BÀI TẬP TỔNG HỢP CUỐI KÌMÔN LÝ LUẬN DẠY HỌC ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH1. Dạy học hàm sốCâu 5: Anhchị hãy nêu một số ngữ cảnh có thể làm xuất hiện khái niệm hàm số và thiết kế dạy học khái niệm này theo con đường quy nạp.Một số ngữ cảnh xuất hiện hàm số:VD1. Chu vi hình vuông phụ thuộc vào cạnh của hình vuông đó (trong mối quan hệ đồng biến, khi cạnh tăng chu vi tăng, cạnh giảm chu vi giảm).VD2. Số tiền đi taxi phải trả phụ thuộc vào độ dài quãng đường đã đi được, (trong mối quan hệ đồng biến, khi đi taxi càng lâu thì tiền trả càng nhiều và ngược lại).VD3. Độ cao của vật đang rơi phụ thuộc vào thời gian rơi (trong mối quan hệ trái chiềunghịch biến. Khi độ cao cảng nhiều thì thời gian rơi càng lâu và ngược lại).Thiết kế dạy học theo con đường qui nạp
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THPCM BÀI TẬP TỔNG HỢP CUỐI KÌ MƠN LÝ LUẬN DẠY HỌC ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Giảng viên: Lê Thái Bảo Thiên Trung Họ tên sinh viên : Lê Thị Anh Thư MSSV:41.01.101.115 Contents Dạy học hàm số Dạy học hàm số (tt) Dạy học giới hạn dạng vô định 10 Dạy học hàm số liên tục 12 Dạy học tích phân 19 Dạy học hàm số Câu 5: Anh/chị nêu số ngữ cảnh làm xuất khái niệm hàm số thiết kế dạy học khái niệm theo đường quy nạp Một số ngữ cảnh xuất hàm số: VD1 Chu vi hình vng phụ thuộc vào cạnh hình vng (trong mối quan hệ đồng biến, cạnh tăng chu vi tăng, cạnh giảm chu vi giảm) VD2 Số tiền taxi phải trả phụ thuộc vào độ dài quãng đường được, (trong mối quan hệ đồng biến, taxi lâu tiền trả nhiều ngược lại) VD3 Độ cao vật rơi phụ thuộc vào thời gian rơi (trong mối quan hệ trái chiều/nghịch biến Khi độ cao cảng nhiều thời gian rơi lâu ngược lại) Thiết kế dạy học theo đường qui nạp GV HỎI HS TRẢ LỜI DỰ KIẾN VIẾT BẢNG Trong thực tế toán học ta thường gặp đại lượng thay đổi phụ thuộc vào thay đổi đại lượng khác VD1 (dạng hàm số có cơng thức cụ thể, hàm đồng biến) +) Làm mua vừa đủ hàng rào xây xung quanh mảnh đất hình vng? +) Từ kiến thức học để tính chu vi hình vng +) Xác định công thức liên hệ a p mà em học với p: chu vi, a: cạnh hình vng +) Với giá trị a=1,a=2,a=3 điền vào bàng sau Cạn 10 100 1000 h hv VD1: +) Ta phải biết chu vi mảnh đất Cơng thức liên hệ hình vng a p p=4a +) Tính cạnh hình vng với p: chu vi, a: cạnh hình vng +) p=4a Cạnh hv (a) 10 100 (a) Chu vi hv (p) 1000 Chu v hv (p) 12 40 400 4000 +) Từ bảng cho biết +) Có thay đổi độ lớn chu vi có bị phụ thuộc vào độ lớn cạnh khơng? +) Mối liên hệ cạnh chu vi +) Khi cạnh tăng chu vi tăng, hình vng gì? cạnh giảm chu vi giảm +) Mối liên hệ nào? - Chu vi p hình vng phụ thuộc vào cạnh a hình vng mối quan hệ đồng biến +) Cùng chiều/đồng biến +) Đại lương phụ thuộc vào +) Chu vi hình vng phụ thuộc - Biến phụ thuộc thay đổi đại lượng khác? vào thay đổi cạnh hình p, biến độc lập a vuông - Mỗi giá trị a +) Mỗi giá trị a cạnh hình +) Mỗi giá trị a cạnh hình cạnh hình vng ta vng ta