Giải gần đúng phương trình vi phân thường (tóm tắt luận văn)

Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng- trưởng khoa toán tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Trong trình học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn em nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên khoa toán Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo, bạn sinh viên giúp đỡ Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ môn giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 13 tháng năm 2010 Người thực hiện: Đinh Thị Thu Lời nói đầu Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực là: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Chúng ta biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác Trong dó phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm nghiệm xác Do phải nhờ tới phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà khoa học nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Là sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có hội nghiên cứu đề tài: “Giải gần phương trình vi phân thường” Dưới giúp đỡ tận tình, bảo ân cần thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng Với say mê toán, tích cực tìm tòi nghiên cứu em hoàn thành đề tài nghiên cứu Đề tài em gồm phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận Nội dung gồm: Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương 2: Giải gần phương trình vi phân thường Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán, thầy cô tổ môn giải tích, bạn sinh viên khoa toán tập thể bạn sinh viên lớp k32 cử nhân toán, giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em suốt trình hoàn thành khóa luận Do lần tiếp xúc với nghiên cứu khoa học thời gian có hạn nên đề tài em chắn tránh khỏi thiếu sót Em mong thông cản thầy cô giáo bạn sinh viên Hà nội ngày tháng năm 2010 Chương 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1: Sai phân 1.1.1 Dãy số 1.1.2 Giới hạn dãy số 1.1.3 Tổng n số hạng dãy số: 1.1.4 Công thức Moarvơ 1.1.5 Sai phân a Khái niệm sai phân: Giả sử f : R → R hàm số cho trước h số khác 0 ta gọi ∆ f ( x ) = f ( x ) sai phân cấp hàm số y = f ( x ) ∆1 f ( x ) = f ( x + h ) − f ( x ) sai phân cấp hàm số y = f ( x ) ∆ f ( x ) = ∆ ( ∆1 f ( x ) ) = ∆f ( x + h ) − ∆f ( x ) = f ( x + 2h ) − f ( x + h ) + f ( x ) sai phân cấp hai hàm số y = f ( x ) Quy nạp: ∆ n f ( x ) = ∆ ( ∆ n−1 f ( x ) ) ( ∀n ∈ N ) ∗ sai phân cấp n hàm số y = f ( x ) 1.1.6 Tính chất sai phân a Sai phân ∆ toán tử tuyến tính xác định không gian X hàm số xác định R , nghĩa với α , β ∈ R , với hàm số f , g thì: ∆ ( α f + β g ) = α∆f + β∆g b Nếu c = f ∆ c = n n n c ∆ ( x ) = n!h ∆m ( xn ) = ( ∀m>n ) d Nếu p ( x ) đa thức bậc n thì: hi i ∆p ( x ) = p ( x + h ) − p ( x ) = ∑ p ( x ) i =1 i ! n n i i e f ( x + nh ) = ∑ C n ∆ f ( x ) i =0 f sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số n ∆ n f ( x ) = ∑ ( −1) C i n f ( x + ( n − i ) h ) i i =0 n g Giả sử f ( x ) ∈ C [ a, b ] ( x, x + nh ) ∈ [ a, b ] , đó: ∆f ( x ) = f n ( x + θ nh ) với θ ∈ ( 0,1) h Hệ quả: n Nếu f ( x ) ∈ C [ a, b ] h đủ nhỏ ta có f n ( x ) = ∆n f ( x ) hn Sai phân cấp i đa thức bậc n là: Hằng số, i = n ( theo tính chất b ) Đa thức bậc n − i i n ( theo tính chất c ) 1.2: Số gần sai số 1.2.1 Sai số 1.2.1.1 Trong tính toán ta thường làm việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần số a∗ Đại lượng ∆ = a∗ − a gọi sai số thực a Do a∗ ta nên ∆ ta tìm ∆ a ≥ cho: a ∗ − a ≤ ∆ a ( 2.1) Số ∆ a nhỏ thỏa mãn (2.1) gọi sai số tuyệt đối a Tỉ số δ a = ∆a gọi sai số tương đối a a 1.2.1.2 Số thu gọn 1.2.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.2.2 Sai số tính toán 1.2.2.1 Sai số tổng 1.2.2.2 Sai số tích Sai số tương đối tích tổng sai số tương đối số hạng thành phần 1.2.2.3 Sai số thương 1.2.2.4 Sai số phép tính logarit: y = ln x Suy ∆ y = δ x 1.2.3 Bài toán ngược toán sai số 1.3: Một số kiến thức phương trình vi phân thường 1.3.