Giải gần đúng phương trình vi phân thường khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Lời nói đầu

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai lĩnh vực đó là: Toán học lý thuyết và toán học ứng đụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết toán học

Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thé tìm được nghiệm chính xác Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường

Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên cứu về đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường” Dưới sự giúp đỡ tận tình, sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng Với sự

say mê toán, sự tích cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được

để tài nghiên cứu này

Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội đung, kết luận Nội dung gồm:

Chương 1: Các kiến thức bố trợ

Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Nhân địp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này

Trang 2

lớp k32 cử nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trình hoàn thành bản khóa luận này

Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có hạn nên để tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót Em mong được sự thông cản của các thây cô giáo cùng các bạn sinh viên

Trang 3

Chương 1: Các kiến thức bỗ trợ

1.1: Sai phân 1.1.1 Dãy số

Goi A la tap hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên A ={1,2 k} Một hàm số x xác định trên tập A được gọi là một dãy số hữu hạn Tập

giá trị của dãy số hữu hạn này là {x():3(2): :x()}- Người ta thường kí hiệu các giá trị đó là x(1)=x;:x(2)=x;; :x(k)=x, và viết dãy số đó dưới

dạng *#,,1%;, X,

Một hàm số x xác định trên tập MN” các số tự nhiên khác không được gọi là dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số Tập giá trị của dãy số x gồm vô số

phần tử x(1) =%,3x(2) =2,; 5x(2) =x, Ngudi ta thường viết dãy số dưới

dạng xị,x;, ,X,„

Dãy số Xi;X¿ X„ được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên duong N, sao cho +x„ =c với mợi z> W, Ở đây c là một hằng số nào đó (và gọi là hằng số dừng)

Dãy số x,,x„, ,x„ được gọi là:

Bị chặn trên nếu tồn tại số ÄM⁄ sao cho x,<M voi moi

Trang 4

1.1.2 Giới hạn của dãy số

Ta nói rằng dãy số {x,} có gới hạn là a nếu với mọi số dương ¢ cho trước (nhỏ hơn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho véi moi

n>WN thi |x, al <é.Ta viét limx, =a hay viét la limx, =a

1.1.3 Téng n s6 hang dau tiên của dãy số:

Cho dãy số {x,} tổng n số hạng đầu tiên của dãy số được kí hiệu là S, =X +X, + 4+%, =", 1.1.4 Công thức Moarvơ Cho số phức: A=x+iy=r(cosp+ising) Ẻ =-l;r=|A|=A|x°+y” @=arcg >; thì số phức liên hợp Â= x—iy= r(cosg-ising) x Ta có: Â" =rˆ(cosø-isinø)” = r"(cosnø-isinnø) (công thức Moarvơ) 1.1.5 Sai phân

a Khái niệm sai phân:

Giả sử ƒ : Ñ —> Ñ là một hàm số cho trước và # là một hằng số khác 0

Trang 5

là sai phân cấp hai của hàm số y = ƒ (x) Quy nạp: A"ƒf(x)=A(A"'7(x)) (vneN') là sai phân cấp n của hàm số y= ƒ (x) x |/(x)' Af(x)|A?f(x)|A)Z(øx)|LA'Z(x) LA*/Z(x)|A°£(x) 4 | fs x3 | fs | Af, x, |fo |Af, | Af, x, [fi | os | Wf, | Fy

% |fo (4 | Mf JAP, | ANF,

M LÍ (Mh | Af, |AV, [ANA [AKG

» 1A Af A’ fy A’f, |AF, | Mf, |A,

5S | (MA JMR JAA, | Ah, | A

X4 % Af; A’f, Arf, A‘ fy Af, A*F, Nhận xét:

Bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và

dòng trên của cột liền trước

Vi du: Af,=f,-f4 1.1.6 Tinh chat sai phan

a Sai phân A là toán tử tuyến tính xác định trên không gian X các hàm số xác định trên R, nghia la voi moi a, BER, voi moi ham số ƒ,ø thì:

