Luận văn sư phạm Giải gần đúng phương trình vi phân thường

L i nói đ u Tốn h c b t ngu n t nhu c u gi i quy t tốn có ngu n g c th c ti n Cùng v i th i gian, toán h c ngày phát tri n chia thành hai l nh v c là: Tốn h c lý thuy t toán h c ng d ng Trong l nh v c toán h c ng d ng th ng g p r t nhi u tốn có liên quan đ n vi c gi i ph trình vi phân, vi c nghiên c u ph ng trình vi phân th ng ng đóng vai trò r t quan tr ng lý thuy t toán h c Chúng ta bi t r ng ch m t s ph tìm đ ng trình vi phân th c nghi m xác Trong dó ph n l n ph n y sinh t toán th c ti n đ u khơng tìm đ v y ph i nh t i ph ng có th ng trình vi phân c nghi m xác Do ng pháp x p x đ tìm nghi m g n Xu t phát t nhu c u đó, nhà khoa h c đư nghiên c u tìm nhi u ph pháp đ gi i g n ph ng trình vi phân th ng ng Là m t sinh viên chuyên nghành tốn em may m n có c h i nghiên c u v đ tài: “Gi i g n ph ng trình vi phân th ng” D i s giúp đ t n tình, s ch b o ân c n c a th y giáo: TS Nguy n V n Hùng V i s say mê toán, s tích c c tìm tòi nghiên c u c a em đư hồn thành đ c đ tài nghiên c u tài c a em g m ph n: L i nói đ u, n i dung, k t lu n N i dung g m: Ch ng 1: Các ki n th c b tr Ch ng 2: Gi i g n ph ng trình vi phân th ng Nhân d p em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a đ n th y giáo: TS Nguy n V n Hùng đư t n tình h ng d n em hoàn thành đ tài Em xin c m n s giúp đ c a th y giáo khoa tốn, th y t b mơn gi i tích, b n sinh viên khoa toán t p th b n sinh viên l p k32 c nhân toán, đư giúp đ , đóng góp ý ki n cho em su t q trình hồn thành b n khóa lu n Do l n đ u tiên ti p xúc v i nghiên c u khoa h c th i gian có h n nên đ tài c a em ch c ch n không th tránh kh i thi u sót Em mong đ c s thơng c n c a th y cô giáo b n sinh viên Hà n i ngày tháng n m 2010 Ch ng 1: Các ki n th c b tr 1.1: Sai phân 1.1.1 Dãy s G i A t p h p m s t nhiên khác không đ u tiên A  1,2 , k M t hàm s x xác đ nh t p A đ c g i m t dưy s h u h n T p giá tr c a dưy s h u h n  x1 ; x  ; ; x k  Ng i ta th ng kí hi u giá tr x1  x1; x 2  x2 ; ; x k   xk vi t dưy s d i d ng x1, x2 , , xk M t hàm s x xác đ nh t p N  s t nhiên khác không đ g i dưy s vô h n (hay g i dưy s T p giá tr c a dưy s ph n t x1  x1; x 2  x2 ; ; x n   xn Ng i ta th c x g m vô s ng vi t dưy s d i d ng x1 , x2 , , xn, Dưy s d x1, x2 , , xn , đ c g i dưy d ng n u t n t i s nguyên ng N0 cho xn  c v i m i n  N0 c m t h ng s (và g i h ng s d ng) Dưy s x1, x2 , , xn đ c g i là: B ch n n u t n t i s M cho xn  M v i m i n  1,2, B ch n d i n u t n t i s m cho xn  m v i m i n  1,2, Dưy b ch n n u v a b ch n v a b ch n d i 1.1.2 Gi i h n c a dãy s  xn  có g Ta nói r ng dưy s tr ng  cho i h n a n u v i m i s d c (nh h n tùy ý), t n t i m t s t nhiên N cho v i m i n  N xn  a   Ta vi t lim xn  a hay vi t lim xn  a n  1.1.3 T ng n s h ng đ u tiên c a dãy s : Cho dưy s  xn  t ng n s h ng đ u tiên c a dưy s đ c kí hi u sn  x1  x2   xn  i n xi 1.1.4 Công th c Moarv Cho s ph c:   x  iy  r  cos  i sin   i  1; r    x2  y2 y x   arctg ; s ph c liên h p   x  iy  r  cos -isin  Ta có:  n  r n  cos -isin   r n  cosn -isinn  (công th c Moarv ) n 1.1.5 Sai phân a Khái ni m sai phân: Gi s f : R  R m t hàm s cho tr c h m t h ng s khác ta g i  f  x  f  x sai phân c p c a hàm s