xác định vuông ta xác định xác định giá trị tương ứng p chu vi ? giá trị tương ứng p chu vi giá trị tương ứng p - Ta nói p hàm số a, hàm số chu vi đồng biến, biến độc lập a, biến phụ thuộc p, liên hệ - Ta nói p hàm số công thức p=4a a - Dạng p p=f(a)=4a cần -Dạng p xác định p=f(a)=4a cần xác định VD2 (dạng hàm số chưa có cơng thức cụ thể) +) Hãy nêu mối liên hệ số +) Khi quãng đường dài tiền taxi phải độ dài quãng trả nhiều tiền Khi quãng đường mà em biết đường ngắn trả tiến +) Mối liên hệ nào? - Số tiền taxi phải trả phụ thuộc vào độ dài quãng đường được, mối quan hệ đồng +) Đại lương phụ thuộc vào thay đổi đại lượng khác? +) Cùng chiều/đồng biến +) Số tiền taxi phải trả phụ thuộc +) Mỗi giá trị quãng đường vào độ dài quãng đường được xác định giá trị tương ứng số tiền phải +) Mỗi giá trị quãng đường trả ? xác định giá - Ta nói số tiền phải trả T hàm trị tương ứng số tiền phải trả ? số độ dài quãng đường S, hàm số đồng biến, biến độc lập S, biến phụ thuộc T - Dạng T T=f(S) cần xác định biến, taxi lâu tiền trả nhiều ngược lại - Số tiền phải trả T hàm số độ dài quãng đường S, hàm số đồng biến, biến độc lập S, biến phụ thuộc T - Dạng T T= f(S) cần xác định VD3: +) Làm đo độ cao vật mà đo trực tiếp? Từ kiến thức học môn vật lý em nhắc lại công thức đo độ cao +) h=1/2gt2 vật rơi tự khoảng thời (g số) gian t Ta đo độ cao h thơng qua khoảng thời gian t rơi tự vật +) Hãy nêu mối liên hệ độ +) Khi độ cao lớn thời gian cao thời gian rơi tự vật rơi vật lâu ngược lại - Độ cao vật rơi phụ thuộc vào thời gian rơi - Trong mối quan hệ trái chiều/nghịch biến Từ vd em đưa -… dự đoán y gọi hàm số x? - nêu đn sgk - Độ cao h vật hàm số thời gian rơi t, hàm số nghịch biến, +) Mối liên hệ nào? +)Ngược chiều/nghịch biến biến độc lập t, biến phụ thuộc h +) Đại lương phụ thuộc vào +) Độ cao vật rơi phụ - Mỗi giá trị t thay đổi đại lượng khác? thuộc vào thời gian rơi xác định giá trị h +) Mỗi giá trị thời gian rơi xác +) Một - Dạng hàm số h định giá trị tương h=f(t)=1/2gt2 ứng độ cao vật ? Câu 6: Cho biểu diễn dồ thị hàm số f sau (hình trang 60, sách PP dạy học ĐS GT) Anh/chị đặt câu hỏi cho HS liên quan đến kiến thức khái niệm hàm số trình bày Các câu hỏi: - Đồ thị biểu diễn gì? Biểu diễn đồ thị hàm số f - Xác định biến độc lập, biến phụ thuộc, giải thích +)Biến độc lập x, biến phụ thuộc y, mối liên hệ y=f(x) +) Do hàm số f x, thay đổi f phụ thuộc theo x - Với giá trị x=1,2,3,4,5,6 xđ giá trị f, kẻ bảng X Y=f(x) 2.5 2.8 - Từ bảng có nhận xét thay đổi y theo x? hàm số nghịch hay đồng biến? +) x tăng từ đến y tăng theo từ đến Hàm số đồng biến [1,5] +) x tăng từ đến y giảm từ xuống 0, hàm số nghịch biến [5,6] - Có nhận xét dáng điệu độ thị [1,5] [5,6]? +) [1,5] hàm số lên dần +) [5,6] hàm số xuống nhanh - Có liên hệ dáng điệu dồ thị đồng biến nghịch biến hàm số? HS trả lời: +) Hàm số đồng biến đồ thị lên +) Hàm số nghịch biến đồ thị xuống Hoặc +) Đồ thị lên hàm số đồng biến +) Đồ thị xuống hàm số nghịch biến GV hỏi chiều ngược lại có ko? Nếu có minh họa hình vẽ Câu 7: Anh/chị tạo đồ thị hàm số soạn câu hỏi cho học sinh GV HỎI - Đồ thị mơ tả gì? HS TRẢ LỜI - Nhiệt độ nước đun ấm thay đổi theo thời gian - Hãy xác định biến phụ thuộc, biến độc lập, làm rõ đơn vị, giá trị khảo sát thể biểu đồ - Biến phụ thuộc: nhiệt độ, độ C - Biến độc lập: thời gian đun nước, phút - Có nhận xét dáng điệu đồ thị? - Đồ thị lên từ phút thứ đến phút thứ 12 giảm từ phút thứ 12 đến phút thứ 13 - Điều cho thấy gì? - Nhiệt độ nước tăng từ 20 độ lên 100 độ khoảng từ phút thứ đến phút thứ 12 giảm từ 100 độ xuống 90 độ khoảng từ phút thứ 12 đến phút thứ 13 - Nêu mối quan hệ đồng biến/nghịch biến thời gian đun nước nhiệt độ nước ấm - [3,12] đồng biến - [12,13] nghịch biến - Nêu mối quan hệ tính đồng/nghịch biến với dáng diệu đồ thị - [3,12] đồng biến lên - [12,13] nghịch biến xuống - Xác định nhiệt độ nước phút 11,12 ,13 - nhiệt độ nước ấm thời điểm có xác định không? HS xác định -tại phút thứ nước sôi? Phút thứ 12 - để đun sôi nước cần phút đủ 12 phút - để 13 phút … Nhiệt độ nước giảm xuống Có, nên hàm số Dạy học hàm số (tt) Câu 11: Bán kính r (cm) đĩa tròn, diện tích đĩa tròn S (cm2) Ta có cơng thức S=r2 Hàm số với biến phụ thuộc phần diện tích tăng thêm bán kính tăng 1cm f(r)= (2r+1) (cm2) Giải thích: Khi bán kính tăng 1cm ta có ban kính r’=r+1 (cm) Diện tích S’=(r’)2= S=(r+1)2 (cm2) Do phần diện tích tăng thêm S’-S= S=(r+1)2 - r2 = (2r+1) (cm2) Câu 13: Tìm TXĐ hàm số , x4 + m2 - + + 4m - 7, 3a + , a2 + 3a + z7 , z- u u + 1(u3 - 8) Câu 15: xét tính chẵn lẻ hàm số sau giải thích, hàm không xác định chẵn lẻ lấy phản ví dụ x2, x3 - 6x2 + 12x - 8, , x- | x |, x +1 Dạy học giới hạn dạng vô định Giáo án dạy học tìm giới hạn hàm số dạng 0/0 Gv hỏi Hs trả lời f (x) = x - x - Tìm txđ hàm - Cho hàm số số - Có tính đc f(1) khơng? Giải thích rõ? - Thay x=1 vào riêng tử mẫu ta gì? - Do tìm giới hạn giới hạn hàm số x tiến gọi dạng 0/0 - Bây ta tìm giới hạn giới hạn hàm số x tiến - Các em hoàn thành bảng sau việc tính x2 - f (x) = x - giá trị giá trị hàm số x cho trước bảng sau: Bảng x 0.8 0.9 0.99 0.999 f(x) Bảng x f(x) 1.5 1.1 1.01 1.001 - txđ D = �\ {1} = (- �,1) �(1, +�) - Khơng x=1 f(x) cho khơng xác định - Cả tử mẫu - hs điền vào bảng x 0.8 0.9 0.99 0.999 0.999 f(x) 1.8 1.9 1.99 1.999 1.0001 x f(x) 1.5 2.5 1.1 2.1 1.01 2.01 1.001 2.001 -Từ bảng 1, em có nhận xét giá trị cho trước x - Vẫn bảng em có nx giá trị f(x) x dần tiến bên trái 1? - Hỏi tg tự câu hỏi cho bảng - Như từ bảng ta thấy x tiến dần bên trái lẫn bên phải hay nói gọn lại x tiến dần f(x) tiến dần - Mặc dù ta khơng tính f(1) ta tính giới hạn f(x) x tiến - Lúc giới hạn f(x) x tiến 0.999 1.999 1.0001 2.0001 - Giá trị x tăng dần 1, giá trị x tiến dần vế bên trái - Giá trị f(x) tiến dần - Giá trị x giảm dần 1, giá trị x tiến dần bên phải - Giá trị f(x) tiến dần x2 - lim f (x) = lim =2 x�1 x�1 x - 1 Do Từ việc lập bảng, em thử MTCT ta tìm giới hạn hàm số f(x), nhiên việc thời gian mang tính mò mẫm, thực khó khăn khơng có MTCT ta cần tìm cách giải khác - Với x �1 ta có x2 - = x +1 x- x2 - lim = = lim(x + 1) x�1 x - x�1 Hãy tìm lim(x+1) x tiên đến so sánh với kết Như ta thấy giời hạn f(x) x tiến tới giới hạn (x+1) x tiến tới - Ta rút gọn nhân tử chung (x-1) tử mẫu để đưa việc tìm giới hạn f(x) thành x+1, kĩ thuật khử dạng vô định 0/0 - phát biểu lại dạng tốn tổng qt tìm giới hạn vơ định 0/0 lim Tìm giới hạn Với x�a f (x) g(x) f (a) = g(a) = Ta khử dạng vô định cách rút gọn nhân tử (x-a) tử mẫu hàm số - BT củng cố Giới hạn vô cực GV Cho hàm số - Tìm txd hs f (x) = 2x + x- - txđ D = �\ {1} = (- �,1) �(1, +�) - Bằng vô cực - Tìm giới hạn tử mẫu hàm số x tiến dương/âm vơ - Do giới hạn hàm số x tiến vô có dạng vơ cực/vơ cực Hãy điền vào bảng sau Bảng x 999 9999 99999 9999999999 f Nx cho x tăng dần đến vc f ntn? - hs điền bảng F tiến - hàm số f tiến Như vậy, x tiến +vc thi f tiến 2, f xd khoảng (1,+vc) ta có thê nói giới hạn f x tiến +vc 2x + =2 x�+� x - lim f (x) = lim hay kí hiệu x�+� Bảng x -999 f -9999 -99999 -9999999999 Nx cho x giảm dần đến –vc f ntn? Tg tự Ta có 2x + =2 x�- � x - lim f (x) = lim x�- � Câu hỏi đặt ko sử dụng MTCT tính dc giới hạn? Ta khử dạng vc/vc Với số thực x ta có 2x + + 3/ x = x- 1- 1/ x Hãy tính + 3/ x x�+� 1- 1/ x lim Có nhận xét hai kết Như đề tìm giới hạn hàm số ta khử dạng vơ định vc/vc cách chia tử mẫu cho 0, áp dụng tính chất lim (1/x^k)=0 x tiến tới vô k số nguyên dương + 3/ x + = =2 x�+� 1- 1/ x 1- lim 2x + + 3/ x = = lim x�+� x - x�+� 1- 1/ x lim - Phát biểu toán tổng quát - BT cố Dạy học hàm số liên tục Câu 16: Ba hàm số không liên tục x=1 Gv hỏi Hs trả lời - Tìm txd hàm số - Hãy tìm giới hạn hàm số có: Nếu hs chưa tìm GV tiếp tục hỏi R - Hãy tìm giới hạn hàm số x tiến đến 1+ - Hãy tìm giới hạn hàm số x tiến đến 1- Bằng - kết luận giới hạn hàm số Bằng -1 - kết luận tính liên tục hàm số khơng? Nếu hs chưa trả lời dc gv hỏi - Khi hs liên tục Như ta kết luận dc chưa? Tại sao? Do khac -1 , lim trai liim phải f tai khác nên không tồn giới hạn hàm số Ta có cần tính f(1) khơng? - limf(x)_(x->1)=f(1) - Nếu hs trả lời chưa Cần tính f(1), f(1)=0 Lúc so sánh khác -1 khac nên f không liên tục … -Khơng Vì limf(x) x->1 khơng tồn nên khơng so sánh với f(1) nên không thu limf(x)_(x>1)=f(1), nên f không liên tục - Hãy rút nhận xét cho toán tổng quát - Nếu lim f(x) x tiến tới x0 không tồn f(x) khơng liên tục x0 Gv hỏi Hs trả lời [1,+vc) - Tìm txd hàm số - Hãy tìm giới hạn hàm số có: Nếu hs chưa tìm GV tiếp tục hỏi - Hãy tìm giới hạn hàm số x tiến đến 1+ - Hãy tìm giới hạn hàm số x tiến đến 1- Bằng +vc - kết luận giới hạn hàm số Bằng -vc - kết luận tính liên tục hàm số không? Nếu hs chưa trả lời dc gv hỏi - Khi hs liên tục Như ta kết luận dc chưa? Tại sao? Không xác định - limf(x)_(x->1)=f(1) - lim f không xác định nên f không liên tục Gv hỏi - Hãy tìm giới hạn hàm số có: Nếu hs chưa tìm GV tiếp tục hỏi Hs trả lời - Hãy tìm giới hạn hàm số x tiến đến 1+ Bằng +vc - Hãy tìm giới hạn hàm số x tiến đến 1- Bằng +vc - kết luận giới hạn hàm số Bằng +vc - kết luận tính liên tục hàm số không? Nếu hs chưa trả lời dc gv hỏi - Khi hs liên tục Như ta kết luận dc chưa? Tại sao? - limf(x)_(x->1)=f(1) - Nếu hs trả lời chưa Cần tính f(1), f(1)=0 Lúc so sánh khác nên f không liên tục Định nghĩa hàm số liên tục sgk Hàm số y=f(x) xác định khoảng K x0 thuộc K Hàm số y=f(x) liên tục x0 Như f không liên tục x0 không tồn Câu 1: Giảng hệ số góc tiếp tuyến Gv hỏi - Đường cong (C) có phương trình y=f(x) muốn tìm tiếp tuyến điểm P(a,f(a)) phải làm nào? - Phương trình qua điểm cho trước nên khó xác định trực tiêp, tìm sau - GV vẽ đồ thị điểm Q(x,f(x)) tạo thành đường thẳng PQ, giáo viên vẽ nhiều trường hợp điểm Q tiến lại gần P tiến xa P cho học sinh quan sát (ít hình) - Các em cho biết mối liên hệ đương thằng PQ đường thăng tiếp tuyến (C) Q di chuyển điểm Q Hs trả lời - Các em lập phương trình PQ theo hệ số góc khơng ? y=m(x-a)+f(a) , qua P Với k hệ số góc PQ m=(f(x)-f(a))/(x-a) - Các em lập phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc khơng ? y=k(x-a)+f(a) , qua P Với k hệ số góc tiếp tuyến - Khi Q tiến P mặt tọa độ có nghĩa gì? - x tiến a - PQ tiến tiếp tuyến có nghĩa gì? - m tiến k - Q tiến gần P PQ gần trùng với tiếp tuyến hay PQ tiên tiếp tuyến - Em mơ tả kết luận kí hiệu lim Thay m=(f(x)-f(a))/(x-a) Ta Phát biểu định nghĩa tiếp tuyên đường cong y=f(x) P(a,f(a)) đường thẳng qua P với hệ số góc Áp dụng Dựa theo định nghĩa tiếp tuyến (d) qua đường cong A(1,1) đường thẳng qua A có hệ số góc Với điều kiện giới hạn tồn Ta tính m Giả sử phương trình đường thẳng tiếp tuyến (d) có dạng y=ax+b , hệ số góc nên a=1 A(1,1) thuộc (d) nên thay tọa độ A vào (d) ta có 1=1.1+b suy b=0 Dạy học tích phân Câu 1: (a) Trên đoạn [0,1], hình chữ nhật phủ phần tạo f trục Ox gọi phần (S) Diện tích (S) Ta chia [0,1] khoảng [0,1/4,2/4,3/4,1] Mỗi đoạn nhỏ ta lấy trung điểm chúng Trung điểm [0,1/4] 1/8, trung điểm [1/4,2/4] 3/8, trung điểm [2/4,3/4] 5/8 , trung điểm [3/4,1] 7/8 Tính diện tích hình chữ nhật : Diện tích (S) xấp xỉ tổng diện tích hình chữ nhật Như ta thấy từ diện tích hình cong (S) ban đầu ta đưa dạng tính xấp xỉ tồng diện tích hình chữ nhật đơn giản Khi chia nhỏ, nhiều hình chữ nhật xấp xỉ xác Chuỗi tổng diện tích hình chữ nhật hội tụ diện tích (S) hay ta kí hiệu Kí hiệu tích phân biến tấu từ kí hiệu sum việc lấy tổng * Giải thích (*) số nhận xét Diện tích (S) gần với diện tích hình chữ nhật Có thể vẽ thêm nhiều hcn sử dụng phần mềm hỗ trợ Geogebra học sinh thấy chia thành nhiều hình chữ nhật chúng phủ kín (mịn) miền (S) Đặti (n số hình chữ nhật) Diện tích hình chữ nhật có cạnh [x_i,x_{i+1}] , chiều cao trung điểm [x_i,x_{i+1}] Diện tích miền (S) lúc Theo định nghĩa tích phân, vế phải biểu thức tổng Riemann, hay Do