PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN AlGEBRAIC FLUX CORRECTION

Nhiều bài toán trong kỹ thuật, vật lý liên quan đến các hiện tượng biến đổi trong không gian và thời gian như chuyển động sóng của âm thanh, bức xạ điện từ, hoặc các dòng chảy... được quy về việc giải các phương trình đạo hàm riêng, khiến cho công cụ toán học là cầu nối liên hệ và tổng quát hoá nhiều hiện tượng. \Tuy nhiên việc tìm nghiệm chính xác bằng phương pháp giải tích khá khó khăn cho nên phương pháp số đã ra đời để tìm nghiệm gần đúng cho các phương trình này.\Có nhiều phương pháp số khác nhau, hai phương pháp cổ điển nhất là extbf{Sai phân hữu hạn (SPHH)} và extbf{Phần tử hữu hạn (PTHH)}. Ngày nay, phương pháp PTHH vẫn được sử dụng rộng rãi, có nhiều ứng dụng.\SPHH làm việc trực tiếp trên phương trình vi phân nên sẽ gặp không ít rắc rối trong việc chứng minh sự hội tụ của nghiệm hoặc khi gặp các vấn đề về không liên tục (discontinuous). PTHH lại khác, nó làm việc với các hàm thử (test function) và dạng nghiệm yếu của phương trình (variationweak form) nên sẽ dễ hơn SPHH.\Bên cạnh đó, nhược điểm của phương pháp PTHH khi áp dụng trên lưới bất kỳ thì nghiệm xấp xỉ thu đươc có thể bị vi phạm nguyên lý cực đại. Phương pháp Algebraic Flux Correction kết hợp với PTHH sẽ giúp đưa bài toán ban đầu về bài toán mới, có nghiệm xấp xỉ tốt hơn, thỏa mãn nguyên lý cực đại.\Nội dung chính của báo cáo là trình bày ý tưởng xây dựng thuật toán AFC, chỉ rõ một số tính chất nghiệm thu được từ phương pháp này: Sự thỏa mãn nguyên lý cực đại và sự hội tụ về nghiệm chính xác.\Do còn nhiều khó khăn, bài báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót, hi vọng nhận được ý kiến đóng góp từ bạn đọc.\Cuối cùng, xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Nguyễn Thành Nhân đã giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu đề tài này.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM Khoa Toán - Tin học ——————– *** ——————— BÁO CÁO NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN AlGEBRAIC FLUX CORRECTION GVHD: Ts Nguyễn Thành Nhân SVTH: Lê Thị Anh Thư Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 20 tháng năm 2018 Tóm tắt nội dung Nhiều tốn kỹ thuật, vật lý liên quan đến tượng biến đổi khơng gian thời gian chuyển động sóng âm thanh, xạ điện từ, dòng chảy quy việc giải phương trình đạo hàm riêng, khiến cho cơng cụ tốn học cầu nối liên hệ tổng quát hoá nhiều tượng Tuy nhiên việc tìm nghiệm xác phương pháp giải tích khó khăn phương pháp số đời để tìm nghiệm gần cho phương trình Có nhiều phương pháp số khác nhau, hai phương pháp cổ điển Sai phân