SKKN một số trao đổi về bài toán giá trị nguyên của biểu thức.

Bài toán tính giá trị của biểu thức không khó , nhng tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên lại là vấn đề rất khó đối với nhiều học sinh từ lớp 6 đến lớp 9.. Bên cạnh đó ,

Vũ Trọng Quyền

một số trao đổi về bài toán giá trị nguyên của biểu thức

A Đặt vấn đề :

1 Giới thiệu : Toán học là môn học khá trìu tợng , đòi hỏi tính chính

xác cao và thực sự khó đối với nhiều học sinh Bài toán tính giá trị của biểu thức không khó , nhng tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị nguyên lại là vấn đề rất khó đối với nhiều học sinh từ lớp 6 đến lớp 9

Điều này khiến tôi luôn để tâm trong quá trình giảng dạy của mình và muốn trao đổi cùng đồng nghiệp

2 Thực tế :

+) Với học sinh :

Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp , các em thờng gặp bài toán “ Giá trị nguyên của biểu thức” Đối với những bài toán này , các

em thờng tỏ ra lúng túng và hay mắc phải sai lầm Chẳng hạn bài toán : “ Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên” khác với bài toán : “Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên” Bên cạnh đó , các em còn lúng túng không biết bắt đầu từ

đâu khi găp dạng toán này Điều này khiến các em rất ngại khi phải tiếp xúc với những bài toán về “Giá trị nguyên của biểu thức” - ngay với cả các em học sinh khá và giỏi cũng vậy !

+) Với giáo viên :

Là một giáo viên dạy Toán , tôi nhận thấy dạng toán về “Giá trị nguyên của biểu thức” rất hay và quan trọng đối với các em học sinh trung học cơ sở Đây là dạng toán rất phổ biến trong các kì thi - đặc biệt là các kì thi học sinh giỏi môn toán từ lớp 6 đến lớp 9 Mà với các

em học sinh , phơng pháp để giải loại toán này còn nhiều hạn chế Tôi muốn cùng các em học sinh của mình “tháo gỡ” vấn đề này

3 Phạm vi đề tài :

Trong phạm vi bài viết này , tôi muốn hớng dẫn các em học sinh giỏi toán ở cấp trung học cơ sở một số phơng pháp và một số bài tập về

“Giá trị nguyên của biểu thức”

Vũ Trọng Quyền

B

Nội dung :

I Chuẩn bị :

Trong quá trình giảng dạy cũng nh bồi dỡng học sinh giỏi , tôi luôn bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và lu ý học sinh :

- Nắm vững cách rút gọn phân thức

- Nắm vững phép cộng , trừ phân thức

- Có kĩ năng thực hiện phép chia đa thức

- Tìm đúng đủ ớc nguyên của một số nguyên

- Có kĩ năng tách ( thêm , bớt ) số

-Nắm vững các tính chất chia hết của một tổng ( lớp 6 )

- Quan sát biểu thức một cách linh hoạt

II Hớng thực hiện :

Về bài toán tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên:

Ta có thể giải nh sau:

1/ Tách phần nguyên:

B

k C B

A





Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến Khi đó

B A

nhận giá trị nguyên  B nhận giá trị là ớc nguyên của k Vì vậy ta cần tìm các ớc ki của k và giải các phơng trình B = ki rồi tìm các giá trị nguyên của biến

Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

1 x

5 x 2





nhận giá trị nguyên?

Giải: Ta có A =

1 x

5 x 2





=

1 x

3 2





Khi x  Z ta có x -1  Z, vậy A  Z 

1 x

3

 nhận giá trị nguyên  x -1 nhận giá trị là ớc nguyên của 3



























































2 4 0 2

3 1

3 1

1 1

1 1

x x x x

x

x

x

x

(thoả mãn x Z) Vậy với x  2 , 0 , 4 ,  2  thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Vũ Trọng Quyền

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

5 6

2 3

2 2







 x x

x

x nhận giá trị nguyên ?

Giải : Ta có B = 2 63 52

2







 x x

x

5 1

2 1









= 1 35

5

2











x x

x

Khi x Z ta có x -5  Z , vậy AZ  Z

x  5 3

 x-5 nhận giá trị là ớc nguyên của 3

( tho ả m ã n x Z )

x x x x

x

x

x

x



























































2 8 4 6

3 5

3 5

1 5

1 5

Vậy với x{ 6; 4; 8; 2 } thì biểu thức nhận giá trị nguyên

2/ Một vấn đề đặt ra : khi phần d không chỉ là một hằng số, mà phần d

là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B?

Khi đó ta viết

B

K C B

A



 Do hiểu sai bản chất vấn đề nên một số học sinh cho rằng :

B

A

nhận giá trị nguyên là phép chia A cho B có d bằng 0, nên tiến hành giải phơng trình: K = 0 để tìm giá trị của biến, vì vậy lời giải sai bản chất và thiếu nghiệm

Chúng ta phải hiểu đây không phải là bài toán chia hết của đa thức mà phải là : “giá trị của biểu thức A chia hết cho biểu thức B” nên phải tìm giá trị của biến để “giá trị của biểu thức K chia hết cho giá trị của B” Khi đó với học sinh lớp 7, 8 các em có thể dùng tính chất chia hết của số nguyên để biến đổi bài toán về dạng 1

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

1 x 2

1 x

2





nhận giá trị nguyên

Giải : Giả sử tồn tại x Z để (x -1)  (2x2+1)

( x 2 1 ) ( 2 x 2 1 )





( x 2 1 2 ) ( 2 x 2 1 )







Vũ Trọng Quyền

2 ( x 2 1 )





 