Trang 6

Chứng mình: Ta cé: A(af + Bg)(x)=(af + Bg)(xt+h)-(af + Bg)(x) =af (x+h)+Bg(x+h)-af (x)— Bg (x) = al f(x+h)—F(x)]+ Bla (+h)-8(2)] = af (x)+ BAg(x) b Nếu c= f thi A, =0 Chứng minh: A.=c-c=0>A =0 c A"(x")=nlh A"(x")=0 (vm>n) Chứng minh: A(x')=(x+h}'=x" =x" +O Nix 4 C20 x" + th! ox" =Clax + C20 x"? + 40°

A*(x')=A(Ay')=A(nhv”) [ee at a(n")

Trang 9

Thật vậy:

A‘ f(x) =A] A‘ f(x) ]=A] ai f* (x+'kn) | (rong đó Ø'e(0,1))

Ap dung công thức tính số gia hữu hạn cho f™ (x+6'kh) Ta có: AM f(x)=n'af (x4 6'kh) (vi A 1a toan tr tuyén tinh) =| f*(x+0'kh+h)— f*(x+0'kh) | =h'" f") (x+0'kh+ 6") (do mệnh đề ding véi n=1) Trong đó Ø',Ø"e(0,1) Øk+0" k+I Tađược: — A'"ƒ(x)=#“'ƒ“'{x+Ø(k+1)n) Đặt Ø= ,Øe(0,1) Hệ quả: A" f(x) mm

Nếu ƒ(x)<(C'[a,b] khi h đủ nhỏ ta có ƒ”(x)=

Nhận xét:Voi ham ƒ (x) xác định trên tập số nguyên Z và coi rằng h=l kí hiệu y, = f(x); k=0,1,2 Ta có: »` ÔÔôÔ,ốÔôÔ en —,) = (You -y,)

Với Ay,=y,¡—y,=ƒ(i+1)—= ƒ()=ƒ(i+h)= ƒ() (ñ=1)

Vậy :Ö_Ay, = Y„u — }i

Trang 10

Sai phân cấp ¡ của đa thức bậc n là:

Hang sé, khi i=n (theo tinh chất b )

Đa thức bậc ø—¿ khi i<n ( theo tính chất c ) Bang 0 khi i>n (theo tinh chất c ) 1.2: Số gần đúng và sai số 1.2.1 Sai số 1.2.1.1 Trong tính toán ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng Ta nói z là số gần đúng của số a” Đại lượng A=a”—ø được gọi là sai số thực sự của a

Do đó a” ta không biết nên A cũng không biết nhưng ta có thể tìm được A„ >0 sao cho: la" —al<A, (2.1)

Trang 11

_ 0,09 _ 9 ; 500 0,00018 = —— 50000 — 10 1 ’ 4000 400 Phép đo B chính xác hon phép do A Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.2.1.2 Số thu gọn Xét số thập phân ø được biểu diễn dưới dạng: a=+(B,10" + Ø,„,10”°+ + , „107.2) Trong đó: 6; p—g<¡< p; 0< <9 Nếu p—q>0 thì z là số nguyên

Nếu -œ< p—a<0 thì z là số thập phân có phan lé gm |p — 4| chữ số Nếu p—q=—œ thì z là số thập phân vô hạn

Vi du 4: 5218=5.10° +2.10° +1.10' +8.10° Ta thay p—q=Onén a=5218 là số nguyên

Vi du 5: 52,18 =5.10' + 2.10° +1.10'+ 8.107

Ta thay p—q=-2 nén a=52,18 1a sé thập phân có phần lẻ gồm 2 chữ

Thu gọn z là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được một số

Trang 12

Trong dé: B= b2

Vi du 6:

2,718281828 = 2,71828183 = 2,7182818 = 2,718282 = 2,71828 = 2,7183 = 2,718 = 2,72 ~2,7