hữu hạn (SPHH) Phần tử hữu hạn (PTHH) Ngày nay, phương pháp PTHH sử dụng rộng rãi, có nhiều ứng dụng SPHH làm việc trực tiếp phương trình vi phân nên gặp khơng rắc rối việc chứng minh hội tụ nghiệm gặp vấn đề không liên tục (discontinuous) PTHH lại khác, làm việc với hàm thử (test function) dạng nghiệm yếu phương trình (variation/weak form) nên dễ SPHH Bên cạnh đó, nhược điểm phương pháp PTHH áp dụng lưới nghiệm xấp xỉ thu đươc bị vi phạm nguyên lý cực đại Phương pháp Algebraic Flux Correction kết hợp với PTHH giúp đưa tốn ban đầu tốn mới, có nghiệm xấp xỉ tốt hơn, thỏa mãn nguyên lý cực đại Nội dung báo cáo trình bày ý tưởng xây dựng thuật toán AFC, rõ số tính chất nghiệm thu từ phương pháp này: Sự thỏa mãn nguyên lý cực đại hội tụ nghiệm xác Do nhiều khó khăn, báo cáo khơng tránh khỏi thiếu sót, hi vọng nhận ý kiến đóng góp từ bạn đọc Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Nguyễn Thành Nhân giúp đỡ em trình nghiên cứu đề tài Mục lục Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) 1.1 Biểu diễn phương pháp PTHH N = 1.2 Biểu diễn phương pháp PTHH N = 4 Nguyên lý cực đại Sự vi phạm phương pháp PTHH với lưới góc tù Phương pháp Agebraic Flux Correction (AFC) 4.1 Ý tưởng xây dựng thuật toán AFC 4.2 Xây dựng thuật toán AFC 12 4.3 Thuật toán 14 Tính chất nghiệm phương pháp AFC 16 5.1 Nghiệm thu AFC thỏa nguyên lý cực đại 16 5.2 Sự hội tụ nghiệm thu từ thuật toán AFC 19 Tài liệu tham khảo 22 Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Ý tưởng phương pháp PTHH xấp xỉ nghiệm Nghĩa giữ nguyên đại lượng phương trình gốc lại làm việc nghiệm xấp xỉ nghiệm gốc Xét toán Laplace − u = f Ω (1.1) u=0 ∂Ω Ở phương pháp PTHH, ta xem xét phương trình nghiệm yếu (1.1) Xét tốn sau, cho V khơng gian Hilbert song tuyến tính bị chặn a(u, v) , hàm L(v) tuyến tính liên tục, tìm u ∈ V cho a(u, v) = L(v) ∀v ∈ V, (1.2) Bài tốn có nghiệm Bây ta xấp xỉ không gian Hilbert V không gian hữu hạn Vh , tốn (1.2) trở thành tìm uh ∈ Vh cho a(uh , vh ) = L(vh ) ∀vh ∈ Vh (1.3) Nguyên lý phương pháp PTHH xây dựng không gian Vh xấp xỉ từ không gian H (Ω), H01 (Ω) lưới hình học: lưới tam giác, lưới hình chữ nhật Tham số h giá trị lớn đường kính Vh Định lý 1.0.1: ([1], trang 150) Cho V không gian Hilbert, Vh không gian hữu hạn chiều Đặt a(u, v) song tuyến tính liên tục bị chặn, L(v) tuyến tinh liên tục V Khi tốn (1.3) có nghiệm nhất, nghiệm biển diễn phương trỉnh tuyến tính với ma trận xác định dương Nhận xét 1.0.1 Gỉa sử (φj )1≤j≤Nh sở Vh Nh Với uh ∈ Vh , uh = uj φj , đặt Uh = (u1 , , uN ) vectơ tọa độ uh j=1 Bài toán (1.3) trở thành Nh tìm Uh ∈ R Nh cho a uj φj , φi = L(φi ), ∀1 ≤ i ≤ Nh j=1 Ta viết lại dạng tuyến tính K h U h = bh Trong (Kh )ij = a(φj , φi ) (bh )i = L(φi ) với ≤ i, j ≤ Nh Ma trận Kh khả nghịch [1] gọi ma trận độ cứng 1.1 Biểu diễn phương pháp PTHH N = Trong khơng gian chiều, khơng tính tổng qt giả sử miền Ω = [0, 1] Ta chia miền Ω thành lưới tạo "nút" (xj )0≤j≤n+1 xác định sau x0 = < x1 < < xn < xn+1 = Lưới gọi "đều" xj = jh với h = , ∀0 ≤ j ≤ n + n+1 Hình 1: Lưới chiều với Ω = [0, 1] Lúc toán Laplace trở thành −u = f [0, 1] u(0) = u(1) = Ta xây dựng không gian Vh xấp xỉ Ω sau Vh = v ∈ [0, 1] cho v|xj ,xj+1 ∈ P1 không gian V0h V0h = {v ∈ Vh : v(0) = v(1) = 0} Trong P1 tập đa thức hệ số thực, biến thực, có bậc khơng q Xét hàm − |x| |x| ≤ |x| > φ(x) = Nếu lưới đều, với ≤ j ≤ n + ta xây dựng hàm sở φj (x) = φ x − xj h Hàm (φj )0≤j≤n+1 cho phép biểu diễn hàm Vh giá trị điểm nút lưới Định lý 1.1.1: [1] Không gian Vh không gian H ([0, 1]) có số chiều n + 2, với vh ∈ Vh xác định n+1 vh (x) = vh (xj )φj (x) j=0 Từ toán (2.2) chiều tìm u ∈ V0h cho f (x)vh (x)dx ∀v ∈ V0h uh (x)vh (x)dx = 0 n uh (xj )φj (x) (do uh ∈ V0h ), chọn vh = φi ta Thay uh (x) = j=1 n 1 φj (x)φi (x)dx = uh (xj ) j=1 f (x)φi (x)dx Đặt Kh = φj (x)φi (x)dx , Uh = (uh (xj ))1≤j≤n , bh = f (x)φi (x)dx 1≤i,j≤n Ta đưa tốn dạng giải hệ tuyến tính Rn K h U h = bh 1≤i≤n 1.2 Biểu diễn phương pháp PTHH N = Trong không gian hai chiều, miền Ω chia lưới tam giác cấu trúc xác định sau Định nghĩa 1.2.1: Lưới tam giác cấu trúc Ω = Ω ∪ ∂Ω tập Th gồm tam giác (Ki )1≤i≤n Ki ⊂ Ω ∀1 ≤ i ≤ n, Ω = ∪ni=1 Ki Ki ∩ Kj với ≤ i, i, i = j tập rỗng đỉnh chung cạnh chung Hình 2: Ví dụ lưới tam giác khơng gian hai chiều Tiếp theo ta xây dựng không gian Vh xấp xỉ Ω sau Vh = v ∈ C(Ω) cho v|Ki ∈ P1 với Ki ∈ Th không gian V0h = v ∈ Vh : v = ∂Ω Định lý 1.2.1: [1] Không gian Vh tập H (Ω), hữu hạn chiều Hơn tồn sở Vh (φi )1≤i≤ndl cho với vh ∈ Vh xác định ndl vh (x) = vh (aj )φj (x) j=1 với (aj )1≤j≤ndl nút lưới Các hàm cở sở (φi )1≤i≤ndl gọi đa thức Largrange bậc Từ tốn (2.2) hai chiều tìm u ∈ V0h : f vh dx, ∀v ∈ V0h uh vh dx = Ω Ω ndl uh (aj )φj (x), chọn vh = φi ta Thay uh (x) = j=1 nd l uh (aj ) φj (x) φi (x)dx = Ω j=1 Đặt Kh = , Uh = (uh (aj ))1≤j≤ndl , bh = φj (x) φi (x)dx Ω f (x)φi (x)dx Ω f (x)φi (x)dx Ω 1≤i,j≤ndl 1≤i≤ndl Ta đưa toán dạng giải hệ tuyến tính Rndl K h U h = bh Nguyên lý cực đại Nguyên lý cực đại thể đặc tính hồn tồn tự nhiên vật lý, ví dụ phương trình nhiệt có nguồn nhiệt (f ≥ 0) nhiệt độ bên ln lớn nhiệt độ biên (u ≥ 0) Xét tốn rời rạc PTHH: tìm u = (u1 , , uN ) ∈ RN cho  N    aij uj = bi , ∀i = 1, , M j=1   u = ub , ∀i = M + 1, , N i Với