutta-Fehlberg và các phương pháp đa bước như phương pháp hiện Adams-Bashforth, phương pháp ẩn Adams-Moulton, phương pháp dự đoán - sửa lỗi, phương phápngoại suy
Trước khi tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu, ta cần xem xét một số định lý cơ
sở về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, sự hội tụ về nghiệm chính xác của dãy nghiệmxấp xỉ , tất cả sẽ được trình bày ở phần đầu của bài viết Tiếp theo là nội dung về các phươngpháp xấp xỉ, mỗi phương pháp được trình bày trong bài viết sẽ gồm có cơ sơ lý luận, cách xâydựng thuật toán, ví dụ minh họa, thuật toán, kết quả thu được trên Matlab và hiệu chỉnh sai
số (nếu có) Phần cuối bài viết sẽ bàn về sự ổn định, một vài nhận xét, đánh giá sự hiệu quảcủa các phương pháp số
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Đào Huy Cường đã tận tâm giảng dạy vàcho em cơ hội làm tiểu luận môn Phương pháp tính với đề tài thú vị này Trong quá trình làmviệc không thể tránh những thiếu sót, mong nhận được sự nhận xét, góp ý từ thầy và bạn đọc
Trang 42 Bài toán giá trị ban đầu và các định lý cơ sở
Sau đây là một số khái niệm và tính chất của hàm số thỏa điều kiện Lipschitz
Định nghĩa 2.0.1: Hàm số thỏa điều kiện Lipschitz
Hàm số f (t, y) được gọi là thỏa điều kiện Lipschitz theo biến y trên tập D ⊂ R2 nếu tồntại L > 0 sao cho
|f (t, y1) − f (t, y2)| ≤ L|y1− y2|,với mọi (t, y1), (t, y2) thuộc D Hằng số L được gọi là hằng số Lipschitz của f
Định nghĩa 2.0.2: Tập lồi
Tập D ∈ R2 được gọị là lồi nếu với mọi (t1, y1), (t2, y2) thuộc D thì ((1 − λ)t1+ λt2, (1 −λ)y1+ λy2) cũng thuộc D, với mọi λ trong [0, 1]
Định lý 2.0.1: Điều kiện cần để hàm số thỏa điều kiện Lipschitz
Giả sử f (t, y) xác định trên tập lồi D ∈ R2 Nếu tồn tại L > 0 sao cho
∂f
∂y(t, y)
∂f
∂y(t, ζ)
... xỉ để giải toán gi? ?trị ban đầu Mặc dù thực tế phương pháp sử dụng, tảng đểxây dựng số phương pháp tiên tiến
Ta sử dụng thuật toán Euler để tìm nghiệm xấp xỉ tốn giá trị ban đầu đặt vấn... phương pháp Euler.
3.2 Thuật toán< /h3>
Để xấp xỉ toán giá trị ban đầu
y0 = f (t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = αINPUT: Nhập f (t, y), a, b, số nút N , giá trị ban đầu. .. điều kiện Lipschitzvới biến y D tốn có giá trị ban đầu (2.1) toán đặt vấn đề tốt
Chứng minh
Chứng minh thỏa (i)
Từ toán giá trị ban đầu
dy
dt = f (t, y),