Giả sử sô thu gọn của ø là đ ta có: la —| <T,

le’ -a|=|a` -a+a-a|s|a’ -a|+|a-a|=A,T,

Nhận xéi: Khi thu gon số œ thì sai số tuyệt đối của a với 4” lớn hơn

hoặc bằng sai số tuyệt đối của a” và a 1.2.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

a Chữ số có nghĩa: Là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó kẹp

giữa 2 chữ SỐ cÓ nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại Vi du 7: a=0,0006408530 Giải: 4 chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là những chữ số không có nghĩa Toàn bộ những chữ số còn lại là những chữ số có nghĩa b Xét sé a=+(,.10" + + ,, „107 *)

Trang 13

Chon @ =5 thì a có ba chữ số chắc là: 8,6,0 còn lại ba chữ số không

chắc là: 4,3,2

Ta xét việc chọn øœ: Giả sử số ø được biết:

a=+(B,.10? + + B,,.10%) va /, là chắc

Vậy /,„ vốn là chắc Ta chọn œ để sao cho khi thu gọn đến đúng bậc (i+1) thì có /,., vẫn là chắc Muốn vậy ta phải có: A,+T,<ø10" øœ.10' +0,5.10! <ø.10°1 œ@+5<10œ œ@>— 9 Trong thực tế người ta thường chọn @ => hoặc ø=l Nếu w=!1 thi x: re ~ A qx x +, ^ x 1 ì Nà rs ~ A người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn @= 5 thì người ta nói chữ sô là chắc theo nghĩa hẹp 1.2.2 Sai số tính toán

Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y=ƒ(X;3; X,)-

Gọi x” =(x #„) sy = f(x’) la các giá trị đúng Giả sử ta không biết các giá trị đúng này ta chỉ biết các giá trị gần đúng là x=(x, x„); y=ƒ(x) là

các giá trị gần đúng của y"”

Giả sử Ax,(¡=1,2, ,n); ởx;¡; (i=l,2, m) là các sai số tuyệt đối và

tương đối tương ứng của các đối số Khi đó sai số của hàm số y= ƒ (x, x,)

Trang 14

Giả sử hàm ƒ(x, x,) là hàm số khả vi liên tục theo tắt cả các biến x, thi: Ay =|y-y'| =|F (Xa )— F(X 8) Với x=(x, 3,) va x là điểm năm giữa x và x” Vì ƒ khả vi liên tục A, =|x, —x;' khá bé nên A, =Ÿ/',(xÌ^, với x=(,,x; X„ i=l A sl @

Va yas Dinh 5=—= In Ax, as

và đôi khi có thể viết: _ ở =Aln|y| (1.2.2.1)

1.2.2.1 Sai số của một tông

Trang 15

1.2.2.3 Sai số của một thương Xx, y=— %* 1 — 1, 1 Ty YX Y X= 2 % *¿ A, _ baldn +|n]4e +Ì|A% ; Ổ, =ỔA tổ, X¿

1.2.2.4 Sai số trong phép tính logarit:

y=lnx Suyra A,=ơx

1.2.3 Bài tốn ngược của bài toán sai số

Giả sử y= ƒ(x,.x; x„) Cần tính A„ để A,<£ (e>0)cho trước

Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có: n of A, => » » Bui AxiS£ |—+Avi< Avi<— n|ƒ xỉ Nếu các biến xí có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy: Axi< : n|ƒ khi đó: A,<£

Vi du 9: một hình trụ có chiều cao ~3m, bán kính đáy R=2m Tìm

Ah, AR, s6 z để thể tích V được tính chính xác đến 0,1 mẺ

Giải:

V=zR°h ; Av=0,Im` ; h=3m; R=2m,n=3

av OR = 27Rh x 37,7 suy ra AR = 0,1 <0,001

Trang 16

WV — 3p ~12 Suy ra Ar = 2 £0,003 r „12 OV _ „me =12,6 suy ra Ah= 0.1 < 0,003 oh 3.12,6 Vậy AR =0,001 chính xác tới | 1000 Ah =0,003 chính xác tới 3 1000 1.3: Một số kiến thức về phương trình vi phân thường 1.3.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát: F(x, VV ead") =0