N tổng số tất nút lưới, M số nút bên (0 < M < N ) Nhắc lại aij = φi φj , bi = f φi Định nghĩa 2.0.1: Nguyên lý cực đại Giả sử u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) • Nếu f ≥ Ω u = u Ω ∂Ω • Nếu f ≤ Ω max u = max u Ω ∂Ω Định nghĩa 2.0.2: Nguyên lý cực đại rời rạc Nghiệm xấp xỉ uh gọi thỏa nguyên lý cực đại rời rạc • Nếu f ≥ hầu khắp nơi Ω uh = uh Ω ∂Ω • Nếu f ≤ hầu khắp nơi Ω max uh = max uh Ω ∂Ω Ta có định nghĩa khác nguyên lý cực đại rời rạc sau Định nghĩa 2.0.3: Nguyên lý cực đại rời rạc Nghiệm xấp xỉ uh gọi thỏa nguyên lý cực đại rời rạc Với i = 1, , M ta có • Nếu bi ≤ ⇒ui ≤ max uj , với ui ≥ ⇒ ui ≤ max u+ j j=i,aij =0 • Nếu bi ≥ ⇒ui ≥ j=i,aij =0 uj , với ui ≤ ⇒ ui ≥ j=i,aij =0 u+ j j=i,aij =0 Nhận xét 2.0.1 Trong không gian chiều N = nghiệm xấp xỉ uh tìm phương pháp PTHH trình bày thỏa nguyên lý cực đại rời rạc.( [1], trang 165-166) Trong không gian N ≥ nghiệm xấp xỉ uh chưa thỏa mãn nguyên lý cực đại rời rạc, ta xét Ví dụ 3.0.1 Ở ta thấy nghiệm xác u thỏa mãn nguyên lý cực đại, tức f ≥ hkn Ω u ≥ hkn Ω, uh không thỏa nguyên lý cực đại rời rạc, tức uh < có nghĩa nghiệm xấp xỉ tìm chưa đủ tốt, chưa tiến gần nghiệm xác u Như để tìm nghiệm xấp xỉ uh tốt cần phải thỏa nguyên lý cực đại rời rạc, cụ thể tốn Laplace (uh = biên) uh ≥ hkn Ω Sự vi phạm phương pháp PTHH với lưới góc tù Ví dụ 3.0.1 − u(x, y) = f (x, y) Ω = [0, 1] × [0, 0.3] u=0 ∂Ω f (x, y) = ∀(x, y) ∈ [0, 0.5] × [0, 0.075] = Ω1 Ω Ω1 Hình 3: Lưới tam giác cho tốn ví dụ Hình 4: Biểu diễn nghiệm xấp xỉ tốn Bằng phương pháp PTHH ta thu nghiệm xấp xỉ uh có uh ≈ −1.485475045553686.10−4 Ta có f ≥ Ω, nghiệm xấp xỉ uh thỏa nguyên lý cực đại rời rạc uh = uh = hay uh ≥ 0, mà uh ≈ −1.485475045553686.10−4 < nên bị vi Ω ∂Ω phạm Chứng tỏ nghiệm xấp xỉ chưa tốt Như cần tìm cách để khắc phục lỗi này, phương pháp Algebraic Flux Correction (AFC) Phương pháp Agebraic Flux Correction (AFC) Để khắc phục vi phạm nguyên lý cực đại rời rạc phương pháp PTHH, kết hợp phương pháp PTHH phương pháp Algebraic Flux Correction (AFC) Từ phương pháp PTHH N = 2, ta có ma trận độ cứng Kh = (aij )1≤i,j≤M , nghiệm điểm nút thứ i ui với i = 1, N + M , M số điểm nút bên trong, N tổng nút lưới, N − M số điểm nút nằm biên Lưới Th gồm tam giác T có đờng tròn ngoại tiếp hT h = max hT đường kính đường tròn ngoại tiếp lớn lưới T ∈Th 4.1 Ý tưởng xây dựng thuật toán AFC Xét tốn rời rạc PTHH: tìm U = (u1 , , uN ) ∈ RN cho  N    aij uj = bi , ∀i = 1, , M (P ) j=1   u = u b , ∀i = M + 1, , N i i Với N tổng số tất nút lưới, M số nút bên (0 < M < N ) Định lý 4.1.1 Nghiệm U thỏa nguyên lý cực đại rời rạc ma trận độ cứng A = (aij )1≤i,j≤N thỏa điều kiện sau aii > 0, ∀i = 1, , M aij ≤ 0, ∀i = 1, , M, j = 1, N, i = j (1) (2) aij ≥ 0, ∀i = 1, , M (3) N j=1 Chứng minh • Giả sử U thỏa nguyên lý cực đại rời rạc, tức N + aij uij ≤ ⇒ui ≤ max u+ j , với uj = max(uj , 0) Nếu bi = j=i,aij =0 j=1 Và ma trận Acaii > Ta chứng minh (2),(3) Giả sử phản chứng (2) không thỏa, tồn k = i cho aik > 0, aii Chọn ui = 1, uk = − , uj = 0, ∀j = 1, , N, j = k aik Lúc uj = 0, uk < 0, ∀j = k, i N aij = aii uii + aik uik = 0, max u+ j = < ui , mẫu thuẫn giả thiết Xét j=i,aij =0 j=1 N Giả sử phản chứng (3) không thỏa, nên tồn i cho aij < j=1 Đặt ui = − aii N aij , u + j = 1, ∀j = i j=1 Do max u+ j = < ui j=i,aij =0 N N aij + aii (ui − 1) = 0, mâu thuẫn aij uij = Suy j=1 j=i N aij uij ≤ Đặt c = max u+ j • Giả sử có (1)-(3) j=i,aij =0 j=1 N aij uij ≤ nên Do j=1 aii uii ≤ −aij uij ≤ i=j Do aij ≤ 0, uj − c ≤ nên −aij (uij − c) + i=j i=j −aij (uij − c) ≤ i=j Do aii uii ≤ −aij c i=j N Mà aij ≤ 0, aij ≥ nên j=1 (−aij ) ≤ aii j=i 10 −aij c Kết hợp lại ta có aii uii ≤ caii , đề ý aii >, ui ≤ c Nhận xét 4.1.1 Ở ví dụ 3.0.1, ta để ý áp dụng phương pháp PTHH lưới tam giác góc tù (Hình 3) bị vi phạm ngun lý cực đại, sau ta chứng minh với lưới tam giác nhọn thỏa mãn nguyên lý cực đại Nhắc lại, phương pháp PTHH N = ta cần giải toán Kh Uh = bh Trong ma trận độ cứng Kh = φj (x) φi (x)dx Ω 1≤i,j≤n Với φi hàm Largrange bậc Dễ thấy φ2i (x) > Khii = Ω Bây ta chứng minh với lưới tam giác nhọn φj φi ≤ ∀i = j Bổ đề 4.1 Xét tam giác Pi Pj Pk lưới tao nút Pi (xi , yi ), Pj (xj , yj ), Pk (xk , yk ) hình sau Khi −njk φi = 2S Với njk vectơ pháp tuyến đơn vị Pj Pk Hình 5: Biểu diễn nghiệm xấp xỉ toán 11 Chứng minh Khai triển Taylor hàm u ta u(Pj ) − u(Pi ) ≈ Từ bổ đề 4.2, ta có φi = u.(Pj − Pi ) −njk −nik −nij , φj = , φk = 2S 2S 2S Khi njk nik |nik ||njk | cos(nik , njk ) cos(αk + π) − cos(αk ) = = = 2 4S 4S 4S 4S π Mà cos(αk ) ≥ ≤ αk ≤ Suy φi φj < ∀i = j φi φj = φi φj ≤ i = j Từ đây, ta có Khij = Ω Còn lưới tam giác tù điều kiện aij ≤ 0, ∀i = j không thỏa mãn Thuật toán AFC kết hợp PTHH giúp ta xây dựng tốn có ma trận thỏa điều kiện từ thu nghiệm xấp xỉ tốt 4.2 Xây dựng thuật toán AFC Như phần để tốn rời rạc thỏa ngun lý cực đại phải có aij ≤ ∀i = j (2) N aij ≥ (3) j=1 Với điều kiện (3) dễ thấy với điều kiện (2) với loại lưới thỏa, dó ta dùng AFC nhằm mục đích từ hệ phương trình tốn ban đầu ta xây dựng hệ phương trình thỏa điều kiện (1)-(3) Ta xây dựng ma trận đối xứng D sau dij = dji = −max {aij , 0, aji } ∀i = j dii = − dij j=i Ma trận K := A + D thỏa mãn điều kiện (1)-(3) Chứng minh Ta có kij = aij − max {aij , 0, aji } ≤ ∀i = j 12 Với i = 1, , M , xét N N N kij = j=1 aij + j=1 dij (4) j=1 N N = aij + dii + j=1 dij (5) j=1,j=i N aij ≥ = (6) j=1 Vậy ma trận K thỏa điều kiện cần nguyên lý cực đại rời rạc Ta có AU = b (KU )i = (AU )i + (DU )i (7) N = bi + dij uj (8) j=1 N dij uj + dii ui = bi + (9) j=1,j=i N N dij ui dij uj + = bi + (10) j=1,j=i j=1,j=i N dij (uj − ui ) = bi + (11) j=1,j=i Đặt fij = dij (uj − ui )∀i = j, i, j = 1, , M Thuât toán AFC dùng để giới hạn dòng đối lưu khuếch tán fij ngăn ngừa gây dao động nhiễu cho nghiệm cách sử dụng hệ số điều chỉnh đối xứng αij = αji ∈ [0, 1] Ta có cơng thức αi jfij ∀i = 1, , M (∗) (KU )i = bi + i=j Nghiệm toán phụ thuộc vào αij Với αij = phương pháp AFC lại trở trường hợp PTHH Bây từ (*) ta có N N fij ⇔ (AU )i + (DU )i = bi + i dij uj − aij uj + j=1 αij dij (uj − ui ) = bi (12) αij dij (uj − ui ) = bi (13) αij dij (uj − ui ) = bi (14) (1 − αij )dij (uj − ui ) = bi (15) j=1 j=i N ⇔ dij uj + dii ui − aij uj + j=1 j=i1 j=i N ⇔ dij (uj − ui ) − aij uj + j=1 j=i j=i N ⇔ aij uj + j=1 13 i=j Do αij tính dựa ui , uj Ta chọn αij bằngphương pháp lặp trình bày sau − Bước Tính giá trị Pi+ , Pi− , Q+ i , Qi Với i, j = 1, , M , giá trị ban đầu Đặt Pi+ := Pi+ + max {0, fij }Pi− := Pi− − max {0, fij } aji ≤ aij , Q+ i := Q+ i + max {0, fji }Q− i := Q− i − max {0, fij } i < j Bước Tính toán giá trị Ri+ , Ri− Với i = 1, , N Đặt Ri+ := 1, Q+ i Pi+ Ri− := 1, Q− i Pi− Nếu Pi+ Pi− Ri+ := Ri− := Bước Tính tốn giá trị ij Với i, j = 1, , M  +  Ri fij > αij := fij =   − Ri fij < , ,αji := αij Sau chọn hệ số αij ta tiến hành thuật tốn tìm nghiệm xấp xỉ toán 4.3 Thuật toán Input: - Ma trận hiệu chỉnh D - Ma trận độ cứng ban đầu A - Số nút M, N - vectơ tải b Output: Nghiệm xấp xỉ Uh B1: Tính αij dưa D, Kh số nút M B2: Tính ma trận K = A + (1 − α)D Cho i = 1, , M - Nếu i = j Kij = aij + (1 − αij )dij - Nếu i = j Kii = aii B3: Tìm nghiệm xấp xỉ Uh = b/K Ví dụ 4.3.1 − u(x, y) = f (x, y) Ω = [0, 1] × [0, 0.3] u=0 ∂Ω f (x, y) = ∀(x, y) ∈ [0, 0.5] × [0, 0.075] = Ω1 Ω Ω1 Ta có uh ≈ −2.285 × 10−17 ≈ nên thỏa nguyên lý cực đại rời rac 14 (16) (17) Hình 6: Lưới tam giác tù cho tốn ví dụ Hình 7: Nghiệm thu kết hợp PTHH thuật tốn AFC 15 Tính chất nghiệm phương pháp AFC Ta biết nghiệm toán tồn [1], phần trình bày việc nghiệm AFC thỏa nguyên lý cực đại hội tụ 5.1 Nghiệm thu AFC thỏa nguyên lý cực đại Ta cần chứng minh với i = 1, , M ta có • bi ≤ ⇒ui ≤ max uj , với ui ≥ ⇒ ui ≤ max u+ j (1) j=i,aij =0 j=i,aij =0 • bi ≥ ⇒ui ≥ max uj , với ui ≤ ⇒ ui ≥ max u+ j (2) j=i,aij =0 j=i,aij =0 Nhắc lại giả thiết tốn, ma trận A = aij có N aij ≥ 0, ∀i = 1, , M aii > 0, j=1 