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát: F ( x, y, y ', y '', , y n ) = (1.3.1.1) Trong x biến số độc lập, y hàm phải tìm 1.3.2 Một số phương trình vi phân biết cách giải a Phương trình vi phân có biến số phân li b Phương trình vi phân cấp c Phương trình vi phân tuyến tính cấp d Phương trình vi phân đưa dạng phương trình cấp e Phương trình Bernoulli Dạng tổng quát: dy + P ( x ) y = Q ( x ) yα dx (1.3.1.4) α = 1: (1.3.1.4) trở thành phương trình tuyến tính cấp α = : (1.3.1.4) trở thành phương trinh phi tuyến tính không cấp α ≠ 0; α ≠ , ta chia vế phương trình (1.3.1.4) cho yα sau đặt z = y1−α đưa phương trình tuyến tính không 1.3.3 Định lý Pica-Lindolov (định lý tồn nghiệm) Giả sử hàm f ( x, y ) xác định liên tục miền G: G = { ( x, y ) ; x − x0 ≤ a; y − y0 ≤ b} Đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y Khi tồn dãy nghiệm gần phương trình dy = f ( x, y ) đoạn [ x0 − h, x0 + h ] dãy dx nghiệm hàm liên tục hội tụ đến nghiệm phương trình  b  cho thỏa mãn điều kiện ban đầu y ( x0 ) = y0 ; h =  a; ÷  M M = max f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈ G Chương 2: Các phương pháp giải gần phương trình vi phân thường 2.1: Một số phương pháp giải tích 2.1.1 Định nghĩa hàm số Lipsit: Hàm số f ( x, y ) gọi Lipsit theo biến y miền G ∃ k > cho: f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ k y2 − y1 ; ∀ ( x, y j ) ∈ G; j = 1,2 Tính chất: i Nếu f ( x, y ) Lipsit biến y miền G liên tục theo biến y , x cho ( x, y ) ∈ G ii Nếu f ( x, y ) hàm liên tục theo x thỏa mãn điều kiện Lipsit biến y miền G f ( x, y ) liên tục miền G 2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 2.1.3 Phương pháp chuỗi số nguyên 2.2: Phương pháp Euler Euler cải tiến 2.2.1 Phương pháp Euler 2.2.2 Phương pháp Euler cải tiến:  y ∗i +1 = yi + hf ( xi , yi )  h  ∗ Công thức:  yi +1 = yi +  f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y i+1 )   i = 0, , n −  (2.2.2.3) Phương pháp (2.2.2.3) gọi phương pháp Euler cải tiến (hay Euler -Cauchay) 2.3: Phương pháp Runge Kuta Phương pháp Runge lần Runge đề ra, sau Kuta Hayner nhà toán học khác hoàn chỉnh  y ' = f ( x, y ) Xét toán cosi:   y ( x0 ) = y0 ( 3.3.1) ( 3.3.2 ) Xuất phát từ giá ban đầu y0 tìm giá trị gần y1 điểm x0 + h = x1 theo công thức: y1 = y0 + ∆y0 = y0 + h  r1 , f ( ξ1 ,η1 ) + + rm f ( ξ m ,η m )  ( 3.3.3) Trong đó: ξi = x0 + h; ηi = y0 + βi1k1 ( h ) + βi k2 ( h ) + + βii ki ( h ) ( 3.3.4 ) α i , βi j , ri số, α1 = 0; ki ( h ) = hf ( ξi ,η j ) ; ( 3.3.5) Các số α i , β i j , ri chọn cho khai triển Taylor nghiệm: h2 h n+1 n +1 y ( x1 ) = y ( x0 + h ) = y0 + h y '0 + y ''0 + + y0( ) + biểu thức ( n + 1) ! (3.3.3) trùng tới số hạng nhiều tốt với hàm f bước h tùy ý Điều có nghĩa phải chọn α i , β i j , ri cho hàm: m ϕm ( h ) = y ( x0 + h ) − y0 ∑ ri ki i =1 ( 3.3.6 ) Thỏa mãn biểu thức sau đây: ϕm ( ∞ ) = ϕ m ( ) = = ϕm ( s ) ( ) = ; ϕm( s +1) ( ) ≠ Với s cao tốt Như sai số mắc phải bước là: Rm ( h ) = h( ϕm ( s+1) ( ξ ) ; 0[...]... 2h 3 yn − 4 yn−1 + yn−2 − k 2 yn = β 2h (2.4.4.11) Kết luận Giải gần đúng phương trình vi phân thường có rất nhiều cách Nhưng do điều kiện thời gian, trình độ, và năng lực bản thân em có hạn nên trong khóa luận này em chỉ nêu ra một số phương pháp thường dùng Qua quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em đã rút ra nhiều điều bổ ích trong vi c nghiên cứu khoa học Vấn đề nghiên cứu còn rất nhiều... thể áp dụng các phương pháp giải bài toán Cauchy vào vi c tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên 2.4.4 Phương pháp sai phân Giả sử cần tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên (2.4.1.1)- (2.4.1.4) ta làm như sau: Chia đoạn [ a, b ] thành n phần bằng nhau: xi = a + ih; h= ( i = 1, n − 1) b−a ; x0 = a; xn = b n (2.4.4.1) Kí hiệu các giá trị đúng của nghiệm tại xi là y ( xi ) và các giá trị gần đúng là yi từ... có: y ' = f y '' = D f y ''' = D ( D f ) = D 2 f + ∂f Df ∂y ( 3.3.9 ) Với giá trị m cố định ta được hệ phương trình để xác định các hằng số α i , βi j , ri 2.4: Phương pháp sai phân giải bài toán biên 2.4.1.