Trong dé x 14 bién sé déc lập, y là hàm phải tìm

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương

Hàm số y =ø(3) được gọi là nghiệm của phương trình (1.3.1.1) nếu

thay y=9(x) sy'=9'(x), 5 yl” =""(x) vào (1.3.1.1) thì ta được đồng

nhất thức

Hàm số y= ø(x,c) (c € R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình n(1.3.1.1)

Nếu: V(x, y) €D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải

1a déi voi c; c= v(x, y)

Ham y=@(x,c) thoa man k(1.3.1.1)

Trang 17

1.3.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải a Phương trình vi phân có biến số phân li:

@ F(x) suy ra y=[7(x)&x+€

dy = f(y) suy ra dx ayer’

M,(x).N, (y).dx+M,(x).N,(y).dy =

M

TP 10) pp No) 9 Nye (N, (y).M, (x) #0) ve

b Phương trình vi phân cấp I thuần nhất:

® — Ƒ(x.y): ƒ(xw)=f*ƒ(xy): (r>0) dx

Để giải phương trình dạng này ta đặt =~ sau d6 dua vé VIỆC giải x

phương trình vi phân có biến số phan li c Phương trình vi phân tuyến tính cấp I z , dx Dang tong quat: +1 Pp(x)»=9) (1.3.1.2) y Ø@(x)z0thì (1.3.1.2)gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1

Công thức nghiệm tổng quát của chọn trình:

y=e mee (so(x yer? 40)

d Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp I

-/J tre (13.1.3)

Trang 18

Néu c= é =0 thì (3) là phương trình thuần nhất cấp 1 ab Néu c #0; ¢, #0; #0 aD Dat ae ặt: (a, B là hằng số) ơ,/ là hằng số y=y+Ø e Phwong trinh Bernoulli Dang téng quat: ` +P(x)y=0(x)»" (1.3.1.4)

a@=1: (1.3.1.4) tré thành phương trình tuyến tính cấp 1

œ=0: (1.3.1.4) trở thành phương trinh phi tuyến tính không thuần nhất cấp 1

a#0; œz#l, ta chia 2 về của phương trình (1.3.1.4) cho y“ sau đó đặt z= yh“ và đưa về phương trình tuyến tinh không thuần nhất

1.3.3 Định lý Pica-Lindolov (định lý tôn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm ƒ (x, y) xác định và liên tục trong miền G: G={(x.y): Đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y Khi đó tồn tại một x—xu|<4; y—yw|<b} dãy nghiệm gần đúng của phương trình ¬- f(xy) trên đoạn x

[x) —A.x) +h] và dãy nghiệm này là các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm duy nhất của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu

y(%,)= yạ;h = min a;

° M

Trang 19

Chứng minh: Lấy (x)= Yo (x)= Yo +f r(.a (ar ø(x)=» + | 7(t.e())& (1.3.1.5) P(X) = Yo + fF (eo (t))at

Trang 20

Vì |ø'(#)| =((¿.ø(2)) <M nên a(x)<M(x—xạ) Áp dụng liên tiếp (1.3.1.6) ta được x) <L[a,(t)dt< LM [(t—x,)dt=LM Gos) 2 3 (2) Jot ()&< 2=) ar=iw—%) 2 3! “Tat (n =0,1,2 ) Từ đó ta có: n>0 thi w,(x)>0vag,(x)>¢(x) trén doan [xu.xạ+h]: Ta chứng minh ø(x) là duy nhất:

Giả sử có 2 hàm g(x) va (x) là nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước

Xét: ø(x Jaro fr t,p(t))dt; w(x) = y+ fr" t,y(t))dt Tụ

lolx) —wlf= [Lr (ote) Fowles [|r (e0()F (w(t

Trang 21

sup|ø(+) - y(x)| <La sup|ø(x) -V(z): Tương đương (1— La)sup|ø(x) - y(x)| <0

(1-La)>0 suy ra sup|ø(x)—w(x)| <0

lø(x)~w(x)|=0: Yx

Suy ra @=V

Trang 22

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vỉ phân thường

2.1: Một số phương pháp giải tích

2.1.1 Định nghĩa hàm số Lipsit:

Hàm số ƒ (x, y) được gọi là Lipsit theo biến y trên miền G nếu

3k >0 sao cho: |ƒ (x, y,)— ƒ (x; y;)|<k|y; — Vị

Tính chất:

; V(x y;) eG; j =1,2

i Néu f(x,y) là Lipsit đối với biến y trong miền G thì liên tục đều

theo biến y, đối với mỗi x sao cho (x,y) eG

ii, Néu f(x,y) la hàm liên tục theo x thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với biến ytrong miền G thì ƒ (x, y) là liên tục trong miền G

2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiép Picard Xét bài toán Cauchy:

Tìm y(x) thỏa mãn điều kiện:

y'=f(xy) (2.1.2.1) (x <x<x)

v(ạ)=wy (2.122) (y./eR")

Trong đó hàm ƒ (x, y) thỏa mãn điều kién Lipsit theo biến y trên miền mở D:

V(x,y); (xy) eD; f(x»)~7(xy)}<M|y=|

Trang 23

y(x)= yy + [Zt.yt))# (2.1.2.3) Nội dung của phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard là thay côh việc

tìmnghiệm đúng của (2.1.2.3) ta tìm nghiệm gần đúng thứ n theo công thức quy nạp: y=ye+ |7 (.»„.()}w (2.1.2.4) Trong đó để đơn giản ta có thể chọn nghiệm đúng đầu tiên là: Yo (x) =% Tốc độ hội tụ của phương pháp được đặc trưng bởi hàm Q, (x) = Iy(x) — Yn (x)

Trong đó y(x) là nghiệm đúng của phương trình (2.1.2.3) Trừ từng về

của (2.1.2.3) cho (2.1.2.4) ta được:

s)=»/(3)=[[fGxy)= 7y, )]#y:

Từ đó: ø(x)=|y(x)=y,(9J< [|#(xy)= #xy,,)J@

Trang 24

Áp dụng liên tiếp (9) ta được:

n+l

o, (x)= vy <5)”, n=0,1, , (n + 1)! (2.1.2.6)

Khi n> thi @,(x)—>0 va y,(x)— y(x) trên đoạn [xạ,xạ + h] (xem phần chứng minh định lý Picard_Lindolor)

Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Picard giải bài toán Cauchy sau: (0)=0 7 (2.1.2.7) Giải: ƒ(x,y)=x”+yŸ Áp dụng (2.1.2.4) ta có: yy(x)=0 Ms 1, 2 1 = |] 0? +—1° +—1"° +—_1" lái 5É) i 9 189 3969 1 3 +—x+—_—x 1 7 2 11 +— 1 x 15 3 63 2079 59535

Để xét tốc độ hội tụ ta làm như sau:

Trang 25

Nếu k cố định thì giá trị lớn nhất của h đạt được khi:

= que) Bm) N6 suy ra a= Vi k M suy ra h= ek k v2 Dé thay maxh= 2 đạt được khi k =1 Vì vậy quá trình xấp xi liên tiếp dé tìm nghiệm của (2.1.2.7)hội tụ (ít Ja

nhat) trong doan ys ,từ hị<*? suy ra Iy|=|ka|=la|<-—: Hằng số Lipsit được xác định như sau: L=max y a max|2y| = V2 pic Voi |x| <2 thi gia trị y; (x) va y; (x) kha gan nhau: 2 (2) + (2 15 — | <0.000022 2079 2 59535 ly; — y;|< 2 Vì vậy ta có thể lấy nghiệm gần đúng y(x) = y; (x) = toys, Nhận xét: Nếu sử dụng công thức sai số (2.1.2.6) thì: 20)=b0)=n]<£f SP |8) 4! LÊ | eae