2 2 1  1 2 

,

x  



 x  0 Z

Thử lại: với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1  Z

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

L u ý : Đối với cách làm này , ta nhất thiết phải có bớc thử lại rồi mới

kết luận vì trong quá trình làm ta đã dùng tính chất :

a b  a.c  b (c Z ) mà a.c  b có đợc a b chỉ khi (b,c) = 1

Với học sinh lớp 9 các em có thể dùng điều kiện có nghiệm của phơng

trình để tìm miền giá trị của biểu thức

B

K

Trên cơ sở đó tìm các giá trị nguyên có thể có của biểu thức

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

1 x x

1 x x x

3 4













nhận giá trị nguyên

Ta có:

1 x x

x 1

x











Với x Z ta có x2 - 1  Z nên A  Z 

1 x x

x







nhận giá trị nguyên

Giả sử y0 là 1 giá trị của biểu thức Khi đó tồn tại x để

1 x x

x







 phơng trình: 2x = y0 (x2+x+1) có nghiệm x

 y0 x2 + (y0 - 2)x + y0 = 0 (1) có nghiệm

+) Xét y0 = 0 phơng trình có nghiệm x = 0

+) Xét y0 0 phơng trình có nghiệm  = (y0 -2)2 - 4y0 0

 - 2 y0 

3

2

(y0 0)

Do đó điều kiện để phơng trình có nghiệm là - 2 y0 

3 2

 Những giá trị nguyên của y có thể đạt đợc là y { -2 ; -1 ; 0 }

+) Với y = -2 ta có phơng trình : 2x2 + 4x +2 = 0  x= -1  Z

+) Với y = -1 ta có phơng trình : x2 +3x+1 = 0

=9 - 4 = 5 không chính phơng  phơng trình có nghiệm xZ (loại)

Vũ Trọng Quyền +) Với y = 0  x = 0 Z

Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên

L u ý: Khi giải bài tập tìm giá trị nguyên của phân thức theo phơng

pháp miền giá trị thì biểu thức ở mẫu là biểu thức nguyên không đổi dấu

Khi nói về miền giá trị của biểu thức ta có thể đề cập đến những

bài toán sau:

Bài 1: Tìm x để biểu thức

2

4

2 2











x x

x x

y nhận giá trị nguyên

ở bài này học sinh đọc lớt qua thấy thật là dễ ?

Rất nhiều học sinh đã giải:

2

2

1 2









x x

y và yêu cầu (x2 + x + 2) là ớc của 2

Mà quên mất rằng x  R thì biểu thức x2 + x + 2 không phải lúc nào cũng có giá trị nguyên

ở đây x2 + x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y có thể nhận những giá trị nguyên nào nhé!

Giải :

2

2 1

2

4

2 2

2



















x x x

x

x x



x x

nhận giá trị nguyên Mà x2 + x + 2 ≥ 47 => 0 2 2 2 78







x x

Vậy giá trị nguyên của 2 2 2



x

1

2

2



x

x => x2 + x + 2 = 2

=> x1 = 0 ; x2 = - 1

Khi đó y1 = y2 = 1 + 1 = 2

Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị nguyên của y là 2

Bài 2: Cho biểu thức C = . xx 11

1 x

3 1 x

x























Rút gọn biểu thức

Tìm x để C nhận giá trị nguyên

Vũ Trọng Quyền

Ta dễ dàng thu đợc kết quả rút gọn C =

1 x

3 x





( x 0)

Khi đó C = 1

-1 x

4

 nhận giá trị nguyên khi

1 x

4

 nhận giá trị nguyên

Mà x  0 nên

0 <

1

x

4

  4 vậy các giá trị nguyên có thể có của

1 x 4

 là 1, 2, 3, 4

Vũ Trọng Quyền *)

1

x

4

 =1  x =3 khi đó C=0

*)

1

x

4

 =2  x = 1 khi đó C =

-1

*)

1 x

4

 =3  x =

3

1

khi đó C = -2

*) 41



x = 4 x = 0 khi đó C = -3

Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tơng ứng của x

là 3, 1, 31 , 0

Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

1 x

x 4





Giải: Giả sử y0 là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để

y0 =

1

x

x

2

  phơng trình y0x2 - 4x +y0 = 0 có nghiệm

*)Xét y0=0 phơng trình có nghiệm x = 0

*)Xét y0 0 phơng trình có nghiệm  '

 =4 -y02  0  -2 y0  2(y0 0)

Vậy giá trị của y để phơng trình có nghiệm là -2 y  2

 ymin = -2, ymax=2

Trớc khi kết thúc bàiviết tôi đa ra một số bài tập để các em luyện tập:

Bài 1: Tìm x  Z để biểu thức nhận giá trị nguyên

 32

x

x

A

2

4 5

2 2









x

x

x

C

3









x

x

x

E

22 31





 x

x B

2 31





 x

x D

2 2 53 45

2











x x

x x F

Bài 2: Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:







x

x

1 x x

1 x x

2











7

Vũ Trọng Quyền b) 12 2 3







x

x

1 x x

1 x x

2











Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1

1 2

x

x

y







x

1

x

c)

x

x x y

2 1

1

2









d)

1 x

2 x 2 x

2









III Kết luân :

Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên lớp tôi thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một cách linh hoạt và sáng tạo Trớc những bài toán về giá trị nguyên của biểu thức , các em không tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử dụng thành thạo các phơng pháp đã học để làm

Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tôi với các đồng nghiệp về bài toán giá trị nguyên của biểu thức Rất mong sự góp ý , giúp đỡ từ các

đồng nghiệp để tôi hoàn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy

Tôi xin chân thành cảm ơn

Tháng 4/2006

Nhận xét của ban giám hiệu Ngời viết :

Vũ Trọng Quyền

8

Vò Träng QuyÒn

9