akl + alk ≤ 0, ∀k = l, k, l = 1, , N dij = dji = − max {aij , 0, aji } với i = j, i, j = 1, , N Với i = 1, , M , ta định nghĩa hai tập nút sau U pi = {j ∈ {1, , N } , j = i, aij < 0} Doi = {j ∈ {1, , N } , j = i, aij > 0} Nhận xét 5.1.1 Với i, j = 1, , M cho i = j dij = Ta có aij < aji ⇔ j ∈ U pi aij ≥ aji ⇔ j ∈ Doi Thật vậy, aij < aji ⇒ 2aij < aij + aji ≤ ⇒ aij < ⇒ j ∈ U pi Đảo lại j ∈ U pi aij < Do dij = dji = nên aji > > aij Chứng minh lại tương tự Như ta viết lại Pi+ , Pi− với i = 1, , M sau fij+ , Pi− = Pi+ = j∈Doi fij− j∈Doi Ta có n N (1 − αij )dij (uj − ui ) = j=1 N N (1 − αij )fij = j=1 N fij − j=1 αij fij + j=1,aji ≤aij αij fij j=1,aji >aij hay n N (1 − αij )dij (uj − ui ) = j=1 fij − j=1 αij fij + j∈Doi Từ cách chọn αi j j ∈ Doi αij fij = Ri+ fij+ + Ri− fij− 16 αij fij (*) j∈U pi Với j ∈ U pi αji fji = Ri+ fji+ + Ri− fji− Do có fij = dij (uj − ui ) = −fji nên fji+ = −fij− fji− = −fij+ Thay vào (*) ta n N (1 − αij )dij (uj − ui ) = j=1 (Ri+ fij+ + Ri− fij− ) + fij − j=1 (Rj+ fij− + Rj− fij+ ) j∈Doi j∈U pi (Zi+ fij+ + Zi− fij− ) + (Zj+ fij− + Zj− fij+ ) Đặt Zi+ = − Ri+ , Zi− = − Ri− ta n (1 − αij )dij (uj − ui ) = j=1 j∈Doi j∈U pi Khi thuật tốn AFC viết lại dứơi dạng N n j=1 (Zi+ fij+ + Zi− fij− ) + (1 − αij )dij (uj − ui ) = aij uj + j=1 j∈Doi (Zj+ fij− + Zj− fij+ ) = bi , i = 1, M j∈U pi ui = ubi , i = M + 1, N Chứng minh (*) với i = 1, , M N N j=1 aij (uj − ui ) + Ai aij (uj − ui ) + aij (uj − ui ) + Ai = aij uj = j=1 j∈Doi j∈U pi Chú ý j ∈ Doi aij = −di j nên N aij (uj − ui ) − aij uj = j=1 Kết hợp Pi+ + Pi− = fij + Ai j∈Doi j∈U pi fij ta j∈Doi Ai − Pi+ Ri+ − Pi− Ri− + (Zj+ fij− + Zj− fij+ + aij (uj − ui )) = bi j∈U pi Bổ đề 5.1 Với i = 1, , M j ∈ U pi ui ≤ uj Ai − Pi− Ri− + Ri+ aij (uj − ui )− + j∈Doi (aij + Zj+ dij )|uj − ui | = bi j∈U pi Nếu ui uj Ai − Pi+ Ri+ + Ri− (aij + Zj− dij )|ui − uj | = bi aij (uj − ui )+ − j∈Doi j∈U pi 17 Chứng minh Từ phương trình Ai − Pi+ Ri+ − Pi− Ri− + (Zj+ fij− + Zj− fij+ + aij (uj − ui )) = bi (∗) j∈U pi Do ui ≤ uj nên fij = dij (uj − uj ) < Suy fij+ = max(0, fij ) = với j ∈ U pi Với j ∈ Doi , dij (uj − ui )− = −Ri+ fij+ = Ri+ dij = −aij Xét Pi+ Ri+ = Ri+ j∈Doi j∈Doi aij (uj − ui )− Do j∈Doi thay vào (*) ta có Ai − Pi− Ri− + Ri+ (Zj+ fij− + aij (uj − ui )) = bi aij (uj − ui )− + j∈Doi j∈U pi Suy Ai − Pi− Ri− + Ri+ aij (uj − ui )− + j∈Doi (Zj+ dij + aij )|uj − ui | = bi j∈U pi Hệ 5.1 Với j ∈ U pi ∪ Doi ui ≤ uj (Zj+ dij + aij )|uj − ui | = bi Ai + j∈U pi Nếu ui ≥ uj (Zj− dij + aij )|uj − ui | = bi Ai + j∈U pi Chứng minh Nếu ui ≤ uj suy fij ≤ 0, fij+ = với j = 1, , N N Ta có Q− i = fij+ = j=1 Mặt khác