Ưu điểm của phương pháp Picard là tìm nghiệm gần đúng dưới dang

Trang 26

y =x-y Ví dụ 2: Xét bài toán Cauchy: tan Giải: ƒ(.y)=x-y p(x) =l y,(x)> y"(a) y'(x)-2(e` -1+x)+1-x=2e*% +x-1

2.1.3 Phương pháp chuỗi số nguyên

Đề giải gần đúng phương trình vi phân trong một số trường hợp ta có thể sử dụng một số phương pháp khai triển nghiệm theo công thức Taylor Trong lân cận điểm (%; Yo) và giữ lại một số các số hạng cần thiết Ta thấy các phương pháp này chỉ có lợi khi khoảng cần xác định nghiệm là một lân

cận khá bé của điểm (xạ y,)

Giả thiết là hàm f(x,y) 6 vé phai của phương trình (2.1.2.1) là giải

tích trong lân cận điểm (x Yo): Điều đó có nghĩa là hàm ƒ (x, y) khia trién được thành hai chuỗi số nguyên

oO

ƒ(x.y)= » a„(x—xụ} (Y= Yo)"

Trang 27

Và chuỗi nay hội tụ trong lân cận điểm (xạ, yạ) với gái thiết đó bài toán cosi có n(2.1.2.1),(2.1.2.2) ghiệm duy nhất trong một lân cận đủ bé của Xy va wo 4k) có thể biểu diễn được dưới dạng chuỗi Taylor: y(x)=>° 3 9) (x-x, y ky : Nếu tìm được các giá trị yÉ” (x,) thi nghiệm gần đúng có thế lấy chăng y{x)=/(xy) (12.8 Để tính yf(xạ) ta xuất phát từ: ‡ y(xy)= yụ (2.1.2.9) ¥'(%) =F (%0-¥(40)) Lấy đạo hàm 2 về của (2.1.2.8) ri thé x =x, vao ta lần lượt tính được các giá trị y“(xy), (k=2.3, M); y'+)=/(xy)+7/(xy)y (3): ¥"(40) = F090) + F's (Bo ¥0) y (1) Y"(x)= Py) + Foy) 6)+/»(5y)2 1 9)+7/@sy)> 0x) 2 +ƒ"„(x.»)(»')) y"(%) =f = (xạ, Yo) +2f "oy (x yạ)-y (xạ) +f \ (x, ¥o)-¥"(%) +h" sy (xo yor")

Nhận xét: phương pháp chuỗi số nguyên rất dé thực hiện bởi vi ta chi

việc tính đạo hàm Nhưng tính toán rất phức tạp, hơn nữa bán kính hội tụ của

Trang 28

Ví dụ 3: Bằng phương pháp chuỗi số nguyên tìm nghiệm gần đúng của

bài toán Cauchy sau: 4 dx

Giải:

y"(x) =2x+2y.y'

y"(x)=2+2(y} +2y"

y!(x)=6y'.y"+2y."

y'(x)= 6(y") +8y'y"+2y.y

y°(x)=2y.y +10y!.yf) +20y",y"

y'(x)=2y.y® +12y'.y +30y".y) +20(y")” Thế x=0 vào các biểu thức trên ta có:

y"(0)=0 y"(0)=2

y'(0)= y'(0)= y°(0)=0

Trang 29

2.2: Phương pháp Euler và Euler cải tiến

2.2.1 Phuong phap Euler:

Tir diém ban dau A(X, Yo) của đường cong tích phân, nhờ phương

trình vi phân y'= ƒ(x,y) ta có thể xác định gần đúng giá trị của y(x) ở các

điểm tiếp theo: Xụ <#\< <X,=Xg+d bằng phương pháp đơn giản sau đây: Theo công thức Taylor ta có:

y{3¡u)= y(x,)+ (Xu —x,)-y (3) +5} ya(g (2.2.1.1) Trong d6 x,<¢<x,,,

Néu ta chia doan [xX +a] thanh n phan bang nhau sao cho khoang cách giữa chúng càng bé thì ta có thể bỏ qua Số hạng cuối cùng trong khai

triển (2.2.1.1) và khai triển này chỉ còn:

y(x„¡)=y(%,)+(%„¡ —3,).y'(%,) (2.2.1.2)