y  f  x 1 f  x  f  x  h   f  x sai phân c p c a hàm s y  f  x  f  x    1 f  x   f  x  h   f  x  f  x  2h   f  x  h   f  x  sai phân c p hai c a hàm s y  f  x Quy n p: n f  x     n1 f  x  n  N   sai phân c p n c a hàm s y  f  x xi f  xi  f  xi  x4 f4 x3 f3 f4 x2 f2 f3  f4 x1 f1 f2  f3 3 f4 x0 f0 f1  f2 3 f3  f4 x1 f1 f0  f1 3 f2  f3 5 f4 x2 f2 f1  f0 3 f1  f2 5 f3  f4 x3 f3 f2  f1 3 f0  f1 5 f2  f3 x4 f4 f3  f2 3 f1  f0 5 f1  f2  f  xi   f  xi   f  xi   f  xi   f  xi  Nh n xét: B t đ u t c t m i ph n t b ng hi u c a ph n t dòng d dòng c a c t li n tr i c Ví d : f4  f3  f4 1.1.6 Tính ch t sai phân a Sai phân  tốn t n tính xác đ nh khơng gian X hàm s xác đ nh R , ngh a v i m i  ,   R , v i m i hàm s   f   g   f  g f , g thì: Ch ng minh: Ta có:   f   g  x   f   g  x  h    f   g  x   f  x  h    g  x  h    f  x   g  x     f  x  h   f  x     g  x  h   g  x  f  x  g  x b N u c  f c  Ch ng minh: c  c  c    c  c  n  xn   n!hn  m  xn    m>n  Ch ng minh:   xn    x  h   xn n  xn  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2   hn  xn  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2   h2  n  n  1 n2    xn     xn     nhxn1    h x      h n     n  xn   n!hn rõ ràng n  xn   n!hn  const Do đó: Ta đ c:    m  xn   mn n  xn     m>n  d N u p  x đa th c b c n thì: hi i p  x  p  x  h   p  x   p  x i 1 i ! n Ch ng minh: Áp d ng khai tri n Taylor cho đa th c p  x  h  ta đ c: h 1 h  2 hn  n p  x  h   p  x  p  x  p  x   p  x 2! i! n! (do p  x đa th c b c n nên m  n ta có p    ) m Khi đó: p  x  p  x  h   p  x h 1 h  2 hn  n p  x   p  x  p  x  1! 2! n! n  i 1 hi i p  x i! n e f  x  nh    C i n i f  x i 0 Ch ng minh: f  x  f  x  h   f  x f  x  h   f  x  f  x  1    f  x Suy f  x  2h   f  x  h  h   1    f  x  h   1    f  x   C i 2i f  x i 0 f  x  nh   f  x  h   n  1 h  Quy n p v i n:  1    f  x n n   C i n  i f  x i 0 f m i sai phân đ u bi u di n qua giá tr c a hàm s n  f  x    1 C i n f  x   n  i  h  n i i 0 Ch ng minh: Ta có:  n f  x  1     1 f  x n    1 C i n 1    i n i f  x i 0 n  ni  i    1 C i n   C k ni  k f  x  i 0  k 0  n =   1 C i n f  x   n  i  h  i i 0 g Gi s f  x  C n  a , b   x, x  nh   a , b , đó: f  x  f n  x   nh  v i    0,1 h Ch ng minh: Ta ch ng minh b ng quy n p: V i n  ta có: f  x  f '  x   h  công th c s gia h u h n h V y m nh đ v i n  Gi s m nh đ v i n  k  k  1  k f  x T c  f k  x   kh  k h Ta ch ng minh m nh đ v i n  k  T c ta ph i ch ng minh:  k1 f  x  f k1  x    k  1 h  k 1 h Hay  k 1 f  x  h k 1  f  x    k  1   n 1 h  Th t v y: k1 f  x   k f  x    hk f k  x   ' kh   (trong  '   0,1 ) Áp d ng cơng th c tính s gia h u h n cho f  k  x   ' kh  Ta có: k1 f  x  hk f  k  x   ' kh  (vì  tốn t n tính)  hk  f k  x   ' kh  h   f k  x   ' kh    hkh f  k 1  x   ' kh   '' h  (do m nh đ v i n  ) Trong  ', ''   0,1 t Ta đ  ' k   '' k 1 ,   0,1 k1 f  x  hk1 f k1  x    k  1 h  c: H qu :  n f  x N u f  x  C  a , b  h đ nh ta có f  x  hn n n Nh n xét:V i hàm f  x xác đ nh t p s nguyên Z coi r ng h 1 kí hi u yk  f  x ; k  0,1,2 Ta có: n  y   y i 1 i  y1    y3  y2     yn1  yn    yn1  y1  V i yi  yi 1  yi  f  i  1  f i   f i  h   f i   h  1 n V y :  yi  yn1  y1 i 1 Sai phân c p i c a đa th c b c n là: H ng s , i  n ( theo tính ch t b ) a th c b c n  i i