Định nghĩa Giả sử f ( x ) , f i ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f n ≠ 0 Lập phương trình vi phân n ( tuyến tính L ( y ) = ∑ f i ( x ) y ( x) = f ( x) i) i =0 ( 2.4.1.1) ( ) ( ) Chọn các hằng số... em hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất Em xin chân thành cảm ơn 15 Tài liệu tham khảo 1 Phạm Kỳ Anh - Giải tích số NXBĐHQGHN 2000 2 Nguyễn Minh Chương (chủ biên),Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh,Nguyễn Văn Tuấn,Nguyễn Tường - Giải tích số NXBGD 2009 3 Tạ Văn Đĩnh - Phương pháp tính NXBKH và KT 1996 4 Hoàng Hữu Đường -Phương trình vi phân tập 2 NXBGD 1979 5 Nguyễn Mạnh Hùng - Giáo trình đạo hàm riêng... biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường 2.4.3 Đưa bài toán biên về bài toán Cauchy Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: L ( y ) = f ( x ) Với điều kiện ban đầu: y ( a ) = ya ; y ( b ) = yb (2.4.3.1) Ta có thể thay vi c giải bài toán biên (2.4.3.1) bằng vi c giải 2 bài toán Cauchy sau đây: L ( y1 ) = f ( x ) ; y1 ( a ) = ya ; y1 ' ( a ) = 0 L ( y2 ) = f ( x ) ; y2 ( a... (2.4.1.1) và (2.4.1.4) được một hệ thống ( n + 1) phương trình đại số tuyến 13 tính để xác định các giá trị yi Thông thường có thể dùng các công thức để tính gần đúng đạo hàm sau đây: y ' ( xi ) ≈ y ( xi +1 ) − y ( xi ) h ≈ yi +1 − yi h (2.4.4.2) y ' ( xi ) ≈ yi +1 − yi −1 2h (2.4.4.3) y "( xi ) ≈ yi +1 − 2 yi + yi −1 h2 (2.4.4.4) Chẳng hạn xét phương trình sau đây: ( k ( x ) y ') '− q ( x ) y = r... khoa học, do thời gian, kinh nghiệm có hạn nên khóa luận tốt nghiệp này của em còn nhiều điều cần bổ sung Em kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô, cũng như các bạn sinh vi n khoa toán Để hoàn thành bản khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy, cô giáo trong khoa toán, thầy (cô) giáo trong tổ bộ môn giải tích cùng các bạn sinh vi n lớp k32 cử nhân-toán Qua đây em xin bày tỏ lòng... (2.4.4.5) Với các điều kiện biên: y ( a ) = α ; y ( b ) = α (2.4.4.6) Giả thiết rằng các hàm k ( x ) , q ( x ) , r ( x ) hai lần khả vi Để sai phân hóa bài toán biên (2.4.4.5); (2.4.4.6)ta dùng các công thức dạng (2.4.4.2); (2.4.4.4) Sau khi sai phân hóa ta được hệ thống phương trình: ki ki +1 − ki y − 2 y + y + ( ) ( yi +1 − yi ) − qi yi = ri i + 1 i i − 1 h2 h2 Và y0 = α ; yn = β Chú ý: k ' ( xi ) ≈ ki... ϕ0 của phương trình (2.4.1.1) và hệ nghiệm cơ bản ϕ1 , ,ϕ n của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán biên (2.4.1.1); (2.4.1.3); (2.4.1.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci trong biểu thức: ϕ = ϕ0 + c1ϕ1 + c2ϕ2 + + cnϕn ; sao cho điều kiện (2.4.1.4) được thỏa mãn Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được ma trận:  V1 ( ϕ1 ) V1 ( ϕn ) V1 ( ϕ0 ) − g1   ÷ v ϕ... biên thuần nhất giải được và có ( n − r) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m < n Trong trường 12 hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận (2.4.2.1) bằng không Như vậy trong trường hợp m = n hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường 2.4.3 ... Một số phương trình vi phân biết cách giải a Phương trình vi phân có biến số phân li b Phương trình vi phân cấp c Phương trình vi phân tuyến tính cấp d Phương trình vi phân đưa dạng phương trình. .. có liên quan đến vi c giải phương trình vi phân, vi c nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Chúng ta biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm... cứu tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Là sinh vi n chuyên nghành toán em may mắn có hội nghiên cứu đề tài: Giải gần phương trình vi phân thường Dưới giúp đỡ tận tình,