Công thức (2.2.1.2) cho ta tính được cac gia tri y,; (i=1,2, ,7)

Ta đặt như sau: x,,, — *, =h; (i =1,2, n- 1) do đó

¬= ` lý (x; y,) (2.2.1.3)

Trang 30

Nhận xéi:

Từ lý luận trên ta thấy nếu n càng lớn thì đường gấp khúc này càng gần đường cong tích phân, nhưng nếu càng tăng n thì khối lượng tính toán sẽ tăng lên Vi du 1: Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương pháp Euler y= y— với y(0)=1 ;xe[0,1] 3; h=0,2 y Với h=0,2 áp dụng liên tiếp công thức (2.2.1.1) ta có bảng sau: #Œ:y,) i x; Ji Si | yt 2x, 2x, Ay, = Nƒ (x, y,) y=N2x+l Ji 1 0 0 | 1,0000 0 1,0000 0,2000 1,0000 1 | 0,2 | 1,2000 | 0,3333 | 0,8667 0,1733 1,1832 2 | 0,4 | 1,3733 | 0,5825 | 0,7908 0,1582 1,3416 3 | 0,6 | 1,5294 | 0,7846 | 0,7448 0,1490 1,4832 4 | 0,8 | 1,6786 | 0,9532 | 0,7254 0,1451 1,6124 5 | L0 | 1,8237 | 1,0967 | 0,727 0,1454 1,7320 Nhận xét:

Trang 31

2.2.2 Phuong pháp Euler cải tiến:

Nhược điểm của phương pháp Euler là ở chỗ trong Ay, chi tính dén gia trị đạo hàm ở điểm (x, y,)3 Ay, =hf (x, y;) mà không chú ý đến sự thay đổi của đạo hàm nên sai số lớn Phương pháp hình thang hay còn gọi là phương pháp Euler -Cauchy giúp ta tránh bớt những nhược điểm trên

Ta có sai số của phương pháp Euler: y(x+h)=y(x)+ [ y(x+s) (2.2.2.1) Sử dụng công thức hình thang ta có: y(xrh)=y(x) +L y'(x) + y{x+h) |+0(0'`) (2.2.2.2) y(x+h)= v(x)+57(xy(x))+/(x+.y(x+#))]+0(0”) Ta thay x=x;; x+h =3, h Ta có: Vist = i +5|7(x:w) + ƒ(XiisYia |

Dé tính được y,¡ chúng ta thay y(x+h) trong về phải của (2.2.2.2) bang đại lượng: y” = y(x+h) +0(h’)

Trang 33

2.3: Phương pháp Runge Kuta

Trang 34

Điều kiện ø„(0)=0 luôn được thỏa mãn Bây giờ ta xét các điều kiện còn lại: øÐ0 (0)=0 từ (3.3.6) ta có: =Š nk0),(0) ;1=1,2, s (3.3.8) i=l Từ (3.3.1) (3.3.2) ta có: yy =f (%%)= So « fo ¢ So =—0y fo ° ấy fo oy

nO Of, Of 2 Fh | Ho, - Ho | H

Trang 35

3 3 3 3 p= 243f é +3f? Ễ 5 so Ox Ox’ Oy Ox.0y oy m ô" D"=3S.CŒ„'.ƒ" > m f ax" *ay* Dễ dàng thử lại các tính chất sau: D(u+v)= Du + Dy D(w) =vDu +uDv D(Du) = Du 4! Dy oy Ta có: y'= ƒ y"=D, " ô y"=D(D,)=D’f tá Đƒ (3.3.9)

Với gia trim cố định ta được hệ phương trình để xác định các hằng số @,, 8,7, ta di xét một vài trường hop thuong ding 1 Truong hop m=1 Từ (3.3.6) suy ra: ø¡(h)= ví +h)—y(x,)-r&, = ¥(X +h)- ø,'(0)= yạ —n.ƒ (Xe Ya)= yọ (E—n) y(%)—n.h.ƒ (xạ, ve)

Để ø, '(0) =0 Vf (x,y) bat budc ï =l ngoài ra 9, "(0) =y," Nói chung là khác không Vì vậy công thức gần đúng sẽ là:

Ayy = y(X +h)—y(x)=AF (%, Yo)

Sai số mắc phải tinh theo công thức (3.3.7) là:

h?