fij− = fij ≤ nên Pi− = fij− ≤ Lúc Ri− = suy Pi− Ri− = Áp j=1,aji ≤aij dụng bổ đề Ai − Pi− Ri− + Ri+ aij (uj − ui )− + j∈Doi (aij + Zj+ dij )|uj − ui | = bi jU pi Suy aij (uj − ui )− + Ai + Ri+ + j∈Doi (aij + Zj+ dij )|uj − ui | = bi j∈U pi Mà ui ≤ uj nên (uj − ui )− = Vậy Ai + Ri+ + (aij + Zj+ dij )|uj − ui | = bi j∈U pi Chứng minh lại tương tự 18 Định lý 5.1.1: Nghiệm xấp xỉ tốn tìm PTHH kết hợp với AFC thỏa mãn nguyên lý cực đại rời rạc Chứng minh Cho ui ≥ ta chứng minh (1) N aij ≤ 0, ∀i = 1, , M nên Từ giả thiết có aii > 0, j=1 N aij ≥ Ai = ui j=1 Giả sử ui > uj với j ∈ U pi ∪ Doi theo hệ 5.1 (aij + Zj− dij )|uj − ui | = bi Ai − j∈U pi Ta thấy Ai ≥ 0, aij ≤ 0, Zj− > 0, dij < nên vế trái dương mâu thuẫn với gi ≤ 5.2 Sự hội tụ nghiệm thu từ thuật toán AFC Gọi Wh ∈ C(Ω) ∩ H (Ω) không gian xấp xỉ PTHH đặt Vh := Wh ∩ H01 (Ω) Ký hiệu N (1 − αij (w))dij (z(xj ) − z(xi ))v(xi ), ∀w, z, v ∈ C(Ω) dh (w, z, v) = i,j=1 Suy N dh (wh , zh , vh ) = (1 − αij (wh ))dij (zj − zi )vi ∀wh , zh , vh ∈ Vh i,j=1 Do tốn (P) tương đương với Tìm uh ∈ Wh cho uh (xi ) = ub (xi ), i = M + 1, , N ah (uh , vh ) + dh (uh , uh , vh ) = L(vh ), ∀vh ∈ Vh Ta có ah song tuyến tính bị chặn Vh , tồn Ca > 0: ah (vh , vh ) ≥ Ca vh H01 , ∀vh ∈ Vh Bổ đề 5.2 Cho w ∈ C(Ω) dh (w, , ) song tuyến tính đối xứng khơng âm.[2] Để đánh giá sai số u − uh ta xây dựng chuẩn Vh vh h := (Ca vh H01 + dh (uh , vh , vh ))1/2 , ∀vh ∈ Vh 19 Bổ đề 5.3 vh h := (Ca vh H01 + dh (uh , vh , vh ))1/2 , ∀vh ∈ Vh nửa chuẩn Wh [2] Định lý 5.2.1: [2] Cho toán tử nội suy Lagrange ih : C(Ω) −→ Wh N v(xi )φ)i, ∀v ∈ C(Ω) ih v = i=1 Khi u − uh h ≤ u − ih u H01 + supvh ∈Vh a(u, vh ) − ah (ih u, vh ) + dh (uh , ih u, ih u)1/2 [2] vh h Bổ đề 5.4 Tồn K = const cho với u ∈ H (Ω), supvh ∈Vh a(u, vh ) − ah (ih u, vh ) ≤ Kh vh h u L2 (Ω) [2] Bổ đề 5.5 Cho u ∈ H (Ω) dh (uh , ih u, ih u) ≤ C1 h2 u L∞ (Ω) [2] Định lý 5.2.2 Cho u ∈ H (Ω) uh nghiệm xấp xỉ PTHH kết hợp AFC lim u − uh h⇒0 h = Chứng minh Theo đánh giá sai số nội suy, u − ih u H01 ≤ Ch u L2 (Ω) Theo bổ đề 5.4, tồn K = const cho với u ∈ H (Ω), supvh ∈Vh a(u, vh ) − ah (ih u, vh ) ≤ Kh vh h u Theo bổ đề 5.5, dh (uh , ih u, ih u) ≤ C1 h2 20 u L∞ (Ω) L2 (Ω) Theo định lý 5.21, u − uh h ≤ Ch u L2 (Ω) + u − ih u H01 + supvh ∈Vh a(u, vh ) − ah (ih u, vh ) + dh (uh , ih u, ih u)1/2 vh h Suy u − uh h ≤ Ch u L2 (Ω) + Kh u L2 (Ω) Khi h −→ vế phải tiến Do lim u − uh h⇒0 21 h = + C1 h2 u L∞ (Ω) Tài liệu tham khảo [1] Gregoire Allaire Numerical analysis and optimization,2007 [2] Gbreil E Barrenencha, Volker John and Petr Knobloch Analysis of algebraic flux correction scheme, 2016 22