Một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ MINH CHÚC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017... NGUYỄN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ MINH CHÚC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

NGUYỄN THỊ MINH CHÚC

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU

CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

tận tình hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc cho tôi, giúp đỡ tôi hoàn thành

luận văn này

Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại

học, các thầy cô giáo khoa toán, cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc

sĩ K19 đợt 2 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã

luôn quan tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá

trình học tập và hoàn thiện luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả

Nguyễn Thị Minh Chúc

Văn Hùng, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ Một số

phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường” được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả

Nguyễn Thị Minh Chúc

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Dự kiến đóng góp 2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Sai số 3

1.1.1 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số 3

1.1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 4

1.1.3 Sai số tính toán 4

1.1.4 Bài toán ngược của sai số 5

1.2 Số gần đúng 6

1.3 Sai phân và tính chất 6

1.3.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.3.2 Tính chất của sai phân 8

1.4 Một vài khái niệm về phương trình vi phân 9

1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 9

1.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 10

1.5 Khai triển Taylor 11

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 15

2.1 Phương pháp đa bước 15

2.2 Phương pháp đa bước giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường 28

2.3 Phương pháp RUNGE - KUTTA 40

2.4 Phương pháp RUNGE - KUTTA và phương pháp đa bước giải phương trình và hệ phương trình bậc cao 46

3.2 Phương pháp RUNGE - KUTTA 56

3.3 Phương pháp RUNGE - KUTTA giải hệ phương trình 58

KẾT LUẬN 60

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong thực tiễn, phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, vật lý, kinh tế… Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường trong đó việc tìm nghiệm đúng phương trình vi phân là rất khó khăn Người ta chỉ tìm nghiệm đúng được một vài phương trình vi phân đặc biệt còn đa số là tìm nghiệm xấp xỉ Cụ thể đối với một số bài toán, ngoài việc cho ở dạng phương trình vi phân nó còn kèm theo một số điều kiện gọi là điều kiện ban đầu, các bài toán như vậy gọi là bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân, cùng với sự định hướng và tận tình chỉ bảo

của thầy giáo – TS Nguyễn Văn Hùng tôi đã chọn đề tài:

“ Một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về phương pháp đa bước, phương pháp Runge - Kutta giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân

thường Nghiên cứu phương pháp đa bước và phương pháp Runge - Kutta giải

hệ phương trình và phương trình vi phân bậc cao

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của giải tích và giải tích số

6 Dự kiến đóng góp

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tài giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân thường

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sai số

1.1.1 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát :

 p.10p i.10i p s.10p s

a         (1.1) Trong đó j,j,p 0, 0j 9

Nếu p   thì a là số nguyên s 0

Nếu p  s k k( 0) thì a có phần lẻ gồm k chữ số

Nếu s   thì a là số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được một số a gọn hơn và gần đúng với số a

Quy tắc làm tròn: Xét a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i , phần bỏ

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là a, như vậy aa   , rõ ràng a1

1.1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ số

có nghĩa là mọi chữ số 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác 0 hoặc nó

là chữ số 0 ở hàng được giữ lại

Nếu

1

n

i i

p i i

x y

Nếu   thì độ chính xác tăng lên 1

Nếu    (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi 1

k

    (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên

d Sai số của phép tính lôgarit

Xét ylnx , ta có y x

1.1.4 Bài toán ngược của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y f x x 1, 2, ,x n

Yêu cầu đặt ra là cần tính  như thế nào để y x i  , với  là cho trước

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:

1

n

i i i

Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu

Ta nói rằng a là một số gần đúng của a nếu như a không sai khác * a nhiều, *

hiệu số  a a* là sai số thực sự của a, nếu a   thì a là giá trị gần a 0đúng thiếu, còn nếu   thì a là giá trị gần đúng thừa của a 0 a Vì rằng * a *

nói chung không biết nên cũng không biết  , tuy nhiên có thể thấy tồn tại 0

a

  thoả mãn điều kiện a*a   a

Khi đó  được gọi là sai số tuyệt đối của a a

1.3.1 Các khái niệm cơ bản

Xét dãy số  x n ; dạng khai triển của nó là: x x0, , ,1 x n, 

Ví dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là  có dạng   n  0,1, 2, , , n ,

Dãy số nguyên dương  có dạng    n  0,1, 2, , , n ,

Dãy số điều hoà 1 1, , , , 1 1

Định nghĩa 1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x n x n với

n   :   n  0, 1, 2, ,  n,  (hoặc n   hoặc n   ) là hiệu: 

Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x là sai phân của sai phân cấp n

một của x , và nói chung sai phân cấp n k của hàm x là sai phân của sai phân n





Ví dụ, xét hàm x n trong định nghĩa (1.4) ta có

Từ công thức (1.4), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây

1.3.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1: Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số

Chứng minh: Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4)

0

1

n i

n k n k i i

i i

k n k i i

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.4) đúng với mọi n nguyên dương

Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính

Chứng minh Ta phải chứng minh

1.4 Một vài khái niệm về phương trình vi phân

1.4.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

'

y a x yb x (1.5)

thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất có dạng

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất ta

dùng phương pháp biến thiên hằng số Lagrăng Thay C bởi hằng số ( ) C x để

Thay vào phương trình đã cho được '    a x dx 

cuối cùng nhận được nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không

thuần nhất (1.5) là:

  a x dx  a x dx 

  (1.9)

1.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng

Nếu b x là hàm hằng bằng 0 thì (1.10) gọi là phương trình vi phân tuyến  

tính thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không

thuần nhất Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương

trình không thuần nhất (1.10) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với

phương trình không thuần nhất (1.10)

1.5 Khai triển Taylor

Giả thiết hàm số y f x  có tất cả các đạo hàm đến cấp n  (kể cả đạo 1hàm cấp n 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x Xác định một đa a

thức yP x n  bậc n mà giá trị của nó tại x bằng giá trị ( )a f a và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng

của hàm số f x tại điểm đó Nghĩa là:  

      

 

0 0

giá trị xác định, kí hiệu giá trị đó bằng Q Ta xét hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a

Ngoài ra từ công thức (1.17) ta có F x  và   0 F a  Vì vậy áp dụng   0

công thức Rolle cho hàm F(t), tồn tại một giá trị t  nằm giữa a và x sao 

( )

1 !

n n n

( )

1 !

n n n

   

 

1 ' ''

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x  , với số dư 0 R n x ,

được gọi là công thức khai triển Maclaurin

Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng cuối cùng gọi

là số hạng dư của nó Đặc biệt x 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x  ) 0 0

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Nhiều bài toán vật lý khi giải thường dẫn chúng ta đến một phương trình vi phân có dạng: y'  f x y( , ) (2.1) Ở đây f là hàm có hai biến và y là hàm của biến x Nghiệm tổng quát của (2.1) phụ thuộc hằng số tùy ý Để xác định nghiệm duy nhất của (2.1) ta cần đặt thêm điều kiện cho y Điều kiện này

thường có dạng: y x( o) y o (2.2) Với các số x o, y o cho trước gọi là điều kiện ban đầu Bài toán cho bởi (2.1) và (2.2) được gọi là bài toán giá trị ban đầu Mặc dù phương pháp giải tích có thể được sử dụng để giải các phương trình

vi phân, nhưng áp dụng của chúng là hạn chế với những dạng đặc biệt Mục đích của chương này là trình bày cách giải của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu (2.2) bởi một dãy điểm: x i x o ih Chúng ta đặt y là giá trị i

xấp xỉ của nghiệm chính xác y x (minh họa trong hình 2.1) Khoảng h  i

được gọi là độ dài bước và x là các điểm lưới i

2.1 Phương pháp đa bước

Bây giờ ta tìm y y1, 2, theo phương pháp đa bước

; (0) 11

với độ dài bước h 0,05 để tính (0, 2)y

Cách tính ở trên được minh họa theo sơ đồ sau:

x00 x10,05 x20,1 x3 0,15 x4 0,2 x

Trong ví dụ này, phương trình 2.3 trở thành:

2 1

Phương trình này có nghiệm giải tích là: 1

1 ln(1 x)

Vì vậy sai số của y0, 2 là: 0,84579 - 0,83675 = 0,00904

Ví dụ khác về công thức đa bước là sử dụng quy tắc lấy tích phân Tích

phân hai vế của (2.1) ta được:  1   1  ,    (2.4)

x

x x x





  

2 '

y  từ y n Trong phương trình (2.5) ẩn y n1 là một hệ số của hàm f và vì

vậy (2.5) là một phương trình đại số phi tuyến Để giải phương trình này ta sử dụng công thức:

chúng ta sử dụng (2.7) để tính y n 01 rồi thay vào (2.6) Sử dụng y n 11 có được

như giá trị ban đầu Quá trình lặp có thể dừng sau một số lần lặp hoặc khi

 1  

1 1

y   y  nhỏ hơn số cho trước nào đó

Giải bài toán theo cách này, công thức Euler được gọi là công thức dự đoán, và công thức hình thang là công thức điều chỉnh Mặc dù phương pháp Euler ít chính xác hơn phương pháp hình thang, nhưng nó cung cấp một xấp

xỉ hợp lí để sử dụng cho các phương pháp khác

VÍ DỤ 2.2: Xét bài toán cho ở ví dụ 2.1 Sử dụng phương pháp hình thang

với độ dài bước h 0,05 Các công thức hình thang – Euler được cho bởi

n n

y y

o o

y y

y y

Sai số của y4 so với y x 4 là 0,0003

Một kĩ thuật tính toán với cùng bậc hội tụ như quy tắc hình thang là

3 ''

điểm giữa cho phương trình 2.1, ta tích phân hai vế của (2.1) trong khoảng

x n1,x n1 với độ dài bước 2h thu được:

ban đầu Giá trị nhỏ nhất của n phải được quy định để tránh âm chỉ số dưới

Và bước đầu tiên sẽ là: y2  y o 2 ( ,h f x y1 1) Mặc dù y o đã biết nhưng y1

không cố định Do đó cần một kĩ thuật khác như phương pháp hình thang, để ước lượng y x Khi ( )1 y x được tìm ra, phương pháp điểm giữa có thể áp ( )1dụng để tính y y2, 3

VÍ DỤ 2.3: Xét bài toán cho trong ví dụ 2.1, sử dụng phương pháp điểm giữa,

với độ dài bước h 0,05 Công thức điểm giữa là:

2

1 1

0,11

Sai số của y so với 4 y x 4 là: - 0,00069

Ba công thức được nêu ra trong phần này cho ta phương pháp giải từng bước của bài toán giá trị ban đầu, ta có thể tổng quát lại thành công thức sau:

Trong đó f k  f x y k, k và  k, k là hằng số xác định của phương pháp

Thuật toán định nghĩa bởi (2.9) được gọi là phương pháp đa tuyến tính j -

bước, vì y n1 được biểu thị là tổ hợp tuyến tính của y n 1 i và f n 1 i Những phương pháp này được gọi là hiện nếu o  và ẩn nếu 0 o  , ở đây 0 o là

hệ số của f n1 Với cách định nghĩa này, phương pháp Euler là phương pháp một bước hiện, phương pháp hình thang là phương pháp một bước ẩn, và phương pháp điểm giữa là phương pháp 2 bước hiện

Phương trình 2.9 cung cấp một công thức để tính y n1 theo j giá trị

xác định giá trị ban đầu này là thấp Trong mục tiếp theo sẽ cho ta biết là

phương pháp 1 bước ít chính xác hơn phương pháp j bước ( j  ) Do đó 1phương pháp xác định giá trị ban đầu cần phải sử dụng độ dài bước nhỏ hơn

so với phương pháp chính sử dụng giải bài toán, để đạt được độ chính xác tương đương

Một phương pháp tiếp cận khác là xây dựng chuỗi số Taylor mở rộng của ( )y x tại xx o, do đó tính y x r (r1, 2, ,j1) từ công thức sau:

; (0) 11

 Đạo hàm hai vế của phương

trình vi phân ẩn x, thu được:

1

y y

0,0000014

Chúng ta tính tổng 7 số hạng đầu tiên để thu được: y x( 2)0,91298

Có hai nhược điểm của phương pháp chuỗi Taylor Thứ nhất, nó cực kì

tốn thời gian để đạo hàm, đặc biệt nếu f là hàm phức tạp Thứ hai, chuỗi số

Taylor chỉ cung cấp xấp xỉ ở những điểm đã biết Khó khăn này có thể được khắc phục bằng cách mở rộng hàm y x lần lượt tại các điểm   x x0, , ,1 x j2

Chúng ta mở rộng hàm y(x) tại x để tính 0 y x , sau đó mở rộng tại  1 x để 1

tính y x 2 , và cứ như vậy cho đến y x j1 được xác định Thông tin về phương pháp chuỗi Taylor được cho bởi Lapidus và Seinfeld (1971)

Khi một công thức đa tuyến tính là phương pháp ẩn, (2.9) mô tả một phương trình đại số phi tuyến, và được giải bằng cách sử dụng phương pháp lặp

Các công thức này xác định phương pháp hiện và được gọi là công thức

Adams - Bashforth Các phương pháp ẩn có thể được suy ra theo cách tương

tự Sử dụng phép thế xx nsh trong (2.11), chúng ta thu được:

Các công thức này xác định phương pháp ẩn và được gọi là công thức Adams

- Moulton Trong mục sau sẽ cho ta thấy rằng sai số liên quan tới các phương

pháp j bước Adams - Bashforth và j - 1 bước Adams - Moulton là tỉ lệ thuận

Hai trường hợp phổ biến của các phương pháp này là trường hợp j  và 34

j  Tức là:

VÍ DỤ 2.5: Xét bài toán trong ví dụ 2.1, sử dụng các công thức 3 bước

Adams - Bashforth và 2 bước Adams - Moulton với độ dài bước h 0,05

Cặp dự đoán - điều chỉnh được cho bởi:

3

2 2

Ta biết rằng sai số liên quan đến phương pháp Euler là tỉ lệ với h , trong đó p p

là một số nguyên Sử dụng kết quả có được để suy ra giá trị của p, và tìm giá trị lớn nhất của h có thể được sử dụng để tính (1) y

2 Sử dụng các công thức Euler - hình thang dự đoán - điều chỉnh để tìm

nghiệm của:

2 '

; (0) 11

Tìm sai số tương ứng cho các nghiệm này, và tìm số tối ưu của các bước điều chỉnh trong mỗi trường hợp này

3 Xét phương pháp giải của phương trình đại số phi tuyến

m

n n