(3.3.10)

Trang 36

Ta được công thức Euler quen thuộc và ước lượng sai số của nó 2 Truong hop m=2 Theo (3.3.6): @(h) = y(% +h) — yy —(nk, +k) = y(4y+h)— yụ —h[ñ.ƒ (Xe yy)+ 5.ƒ (xy +2h, vụ + 8k ) | Ø.(0)= yụ =[ñ& (0)+ z#;(0) ]= #.(=ñ =5) Muốn #z,(0)=0; Vƒ ta phải chọn: z +r, =1 ø,"(0)= yụ ~[ñk, "(0) + 2k "(0)] So ¢ Ho 0 va) © =— +ƒf,— 2 —+ 0).—| Ox fy Oy _= Ox % ( ) Oy fy

Trong đó: 7;,(0)=/đ„.ƒ, vì vậy muốn ø,"{0)=0; Vƒ ta phải lấy

Œ,,„„ sao cho l=2zœ;l=n,Øg; đạo hàm cấp 3:

Trang 37

b Với ø,= ;¡= ;i n =0; r, =1 ta được công thức: h k, Ayy =k, =hf Xt s Mot Sy > k, =hf (XN) (3.3.13) ~ ak 2 2 1 , c Ta cũng có thê chọn chăng han a, = f,, =3 r= + r, =— lic do 1 h 2 2

Ayo = ql +3k,) =8 /I.w)+3/ [+ +2h.yo t2 | (3.3.14)

Các công thức đó đều có chung một bậc sai số: ni

R(h)=3 9 (£)=0(#'`) (3.3.15)

Công thức (3.3.15) chính là công thức hình thang (phương pháp Euler- Cauchy) Ở đây nhờ đánh giá sai số (3.3.15) ta thấy độ chính xác của nó cao hơn công thức Euler thông thường

3 Truong hop m=3

@,(h) = y(x% +h) — yy -[-&, (A) +k, (A) + 75.45 (A) |

P, (0) = Wo -| 1, (0) +P&, (0) +4k, (0) | =f (1 ThA n)

Muốn ø,(0)=0; Vƒ ta phải chọn: z +z; +z; =1 tương tự như trường

hợp trên, từ những điều kiện 2; "(0) =øØ, "(0) =0 suy ra các liên hệ giữa

@,, Biot, :

2(na, + 17,a,)=1 Từ ø, "(0)=0 suy ra

Trang 38

Như vậy để xác định 8 hệ số z;,r;,r;,œ,,0;,/,,./¡./đ„ ta có 6 phương a, = By, a, = By + By n+p„+n=]1 ¬ trình sau đây: I6, +0 =2) (3.3.16) Kay +Ha, == ABO, =>

Trang 39

2 2 k,=h 3 r[» +—h,yọ+—k; 3 Yo 3 ; c nếu lay @, = B,, =F, == thi 9 1 4 3 h =.nh anh = 9 Bs =0; 8, = 4 Khidé: =A, = 5 (2k +3k, + 4k) (3.3.19) Trong đó: k, = hf (930) k, =hf| x) + 2 0 270 +h 2 3 3 k, =H|x + hờ +34.) Các công thức gần đúng (3.3.16),(3,3.17),(3.3.18) đều có độ chính xac bic h* R,(h) =e) (3.3.20) 4 Truong hop m = 4 i Tan n (Hi) 4 Q, = fo (1 ~ > i i=l Đồng thời điều kiện ø,(0) ø,"(0)=ø,"(0)=øf?(0)=0_ v/ =0 ta còn đòi hỏi

Ti các điều kiện đó ta được l1 phương trình để định 13 hệ số: